精品解析：河南省郑州市西一中学2025-2026学年下学期八年级期末学情评估数学试题

2025-2026-2八年级期末学情评估数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 3. 对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ） A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解，②是乘法运算 D. ①是乘法运算，②是因式分解 4. 不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3)，则不等式2x<ax+4的解集为 A. B. C. D. 9. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（　　）． A. 60° B. 75° C. 85° D. 90° 10. 如图，在等腰和等腰，，，为的中点，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个分式可以是______． 12. 因式分解：=_______________. 13. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是__________． 14. 如图，的度数为__________． 15. 如图，与都是等边三角形，连接，，，．若将绕点顺时针旋转，当点，，在同一条直线上时，线段的长为__________． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 16. 化简： （1） （2） 四、解答题：本题共7小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 18. 如图，某市的两条道路，经过旅游景点和景点．为了促进当地旅游发展，要在区的一块平地上修建一个度假村，按照设计要求，使度假村到景点和景点的距离相等，且到两条道路和的距离也相等． （1）运用直尺和圆规作图，作出修建的度假村的位置（保留作图痕迹，不写作法） （2）根据以上信息，在所作的图形中连接，，求证：． 19. 在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： （1）如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形； （2）画出三角形关于点D成中心对称的三角形； （3）三角形与三角形_____（填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O． 20. 如图，在平行四边形中，，分别是，上的点，且，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，，求证：． 21. 【发现】一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，且，若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，则这两个数的平方差是的倍数． 【解决问题】 （1）用含的代数式表示：原来的两位数为__________，新的两位数为__________； （2）使用因式分解的方法说明【发现】中的结论正确． 22. “节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求： （1）A型自行车去年每辆售价多少元； （2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多． 23. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ． （2）基本运用 请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点且，求证： （3）能力提升 如图③，在中，，，，O为内一点，连接，，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-2八年级期末学情评估数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义即可判断. 【详解】A既不是轴对称图形也不是中心对称图形； B是中心对称图形，但不是轴对称图形； C是轴对称图形，但不是中心对称图形； D既是轴对称图形，又是中心对称图形, 故选D. 【点睛】此题主要考查轴对称图形与中心对称图形的定义，熟知其定义是解题的关键. 2. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，先理解题意，得出，结合两直线平行，同位角相等，得，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， 依题意，， ∴， 故选：A 3. 对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ） A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解，②是乘法运算 D. ①是乘法运算，②是因式分解 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义进行判断即可； 【详解】①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解； ②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义理解，准确理解因式分解的定义是解题的关键． 4. 不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质．解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式的值不变来解决问题．根据分式的基本性质，即可求解． 【详解】解：． 故选：D 5. 不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出不等式组的解集，表示出数轴上即可. 【详解】解：不等式组整理得：， ∴不等式组的解集为， 故选C． 【点睛】此题考查了解一元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 6. 如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形为平行四边形，不符合题意； B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形为平行四边形，不符合题意； C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形为平行四边形，不符合题意； D、无法判断四边形为平行四边形，符合题意 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】连接AD，由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，得到AD=CD=3，∠DAC=∠C=30°，求得∠BAD=90°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接AD， 由作图知：DE是线段AC的垂直平分线， ∴AD=CD=3， ∴∠DAC=∠C， ∵AB=AC，∠A=120°， ∴∠B=∠C=30°，则∠DAC=∠C=30°， ∴∠BAD=120°-∠DAC=90°， ∴BD=2AD=6， 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质． 8. 如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3)，则不等式2x<ax+4的解集为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把点A的坐标代入y=2x，即可求得m的值，由图象可得解集． 【详解】解：将A（m，3）代入中， 解得， 由图象可知在A点左边的区域满足要求不等式， 即． 故选A． 【点睛】本题考查一次函数与不等式，掌握它们的关系并会正确识图是解题的关键． 9. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（　　）． A. 60° B. 75° C. 85° D. 90° 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB=90°， 根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°． ∴在Rt△ABF中，∠B=90°-∠BAD=25°， ∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°， 即∠BAC的度数为85°． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． 10. 如图，在等腰和等腰，，，为的中点，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取AB的中点G，接DG，CG，过C作于点H，根据三角形中位线的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：取AB得中点G，连接DG，CG，过点C作交AB延长线与H． ∵点D是AE的中点，点G是AB的中点， ∴AD = ED，AG=BG， ∴DG是的中位线， ∴DG=BE， ∵AB=BC=BE=2， ∴DG=1，BG=1， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴HG= BG +BH=2， 在中， ， ∵， ∴， ∴当且仅当D、G、C三点共线时，线段CD取最小值为． 故选：B． 【点睛】此题考查勾股定理，关解题的键是根据三角形的中位线定理和勾股定理解答． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个分式可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，分式的值不为及分式有意义的条件，根据题意写出符合条件的最简分式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个最简分式可以是， 故答案为：． 12. 因式分解：=_______________. 【答案】a(a+b)(a-b). 【解析】 【详解】分析：本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式. 解析：原式= a(a+b)(a-b). 故答案为a(a+b)(a-b). 13. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是__________． 【答案】a＞﹣1 【解析】 【分析】由不等式的基本性质2：不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变．可判断a+1的符号，再求a的取值范围． 【详解】解：由不等式（a+1）x＞a+1，解集为x＞1， 可知，不等号方向没有改变， 由不等式性质2，得a+1＞0， 解得a＞﹣1， 故答案为a＞﹣1． 【点睛】本题考查了不等式的解集．关键是通过观察不等式的解集，由不等式性质2，判断x的系数的符号． 14. 如图，的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质得出，，，结合平角的定义即可解答； 【详解】解：如图，设交于点，连接， 则，，， ∴， 又，， ∴． 15. 如图，与都是等边三角形，连接，，，．若将绕点顺时针旋转，当点，，在同一条直线上时，线段的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】由等边三角形以及旋转的性质可证得，可得，由顺时针旋转到共线，但没有说明旋转角度，所以分两种位置情况：情况1：点在之间（顺序） 此时，情况2：点在之间（顺序） 此时，这两种情况用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵与都是等边三角形， ∴ ，，， ∴ ∴ ， ∴， ∴，  当共线时，分两种位置情况： 情况1：点在之间（顺序） 此时， 过作于， 在中，， ∴ ，， ， 由勾股定理：， 得， 情况2：点在之间（顺序） 此时， 过作，交延长线于，如图， 同理得，​​，​， 由勾股定理： ， 综上，线段的长为或． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 16. 化简： （1） （2） 【答案】（1）a+1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用同分母分式的加减法计算，再约分即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到最简结果． 【小问1详解】 解： =a+1； 【小问2详解】 解： =． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 四、解答题：本题共7小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】1＜x≤4，数轴见解析 【解析】 【详解】解：， 由①得：x＞1， 由②得：x≤4． ∴这个不等式的解集是1＜x≤4．在数轴上表示为： 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时≥，≤要用实心圆点表示；＜，＞要用空心圆点表示． 18. 如图，某市的两条道路，经过旅游景点和景点．为了促进当地旅游发展，要在区的一块平地上修建一个度假村，按照设计要求，使度假村到景点和景点的距离相等，且到两条道路和的距离也相等． （1）运用直尺和圆规作图，作出修建的度假村的位置（保留作图痕迹，不写作法） （2）根据以上信息，在所作的图形中连接，，求证：． 【答案】（1）如图所示，点为所作的点： （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图：（1）点为的垂直平分线和的角平分线的交点；（2）过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交于点，先证明，得到即可证明． 【小问1详解】 以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，用尺子做辅助线连接弧的交点，可以得到的垂直平分线．再以为圆心，以为半径画圆弧，为圆心，以为半径画圆弧，连接弧的交点与点，所得到的就是的角平分线．点为的垂直平分线和的角平分线的交点． 【小问2详解】 过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交于点 则 度假村到景点和景点的距离相等，且到两条道路和的距离也相等 19. 在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： （1）如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形； （2）画出三角形关于点D成中心对称的三角形； （3）三角形与三角形_____（填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）是，画图见详解 【解析】 【分析】本题主要考查作图-旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （1）由题意得出，需将点与点先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，据此可得； （2）分别作出三顶点分别关于点的对称点，再首尾顺次连接可得； （3）连接两组对应点即可得． 【小问1详解】 如图所示，即为所求． 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 如图所示，与是关于点成中心对称， 故答案为：是． 20. 如图，在平行四边形中，，分别是，上的点，且，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，，求证：． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， 在和中， ，即 ∴四边形是平行四边形； （2）， ． 平分， ． ． ． 四边形是平行四边形， ，． ． ，， ． ． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，进而证明得出，根据，得出，即可得证； （2）根据角平分线的定义结合平行线的性质，得出则，进而根据勾股定理的逆定理证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 【发现】一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，且，若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，则这两个数的平方差是的倍数． 【解决问题】 （1）用含的代数式表示：原来的两位数为__________，新的两位数为__________； （2）使用因式分解的方法说明【发现】中的结论正确． 【答案】（1）； （2）过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据十位上的数字为，且，则个位上的数字为，再根据两位数的表示方法列出代数式即可得出答案； （2）先计算这两个数的平方差，再进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，且， ∴， ∴原来的两位数为：， 将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数， 则新的两位数为：， 故答案为：；； 【小问2详解】 根据题意，得： ， ∵是整数， ∴能被整除，即【发现】中的结论正确． 【点睛】本题考查整式的加减运算，因式分解的应用，平方差公式，列代数式．会用代数式表示出新数和原数是解题的关键． 22. “节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求： （1）A型自行车去年每辆售价多少元； （2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多． 【答案】（1）2000元；（2）A型车20辆，B型车40辆 【解析】 【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可； （2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值． 【详解】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得： ， 解得：x=2000． 经检验，x=2000是原方程的根． 答：去年A型车每辆售价为2000元； （2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60-a）辆，获利y元，由题意，得 y=（2000-1500-200）a+（2400-1800）（60-a）， y=－300a+36000． ∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍， ∴60-a≤2a， ∴a≥20． ∵y=－300a+36000． ∴k=－300＜0， ∴y随a的增大而减小． ∴a=20时，y最大=30000元． ∴B型车的数量为：60-20=40辆． ∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程． 23. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ． （2）基本运用 请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点且，求证： （3）能力提升 如图③，在中，，，，O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用旋转的性质，易得为等边三角形，得到，勾股定理逆定理得到，进而推出的度数，即可得解； （2）把绕点A逆时针旋转得到，证明，可得，即可得证； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，易得，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：如图，点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，将绕顶点A逆时针旋转到，连接， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． 由勾股定理得，， 即． 【小问3详解】 解：如图，将绕点B顺时针旋转至处，连接，   ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵绕点B顺时针旋转至， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴四点共线， 在中，由勾股定理得：． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $