精品解析：河南省郑州市实验中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年下期期末考试 年级：八年级 科目：数学 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 上述三种情形都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是的等腰三角形是等边三角形，即可作出判断． 【详解】解：因为三角形是轴对称图形， 则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是的等腰三角形是等边三角形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握判定方法，此题比较简单，易于掌握． 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A.不是中心对称图形，不符合题意； B.是中心对称图形，符合题意； C.不是中心对称图形，不符合题意； D.不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 下列由左到右的变形中属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据因式分解进行排除选项． 【详解】解：A、，不属于因式分解，故不符合题意； B、，属于因式分解，故符合题意； C、，不属于因式分解，故不符合题意； D、，不属于因式分解，故不符合题意； 故选B． 4. 若关于x的不等式的解集为，则a的值（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．首先把a作为已知数求出不等式的解集，然后根据不等式的解集为即可得到关于a的方程，解方程即可得答案． 【详解】解： ， ， 关于x的不等式的解集为， ， 解得． 故选：A． 5. 若关于x的分式为有增根，则m的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义．分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解： 有增根， 最简公分母，解得，即增根为3， 方程两边同乘，得，即， 将代入得，． 故选：C． 6. 如图，在中，，点D在边上，连接，且平分，点E是边的中点，连接，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一性质，可得，在中，由于点E是边的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得解． 【详解】解： ，平分，根据等腰三角形三线合一， ，即， 在中， 点E是边的中点， ． 故选：B． 7. 能被下列哪个数整除？（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数的整除、有理数的乘方的运算，先计算出，即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 能被整除， 故选：C． 8. 如图1，中，，为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）． 取BD中点O，作， 作于N，于M 作AN，CM分别平分，，交BD于点N，M A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 【答案】A 【解析】 【分析】方案甲，连接AC，由平行四边形的性质得OB＝OD，OA＝OC，则NO＝OM，得四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确； 方案乙：证△ABN≌△CDM（AAS），得AN＝CM，再由ANCM，得四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确； 方案丙：证△ABN≌△CDM（ASA），得AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，则∠ANM＝∠CMN，证出ANCM，得四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确． 【详解】解：方案甲中，连接AC，如图1所示： ∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵BN＝NO，OM＝MD， ∴NO＝OB，OM＝OD， ∴NO＝OM， ∴四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确； 方案乙中：如图2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，ABCD， ∴∠ABN＝∠CDM， ∵AN⊥BD，CM⊥BD， ∴∠ANM＝∠CMN＝90°，∠ANB＝∠CMD＝90° ∴ANCM， 在△ABN和△CDM中， ∴△ABN≌△CDM（AAS）， ∴AN＝CM， 又∵ANCM， ∴四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确； 方案丙中：如图3， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，ABCD， ∴∠ABN＝∠CDM， ∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD， ∴∠BAN＝∠BAD＝∠BCD＝∠DCM， 在△ABN和△CDM中， ∴△ABN≌△CDM（ASA）， ∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD， ∴∠ANM＝∠CMN， ∴ANCM， ∴四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 9. 若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，可得一元二次方程中，满足该方程，进而即可求解． 【详解】解：设，则一元二次方程可化为， ， 关于x的一元二次方程有一根为， 一元二次方程有一个根为， 则，即， 一元二次方程必有一根为2025． 故选：B． 10. 在中，，，点D为边上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．若直角边的长为2，则线段长度的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了图形旋转的性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，角直角三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．在上取，使得，连接，证明，得到，而当时，取得最小值，此时取得最小值，然后利用角直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：在上取，使得，连接，如图所示， ，，， ，， 线段绕点A顺时针旋转得到线段， ，， ，即， ， ， ， 当时，取得最小值， 当时，取得最小值． ， ， ， 当时，， 线段长度的最小值为1． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 与的差为负数，用不等式表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出不等式，与的差是，差是负数，那么所得结果小于．解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式． 【详解】解：与的差是：， ∵差是负数， ∴． 故答案为：． 12. 如图所示，第四套人民币中菊花1角硬币．则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为______． 【答案】＃＃40度 【解析】 【分析】利用外角和除以外角的个数即可得到答案． 【详解】解：正九边形的一个外角的度数为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了求正多边形每一个外角的度数，正确理解多边形外角和为，及正多边形的外角个数与边的条数相同，所有外角均相等是解题的关键． 13. 若关于 的一元二次方程 配方后得到方程 ，则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法，代数式求值，先对方程配方得，再跟方程对照得到，，得到，，代入算式计算即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：方程移项得，， 配方得，， 即， ∵一元二次方程 配方后得到方程 ， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 _______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．根据平移的性质得到再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：由平移的性质可知： 则 ∴阴影部分的周长为：， 故答案为：11． 15. 在矩形中，，，对角线交于点O，点E是边上的一个动点（异于A，D两点），连接，若为直角三角形，则的长为________． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质，利用分类讨论思想是解题的关键．若为直角三角形，当，利用等腰三角形的三线合一性质即可得解；当时， 利用矩形的性质，三角形的中位线性质可得，，，利用勾股定理求得，设，利用勾股定理得，在中，利用勾股定理得，即，解方程即可求解． 【详解】解：（1）当为的中点时，如图， 四边形为矩形， ，又为的中点， ，即， 为直角三角形，此时． （2）如图，为中点，连接，当在图中位置时，为直角三角形，且， 四边形为矩形，，，为中点， ，，，， ， ， ，为中点， ， 设，则利用勾股定理得：， 在中，，即， 解得， ． 综上，若为直角三角形，则的长为2或． 故答案为：2或． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）化简：； （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），图见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，一元一次不等式组的解法以及数轴表示不等式解集，熟练掌握分式的混合运算法则，一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）先对括号内的分式进行通分，将除法转化为乘法，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式后，进行约分即可求解； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，表示在数轴上即可． 【详解】解：（1） ． （2）由得， ， 由得， ， 解得， 不等式组的解集为． 在数轴上表示为： 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、、． （1）将平移，使得点A的对应点的坐标为，在图的坐标系中画出平移后的； （2）将绕点逆时针旋转90°，画出旋转后的并直接写出、的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析； （2）图见解析，的坐标，的坐标； （3）的面积为． 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换、旋转、求三角形的面积． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，的坐标，的坐标； ； 【小问3详解】 解：的面积． 18. 【发现】一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，且，若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，则这两个数的平方差是的倍数． 【解决问题】 （1）用含的代数式表示：原来的两位数为__________，新的两位数为__________； （2）使用因式分解的方法说明【发现】中的结论正确． 【答案】（1）； （2）过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据十位上的数字为，且，则个位上的数字为，再根据两位数的表示方法列出代数式即可得出答案； （2）先计算这两个数的平方差，再进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，且， ∴， ∴原来的两位数为：， 将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数， 则新的两位数为：， 故答案为：；； 【小问2详解】 根据题意，得： ， ∵是整数， ∴能被整除，即【发现】中的结论正确． 【点睛】本题考查整式的加减运算，因式分解的应用，平方差公式，列代数式．会用代数式表示出新数和原数是解题的关键． 19. 如图，中，，是的中点，，，垂足分别为E，F ，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）填空:①当的度数为 时，为等边三角形； ②当的度数为 时，为直角三角形． 【答案】（1）见详解 （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键； （1）首先根据等腰三角形的性质得到，，然后证明出，得到，即可证明出为等腰三角形； （2）由题意易得，则有①当为等边三角形，则有，然后可得，进而问题可求解；②当为直角三角形，则有，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 证明：，是的中点， ，， ，， ， 在和中， ， ∴， ， ∴为等腰三角形． 【小问2详解】 解：∵， ∴； ①∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为； ②∵为直角三角形，且为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 20. 2024年是中国农历甲辰龙年．元旦前，某商场进货员预测一种“吉祥龙”公仔能畅销市场，就用6000元购进一批这种“吉祥龙”公仔，面市后果然供不应求，商场又用12800元购进了第二批这种“吉祥龙”公仔，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了4元． （1）该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”公仔每件的进价分别是多少元？ （2）若两批“吉祥龙”公仔按相同的标价销售，最后的50件“吉祥龙”公仔按标价的八折优惠售出，且在整个销售过程中需要支出1300元各项费用，要使两批“吉祥龙”公仔全部售完后获利不低于6000元（不考虑其他因素），那么每件“吉祥龙”公仔的标价至少是多少元？ 【答案】（1）该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”公仔每件的进价分别是60元、64元 （2）每件“吉祥龙”公仔的标价至少是90元 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程解决实际问题，列不等式解决实际问题，准确理解题意，找准数量关系是解题的关键． （1）设该商场购进第一批每件的进价为x元，第二批“吉祥龙”挂件每件的进价为元，根据“所购数量是第一批购进量的2倍”列分式方程求解检验即可； （2）设每件“吉祥龙”挂件的标价是a元，根据“两批“吉祥龙”挂件全部售完后获利不低于6000（需要减去支出1300元各项费用），且最后的50件“吉祥龙”挂件按八折优惠售出”列不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是x元/件，则第二批“吉祥龙”挂件的进价是元， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元/件）． 答：该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是60元/件，第二批“吉祥龙”挂件的进价是64元； 【小问2详解】 设“吉祥龙”公仔每件的标价是a元． 由题意得： 解得： ∴“吉祥龙”公仔标价至少是90元 答：每件“吉祥龙”公仔的标价至少是90元． 21. 如图，，点射线上，且满足， （1）尺规作图：作的平分线，交射线于点；（保留作图痕迹，不要求写出具体做法） （2）连接，判断四边形的形状，并说明理由； （3）已知于点，连接交于点，连接．若，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）四边形为菱形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定及性质、作角平分线、锐角三角函数： （1）以点为圆心，以适当长度为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧在内部交于一点，画射线，射线即为的平分线，射线与射线的交点即为点； （2）证得，得到，进而得到，可证得四边形为平行四边形，结合，即可求得答案； （3）可求得，，可知． 【小问1详解】 以点为圆心，以适当长度为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧在内部交于一点，画射线，射线即为的平分线，射线与射线的交点即为点． 【小问2详解】 四边形为菱形，理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 又， ∴． 又， ∴四边形为平行四边形． 又， ∴四边形为菱形． 【小问3详解】 如图所示． ∵，， ∴为等边三角形． ∴． ∵四边形为菱形， ∴，． ∴． ∵ ∴． 22. 某种中性笔在甲、乙两家文具店的标价都是4元/支，在促销活动期间，两家文具店都进行了优惠活动． 甲文具店：购买不超过20支按原价销售，超过20支，则超出的部分按6折销售； 乙文具店：不论买多少，全部按八折销售． （1）分别写出在甲、乙两家文具店购买这种中性笔所付总费用、（元）与购买支数之间的函数表达式； （2）请你通过计算分析说明促销活动期间在哪家文具店购买划算？ 【答案】（1）； （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意得出等量关系即可求解； （2）根据（1）中的函数表达式，分情况讨论，比较大小即可得到最省钱的购买方案． 【小问1详解】 解：甲文具店： ； 乙文具店：． 【小问2详解】 当时，即 解得 ∴当时，在乙文具店购买划算； 当时，即 解得 ∴当时，在两个文具店花费一样多； 当时，即 解得 ∴当时，在甲文具店购买划算． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点放在正方形的对角线上（点不与、重合），其中直角边与交于点，直角边与交于点． （1）发现：如图，当与垂直时，填空：________．（填“”、“”或“”） （2）探究：如图，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请给出证明； （3）拓展：当与不垂直时，以、为邻边构造矩形，连接，请在备用图中画出图形并直接写出的度数． 【答案】（1）= （2）的结论不变，见解析 （3）见解析，或 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得到，平分，又，，得到四边形是矩形，因此，根据角平分线的性质可得； （2）过点E作于点P，作于点Q，由正方形得到，平分，因此四边形是矩形，，进而有，从而，进而证得，得证； （3）分点在点的右侧，和左侧两种情况，过点H作于点J，作，交的延长线于点K，连接，则，由题意可得四边形是正方形，从而，，根据和，得到，从而证得，得到，根据角平分线的判定得到平分，进而即可解答． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，平分， ∵，， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， 又∵平分，， ∴． 【小问2详解】 的结论不变，理由如下： 证明：过点E作于点P，作于点Q， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∴； 【小问3详解】 解：①当点在点的右下方时，如图，过点H作于点J，作，交的延长线于点K，连接， 则， ∵由（2）有，且四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵在四边形中，， 即， ∴， ∵， ∴ ∴在和中 ， ∴， ∴， ∵， ， ∴平分， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． ②当点在点的左下方时，如图，过点H作于点J，作于点K， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， 同法可得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年下期期末考试 年级：八年级 科目：数学 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 上述三种情形都有可能 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列由左到右的变形中属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的不等式的解集为，则a的值（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若关于x的分式为有增根，则m的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 如图，在中，，点D在边上，连接，且平分，点E是边的中点，连接，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 能被下列哪个数整除？（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 8. 如图1，中，，为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）． 取BD中点O，作， 作于N，于M 作AN，CM分别平分，，交BD于点N，M A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 9. 若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 10. 在中，，，点D为边上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．若直角边的长为2，则线段长度的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 与的差为负数，用不等式表示为__________． 12. 如图所示，第四套人民币中菊花1角硬币．则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为______． 13. 若关于 的一元二次方程 配方后得到方程 ，则 的值为______． 14. 如图，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 _______． 15. 在矩形中，，，对角线交于点O，点E是边上的一个动点（异于A，D两点），连接，若为直角三角形，则的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）化简：； （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、、． （1）将平移，使得点A的对应点的坐标为，在图的坐标系中画出平移后的； （2）将绕点逆时针旋转90°，画出旋转后的并直接写出、的坐标； （3）求的面积． 18. 【发现】一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，且，若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，则这两个数的平方差是的倍数． 【解决问题】 （1）用含的代数式表示：原来的两位数为__________，新的两位数为__________； （2）使用因式分解的方法说明【发现】中的结论正确． 19. 如图，中，，是的中点，，，垂足分别为E，F ，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）填空:①当的度数为 时，为等边三角形； ②当的度数为 时，为直角三角形． 20. 2024年是中国农历甲辰龙年．元旦前，某商场进货员预测一种“吉祥龙”公仔能畅销市场，就用6000元购进一批这种“吉祥龙”公仔，面市后果然供不应求，商场又用12800元购进了第二批这种“吉祥龙”公仔，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了4元． （1）该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”公仔每件的进价分别是多少元？ （2）若两批“吉祥龙”公仔按相同的标价销售，最后的50件“吉祥龙”公仔按标价的八折优惠售出，且在整个销售过程中需要支出1300元各项费用，要使两批“吉祥龙”公仔全部售完后获利不低于6000元（不考虑其他因素），那么每件“吉祥龙”公仔的标价至少是多少元？ 21. 如图，，点射线上，且满足， （1）尺规作图：作的平分线，交射线于点；（保留作图痕迹，不要求写出具体做法） （2）连接，判断四边形的形状，并说明理由； （3）已知于点，连接交于点，连接．若，请直接写出的长． 22. 某种中性笔在甲、乙两家文具店的标价都是4元/支，在促销活动期间，两家文具店都进行了优惠活动． 甲文具店：购买不超过20支按原价销售，超过20支，则超出的部分按6折销售； 乙文具店：不论买多少，全部按八折销售． （1）分别写出在甲、乙两家文具店购买这种中性笔所付总费用、（元）与购买支数之间的函数表达式； （2）请你通过计算分析说明促销活动期间在哪家文具店购买划算？ 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点放在正方形的对角线上（点不与、重合），其中直角边与交于点，直角边与交于点． （1）发现：如图，当与垂直时，填空：________．（填“”、“”或“”） （2）探究：如图，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请给出证明； （3）拓展：当与不垂直时，以、为邻边构造矩形，连接，请在备用图中画出图形并直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $