第四单元 比和比例 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学苏教版六年级上册（新教材）

本讲义系统梳理比和比例核心知识，从比的意义与各部分名称切入，通过比的基本性质学习化简比，进而理解比例的意义与基本性质，最终掌握按比例分配的实际应用，构建从概念到性质再到应用的完整学习支架。 资料特色为知识梳理逻辑清晰，考点讲练含典例与变式训练，综合训练题型丰富。亮点是注重概念辨析（如比与分数、除法的联系区别），通过分配课外书、长方形面积计算等实例培养学生模型意识和应用意识，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

第四单元 比和比例 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、比的意义与各部分名称 1 二、比的基本性质与化简比 2 三、比例的意义与基本性质 2 四、按比例分配问题 3 考点讲练 3 考点一：比的意义、求比值与各部分关系 4 考点二：比的基本性质与化简比 5 考点三：比例的意义、基本性质与解比例 7 考点四：按比例分配的实际应用 9 综合训练 11 知识梳理 一、比的意义与各部分名称 1. 比的定义 两个数相除又叫作两个数的比，用来表示两个数量之间的倍比关系。例如：美术小组有男生 5 人，女生 4 人，男生人数和女生人数的关系可以表示为，也可以说成男生人数和女生人数的比是。 2. 比的各部分名称 在两个数的比中，比号前面的数叫作比的前项，比号后面的数叫作比的后项，前项除以后项所得的商叫作比值。 示例： 其中 3 是前项，“:” 是比号，2 是后项，1.5 是比值。 3. 比值的特征 比值是一个数值，可以是整数、分数，也可以是小数；比值只表示倍比关系，不带单位名称。 4. 比与分数、除法的联系与区别 （1）联系（对应关系，） 比 前项 比号（:） 后项 比值 除法 被除数 除号（÷） 除数 商 分数 分子 分数线（—） 分母 分数值 用字母表示： （2）区别 比是一种数量关系，表示两个量的倍比； 除法是一种运算，是计算过程； 分数是一种数，是数值的表达形式。 注意：比的后项、除法的除数、分数的分母都不能为 0。体育比赛中的 “2:0” 是计分形式，不是数学意义上的比。 二、比的基本性质与化简比 1. 比的基本性质 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变，这是比的基本性质。它是化简比的核心依据，与分数的基本性质、商不变的规律本质一致。 2. 最简整数比 比的前项和后项都是整数，并且只有公因数 1（即前项和后项互质），这样的比叫作最简整数比。 3. 化简比的常用方法 整数比化简：前项和后项同时除以它们的最大公因数； 分数比化简：前项和后项同时乘两个分母的最小公倍数，转化为整数比后再化简； 小数比化简：前项和后项同时乘 10、100、1000…… 把小数比转化为整数比，再按整数比的方法化简。 4. 化简比与求比值的区别 化简比：结果是一个比，保留前项、比号、后项的形式，最终必须是最简整数比； 求比值：结果是一个数（整数、分数、小数均可），是一个具体的数值。 三、比例的意义与基本性质 1. 比例的意义 表示两个比相等的式子叫作比例。判断两个比能否组成比例，关键看它们的比值是否相等。 例如：的比值是，的比值是，比值相等，因此可以组成比例。 2. 比例的各部分名称 组成比例的四个数，叫作比例的项；两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 示例：在比例中，1.2 和 5 是外项，2 和 3 是内项。 3. 比例的基本性质 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这是比例的基本性质。 用字母表示：如果（不为 0），那么。 4. 解比例 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中的未知项，求比例中的未知项叫作解比例。 四、按比例分配问题 1. 问题含义 把一个总数量按照一定的比来分配，分别求出各部分的数量，这类问题叫作按比例分配问题，是比在实际生活中的核心应用。 2. 两种基础解题方法 分数法（分率思路） ① 先根据比求出总份数； ② 分别求出各部分量占总数量的几分之几； ③ 用总数量乘各部分对应的分率，得到各部分的量。 归一法（每份思路） ① 先根据比求出总份数； ② 用总数量除以总份数，求出 1 份对应的数量； ③ 用 1 份的量分别乘各部分的份数，得到各部分的量。 3. 常见拓展题型 已知其中一部分的量和比，求总数量或另一部分的量； 已知两个部分的差量和比，求总数量或各部分的量； 连比分配：三个及以上量的比分配，方法与两量分配一致。 考点讲练 考点一：比的意义、求比值与各部分关系 【典例精讲】 求下面各比的比值。 （1） （2） （3） 【分析】 求比值的方法是用比的前项除以后项，得到的商就是比值。整数比、分数比、小数比都遵循这个规则，计算时注意结果化成最简形式。 【详解】 （1）（或） （2） （3） 【答案】（1）（或）；（2）；（3） 【变式训练 1】 填空：（填小数） 【分析】 本题考查比、除法、分数三者的对应关系。以为突破口，根据比与除法、分数的联系，结合商不变规律、分数的基本性质依次推算。 【详解】 ，被除数从 4 变成 8，乘了 2，除数 5 也要乘 2，，所以第一个括号填 10； ，分母从 5 变成 20，乘了 4，分子 4 也要乘 4，，所以第二个括号填 16； ，所以小数是 0.8。 【答案】10；16；0.8 【变式训练 2】 判断：一场篮球比赛的比分是 2:0，说明比的后项可以是 0。（ ） 【分析】 本题考查数学中 “比” 的意义与体育比赛计分的区别，数学中的比表示两个数相除，后项相当于除数，不能为 0；比赛中的比分只是计分形式，不表示相除关系。 【详解】 数学中的比表示两个数相除的关系，比的后项相当于除法中的除数，除数不能为 0，因此比的后项也不能为 0。 篮球比赛的 “2:0” 是记录双方得分的形式，不表示两个数相除，和数学中的比意义不同。因此题目说法错误。 【答案】× 【变式训练 3】 甲数是乙数的，甲数和乙数的比是多少？乙数和甲乙两数和的比是多少？ 【分析】 根据分数与比的关系，甲数是乙数的，可以把乙数看作 7 份，甲数看作 3 份，再对应写出比即可。 【详解】 甲数是乙数的，把乙数平均分成 7 份，甲数占其中的 3 份。 甲数：乙数 = 3:7 甲乙两数的和：份，乙数：两数和 = 7:10 【答案】甲数和乙数的比是 3:7；乙数和两数和的比是 7:10 考点二：比的基本性质与化简比 【典例精讲】 把下面各比化成最简整数比。 （1） （2） （3） 【分析】 根据比的基本性质化简：整数比除以最大公因数；分数比乘分母最小公倍数转整数比再化简；小数比乘整十整百数转整数比再化简。 【详解】 （1）整数比化简：24 和 36 的最大公因数是 12 （2）分数比化简：分母 3 和 9 的最小公倍数是 9 （3）小数比化简：同时乘 100 转化为整数比 【答案】（1）；（2）；（3） 【变式训练 1】 化简比： 【分析】 可以把小数化成分数，也可以把分数化成小数，统一形式后再化简，也可以直接用前项除以后项得到比值，再转化为最简整数比。 【详解】 方法一：统一为小数 方法二：直接计算 【答案】 【变式训练 2】 判断：把的前项加上 6，要使比值不变，后项也应该加上 6。（ ） 【分析】 根据比的基本性质，前项和后项要同时乘或除以相同的数（0 除外），比值才不变，不是同时加相同的数。先算出前项变化后扩大的倍数，再推算后项的变化。 【详解】 前项加上 6 后变成： ，相当于前项乘 3； 要使比值不变，后项也应该乘 3： 后项应该加上：，不是 6。因此题目说法错误。 【答案】× 【变式训练 3】 两个正方形的边长分别是 3 厘米和 5 厘米，它们的边长比是多少？周长比是多少？面积比是多少？ 【分析】 先直接写出边长比；再根据正方形周长 = 边长 ×4、面积 = 边长 × 边长，分别算出周长和面积，再写比并化简，也可以根据比的基本性质直接判断周长比和面积比的规律。 【详解】 边长比： 周长分别是：厘米，厘米 周长比： 面积分别是：平方厘米，平方厘米 面积比： 规律：正方形的周长比等于边长比，面积比等于边长平方的比。 【答案】边长比 3:5；周长比 3:5；面积比 9:25 考点三：比例的意义、基本性质与解比例 【典例精讲】 下面每组中的两个比，能组成比例的在括号里画 “√”，不能的画 “×”。 （1）和 （ ） （2）和 （ ） （3）和 （ ） 【分析】 判断两个比能否组成比例，方法是分别求出两个比的比值，比值相等就能组成比例，也可以用比例的基本性质验证外项积是否等于内项积。 【详解】 （1），，比值相等，能组成比例； （2），，比值相等，能组成比例； （3），，比值不相等，不能组成比例。 【答案】（1）√；（2）√；（3）× 【变式训练 1】 在比例中，两个内项分别是（ ）和（ ），两个外项的积是（ ），两个内项的积是（ ）。 【分析】 根据比例的各部分名称，中间的两项是内项，两端的是外项；再分别计算外项积和内项积，验证比例的基本性质。 【详解】 比例中，中间的 4 和 9 是内项，两端的 3 和 12 是外项。 外项积： 内项积： 【答案】4；9；36；36 【变式训练 2】 解比例： 【分析】 根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，把比例转化为方程，再解方程求出未知数 x。 【详解】 根据比例的基本性质： 【答案】 【变式训练 3】 如果（都不为 0），那么（ ）:（ ）。 【分析】 根据比例的基本性质，把等式改写成比例，让相乘的两个数分别作比例的外项和内项：a 和 5 作外项，b 和 6 就作内项。 【详解】 因为，根据比例的基本性质，外项积等于内项积，把 a、5 作为外项，b、6 作为内项，可得： 【答案】6；5 考点四：按比例分配的实际应用 【典例精讲】 学校把 300 本课外书按分给六年级和五年级，两个年级各分得多少本？ 【分析】 这是基础的按比例分配问题，总数量是 300 本，分配比是 3:2，可以用分数法或归一法解答。 【详解】 方法一：分数法 总份数： 六年级占总数的：（本） 五年级占总数的：（本） 方法二：归一法 总份数： 每份的数量：（本） 六年级：（本） 五年级：（本） 【答案】六年级分得 180 本，五年级分得 120 本。 【变式训练 1】 水果店运来苹果和梨的质量比是，已知苹果有 150 千克，梨有多少千克？ 【分析】 已知其中一部分的量和比，求另一部分，可以先求每份的量，再乘梨对应的份数；也可以用分数关系，梨的质量是苹果的。 【详解】 方法一：归一法 苹果对应 5 份，重 150 千克，每份重量：（千克） 梨对应 3 份：（千克） 方法二：分数法 梨的质量是苹果的：（千克） 【答案】梨有 90 千克。 【变式训练 2】 一个长方形的周长是 40 厘米，长和宽的比是，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【分析】 注意周长对应的是 2 条长和 2 条宽的和，先除以 2 得到一组长与宽的和，再按比例分配求出长和宽，最后计算面积。 【详解】 第一步：求一组长与宽的和 （厘米） 第二步：按比例分配求长和宽 总份数： 长：（厘米） 宽：（厘米） 第三步：计算面积 （平方厘米） 【答案】长方形的面积是 96 平方厘米。 【变式训练 3】 甲、乙、丙三个数的和是 140，甲、乙两数的比是，乙、丙两数的比是，这三个数分别是多少？ 【分析】 这是连比分配问题，两个比中都有乙数，先统一乙数的份数，求出甲、乙、丙三个数的连比，再按比例分配。 【详解】 第一步：统一连比 甲：乙 = 2:3 = 8:12 乙：丙 = 4:5 = 12:15 因此甲：乙: 丙 = 8:12:15 第二步：总份数 第三步：求每份的量 第四步：分别求三个数 甲： 乙： 丙： 【答案】甲数是 32，乙数是 48，丙数是 60。 综合训练 1．在比例m∶5＝∶n 中，它的两个外项不可能是（    ）。 A．0.5和2 B．和 C．8和 D．0.25和 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质，两内项积等于两外项积。比例m∶5＝∶n中，内项积为5×＝1，因此外项m和n的积必须等于1。逐一验证各选项的乘积即可判断。 【详解】A．0.5×2＝1，积等于1，可能是外项，此选项错误； B．×＝1，积等于1，可能是外项，此选项错误； C．8×＝1，积等于1，可能是外项，此选项错误； D．0.25×＝×＝，积不等于1，不可能是外项，此选项正确。 所以在比例m∶5＝∶n 中，它的两个外项不可能是0.25和。 2．已知a∶b＝c∶d，若将b乘3，则下面使比例式不成立的条件是（    ）。 A．a乘3 B．d乘3 C．c除以3 D．d除以3 【答案】D 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 根据比例的基本性质将a∶b＝c∶d改写成ad＝bc，然后将b乘3和各选项中其它数的变化代入原比例式中，变成新的比例式，再改写成两数相乘的形式，找出与ad＝bc不相同的即可。 【详解】由a∶b＝c∶d可得ad＝bc。 A．若将b乘3，a乘3，即3a∶3b＝（3a÷3）∶（3b÷3） ＝a∶b，所以a∶b＝c∶d，此条件使比例式成立； B．若将b乘3，d乘3，比例式变为a∶3b＝c∶3d，根据比例的基本性质可得a×3d＝3b×c，即3ad＝3bc，化简后可得ad＝bc，此条件使比例式成立； C．若将b乘3，c除以3，比例式变为a∶3b＝（c÷3）∶d，根据比例的基本性质可得a×d＝3b×（c÷3），化简后是ad＝bc，此条件使比例式成立； D．若将b乘3，d除以3，比例式变为a∶3b＝c∶（d÷3），根据比例的基本性质可得a×（d÷3）＝3b×c，化简后是ad÷3＝3bc，与ad＝bc不相同，此条件使比例式不成立。 3．为了估计某个鱼池里金鱼的数量，第一次捕了30条，做好标记后全部放回。几天后又捕了80条，发现有6条是上次做过标记的。据此估计，这个鱼池里金鱼的总数约有（    ）条。 A．200 B．400 C．800 D．1000 【答案】B 【分析】设这个鱼池里金鱼的总数约有x条。根据有标记的总数量∶总数＝第二次有标记的数量∶第二次捕到的数量，列比例解决。 【详解】解：设这个鱼池里金鱼的总数约有x条。 30∶x＝6∶80 6x＝30×80 6x＝2400 x＝2400÷6 x＝400 这个鱼池里金鱼的总数约有400条。 4．用四个数组成比例，其中的三个数分别是3、4和6，第四个数不可能是（    ）。 A．9 B．8 C．2 D．4.5 【答案】A 【分析】比例的基本性质：在比例中，两个外项的乘积等于两个内项的乘积。若四个数能组成比例，则一定存在两个数的乘积等于另外两个数的乘积。据此验证每个选项是否正确。 【详解】A．9：分别计算所有两两组合的乘积：3×4＝12，3×6＝18，3×9＝27，4×6＝24，4×9＝36，6×9＝54，不存在相等的两组乘积，无法组成比例，因此9是不可能的第四个数。 B．8：计算得3×8＝24，4×6＝24，两组乘积相等，可组成比例，因此8是可能的第四个数。 C．2：计算得3×4＝12，2×6＝12，两组乘积相等，可组成比例，因此2是可能的第四个数。 D．4.5，计算得3×6＝18，4×4.5＝18，两组乘积相等，可组成比例，因此4.5是可能的第四个数。 因此，第四个数不可能是9。 5．如图是一个长方形游泳池，在四个角上分别画出四个休闲区（图中涂色部分），右下角休闲区的面积为（    ）平方米。 A． B．720 C．1000 D．2000 【答案】D 【分析】同一行两个涂色区域宽度相同，面积的对应数值之比等于长的数值之比；同一列两个涂色区域长度相同，上下两行的长宽比值保持一致，因此上下两行左右两块涂色区域的面积比值相等，据此设未知数列式计算右下角面积。 【详解】解：设右下角休闲区的面积为x平方米。 900∶1500＝1200∶x 900x＝1500×1200 900x＝1800000 x＝1800000÷900 x＝2000 6．如图，平行四边形的面积是40cm2。涂色部分的面积是( )cm2，甲、丙两个三角形的面积比是( )。 【答案】 8 5∶3/ 【分析】观察图形可知，甲、乙、丙三个三角形与平行四边形等高；已知平行四边形的底是（4＋6）cm，面积是40cm2，根据平行四边形的高＝面积÷底，求出高； 涂色部分是乙三角形，乙的底是4cm，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出涂色部分的面积； 根据三角形的面积公式可知，两个等高三角形的面积比等于它们的底边长之比；甲三角形的底是（4＋6）cm，丙三角形的底是6cm，根据比的意义得出甲、丙的面积比，并化简比。 【详解】平行四边形的底：4＋6＝10（cm） 平行四边形的高：40÷10＝4（cm） 涂色部分的面积是： 4×4÷2 ＝16÷2 ＝8（cm2） 甲的面积∶丙的面积＝10∶6＝（10÷2）∶（6÷2）＝5∶3 7．18的因数共有( )个；选择其中4个数组成一个比例，这个比例可能是( )。 【答案】 6 2∶3＝6∶9 【分析】通过列举所有两个的自然数（0除外）的乘积是18，再统计18的因数的个数，再利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”将两组乘积是18的因数改写成比例即可。 【详解】1×18＝18 2×9＝18 3×6＝18 所以18的因数有：1、2、3、6、9、18，一共有6个。 组成比例可以是：2∶3＝6∶9（答案不唯一） 8．一个比例的两个内项互为倒数，其中一个外项是最小的合数，另一个外项是( )，写出这样的一个比( )。 【答案】 0.25/ 0.25∶0.5＝2∶4 【分析】根据比例的基本性质（外项积＝内项积），代入最小的合数，计算出另一个外项，再写出一个符合要求的比例即可。 【详解】最小的合数是4，内项积是1 另外一个外项＝1÷4＝＝0.25 符合要求的比：0.25∶0.5＝2∶4 9．小林模仿“曹冲称象”来称重。小林站在船上，船下沉0.3cm；换成哥哥站在船上，船下沉0.7cm。小林的体重是35.4千克，哥哥的体重是( )千克。 【答案】82.6 【分析】列比例解答本题，小林的体重∶0.3＝哥哥的体重∶0.7，假设哥哥的体重为x ,然后根据比例的基本性质：两内项的积等于两外项的积，解比例即可。 【详解】解：设哥哥的体重为x千克。 35.4∶0.3＝x∶0.7 0.3x＝0.7×35.4 0.3x＝24.78 0.3x÷0.3＝24.78÷0.3 x＝82.6 所以哥哥的体重为82.6千克。 10．A班人数调到B班后，两班的人数就相等。原来A班人数与B班人数的最简整数比是( )。 【答案】 【分析】把原来A班的人数看作单位“1”，平均分成9份：A班调走也就是1份后，剩下9－1＝8份；此时两班人数相等，说明B班得到1份后也是8份，那么B班原来人数是8－1＝7份；由此可求原来A班人数与B班人数的最简整数比。 【详解】9－1＝8（份） 8－1＝7（份） 原来A班人数：B班人数＝ 11．小芳同学在家尝试自制酸梅汤。经多次试验发现用60毫升的酸梅原汁和140毫升的水配制的酸梅汤口感最佳。她打算给家人配制3600毫升同样口感的酸梅汤，需要酸梅原汁( )毫升。 【答案】1080 【分析】由信息“60毫升的酸梅原汁和140毫升的水配制酸梅汤，口感最佳”可知，酸梅原汁与水的比是一定的，根据此列出方程解答。设需要酸梅原汁x毫升，那么水就有（3600－x）毫升，根据酸梅原汁∶水的比一定列出比例并求解即可。 【详解】解：设需要酸梅原汁x毫升，那么水就有（3600－x）毫升。 x∶（3600－x）＝60∶140 140x＝60×（3600－x） 140x＝216000－60x 140x＋60x＝216000－60x＋60x 200x＝216000 x＝216000÷200 x＝1080 12．你知道吗？当人的下半身与身高的比值为0.6左右时，被称作“黄金比”，身材显得最美。妈妈身高160cm，下半身长94cm，她平时喜欢穿高跟鞋，鞋的最佳高度是_____cm。 【答案】5 【分析】假设鞋的高度为xcm，则总身高为（160＋x）cm，下半身的长度为（94＋x）cm，根据人的下半身与身高的比值为0.6，列出方程解答。 【详解】解：设鞋的高度为xcm，则总身高为（160＋x）cm，下半身的高度为（94＋x）cm， （94＋x）:（160＋x）＝0.6 94＋x＝0.6×（160＋x） 94＋x＝96＋0.6x 94＋x－94－0.6x＝96＋0.6x－94－0.6x x－0.6x＝96－94 0.4x＝2 0.4x÷0.4＝2÷0.4 x＝5 鞋的最佳高度是5cm。 13．笔墨纸砚是中国独有的书画用具，即文房四宝。其中，墨锭的制作过程最为繁杂。李老师根据教程自己制作墨锭，已知30克墨锭能磨出墨液375毫升。如果李老师想磨出1200毫升墨液，那么要制作( )克的墨锭。 【答案】96 【分析】根据题意，墨锭的质量与磨出的墨液体积的比值是一定的，即墨锭质量与墨液体积成正比例关系。设需要制作x克墨锭，根据“墨锭质量与墨液体积的比相等”列出比例式，再根据比例的基本性质解比例即可求出结果。 【详解】解：设需要制作x克墨锭。 30∶375＝x∶1200 375x＝30×1200 375x＝36000 375x÷375＝36000÷375 x＝96 要制作96克墨锭。 14．小明利用木棍做一个平衡支架的实验，在中点位置拴上绳子，然后从中点开始向两边每隔相等距离画上刻度线。他在左右两边各挂上一袋物品，此时木棍正好平衡。已知左边的那袋物品重4千克，那么右边那袋物品重________千克。 【答案】2.4 【分析】左边物品距离支点3格，物品重4千克，右边物品距离支点5格。木棍平衡时，物品的重量和距离支点的格数成反比例关系，左边重量×左边刻度格数＝右边重量×右边刻度格数。设右边那袋物品重x千克，列比例方程求解。 【详解】解：设右边那袋物品重x千克 3×4＝5x 12＝5x 5x÷5＝12÷5 x＝2.4 15．一种变速自行车的3个前齿轮齿数分别是48、36、24，4个后齿轮齿数分别是36、24、16、12。蹬一圈，前后齿轮的齿数分别是_______和_______的组合能使自行车走得最远。 【答案】 48 12 【分析】蹬一圈时，前齿轮齿数与后齿轮齿数之比的比值越大，自行车走得越远。要使自行车走得最远，应选择前齿轮齿数最大、后齿轮齿数最小的组合。 【详解】前齿轮齿数最大是48，后齿轮齿数最小是12，所以前后齿轮的齿数分别是48和12的组合能使自行车走得最远。 16．解方程或解比例。 8.5x－3.5＝6           a＋a＝÷          ∶0.5＝∶3y 【答案】x＝；a＝；y＝ 【分析】（1）根据等式的性质，方程的两边先同时加上3.5，再同时除以8.5，求出方程的解； （2）先计算等式的左边，即a＋a＝a，再根据等式的性质，给方程的两边同时除以，求出方程的解； （3）先根据比例的基本性质（两外项之积等于两内项之积）将比例转化成方程的形式，再根据等式的性质，给方程的两边同时除以，求出方程的解。 【详解】（1）8.5x－3.5＝6 解：8.5x＝6＋3.5 8.5x＝9.5 x＝9.5÷8.5 x＝ x＝ x＝ （2）a＋a＝÷ 解：a＝÷ a＝× a＝ a＝÷ a＝× a＝ （3）∶0.5＝∶3y 解：×3y＝×0.5 y＝× y＝ y＝÷ y＝× y＝ 17．解方程或解比例。 x∶50%＝∶4                            ∶x 【答案】x＝；x＝1.2；x＝0.12 【分析】根据等式的性质，把比例转化为4x＝50%×的形式，再根据等式的性质2，两边同时除以4求解。 先化简，再根据等式的性质2，方程两端同时除以6，算出方程的解。 根据等式的性质，把比例转化为12x＝2.4×6的形式，再根据等式的性质2，两边同时除以12求解。 【详解】∶50%＝∶4 解：4x＝50%× ＝ ＝ ＝ ＝ 解：6＝7.2 6÷6＝7.2÷6 ＝1.2 ∶x 解：12＝2.4×0.6 12＝1.44 ＝1.44÷12 ＝0.12 18．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，在离中点13千米处相遇，甲、乙两车的速度比是2∶3。A、B两地相距多少千米？ 【答案】130千米 【分析】根据题意可知，甲乙两车同时出发相向而行，相遇时所用时间相同，则行驶的路程比等于速度比，即甲乙两车行驶的路程比是2∶3。那么甲行驶的路程占总路程的，乙行驶的路程占总路程的。两车在离中点13千米处相遇，说明速度快的乙车比速度慢的甲车多行驶（13×2）千米，而多行驶的路程占总路程的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，用（13×2）除以，即可求出A、B两地的距离。 【详解】 ＝13×2÷ ＝13×2÷ ＝26÷ ＝26×5 ＝130（千米） 答：A、B两地相距130千米。 19．爸爸泡了一杯糖水，水和糖的用量如图。慧慧想泡一杯一样甜的糖水，她已经倒好了80毫升的水，还需要放入多少克糖？（用比例解答） 【答案】10克 【分析】由题意可知，糖与水的比值不变；设加入毫升水后需加入克糖，则与的比等于与的比，据此列比例式解答。 【详解】解：设加入毫升水后需加入克糖。 答：还需要放入克糖。 20．歼－100E战斗机机身长度为16.91米，高度为5.66米，其作战半径能达到1240千米。为满足军事爱好者的需求，某商家制作了该战斗机的模型，模型制作比例尺为1∶72，这一模型长度约为多少厘米？（结果保留整数） 【答案】23厘米 【分析】图上距离＝实际距离×比例尺，即战斗机模型的长度＝战斗机实际的长度×比例尺。已知战斗机机身长度为16.91米，模型制作比例尺为1∶72，利用公式进行计算。计算前需先统一单位，将16.91米换算为1691厘米，且计算时比例尺需写成分数形式。 【详解】16.91米＝1691厘米 1691×≈23.48≈23（厘米） 答：这一模型长度约为23厘米。 21．你知道黄金比吗？把一条线段分成两部分，较长部分与整体长度之比约为0.618∶1就称为黄金比。当一个人的躯干（脚底至肚脐的长度）与身高的比大致符合黄金比时，常常会给人以一种优美的视觉感受。雕塑设计师李叔叔想按照黄金比设计一座5米高的人物雕塑。那么这个雕塑的躯干部分长多少米？（用比例解） 【答案】1.91米 【分析】根据题意可得，较长部分∶整体长度＝0.618∶1，（脚底至肚脐的长度）即躯干部分∶5＝0.618∶1，设这个躯干的长度为x米，列比例方程求出x的值（依据比例的基本性质解方程），从而确定这个雕塑的躯干部分长度。 【详解】解：设这个雕塑的躯干部分（脚底至肚脐的长度）长度为x米。 x∶5＝0.618∶1 x＝5×0.618 x＝3.09 答：这个雕塑的躯干部分长3.09米。 22．赴九天，问苍穹！这是独属于中国人的宇宙级浪漫。我国载人空间站“天宫”飞行76.8千米仅需10秒，“天宫”内的航天员们大约每1.5时就要经历一次日出与日落。若以这样的速度飞行，“天宫”飞行384千米需要多长时间？（用比例知识解答） 【答案】50秒 【分析】速度＝路程÷时间，分析题目，设“天宫”飞行384千米需要x秒，根据速度不变列出方程76.8∶10＝384∶x，最后解出方程即可。 【详解】解：设“天宫”飞行384千米需要x秒。 76.8∶10＝384∶x 76.8x＝384×10 76.8x＝3840 76.8x÷76.8＝3840÷76.8 x＝50 答：“天宫”飞行384千米需要50秒。 23．我国在大力弘扬传统文化，提倡全民阅读。为了响应这个号召，明理小学开展了“向母校捐书”活动，六（1）班捐的图书本数与六（2）班捐的比是2∶3，已知六（2）班捐了150本图书。六（1）班捐赠图书多少本？ 【答案】100本 【分析】根据六（1）班与六（2）班捐书的本数比是2∶3，可知六（1）班捐书本数相当于2份，六（2）班捐书本数相当于3份。已知六（2）班捐了150本，对应3份，先求出1份的数量，再求六（1）班对应的2份的数量。 【详解】150÷3×2 ＝50×2 ＝100（本） 答：六（1）班捐赠图书100本。 24．云阳月光草坪是位于重庆市云阳县滨江大道东北部的国家级旅游景区，因形似月亮而得名，占地约500亩（核心草坪300余亩），为西南地区最大的人工草坪及长江三峡最大连片草坪公园。每年夏季都要对草坪清理杂草，今年6月原计划18个工人25天完成清理任务。为了赶工期，需要提前10天完成清理，这样需要增加多少个工人？（用比例解） 【答案】12 个 【分析】清理草坪的任务总量一定，工人人数与工作天数的乘积一定，工人人数与工作天数成反比例关系。原计划个工人天完成，实际提前天完成，即实际工作天数为（）天。设实际需要安排个工人，根据反比例关系列方程求出实际需要的总人数，再减去原计划人数即为需要增加的人数。 【详解】解：设这样需要安排个工人。 （个） 答：这样需要增加 12 个工人。 25．中国膳食健康核心是“碳水为主，优质蛋白强化，严控脂肪”。对于小学生一天中碳水化合物、蛋白质、脂肪的摄入比例可参考12∶3∶5，如果小北（12岁男孩）一天摄入的蛋白质和脂肪共880千卡，那么为了让饮食结构合理，他应当摄入多少千卡的碳水化合物？ 【答案】1320千卡 【分析】用蛋白质和脂肪一天摄入量的和除以蛋白质、脂肪一天摄入量占的份数和，求出一份一天摄入的量，再乘碳水化合物一天摄入量占的份数即可。 【详解】880÷（3＋5） ＝880÷8 ＝110（千卡） 110×12＝1320（千卡） 答：他应当摄入1320千卡的碳水化合物。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 比和比例 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、比的意义与各部分名称 1 二、比的基本性质与化简比 2 三、比例的意义与基本性质 3 四、按比例分配问题 3 考点讲练 4 考点一：比的意义、求比值与各部分关系 4 考点二：比的基本性质与化简比 4 考点三：比例的意义、基本性质与解比例 5 考点四：按比例分配的实际应用 6 综合训练 7 知识梳理 一、比的意义与各部分名称 1. 比的定义 两个数相除又叫作两个数的比，用来表示两个数量之间的倍比关系。例如：美术小组有男生 5 人，女生 4 人，男生人数和女生人数的关系可以表示为，也可以说成男生人数和女生人数的比是。 2. 比的各部分名称 在两个数的比中，比号前面的数叫作比的前项，比号后面的数叫作比的后项，前项除以后项所得的商叫作比值。 示例： 其中 3 是前项，“:” 是比号，2 是后项，1.5 是比值。 3. 比值的特征 比值是一个数值，可以是整数、分数，也可以是小数；比值只表示倍比关系，不带单位名称。 4. 比与分数、除法的联系与区别 （1）联系（对应关系，） 比 前项 比号（:） 后项 比值 除法 被除数 除号（÷） 除数 商 分数 分子 分数线（—） 分母 分数值 用字母表示： （2）区别 比是一种数量关系，表示两个量的倍比； 除法是一种运算，是计算过程； 分数是一种数，是数值的表达形式。 注意：比的后项、除法的除数、分数的分母都不能为 0。体育比赛中的 “2:0” 是计分形式，不是数学意义上的比。 二、比的基本性质与化简比 1. 比的基本性质 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变，这是比的基本性质。它是化简比的核心依据，与分数的基本性质、商不变的规律本质一致。 2. 最简整数比 比的前项和后项都是整数，并且只有公因数 1（即前项和后项互质），这样的比叫作最简整数比。 3. 化简比的常用方法 整数比化简：前项和后项同时除以它们的最大公因数； 分数比化简：前项和后项同时乘两个分母的最小公倍数，转化为整数比后再化简； 小数比化简：前项和后项同时乘 10、100、1000…… 把小数比转化为整数比，再按整数比的方法化简。 4. 化简比与求比值的区别 化简比：结果是一个比，保留前项、比号、后项的形式，最终必须是最简整数比； 求比值：结果是一个数（整数、分数、小数均可），是一个具体的数值。 三、比例的意义与基本性质 1. 比例的意义 表示两个比相等的式子叫作比例。判断两个比能否组成比例，关键看它们的比值是否相等。 例如：的比值是，的比值是，比值相等，因此可以组成比例。 2. 比例的各部分名称 组成比例的四个数，叫作比例的项；两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 示例：在比例中，1.2 和 5 是外项，2 和 3 是内项。 3. 比例的基本性质 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这是比例的基本性质。 用字母表示：如果（不为 0），那么。 4. 解比例 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中的未知项，求比例中的未知项叫作解比例。 四、按比例分配问题 1. 问题含义 把一个总数量按照一定的比来分配，分别求出各部分的数量，这类问题叫作按比例分配问题，是比在实际生活中的核心应用。 2. 两种基础解题方法 分数法（分率思路） ① 先根据比求出总份数； ② 分别求出各部分量占总数量的几分之几； ③ 用总数量乘各部分对应的分率，得到各部分的量。 归一法（每份思路） ① 先根据比求出总份数； ② 用总数量除以总份数，求出 1 份对应的数量； ③ 用 1 份的量分别乘各部分的份数，得到各部分的量。 3. 常见拓展题型 已知其中一部分的量和比，求总数量或另一部分的量； 已知两个部分的差量和比，求总数量或各部分的量； 连比分配：三个及以上量的比分配，方法与两量分配一致。 考点讲练 考点一：比的意义、求比值与各部分关系 【典例精讲】 求下面各比的比值。 （1） （2） （3） 【变式训练 1】 填空：（填小数） 【变式训练 2】 判断：一场篮球比赛的比分是 2:0，说明比的后项可以是 0。（ ） 【变式训练 3】 甲数是乙数的，甲数和乙数的比是多少？乙数和甲乙两数和的比是多少？ 考点二：比的基本性质与化简比 【典例精讲】 把下面各比化成最简整数比。 （1） （2） （3） 【变式训练 1】 化简比： 【变式训练 2】 判断：把的前项加上 6，要使比值不变，后项也应该加上 6。（ ） 【变式训练 3】 两个正方形的边长分别是 3 厘米和 5 厘米，它们的边长比是多少？周长比是多少？面积比是多少？ 考点三：比例的意义、基本性质与解比例 【典例精讲】 下面每组中的两个比，能组成比例的在括号里画 “√”，不能的画 “×”。 （1）和 （ ） （2）和 （ ） （3）和 （ ） 【变式训练 1】 在比例中，两个内项分别是（ ）和（ ），两个外项的积是（ ），两个内项的积是（ ）。 【变式训练 2】 解比例： 【变式训练 3】 如果（都不为 0），那么（ ）:（ ）。 考点四：按比例分配的实际应用 【典例精讲】 学校把 300 本课外书按分给六年级和五年级，两个年级各分得多少本？ 【变式训练 1】 水果店运来苹果和梨的质量比是，已知苹果有 150 千克，梨有多少千克？ 【变式训练 2】 一个长方形的周长是 40 厘米，长和宽的比是，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【变式训练 3】 甲、乙、丙三个数的和是 140，甲、乙两数的比是，乙、丙两数的比是，这三个数分别是多少？ 综合训练 1．在比例m∶5＝∶n 中，它的两个外项不可能是（    ）。 A．0.5和2 B．和 C．8和 D．0.25和 2．已知a∶b＝c∶d，若将b乘3，则下面使比例式不成立的条件是（    ）。 A．a乘3 B．d乘3 C．c除以3 D．d除以3 3．为了估计某个鱼池里金鱼的数量，第一次捕了30条，做好标记后全部放回。几天后又捕了80条，发现有6条是上次做过标记的。据此估计，这个鱼池里金鱼的总数约有（    ）条。 A．200 B．400 C．800 D．1000 4．用四个数组成比例，其中的三个数分别是3、4和6，第四个数不可能是（    ）。 A．9 B．8 C．2 D．4.5 5．如图是一个长方形游泳池，在四个角上分别画出四个休闲区（图中涂色部分），右下角休闲区的面积为（    ）平方米。 A． B．720 C．1000 D．2000 6．如图，平行四边形的面积是40cm2。涂色部分的面积是( )cm2，甲、丙两个三角形的面积比是( )。 7．18的因数共有( )个；选择其中4个数组成一个比例，这个比例可能是( )。 8．一个比例的两个内项互为倒数，其中一个外项是最小的合数，另一个外项是( )，写出这样的一个比( )。 9．小林模仿“曹冲称象”来称重。小林站在船上，船下沉0.3cm；换成哥哥站在船上，船下沉0.7cm。小林的体重是35.4千克，哥哥的体重是( )千克。 10．A班人数调到B班后，两班的人数就相等。原来A班人数与B班人数的最简整数比是( )。 11．小芳同学在家尝试自制酸梅汤。经多次试验发现用60毫升的酸梅原汁和140毫升的水配制的酸梅汤口感最佳。她打算给家人配制3600毫升同样口感的酸梅汤，需要酸梅原汁( )毫升。 12．你知道吗？当人的下半身与身高的比值为0.6左右时，被称作“黄金比”，身材显得最美。妈妈身高160cm，下半身长94cm，她平时喜欢穿高跟鞋，鞋的最佳高度是_____cm。 13．笔墨纸砚是中国独有的书画用具，即文房四宝。其中，墨锭的制作过程最为繁杂。李老师根据教程自己制作墨锭，已知30克墨锭能磨出墨液375毫升。如果李老师想磨出1200毫升墨液，那么要制作( )克的墨锭。 14．小明利用木棍做一个平衡支架的实验，在中点位置拴上绳子，然后从中点开始向两边每隔相等距离画上刻度线。他在左右两边各挂上一袋物品，此时木棍正好平衡。已知左边的那袋物品重4千克，那么右边那袋物品重________千克。 15．一种变速自行车的3个前齿轮齿数分别是48、36、24，4个后齿轮齿数分别是36、24、16、12。蹬一圈，前后齿轮的齿数分别是_______和_______的组合能使自行车走得最远。 16．解方程或解比例。 8.5x－3.5＝6           a＋a＝÷          ∶0.5＝∶3y 17．解方程或解比例。 x∶50%＝∶4                            ∶x 18．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，在离中点13千米处相遇，甲、乙两车的速度比是2∶3。A、B两地相距多少千米？ 19．爸爸泡了一杯糖水，水和糖的用量如图。慧慧想泡一杯一样甜的糖水，她已经倒好了80毫升的水，还需要放入多少克糖？（用比例解答） 20．歼－100E战斗机机身长度为16.91米，高度为5.66米，其作战半径能达到1240千米。为满足军事爱好者的需求，某商家制作了该战斗机的模型，模型制作比例尺为1∶72，这一模型长度约为多少厘米？（结果保留整数） 21．你知道黄金比吗？把一条线段分成两部分，较长部分与整体长度之比约为0.618∶1就称为黄金比。当一个人的躯干（脚底至肚脐的长度）与身高的比大致符合黄金比时，常常会给人以一种优美的视觉感受。雕塑设计师李叔叔想按照黄金比设计一座5米高的人物雕塑。那么这个雕塑的躯干部分长多少米？（用比例解） 22．赴九天，问苍穹！这是独属于中国人的宇宙级浪漫。我国载人空间站“天宫”飞行76.8千米仅需10秒，“天宫”内的航天员们大约每1.5时就要经历一次日出与日落。若以这样的速度飞行，“天宫”飞行384千米需要多长时间？（用比例知识解答） 23．我国在大力弘扬传统文化，提倡全民阅读。为了响应这个号召，明理小学开展了“向母校捐书”活动，六（1）班捐的图书本数与六（2）班捐的比是2∶3，已知六（2）班捐了150本图书。六（1）班捐赠图书多少本？ 24．云阳月光草坪是位于重庆市云阳县滨江大道东北部的国家级旅游景区，因形似月亮而得名，占地约500亩（核心草坪300余亩），为西南地区最大的人工草坪及长江三峡最大连片草坪公园。每年夏季都要对草坪清理杂草，今年6月原计划18个工人25天完成清理任务。为了赶工期，需要提前10天完成清理，这样需要增加多少个工人？（用比例解） 25．中国膳食健康核心是“碳水为主，优质蛋白强化，严控脂肪”。对于小学生一天中碳水化合物、蛋白质、脂肪的摄入比例可参考12∶3∶5，如果小北（12岁男孩）一天摄入的蛋白质和脂肪共880千卡，那么为了让饮食结构合理，他应当摄入多少千卡的碳水化合物？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $