精品解析：江苏苏州市2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

初一年级阳光调研试卷 数学 2026．06 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题． 3．考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 下面四个图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，符合题意． 2. 二元一次方程的一个解可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将各选项中x，y的值代入原方程，验证等式左右两边是否相等，相等的即为方程的解． 【详解】解：根据二元一次方程解的定义，将各选项代入方程验证： 对于A：左边，右边，， A不是方程的解，该选项不符合题意； 对于B：左边，右边，左边右边， B是方程的解，该选项符合题意； 对于C：左边，， C不是方程的解，该选项不符合题意； 对于D：左边，， D不是方程的解，该选项不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法、幂的乘方的运算法则，分别计算各选项即可判断． 【详解】解：选项A：根据积的乘方法则，， 故A选项计算正确； 选项B：根据同底数幂乘法法则，， 故B选项计算错误； 选项C：根据同底数幂除法法则，， 故C选项计算错误； 选项D：根据幂的乘方法则，， 故D选项计算错误． 4. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式性质逐一判断各选项即可得到答案. 【详解】解：∵， 对于选项A：不等式两边同乘正数2，不等号方向不变，得，不等式两边同减1，不等号方向不变，得，∴A成立，符合题意； 对于选项B：不等式两边同加1，不等号方向不变，得，∴B不成立，不符合题意； 对于选项C：不等式两边同减3，不等号方向不变，得，∴C不成立，不符合题意； 对于选项D：不等式两边同乘负数，不等号方向改变，得，∴D不成立，不符合题意. 5. 已知，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： ， ∵， ∴，即． 6. “不规则密铺”是指在同一平面内用任何形状、任何大小的几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片的几何方法．如图①，公园石墙可以近似看成由多边形石材不规则密铺而成；图②是其局部示意图，四块多边形不规则密铺于点，已知，，，，，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和计算出的度数，再根据两直线平行同旁内角互补计算出、的度数，最后根据，计算出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7. 苏州云岩寺塔，俗称虎丘塔，被誉为“吴中第一名胜”．从正上方俯瞰，整体轮廓是几个棱角分明、对称均匀的正多边形．已知该正多边形边数的2倍比塔的层数的3倍少5，塔的层数与正多边形边数的4倍之和为39．若设该塔的层数为，多边形的边数为，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“该正多边形边数的2倍比塔的层数的3倍少5，塔的层数与正多边形边数的4倍之和为39”列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设该塔的层数为，多边形的边数为， ∵该正多边形边数的2倍比塔的层数的3倍少5，塔的层数与正多边形边数的4倍之和为39， ∴可列出方程组为． 8. 如图，点在直线上，，将一张等边三角形纸片如图放置，纸片的边在直线上平移，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，的度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况，和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵纸片的边在直线上平移， ∴或， ∴当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，有和两种情况， 当时，则：， ∴； 当时，如图，则， ∴； 综上：的度数为或. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 命题“如果，那么”是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】 真 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，利用不等式的传递性即可判断命题的正确性． 【详解】解：不等式具有传递性，若，，则一定有，所以该命题是真命题． 10. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 11. 华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：数据0.000000007用科学记数法表示为7×10-9． 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 12. 月洞窗是没有花纹的天然画框，框住竹石花木，一扇窗就是一幅画，是苏州园林框景手法的典型应用．图①是苏州留园的月洞窗，其形状是一个八边形，图②是该窗的示意图，则该八边形的内角和为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：八边形的内角和为. 13. 如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为____cm2． 【答案】400 【解析】 【分析】由题意可知本题存在两个等量关系，即小长方形的长小长方形的宽，小长方形的长小长方形宽的4倍小长方形长的2倍，根据这两个等量关系可列出方程组，进而求出小长方形的长与宽，最后求得小长方形的面积． 【详解】解：设一个小长方形的长为，宽为， 则可列方程组， 解得， 则一个小长方形的面积， 故答案为：400． 【点睛】此题考查方程组的应用问题，解题的关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组，并弄清小长方形的长与宽的关系． 14. 已知，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】利用完全平方公式计算即可求出所求． 【详解】解：①，②， ①+②得：， 则， 故答案为： 【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 15. 我们把二次三项式，叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求二次多项式的最大值或最小值．例如：，所以当时，多项式有最小值，最小值是．若，则二次多项式的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知等式，用含的代数式表示，代入所求多项式，再利用配方法结合完全平方式的非负性，即可求出多项式的最小值. 【详解】解：由得，， 将代入得： ， ∵， ∴， 故二次多项式的最小值为. 16. 一副三角板如图①放置，点，，在直线上，其中，，．如图②，在图①的基础上，三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角板的直角边旋转到直线上时两块三角板立即停止旋转．设三角板旋转时间为秒，四条直角边，，，在旋转过程中，当有一条边平分两条边的夹角时，的值为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据旋转中四条直角边，，，的位置进行分类讨论，再根据角度之间的和差关系列方程求出的值． 【详解】解：当平分时， ∵三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转， ∴， ∵三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转， ∴， ∵平分， ∴， ∵， 即， 解得； 当平分时， ∵三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转， ∴， ∵三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转， ∴， ∵平分， ∴， ∵， 即， 解得； 当平分时， ∵三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转， ∴， ∵三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转， ∴， ∵平分， ∴， ∵， 即， 解得； 当平分时， ∵三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转， ∴， ∵三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转， ∴， ∵平分， ∴， ∵， 即， 解得； 综上所述，的值为9或27． 三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即可； （2）根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方法则计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 19. 解方程组及不等式组 （1）解方程组： （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ②得 ①③得， 解得， 把代入①得解得， 因此方程组的解为． 【小问2详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 因此不等式组的解集为． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】利用多项式乘法、平方差公式和完全平方公式展开原式，合并同类项化简后，代入的值计算结果． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 21. 如图，点在线段上，点在线段上，连接，，，线段，分别交于点，且，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件和对顶角相等可证明，则可证明； （2）根据平行线的性质得到，则由已知条件可得，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 一个千位数字是，百位数字是，十位数字是，个位数字是的四位数可以表示为． （1）当，，，时，则该四位数______被3整除；（填“能”或“不能”） （2）已知：可以被3整除．求证：可以被3整除． 【答案】（1） 能 （2） 证明：    ∵能被整除， 已知可以被整除， ∴能被整除， 即可以被整除． 【解析】 【分析】（1）根据能被3整除的数的特征，计算四个数字的和，判断和能否被3整除即可得到结论； （2）先将四位数展开为代数式，对代数式变形提取公因式3，结合已知条件即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴， ∵ ∴该四位数能被3整除． 【小问2详解】 略 23. 如图，在纸片中，，．点在边上，连接，将沿所在直线翻折，点落在点处，． （1）______°；（直接写出答案） （2）请利用无刻度直尺和圆规作出．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）40 （2）解：如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】（1）首先根据直角三角形两锐角互余，求出的度数；因为翻折前后对应角相等，所以；又因为，根据平行线的内错角相等，可得与的关系，进而计算． （2）以为圆心，长为半径画弧； 在内作，交弧于点； 作，交于点； 连接，即为所求． 【小问1详解】 解：，， ． 由折叠性质得：， ， ． 【小问2详解】 略 24. 已知关于，的二元一次方程组 （1）若方程组的解满足，求的值； （2）若，为负数，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）两方程相减即可得到，则，再解方程即可； （2）利用加减消元法得，，再结合，为负数列不等式组求解即可. 【小问1详解】 解：， 得：，又， ，解得； 【小问2详解】 解：， 得：，解得， 把代入得，解得， ，为负数， ，解得． 25. 2026年美加墨世界杯正如火如荼的进行，掀起了一股足球的热潮．某学校支持学生大课间开展足球活动，共需采购40只足球，采购足球预算费用5600元，采购平台上有三种型号的足球可供选择：A型足球100元/只，B型足球140元/只，C型足球180元/只． （1）若学校同时购进A、C两种型号的足球，恰好用完预算费用，问两种型号的足球各买了多少只？ （2）若学校同时购进三种型号的足球，购进A型足球不超过14只，B型足球的数量是C型足球数量的两倍．请写出所有可能的方案，并说明理由． 【答案】（1）购进A型号的足球20只，购进C型号的足球20只 （2）共有两种方案：方案一：购进A型号的足球13只，B型号的足球18只，C型号的足球9只；方案二：购进A型号的足球10只，B型号的足球20只，C型号的足球10只，理由如下： 设购进A型号的足球a只，C型号的足球b只，则购进B型号的足球只， 根据题意得， ∴ 根据题意得， ∴ ∵b是正整数 ∴或10 ∴当时，，；当时，，； ∴共有两种方案：方案一：购进A型号的足球13只，B型号的足球18只，C型号的足球9只；方案二：购进A型号的足球10只，B型号的足球20只，C型号的足球10只． 【解析】 【分析】（1）设购进A型号的足球x只，购进C型号的足球y只，根据题意列二元一次方程组求解； （2）设购进A型号的足球a只，C型号的足球b只，则购进B型号的足球只，根据题意得到，表示出，然后根据题意列出不等式组求出，然后根据b是正整数求解即可． 【小问1详解】 解：设购进A型号的足球x只，购进C型号的足球y只， 根据题意得， 解得 ∴购进A型号的足球20只，购进C型号的足球20只； 【小问2详解】 略 26. 定义：关于，的两个二元一次方程，（其中，，，，，均为常数，且，），如果满足，，，那么这两个方程互为“互补二元一次方程”．例如：的“互补二元一次方程”为． （1）方程的“互补二元一次方程”是______；（直接写出答案） （2）关于，的两个二元一次方程，互为“互补二元一次方程”，若是方程组的解，当时，求的值； （3）关于的两个二元一次方程，互为“互补二元一次方程”，若，，求的范围． 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）直接根据“互补二元一次方程”的定义求解即可； （2）先根据“互补二元一次方程”的定义得到，，，再将方程组中的两个方程相加可得到，结合方程组的解得到，利用完全平方公式求解即可； （3）根据题意推导出，，则有，，然后根据已知条件得到不等式组，然后解不等式组即可． 【小问1详解】 解：方程的“互补二元一次方程”是； 【小问2详解】 解：∵关于，的两个二元一次方程，互为“互补二元一次方程”， ∴，，， 对于方程组， ，得，则， ∵是方程组的解， ∴，又， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意，得，，，则， ∴，， ∴，，即， ∵，， ∴，解得， 又∵， ∴，即， ∴，， 综上，n的取值范围为且． 27. 如图①，在中，点是延长线上一点，点是内部一点．若平分，平分．求证：． 七年级某学习小组经过研讨给出了如下的证明过程： ，， ，，． 平分，平分，，． ，，． （1）如图②，若，．求证：． （2）如图③，，射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针或逆时针旋转，点是线段上的一点，点是射线上的一点（不与点重合）．连接，在内部作射线，使得，在内部作射线，使得，射线的反向延长线与射线交于点．设射线旋转的时间为秒，且）： ①当秒，求的度数； ②当时，______（直接写出答案，用含字母的代数式表示） 【答案】（1）证明：，， ，， ； ∵，，， ， ； （2）①或；②或 【解析】 【分析】（1）仿照题意证明即可； （2）①仿照（1）可证明，再分两种情况：射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转15秒和射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转15秒，两种情况求出的度数即可得到答案；②可证明，再分两种情况：射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转和射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，两种情况求出的度数即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； 当射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转15秒时， 则， ∴； 当射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转15秒时， 则， ∴； 综上所述，的度数为或； ②如图所示，当射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转时， ∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 如图所示，当射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转时， ∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 综上所述，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一年级阳光调研试卷 数学 2026．06 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题． 3．考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 下面四个图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二元一次方程的一个解可以是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. “不规则密铺”是指在同一平面内用任何形状、任何大小的几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片的几何方法．如图①，公园石墙可以近似看成由多边形石材不规则密铺而成；图②是其局部示意图，四块多边形不规则密铺于点，已知，，，，，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 7. 苏州云岩寺塔，俗称虎丘塔，被誉为“吴中第一名胜”．从正上方俯瞰，整体轮廓是几个棱角分明、对称均匀的正多边形．已知该正多边形边数的2倍比塔的层数的3倍少5，塔的层数与正多边形边数的4倍之和为39．若设该塔的层数为，多边形的边数为，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在直线上，，将一张等边三角形纸片如图放置，纸片的边在直线上平移，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，的度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 命题“如果，那么”是______命题．（填“真”或“假”） 10. 已知，，则______． 11. 华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为_______． 12. 月洞窗是没有花纹的天然画框，框住竹石花木，一扇窗就是一幅画，是苏州园林框景手法的典型应用．图①是苏州留园的月洞窗，其形状是一个八边形，图②是该窗的示意图，则该八边形的内角和为______． 13. 如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为____cm2． 14. 已知，，则______． 15. 我们把二次三项式，叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求二次多项式的最大值或最小值．例如：，所以当时，多项式有最小值，最小值是．若，则二次多项式的最小值为______． 16. 一副三角板如图①放置，点，，在直线上，其中，，．如图②，在图①的基础上，三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角板的直角边旋转到直线上时两块三角板立即停止旋转．设三角板旋转时间为秒，四条直角边，，，在旋转过程中，当有一条边平分两条边的夹角时，的值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 解方程组及不等式组 （1）解方程组： （2）解不等式组： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，点在线段上，点在线段上，连接，，，线段，分别交于点，且，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）若，，求的度数． 22. 一个千位数字是，百位数字是，十位数字是，个位数字是的四位数可以表示为． （1）当，，，时，则该四位数______被3整除；（填“能”或“不能”） （2）已知：可以被3整除．求证：可以被3整除． 23. 如图，在纸片中，，．点在边上，连接，将沿所在直线翻折，点落在点处，． （1）______°；（直接写出答案） （2）请利用无刻度直尺和圆规作出．（不写作法，保留作图痕迹） 24. 已知关于，的二元一次方程组 （1）若方程组的解满足，求的值； （2）若，为负数，求的取值范围． 25. 2026年美加墨世界杯正如火如荼的进行，掀起了一股足球的热潮．某学校支持学生大课间开展足球活动，共需采购40只足球，采购足球预算费用5600元，采购平台上有三种型号的足球可供选择：A型足球100元/只，B型足球140元/只，C型足球180元/只． （1）若学校同时购进A、C两种型号的足球，恰好用完预算费用，问两种型号的足球各买了多少只？ （2）若学校同时购进三种型号的足球，购进A型足球不超过14只，B型足球的数量是C型足球数量的两倍．请写出所有可能的方案，并说明理由． 26. 定义：关于，的两个二元一次方程，（其中，，，，，均为常数，且，），如果满足，，，那么这两个方程互为“互补二元一次方程”．例如：的“互补二元一次方程”为． （1）方程的“互补二元一次方程”是______；（直接写出答案） （2）关于，的两个二元一次方程，互为“互补二元一次方程”，若是方程组的解，当时，求的值； （3）关于的两个二元一次方程，互为“互补二元一次方程”，若，，求的范围． 27. 如图①，在中，点是延长线上一点，点是内部一点．若平分，平分．求证：． 七年级某学习小组经过研讨给出了如下的证明过程： ，， ，，． 平分，平分，，． ，，． （1）如图②，若，．求证：． （2）如图③，，射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针或逆时针旋转，点是线段上的一点，点是射线上的一点（不与点重合）．连接，在内部作射线，使得，在内部作射线，使得，射线的反向延长线与射线交于点．设射线旋转的时间为秒，且）： ①当秒，求的度数； ②当时，______（直接写出答案，用含字母的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $