2.3 一元一次不等式与一次函数 暑期专项练习 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦一元一次不等式与一次函数的数形结合，通过分层题型构建“图像解析-实际建模-性质综合”的方法体系，强化逻辑推理与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图像解析|5题（如1,4题）|数形结合法：由交点坐标定解集|一次函数图像与不等式解集的互化| |实际建模|3题（如3,11题）|不等关系建模：费用/数量关系转化|实际问题抽象为不等式的数量关系| |性质综合|4题（如9,20题）|分类讨论与函数性质：多函数比较及动态问题|函数增减性与不等式解集的综合应用|

2.3 一元一次不等式与一次函数 暑期专项练习2025-2026学年北师大版八年级数学下册 一、单选题 1．数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 2．已知关于的不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 3．下表是某的两种计费方案的说明．若嘉琪的爸爸和朋友们打算在此的一间包厢里连续欢唱，经服务生计算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则他们在同一间包厢里欢唱的人数至少有（    ） 包厢计费方案： 包厢每间每小时200元，每人须另付入场费30元 人数计费方案： 每人欢唱2小时180元，接着续唱每人每小时30元 A．4人 B．5人 C．6人 D．7人 4．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 为了了解关于的不等式的解集，某同学绘制了与（，为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知一次函数，其中x与y的部分对应值如下表所示，根据该表提供的信息，下列说法正确的是（    ） x … 0 1 3 … y … 1 5 13 … A．该函数的图象经过第一、三、四象限 B．函数值y随x值的增大而减小 C．关于x的方程的解是 D．关于x的不等式的解集为 6．一次函数与的图象如图，则以下结论：①当时，；②当时，；③当时，中，正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．关于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．图象必经过点 B．图像经过第一、三、四象限 C．当时， D．y随x的增大而增大 8．一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．当时， D．不等式解集是 9．我们常用来表示实数a，b，c中最小的数，如．已知x为实数，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 10．已知一次函数的图象经过，两点．若点B在第一象限内，则下列判断正确的是（   ） A．若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则 B．当时，一次函数的图象与y轴一定交于负半轴 C．若，则当时，x的取值范围是 D．当时， 二、填空题 11．某中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需元，购买2个足球和5个篮球共需元，根据实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共个，要求购买足球和篮球的总费用不超过元，这所中学最多可以购买______个篮球． 12．如图所示是函数的图象，若，则的取值范围为___________． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线（，为常数，）的交点为，则关于的不等式的解集为____________ 14．关于，的二元一次方程与的部分解分别如表1，表2： 表1 … 0 1 2 … … 2 5 … 表2 … 0 1 2 3 … … 3 2 1 0 … 则关于的不等式的解集为______． 15．五一劳动节假期来临之际，各大超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表：已知购买礼盒所需费用（单位：元）与数量（单位：盒）之间成函数关系，李明通过计算发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了_____盒． 甲 乙 销售 方案 每盒标价420元 每盒标价480元，若购买数量超过3盒，则超出部分打八折 三、解答题 16．已知点，在直线上． (1)求直线的解析式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 17．在平面直角坐标系中，一次函数的图象平移之后恰好经过点，得到一次函数的图象． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 18．为了增强青少年体质，某校响应“足球进校园”的号召，计划购买一批足球．已知甲品牌足球的单价为50元/个，乙品牌足球的单价为80元/个，学校准备购买甲、乙两种品牌的足球共60个，设购买甲品牌足球x个，购买这两种品牌足球所需的总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若购买的甲品牌足球数不超过乙品牌足球数的，请你设计一种购买方案，使得购买这两种品牌足球所需的总费用最低，并求出最低总费用． 19．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 20．如图，在中，，，点在上，．动点从点出发以每秒钟1个单位的速度沿运动，动点以相同的速度从点出发沿射线运动．设运动时间为秒（），的面积为，点和点两点之间的距离为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B B D C C D C D 1．A 【分析】一次函数的交点结合图形得出不等式的解集，即可得解． 【详解】解：一次函数与（为常数，）的图象相交于点， 不等式的解集为， 在数轴上表示为 2．B 【详解】解：A．不等式的解集是，故不符合题意； B．不等式的解集是，故符合题意； C．不等式的解集是，故不符合题意； D．不等式的解集是，故不符合题意． 3．B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键．设他们在同一间包厢里欢唱的人数有人，根据选择包厢计费方案会比选择人数计费方案便宜建立不等式，解不等式，结合为正整数，由此即可得． 【详解】解：设他们在同一间包厢里欢唱的人数有人， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴他们在同一间包厢里欢唱的人数至少有5人， 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方， ∴关于的不等式的解集是． 在数轴上表示的解集， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，掌握知识点是解题的关键． 根据表格信息结合一次函数的图像和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，的值随值的增大而增大，故选项B错误； ∴， 当时，， ∴该函数的图像经过第一、二、三象限，故选项A错误； 当时，，故关于的方程的解不是，故选项C错误； ∵的值随值的增大而增大，且当时，， ∴不等式的解集为；故选项D正确； 故选：D． 6．C 【分析】根据一次函数与不等式的关系分别判断各选项即可． 【详解】选项①： 从图象可得，一次函数与轴的交点在的左侧，当小于该交点横坐标时，，因此不是所有都满足，结论①错误； 选项②： 一次函数与轴的交点在原点右侧（横坐标大于0），随增大而减小，因此对所有小于交点横坐标，都有， 因为，0小于交点横坐标， 所以时，，结论②正确； 选项③： 两个函数的交点横坐标为，当时，的图象在的图象上方， 因此，结论③正确； 综上，正确的结论有2个． 7．C 【分析】根据一次函数的图象与性质逐项判断即可解答． 【详解】解：∵一次函数解析式为， 对于A选项，当时，， ∴图像不经过点，A错误； 对于B选项，∵，， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，B错误； 对于C选项，令，可得， 解得， ∴当时，，C正确； 对于D选项，∵， ∴ 随 的增大而减小，D错误． 8．D 【分析】直接根据图象，逐一进行判断即可. 【详解】解：由图象可知，，故选项A，B错误； 当时，，故选项C错误； 不等式解集是，故选项D正确. 9．C 【分析】本题主要考查一次函数、一元一次方程、一元一次不等式，及定义新运算的综合，理解图示，掌握两条直线的交点的计算方法，图形结合分析是解题的关键．根据图示，先联立方程组求出两直线的交点，根据交点的不同，一次函数值的大小不同，分类讨论即可求解． 【详解】解：分别作出函数，，的图象，根据图示，联立方程求交点得， ①，解得，；②，解得，；③，解得，； ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，则，； 当时，，则； 当时，，则，； 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，的最大值为， 故选：C． 10．D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质、一次函数与不等式的关系，核心素养表现为推理能力和运算能力． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， ∴，即， ∴一次函数的解析式为． ∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，解得，故选项A错误； 将代入得，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵的值可能是正的，也可能是负的， ∴b可能是正的，也可能是负的，故一次函数的图象与y轴不一定交于负半轴，故选项B错误； ∵， ∴， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为，与x轴交于点， 故当时，x的取值范围是，故选项C错误； 将A，B两点代入得，， ∴． ∵， ∴． ∵点在第一象限内， ∴， ∴， ∴，故选项D正确． 11． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，审清题意、根据等量关系或不等关系列出方程组和不等式是解题的关键．先设购买一个足球需要元，购买一个篮球需要元，根据“购买3个足球和2个篮球共需元；购买2个足球和5个篮球共需元”列二元一次方程组求解，再设购买个篮球，则购买个足球，然后根据不等关系“购买足球和篮球的总费用不超过元”列出不等式，求出解集，最后得到相应整数解． 【详解】解：设购买一个足球需要元，购买一个篮球需要元， 根据题意，得， 解得， 即购买一个足球需要元，购买一个篮球需要元； 设购买个篮球，则购买个足球， 根据题意列不等式，得 解不等式，得， 为整数， 最多是． 故答案为：． 12． 【分析】令，解得，令，解得，在同一坐标系中作出，结合图形即可得解． 【详解】解：由图象可得， 令，解得， 令，解得， 在同一坐标系中作出如图所示， 由图可知，若，则的取值范围为． 13． 【分析】先利用直线的解析式确定点坐标，然后结合函数特征写出不等式的解集即可． 【详解】解：把代入得， 解得：， 当时，， 即关于的不等式的解集为． 14． 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程，一元一次不等式的关系，解答本题的关键根据表格画出一次函数图象． 首先根据表格数据画出一次函数与的图象，从而得到解集． 【详解】解：由得， 由得， 根据表1，表2的数据画出一次函数与的图象，如图所示， 由图象得：的解集为：， 的解集为：． 故答案为：． 15．9 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，掌握根据题意列不等式求解是解题的关键． 根据甲、乙两超市的销售方案，列出购买费用关于数量的函数关系式，乙超市的费用为分段函数，由于乙超市更划算，需满足且乙超市费用小于甲超市费用，解不等式即可得到的取值范围，从而确定最小整数解． 【详解】解：设购买数量为盒，为正整数，甲超市的费用为， 乙超市的费用：当时，；当时，， 由题意，在乙超市购买更划算，因此且， 解不等式，得，即， 所以，至少为， 故答案为：9． 16．(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出两直线的交点的坐标，再根据图象解答即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点，在直线上， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：由，解得， ∴， 由函数图象可知，当时，直线位于直线的下方， ∴不等式的解集为． 17．(1)； (2)． 【分析】（1）利用平移的性质求得，再利用待定系数法求解即可； （2）由题意得，解得，根据这个不等式在时，恒成立，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵直线是由直线平移得到， ∴， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由题意得， 解得， ∵这个不等式在时，恒成立， ∴， 解得． 18．(1)（，且x为整数） (2)购买方案为购买甲品牌足球24个，乙品牌足球36个时总费用最低，最低总费用为4080元 【详解】（1）解：由题意可知，购买乙品牌足球个， ， y与x之间的函数关系式为（，且x为整数）； （2）解：根据题意，， 解得， ，且x为整数， ，且x为整数， ， 随着x的增大而减小， 当时，y取最小值，最小值为（元）， 此时， 答：购买甲品牌足球24个，乙品牌足球36个时总费用最低，最低总费用为4080元. 19．(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线经过点时m的值，当直线与直线平行时的值，再结合函数图象，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴这个一次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴直线经过点， 当直线经过点时，， 解得：， 此时直线的解析式为， 当直线与直线平行时，此时直线的解析式为直线， 根据图象可得：当时，在时，对于的每一个值，函数：的值小于函数的值， ∴当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，的取值范围为． 20．(1)， (2)图见解析，当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小 (3)或 【分析】（1）分别讨论点在上运动，点在上运动求出解析式，根据点和点两点之间的距离表示； （2）画出图象，得出性质； （3）求出时，时， 如果的的值，再结合图象得到答案． 【详解】（1）解：在中，，，所以， 当时，点在上运动，，， 所以； 当时，点在上运动，， 此时和同高，高为， 所以； 所以； 点和点两点之间的距离为，所以． （2）函数，的图象如图所示： 当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小． （3）当时，若，则，解得； 当时，若，则，解得， 所以结合函数图象， 时的取值范围或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $