2027年高考一轮复习专题2.2基本不等式

**基本信息** 以“基本不等式”为核心，按求积最值、求和最值、“1”的妙用、恒成立问题、不等式证明分层，从基础计算到综合应用再到实际情境，梯度清晰，适配一轮复习巩固与提升，培养抽象能力、运算能力及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用层|求积/求和的单一最值计算|单选/填空巩固概念（如1-5题直接应用基本不等式求积）| |技巧提升层|“1”的妙用与命题判断|多选辨析易错点（如11-12题结合函数性质判断最值）| |综合拓展层|恒成立问题、不等式证明及实际应用|解答题结合生活情境（如29-33题仓库建造、设备盈利等建模问题）|

2.2基本不等式 知识点一 求积的最值 1．已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 2．已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．已知正实数，满足，则的最大值是__________． 4．已知正数，满足，则的最大值为______. 5．已知正实数，则ab的最大值为________． 知识点二 求和的最值 6．的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 7．下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的个数是（    ）． ①； ②函数的最小值为4； ③若，则最大值为1； ④已知时，，当且仅当，即时，取得最小值8． A．0 B．1 C．2 D．3 9．的最小值为（    ） A． B． C．2 D．16 10．函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 11．（多选）下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 12．（多选）设，若，则（    ） A． B．的最小值为 C． D． 知识点三 “1”的妙用 13．已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 14．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 15．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 16．已知，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 17．（多选）已知正数 ，满足 ，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 18．（多选）已知正实数，满足，则（  ） A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为1 知识点四 恒成立问题 19．已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 20．若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（多选）若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 23．（多选）已知，，当时，不等式恒成立，则m的值可以是（    ） A． B．2 C． D．4 24．（多选）下列不等式正确的是（    ） A．已知为正实数，，则的最小值为 B．有最小值2 C．已知正数满足，则的最大值是1 D．若对任意恒成立，则实数的取值范围是 知识点五 不等式证明 25．已知为正实数．证明：． 26．已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 27．已知，． (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 28．已知证明： (1) (2) 29．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 30．某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 31．某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 32．某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 33．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 C A C C B B D ACD AD D 题号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 答案 D C B AB AC B C B BCD BCD 题号 24 答案 ACD 1．C 【详解】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 2．A 【详解】由题意，为正数，且，则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为. 故选：A 3．4 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 4．12 【详解】由，得， 所以，当且仅当，时等号成立. 5．0.5/. 【详解】因为为正实数，， 已知，则，所以. 当且仅当时取等号，此时，，满足正实数条件. 所以的最大值为. 故答案为：. 6．C 【详解】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 7．C 【详解】对于A，函数（），当时，， 当且仅当时取等号；当时，， 又，当且仅当时取等号， 所以此时，因此，函数无最小值，故A错误； 对于B，函数，当时，，； 当时，，，因此，函数无最小值，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号， 此时，所以函数最小值为2，故C正确； 对于D，令，则，函数变为（）， 函数在时单调递增，故当时，y取得最小值，故D错误． 故选：C． 8．B 【详解】对于①只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则①不正确； 对于②,，令， 则在上单调递增，则最小值为, 则②不正确； 对于③,，则③正确； 对于④,当时，，当且仅当 时，即，等号成立，则④不正确. 综上只有1个正确， 故选：B. 9．B 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故选：B 10．D 【详解】根据题意可知， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 11．ACD 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是，故C正确； 对D：当时，，当且仅当，即时取得等号，故，即的最大值是，故D正确. 故选：ACD 12．AD 【详解】对于A，，，又，，，A正确； 对于B，，在上单调递减，，B错误； 对于C，当，时，，此时，C错误； 对于D，，，，D正确. 故选：AD. 13．D 【详解】 ， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 14．D 【详解】因为，，且， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 15．C 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为． 16．B 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 17．AB 【详解】因为正数 ，满足 ， 对于A，由 ，当且仅当 时，等号成立， 所以的最大值为 ，所以A正确； 对于B，由， 因为 且 ，所以 ， 即，所以，当且仅当 时，等号成立， 所以的最大值为，所以B正确； 对于C，由 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以C错误； 对于D，因为 ，可得 ， 则， 当且仅当时，取得最小值 ，所以D不正确. 18．AC 【详解】对于选项A，由基本不等式且有， ，所以选项A正确. 对于选项B，，所以最小值是9，故选项B不正确. 对于选项C， 所以的最大值为，故选项C正确. 对于选项D，因为，所以 所以. 配方得， 即，当时，有最小值.故选项D不正确. 19．B 【详解】， 当且仅当，即时，取等号， 所以， 故选：B 20．C 【详解】由题意，不等式对一切都成立， 则， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，则实数的取值范围为. 故选：C 21．B 【详解】正实数满足，所以， 由恒成立，可得， ， 当且仅当时上式取等号， 则，解得， 故实数的取值范围是， 故选：B. 22．BCD 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由题意得恒成立，故得. 故选：BCD． 23．BCD 【详解】因，，故，又， 则，当且仅当时等号成立， 依题意，可得恒成立，即，解得. 当时，由，解得，此时恒成立； 当时，由，解得此时恒成立； 当时，由，解得，此时恒成立. 故选：BCD. 24．ACD 【详解】解：对于A， 当且仅当时，等号成立，∴A正确； 对于B． 当且仅当，即时，不合题意，不能取等号，∴B错误； 对于C．，当且仅当时，等号成立，∴C正确； 对于D．恒成立，即恒成立， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立，，D正确. 故选：ACD. 25．证明见解析 【详解】先证明， 原不等式， ， ． 由柯西不等式得 26．(1) (2)证明见解析 【详解】（1） 由知，因此. （2）证明：由题设，及基本不等式知， . 同理，， ，即. 即：. 27．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立. （2）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 28．(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）因为，所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立． 故，当且仅当时，等号成立． （2）因为，所以． ， 当且仅当时，等号成立． 29．(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 (2) 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 30．(1) (2)万元. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 31．(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 32．(1)玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入 (2)该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和 【详解】（1）设玩具的单价为元，则年销售量为万个， 令，解得， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入. （2）由题意可知：，且，可得， 原题意即为存在，有解， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和. 33．(1)为，为时，所用篱笆总长最小，最小值为 (2)当时有最小值，最小值是 【详解】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $