2.2　基本不等式 练习-2027届高三数学一轮专题复习（通用版）

**基本信息** 以几何直观与代数推理结合构建基本不等式应用体系，覆盖概念理解、条件最值、实际应用等核心考法，突出数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|1（无字证明）|几何法推导基本不等式|从直径所对圆周角性质抽象出代数不等关系| |条件最值|6（如x+4y=30求xy最值）|配凑法、换元法、“一正二定三相等”|由基本不等式变形到多元条件下的最值转化| |综合应用|7（如恒成立求参数范围）|恒成立问题转化、函数单调性判断|结合函数性质与不等式证明，体现数学建模|

2.2　基本不等式 一、 单选题 1 [2025通化梅河口五中期中]无字证明即无需语言的证明，本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于点D.连接OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E，则下列不等式中可由CD≥DE进行无字证明的为(　　) A. ≥(a>0，b>0) B. ≥(a>0，b>0) C. a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) D. ≥(a>0，b>0) 2 [2025六安开学考试]设a>0，b>0，则“≥6”是“≥6”的　(　　) A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3 [2025安徽县中联盟联考]设x>0，y>0，且x＋4y＝30，则xy的最大值是(　　) A. B. C. D. 100 4 已知a>0，b>0，a2＋b2＝2，则下列不等式中不成立的是(　　) A. ＋≥2 B. a3＋b3≥2 C. ≥4 D. a＋b>2 5 已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(a＋)(b＋)的最小值为(　　) A. 4 B. 5 C. D. 6 [2025驻马店新蔡一中月考]已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy.若x＋y>m2＋8m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A. B. (－8，0) C. (1，＋∞) D. (－9，1) 7 [2025安徽开学考试]已知a＝log45，b＝log56，c＝log67，则a，b，c的大小关系为(　　) A. c>b>a B. b>a>c C. a>c>b D. a>b>c 8 已知a>0，b>0，且＋＝1，则a＋2b的最小值为(　　) A. B. 3＋2 C. 5 D. 6 二、 多选题 9 [2025南通调研]已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列结论中正确的是(　　) A. ab的最大值为 B. a2＋b2的最大值为 C. ＋的最小值为9 D. 2a＋2b的最小值为2 10 若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则下列结论中正确的是(　　) A. x＋y≤1 B. x＋y≥－2 C. x2＋y2≤2 D. x2＋y2≥1 11 [2025华侨中学月考]已知x>0，y>0，且x＋y＋xy－3＝0，则下列结论中正确的是(　　) A. xy的最大值是9，最小值是1 B. x＋y的最大值是3，最小值是2 C. x＋4y>3 D. x＋2y的最小值是4－3 三、 填空题 12 [2026梅村高级中学月考]某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米的造价为1 200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5 800元．如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为________元． 13 [2025淮南、淮北二模]若实数m和n的等差中项为1，则m2＋n2的最小值为________． 14 [2025黑龙江龙东十校联盟月考]已知x>0，y>0，满足x＋3y＋＋＝8，若存在实数m，使得m≥x＋3y恒成立，则实数m的最小值为________． 2．2　基本不等式 1. A　解析：因为AB是圆O的直径，所以∠ADB＝90°，圆O的半径为.又CD⊥AB，所以由射影定理，得CD2＝AC·BC＝ab，解得CD＝.在Rt△OCD中，CE⊥OD，由射影定理，得CD2＝DE·OD，解得DE＝＝.因为CD≥DE，所以≥＝. 2. B　解析：因为a>0，b>0，所以≥，当且仅当a＝b时，等号成立．当≥6时，≥≥6，反之，当≥6时，无法推出≥6，所以“≥6”是“≥6”的必要且不充分条件． 3. A　解析：因为x>0，y>0，所以x＋4y≥4，即30≥4，解得xy≤，当且仅当x＝4y，即x＝15，y＝时，等号成立，故xy的最大值是. 4. D　解析：对于A，＋≥2≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故A正确；对于D，因为a>0，b>0，a2＋b2＝2，所以(a＋b)2≤2(a2＋b2)＝4，所以a＋b≤2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故D错误；对于B，由D知a＋b≤2，则2(a3＋b3)≥(a＋b)(a3＋b3)＝a4＋ab3＋a3b＋b4＝(a2＋b2)2－2a2b2＋ab(a2＋b2)＝(a2＋b2)2＋ab(a2＋b2－2ab)＝(a2＋b2)2＋ab(a－b)2≥4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以2(a3＋b3)≥4，即a3＋b3≥2，故B正确；对于C，＝ab＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当ab＝，即a＝b＝1时，等号成立，故C正确． 5. D　解析：＝ab＋＋＋＝ab＋＋＝ab＋＋＝ab＋－2，因为a>0，b>0，且a＋b＝1，所以0<ab≤＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立．设ab＝t∈，则g(t)＝t＋－2.因为函数g(t)在区间上单调递减，所以函数g(t)的最小值为g＝，故所求最小值为. 6. D　解析：因为x>0，y>0，且4x＋y＝xy，所以＋＝1，所以x＋y＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当x＝3，y＝6时，等号成立．若x＋y>m2＋8m恒成立，则m2＋8m<(x＋y)min，即9>m2＋8m, 解得－9<m<1.故实数m的取值范围是(－9，1). 7. D　解析：因为＝＝log56·log54<＝<＝1，所以b<a.因为＝＝log67·log65<＝<＝1，所以c<b，所以a>b>c. 8. B　解析：因为a>0，b>0，＋＝1，所以a＋2b＝[(a＋b)＋b](＋)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即a＝1，b＝＋1时，等号成立，故所求最小值为3＋2. 9. ACD　解析：对于A，因为1＝a＋b≥2，所以≤，即ab≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，则ab的最大值为，故A正确；对于B，由a2＋b2≥2ab，得≥＝，即a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立，则a2＋b2的最小值为，故B错误；对于C，＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，则＋的最小值为9，故C正确；对于D，2a＋2b≥2＝2＝2＝2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，则2a＋2b的最小值为2，故D正确．故选ACD. 10. BC　解析：对于A，B，由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3，解得－2≤x＋y≤2，当x＝y＝－1，即x＋y＝－2时，或当x＝y＝1，即x＋y＝2时，等号成立，故A错误，B正确；对于C，D，方法一：由x2＋y2－xy＝1可变形为(x2＋y2)－1＝xy≤，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，故C正确；取x＝，y＝－，显然满足等式x2＋y2－xy＝1，但是x2＋y2≥1不成立，故D错误． 方法二：由x2＋y2－xy＝1变形可得＋y2＝1，设x－＝cos θ，y＝sin θ，则x＝cos θ＋sin θ，y＝sin θ，所以x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sinθcos θ＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋＝＋sin (2θ－)∈，故C正确，D错误．故选BC. 11. CD　解析：对于A，由x>0，y>0, x＋y＋xy－3＝0，得x＋y＝3－xy≥2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，则()2＋2－3≤0，即(＋3)(－1)≤0，解得0<≤1，即0<xy≤1，故A错误；对于B，由x＋y＋xy－3＝0，得xy＝3－(x＋y)≤，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，则(x＋y)2＋4(x＋y)－12≥0，即(x＋y＋6)(x＋y－2)≥0，解得x＋y≥2.又x>0，y>0，所以x＋y＝3－xy<3，故B错误；对于C，由x＋y＋xy－3＝0，得x＝>0，则0<y<3，则1<y＋1<4，所以 x＋4y＝＋4y＝4y－1＋＝4(y＋1)＋－5≥2－5＝3，当且仅当4(y＋1)＝，即y＝0或y＝－2时取等号．又0<y<3，所以等号取不到，所以x＋4y>3，故C正确；对于D，x＋2y＝＋2y＝2y＋－1＝2(y＋1)＋－3≥2－3＝4－3，当且仅当2y＋2＝，即y＝－1时取等号，此时x＋2y取得最小值4－3，故D正确．故选CD. 12. 63 400　解析：设房屋正面长为x(x>0)m，则侧面长为 m，所以房屋的总造价为y＝3x·1 200＋3··800×2＋5 800＝3 600x＋＋5 800.因为x>0，所以y≥2＋5 800＝57 600＋5 800＝63 400，当且仅当3 600x＝，即x＝8时取等号．故房屋的总造价最低为63 400元． 13. 2　解析：由题意，得m＋n＝2.因为m2＋n2≥2mn，所以 2(m2＋n2)≥(m＋n)2，所以m2＋n2≥＝＝2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故m2＋n2的最小值为2. 14. 6　解析：因为x>0，y>0，所以6xy≤x2＋(3y)2，所以12xy≤x2＋(3y)2＋6xy，即12xy≤(x＋3y)2，所以＋＝≥，当且仅当x＝3y时取等号．由x＋3y＋＋＝8，得x＋3y＋≤8，整理，得(x＋3y)2－8(x＋3y)＋12≤0，即(x＋3y－2)(x＋3y－6)≤0，所以2≤x＋3y≤6.因为存在实数m，使得m≥x＋3y恒成立，所以m≥6，故实数m的最小值为6. 学科网（北京）股份有限公司 $