2.1等式性质与不等式性质 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“不等关系-比较大小-性质应用-证明”为进阶路径，分层设计基础巩固与能力提升题，适配一轮复习知识体系构建，培养数学眼光、思维与语言表达。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |不等关系|不等关系的实际情境转化|结合平流层高度、投资方案等现实问题，培养用数学眼光观察现实世界的能力| |比较大小（作差/商法）|作差法、作商法比较代数式大小|通过具体代数式比较，发展数学思维的推理能力，夯实运算基础| |不等式性质|不等式性质的辨析与应用|设置性质判断选择题，强化逻辑推理，提升数学思维的严谨性| |不等式证明|综合运用性质进行证明|设计充要条件等证明题，训练用数学语言表达推理过程，体现数学语言的精确性|

2.1等式性质与不等式性质 知识点一 不等关系 1．平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 2．某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 3．已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 4．在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 知识点二 作差法比较大小 5．若，，则，的大小关系是（ ） A． B． C． D．随的值变化而变化 6．已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 7．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 知识点三 作商法比较大小 8．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 9．设，，且，则和的大小关系是_________． 10．已知且，，，则与的大小关系为________________． 知识点四 不等式性质比较大小 11．已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 12．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 13．已知非零实数，满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 14．已知，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 16．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 知识点五 不等式证明 17．已知均为正实数，且，求证：． 18．已知，. (1)求证：； (2)求证：. 19．（1）设，试比较与的大小； （2）已知，求证： ． 20．（1）已知．求证：． （2）已知，求证：的充要条件是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 11 12 答案 D B B C B A C C B D 题号 13 14 15 16 答案 B B D D 1．D 【分析】求解每个选项中的绝对值不等式对照题意判断即可. 【详解】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确. 故选：D. 2．B 【分析】根据题设写出方案二n年后的总投资额，再由不等式的描述写出不等关系即可. 【详解】由题意，经过n年后，方案二的总投资为万元， 则“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为. 故选：B 3．B 【分析】结合矩形面积公式与不等式定义即可得. 【详解】， 故表示“该矩形的面积不小于20”的是. 故选：B. 4．C 【分析】人跑开的路程应大于100米，可得结论. 【详解】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m． 由题意可得4×＞100. 故选：C. 5．B 【详解】已知，， 则， 即对任意恒成立，因此恒成立，故B正确. 6．A 【详解】，故 7．C 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可. 【详解】选项A，取，，，，满足条件，但，A错误； 选项B，当，时，满足，但，B错误； 选项C，当时，有，， ， 则，所以，C正确； 选项D，且，则，， 则，得，D错误. 8．C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 9． 【分析】由，，且，得到，再分和讨论求解. 【详解】因为，，且，所以， 当时，由，，可得，所以． 当时，由，，可得，所以． 综上可得，． 故答案为：． 10． 【分析】当时， 当0＜a＜1时，a3+1a2+1，由此能求出结果． 【详解】． 当时，，所以，则； 当时，，所以，则． 综上可知，当且时，，即． 【点睛】本题考查两数大小的比较，是基础题，解题时要注意对数性质的合理运用． 11．B 【详解】因为， 对于A，，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，则，所以，故D正确． 12．D 【详解】实数满足， ，，A项错误； ，但是正负不确定，B项错误； ，但是正负不确定，C项错误； ，所以，D项正确. 13．B 【分析】根据不等式的性质判断A，B；利用作差法判断C，D. 【详解】易知，，故A错误，B正确； 对于C，移项作差，得， 因为不能判断的正负， 所以不能确定的正负， 所以不能判断的大小关系，故C错误； 对于D，移项作差，， 所以，故D错误. 14．B 【分析】根据不等式的性质，判断选项. 【详解】A.若，当，，当，，故A错误； B. 若，则，故B正确； C. 若，当，则，故C错误； D. 当且仅当时，才有，故D错误. 15．D 【分析】举反例判断A，B；根据不等式的性质判断C，D. 【详解】对于A，取，满足，， 则，所以，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为， 所以，所以，故C错误； 对于D，因为且， 所以，， 即， 两边同时乘以， 则，故D正确. 16．D 【详解】当时，，故A不成立； 当时，满足，此时， 故B不成立； 当时，满足， ，故，故C不成立； ，， ， ，故成立． 17．证明见解析 【分析】根据不等式的基本性质，结合已知条件，利用作差法计算证明结论． 【详解】，， ， 又， ，故， ，，， ，即． 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 19．；证明见解析. 【分析】（1）利用作差法分解因式判断大小即可； （2）利用分析法，分解因式证明即可. 【详解】（1）易知， 因为，所以，则上式大于0， 故 （2）由题意可知：， 即，两侧同除，则，证毕. 20．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）应用作差法比较大小，即可证； （2）应用充分必要性定义，结合不等式性质判断推出关系，即可证. 【详解】（1）由，所以． （2）因为，所以，又， 所以，即，充分性成立； ， 而，所以，即，必要性成立． 综上，的充要条件是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $