第03讲 等式与不等式性质（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦不等式性质的系统性应用，通过基础题型分层突破到重难创新综合，结合真题实战，构建从性质判断到证明的完整逻辑链，培养推理意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础演练|4题型（判断/比较/取值/证明）|覆盖选择、填空、解答，含新角度情境题|从性质理解（判断）到应用（比较/取值）再到综合证明，形成概念-应用-拓展递进| |重难·创新|11题（单选/多选/解答）|结合跨情境（如天平称重）、新思维题|深化性质与函数、数列等知识综合，提升逻辑推理能力| |真题·实战|7题（含2016浙江卷等）|高频考点集中，注重性质应用辨析|对接高考命题趋势，强化知识迁移与数学语言表达|

第03讲 等式与不等式的性质 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 不等式性质正误判断 2 题型02 比较大小 3 题型04 不等式的基本证明 7 重难·创新演练 10 真题·实战演练 12 模拟·基础演练 考查重点：不等式性质 题型01 不等式性质正误判断 一、单选题 1．（2026·海口·5月自测）已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·北京昌平·二模）设，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．已知实数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 6．(25-26高三·青海湟川中学·二模)已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 8．若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【新角度】9．（2026·河南开封·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 10．如果，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．下列说法正确的是（    ） A． B．若，则“”是“”的充要条件 C．的最小值为3 D．若，则 12．若，，，则（   ） A． B． C． D． 题型02 比较大小 一、单选题 1．(25-26高三下·黑龙江哈尔滨第九中学校·三模)下列各式大小比较中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知正数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高三下·广东揭阳·)已知a，b，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．(25-26高三下·四川泸州高级中学校·)下列命题为真命题的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 5．已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·云南昆明一中·5月诊断）设，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 7．（2026·河北雄安新区·预测）若实数，满足，对于以下各式：①；②；③；④，其中不可能成立的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2026·广东·华侨港澳台联考适应性(二)）已知数列对任意正整数k，数列均为单调递增数列，记数列前n项和为，则下列说法错误的是（   ） A．若，则为单调递增数列 B．对任意恒成立 C．若，，则 D． 9．若，则（    ） A． B． C． D． 10．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 11．已知，，，试比较a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 12．（1）求证：当时，； （2）利用（1）的结论，比较，，的大小. 题型03 求代数式的取值范围 一、单选题 1．（25-26高三下·江苏如皋中学·培优）已知三个不相同的正整数的平均数是11，且最大数与最小数的差为6，则中间的数为（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【新思维】2．对于任意的，都有和恒成立，其中a，b为实数．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．当时，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 5．已知点，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．(25-26高三上·浙江杭州·)《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载（用现代文表达）：今有牛､羊､猪各数头（各有至少1头），已知猪的数量多于羊，羊的数量多于牛，牛的数量的3倍多于猪､羊数量之和，则牛､羊､猪的总头数至少为（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 二、多选题 【新考法】7．(25-26高三·四川德阳·)已知关于x的方程：有两个根，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 8．已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知，则的取值范围为______ 10．(25-26高三上·福建多校·)若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为__________. 11．已知实数满足，则的取值范围是__________.. 12．已知，，则的取值范围为______. 【新思维】13．(25-26高三上·浙江强基联盟·)已知，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为______． 题型04 不等式的基本证明 一、单选题 1．(24-25高三上·浙江金华·一模)某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 2．对，不等式恒成立，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题 3．下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 4．若实数x，y满足，则下列选项一定正确的有（   ） A． B． C． D． 【新情境】5．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，如图所示．已知点是上一点，则（    ） A． B． C．当时，的最大值为 D．曲线在轴左侧所围成的区域面积大于2 三、填空题 6．记表示数集中最大的数，设为正数，，，则的最小值为__________. 四、解答题 7．(25-26高三上·湖南益阳·)已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，，求的取值范围； (3)若，证明：. 8．记数列的前n项和为，已知，且，数列满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)记的前n项和为，证明：． 【新情境】9．已知双曲线的右顶点为，右焦点为，直线与交于两点，且. (1)求的方程； (2)已知是轴的正半轴上点列，是第一象限曲线上点列），且和重合，与轴垂直，直线的斜率为，记点的横坐标为，设的面积为. （i）写出之间的递推公式； （ii）求证：. 【新角度】10．设正项数列，如果对小于的每个正整数都有，则称是数列的一个“时刻”.记是数列的所有“时刻”组成的集合（其中）. (1)若，求； (2)若，且，证明：； (3)若中存在使得，证明：. 11．已知实数，，满足. (1)若，求证：； (2)若，，，求的最小值. 12．(24-25高三上·四川雅安·)已知数列满足，（，且）． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和； (3)令，数列的前n项和为，证明：． 重难·创新演练 设题创新:综合考察 一、单选题 1．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是（   ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 2．已知实数满足，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东日照·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知数列的前项和为，若，，则（    ） A．数列为等比数列 B． C． D． 6．（河北文安县第一中学2026届高三一模）已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则 7．（2026·哈尔滨三中·二模）若，则成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 8．（江西省萍乡市2026届高三上学期一模）已知实数，若，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 9．（陕西省铜川市印台区等2地2026届高三一模）已知三次函数，下列说法正确的是（    ） A．若的极大值为4，则 B．的极小值为0，则 C．，则 D．存在，使在的值域为 10．设且，若，则下列大小关系可能成立的有（    ） A． B． C． D． 11．若，且，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题 【新思维】12．（2026·山东济南·一模）已知函数的定义域为，导函数.将所有的极值点按照从小到大的顺序排列构成数列. (1)若，比较与的大小； (2)从下列两个命题中任选一个证明： ①数列为递减数列； ②数列为递增数列； （若两个命题均选，按照第一个解答计分） (3)若为正整数，且对任意的，都有，求的最小值. 真题·实战演练 高频考点：不等式性质的应用 一、单选题 1．（2016·浙江卷·高考）已知实数a，b，c. A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100 B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2＜100 C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2＜100 D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2＜100 二、填空题 2．（2010·江西卷·高考）如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，分别经过三条棱作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，则的大小关系为__________________． 三、解答题 3．（2014·上海卷·高考）定义域为R，且对任意实数都满足不等式的所有函数组成的集合记为M，例如，函数． (1)已知函数，证明：； (2)写出一个函数，使得，并说明理由； (3)写出一个函数，使得数列极限 4．（2013·陕西卷·高考）已知函数. (1)若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值; (2)设x>0, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线 公共点的个数. (3)设a<b,比较与的大小, 并说明理由. 5．（2007·重庆卷·高考）已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且 （1）求{}的通项公式； （2）设数列{}满足，并记为{}的前n项和，求证：. 6．（2012·陕西卷·高考）设函数 (1)设，，，证明：在区间内存在唯一的零点； (2)设为偶数，，，求的最小值和最大值； (3)设，若对任意 ，有，求的取值范围； 7．（2006·陕西卷·高考）已知函数，且存在，使． (1)证明：是上的单调增函数； (2)设，，，，其中．证明：； (3)证明：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 等式与不等式的性质 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 不等式性质正误判断 2 题型02 比较大小 8 题型04 不等式的基本证明 23 重难·创新演练 35 真题·实战演练 44 模拟·基础演练 考查重点：不等式性质 题型01 不等式性质正误判断 一、单选题 1．（2026·海口·5月自测）已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过图象的单调性判断出，再通过时的函数值小于e判断出，最后结合指数函数图象的性质比较与的大小，对于D，取特值即可证明有可能成立. 【详解】对于A，由图象知函数单调递增,故，A一定成立； 对于B，且，则,进而，B一定成立； 对于C，由A,B已得，，则，故一定不成立； 对于D，若，则，故有可能成立. 2．已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质，运用举反例的方法，逐一分析选项，判断在的条件下，各选项中的不等式是否一定成立. 【详解】选项A：当取 ，，此时 ，但 ，， 不成立，故A错误； 选项B：当取 ，，此时 ，但 ，， 不成立，故B错误； 选项C：因为函数 在上是单调递增函数，因此当 时，必有 ，该不等式恒成立，故C正确； 选项D：当 时，，不等式不成立，故D错误. 3．已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】举出反例可判断BCD，根据不等式的基本性质，可判断A，进而得到答案． 【详解】对于A，由，两式相加得，故A正确； 对于B，令，满足， 此时，，故B错误； 对于C，令，满足， 此时，，故C错误； 对于D，令，满足， 此时，，故D错误. 4．（2026·北京昌平·二模）设，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，利用对数性质取特殊值可排除A，根据单调递减判断B不成立，再取特殊平方值否定C，最后由在上单调递增，结合得，确定D成立. 【详解】选项A：，取特殊值，，则，，原不等式不成立，故A错误. 选项B：指数函数在上单调递减，由，得，即，故B错误. 选项C：.取特殊值，，则，，，不等式不成立，故C错误. 选项D：正弦函数在上单调递增，由，得，即，不等式恒成立，故D正确. 5．已知实数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为，所以， 所以由，因此选项A错误，选项D正确； 若，显然，，此时， 若，显然，，此时， 所以选项BC都不恒成立，所以选项BC都不正确. 6．(25-26高三·青海湟川中学·二模)已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式性质以及特殊值求解. 【详解】选项A： 因为，，所以，错误. 选项B：. ，取，则，错误. 选项C： . 因为，，故，即，C正确. 选项D：取，满足，则左边，右边，，D错误. 7．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于ABD，举反例即可，对于C，利用不等式的基本性质即可证明. 【详解】对于A：当时，不等式不成立，故A错误； 对于B：取，则，故B错误； 对于C：因为，所以，即，故C正确； 对于D：取，则，故D错误. 二、多选题 8．若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】假设，因为，所以，则， 与矛盾，假设不成立，所以，选项A正确； 注意到，当，，满足条件，选项B错误； 假设，因为，所以，则， 与矛盾，假设不成立，所以， 因为，所以，选项C正确； 因为， 注意到当，，时，，即，选项D错误. 【新角度】9．（2026·河南开封·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】构造函数并利用导数确定其单调性，将多个等式统一转化为同一函数值的大小比较，从而建立变量间的不等关系；A选项借助极限思想构造反例进行排除，B选项直接由所得不等关系移项得出；C选项运用反证法结合等式变形推导出矛盾；D选项通过换元后构造辅助函数并分析其单调性完成不等式的证明. 【详解】设公共值，先确定定义域：， 构造函数，求导得，因此在上单调递增， ， ， ， 由单调性可得：. 选项A：令，则， 进而，此时，因此A错误； 选项B：单调性可知，移项得，因此B正确； 选项C：，整理原式得：， 假设，则左边， 得，与假设矛盾， 因此必有，C正确； 选项D：要证，即证， 令，已知且， 要证，即证， 构造函数， 求导得：， 因为，所以，分母， 因此，即在上单调递增， 得：，消去得， 由单调性得，即，即，因此D正确. 10．如果，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】选项A和C，取反例求解即可；选项B，约掉即可；选项D，用作差法即可判断. 【详解】对于A：取，则，故A错误； 对于B：由，可知，所以，同除，得到，故B正确； 对于C：取，，此时，故C错误； 对于D：， 因为，所以；又，， 即，故，故D正确. 11．下列说法正确的是（    ） A． B．若，则“”是“”的充要条件 C．的最小值为3 D．若，则 【答案】AC 【分析】利用存在量词命题的定义判断A；利用充要条件的定义判断B；利用基本不等式求出最小值判断C；利用不等式的性质判断D. 【详解】对于A，解不等式，得，因此，A正确； 对于B，当时，或，即能推出，但不能推出， 因此“”是“”的充分不必要条件，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，因此的最小值为3，C正确； 对于D，，当时，，D错误. 12．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式可得，进而可判断A；根据基本不等式“1”的妙用计算可判断B；根据基本不等式计算可判断C；利用换元法结合二次函数性质计算可判断D. 【详解】对于A选项，因为，，，所以， 当且仅当时取等号，即，所以，所以A选项不正确； 对于B选项，因为， 当且仅当时取等号，所以B选项正确； 对于C选项，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以C选项正确； 对于D选项，因为，，， 所以， 又因为，所以，所以D选项正确. 题型02 比较大小 一、单选题 1．(25-26高三下·黑龙江哈尔滨第九中学校·三模)下列各式大小比较中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的性质判断A；由三角函数的性质判断B；由对数的公式判断C；由对数函数和指数的单调性判断D. 【详解】对于A，因为， ， 由于，则， 即，故A错误； 对于B，由，则，而，则，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由，， 则，故D正确. 2．已知正数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可知要么都大于，要么都在内，再由分类讨论和两种情况，分别比较的大小，最后判断与的大小关系. 【详解】因为所以：若，则； 若，则，同理由可知与要么都大于，要么都在内， 因此，满足以下两种情况之一：；. 下面分类讨论： 情况一：， 此时，所以， 由得 因为，所以 又因为 ，故从而 由于时，函数单调递增，所以即 情况二：， 此时 ，所以 . 由得 因为，两边同除以 时不等号方向改变，故 又因为，所以从而 由于时，函数单调递减，所以即 综上，无论哪种情况，都有 所以正确选项是D. 3．(25-26高三下·广东揭阳·)已知a，b，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，当时，满足，而，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，满足，而，故C错误； 对于D，因为函数在上单调递增，且，则，故D正确. 4．(25-26高三下·四川泸州高级中学校·)下列命题为真命题的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性判断A，构造且，导数研究其单调性得到大小关系判断B，应用不等式的性质判断C，由余弦、正切函数的性质，举反例判断D. 【详解】由，则，故，A为假命题， 令且，则，故在上单调递增， 由，则，B为真命题， 由，则，故，即，C为假命题， 若，反例：如，则，D为假命题. 5．已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于AB，利用不等式的性质可判断，对于C，使用作差法即可判断，对于D，结合余弦函数的单调性和奇偶性即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，即，故A错误； 对于B，当时，，，此时，故B错误； 对于C，， 因为，所以，，， 所以，即，故C正确； 对于D，函数在上单调递减，所以， 又因为函数为偶函数，所以，故D错误. 6．（2026·云南昆明一中·5月诊断）设，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，若取，但，不满足，故A错误； 对于B，若取，，则，不满足，故B错误； 对于C，因，当且仅当时取等， 即当时，取得最小值，而,故C错误； 对于D，令，则可看作关于的一元二次方程有正数解， 所以，整理得，此时可看作关于的一元二次不等式有正数解， 则，可得，因，则得，当时取等，故D正确. 7．（2026·河北雄安新区·预测）若实数，满足，对于以下各式：①；②；③；④，其中不可能成立的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】借助指数函数性质结合作差法，分及讨论并判断即可得. 【详解】， 若，由在上单调递减， 则，故，即， 又， 故，故①可能成立，②不可能成立； 若，则，故，即， 又， 故，故③可能成立，④不可能成立； 故其中不可能成立的个数是. 8．（2026·广东·华侨港澳台联考适应性(二)）已知数列对任意正整数k，数列均为单调递增数列，记数列前n项和为，则下列说法错误的是（   ） A．若，则为单调递增数列 B．对任意恒成立 C．若，，则 D． 【答案】B 【分析】取，则，即可判断A；根据即可判断B；设，则，得，由得，进而，解之即可判断C；利用作差法计算，由B可知，即可判断D. 【详解】A：由题意知，取，则数列单调递增， 又，所以， 所以， 得，即数列单调递增，故A正确； B：当时，数列单调递增， 则，得， 所以，故B错误； C：当，则数列单调递增， 设，则， 当时，数列单调递增，由， 得， 所以， 即，得，① 又， 即，所以， 联合①式，得，解得，故C正确； D：， ， 又， 所以， 即，故D正确. 9．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作商法判断A；利用特值法判断BD；利用作差法判断C. 【详解】选项A中，若，则, 由于，所以成立，故A正确； 选项B中，，，由，取， 则，此时，，即，故B错误； 选项C中，若，则， 由于，则，故C错误； 选项D中，令，则，故D错误. 故选：A. 10．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性以及对数函数单调性可判断范围，比较它们的大小；利用作商法比较的大小，即可得答案. 【详解】因为函数在R上单调递增，所以． 又，所以． 因为，故在上单调递减， 所以，所以， 所以实数的大小关系为， 故选：B． 11．已知，，，试比较a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用常见的不等式，估计出的范围，精确估计出，然后利用作商法比较大小. 【详解】先证明两个不等式： （1），设，则 ，即在上单调递减，故 ，即成立 （2），设，则 ，即在上单调递增，故 ，即成立 再说明一个基本事实，显然，于是. 由（1）可得，取，可得； 由（2）可得，取，可得，再取，可得，即. ，显然，于是； ，显然，于是.故. 故选：B 二、解答题 12．（1）求证：当时，； （2）利用（1）的结论，比较，，的大小. 【答案】（1）证明见下详解；（2） 【分析】（1）分别构造两个函数，利用导数研究函数的单调性，即可对两个不等式作出证明； （2）利用（1）的结论，估计三角函数值并比较大小即可. 【详解】（1）解：设，，则， 又，所以单调递增，即， 所以在单调递增，因此，所以； 再设，，则， ，由，则， 所以， 则单调递减，所以，因此在单调递减， 则，所以，即， 因此，当时，； （2）由（1）知当时，， 取，则， ， 又，所以， 因此. 题型03 求代数式的取值范围 一、单选题 1．（25-26高三下·江苏如皋中学·培优）已知三个不相同的正整数的平均数是11，且最大数与最小数的差为6，则中间的数为（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【分析】设出未知数，利用平均数和极差得到，从而根据不等式关系得到，求出答案 【详解】三个不相同的正整数分别为，， 则，， 故，则，故，解得， 又，即，解得， 故，又为正整数，故，故，中间值为11. 【新思维】2．对于任意的，都有和恒成立，其中a，b为实数．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意将不等式整理为，结合对勾函数性质构造函数，再结合线性规划求解即可. 【详解】由，不等式两侧同时除以，得， 整理得，设，根据对勾函数的性质可得 当时，取最小值为4， 当时，， 当时，，故， 即，恒有. 设，则，即①， 建立关于的平面直角坐标系如图所示，①表示四条直线围成的一个平行四边形， 联立方程求解顶点坐标可得 ，， ，. 设目标函数为，将 代入，得，即可行域内恒成立， 故. 当时，，代入， 可得的取值分别为，故； 当时，，代入，可得， 综上所述. 故选：A. 3．当时，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由指数函数的单调性确定，再结合对数函数的图象和性质分两类讨论可得. 【详解】因为，函数在单调递增，所以. 当时，因为，所以，故不等式不成立； 当时，函数在单调递减，要使不等式成立，只需， 得，解得（舍去），又因为，所以. 故选：B 4．已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角的余弦公式，结合的取值范围，及不等式的性质求得的取值范围，从而得到的最大值. 【详解】当时，，得到. 由题意得. 由，得，所以. 故的最大值为. 故选：A. 5．已知点，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则.由题求出的取值范围，根据不等式的性质，可得的取值范围. 【详解】设，则. 因为，所以. 所以. 所以. 所以. 其中当与同时取最大值时，即与时，取得最大值，最大值为.此时，点重合，坐标为或. 当与同时取最小值时，即与时，取得最小值，最小值为.此时，点的坐标分别为或. 所以的取值范围是. 故选：B. 6．(25-26高三上·浙江杭州·)《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载（用现代文表达）：今有牛､羊､猪各数头（各有至少1头），已知猪的数量多于羊，羊的数量多于牛，牛的数量的3倍多于猪､羊数量之和，则牛､羊､猪的总头数至少为（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】B 【分析】根据题意列出不等式组，解出即可. 【详解】设牛、羊、猪分别为 头，则根据题意有，则， 则 ，则 ，则. 故选：B. 二、多选题 【新考法】7．(25-26高三·四川德阳·)已知关于x的方程：有两个根，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】选项A通过分析函数与的图象交点情况确定；选项B利用函数的图象来判断；选项C根据满足的方程变形求解；选项D分析满足的方程，结合构造函数，利用函数单调性判断. 【详解】因为方程有两个根， 所以， 又，， 所以函数与函数图象在上有两个交点， 而，由此可作出的大致图象； 如图所示，所以，选项A正确； 根据图象可知当m逐渐增大时，，而将会大于1，此时， 可得不成立，选项B不正确； 因为，则， 所以， 则， 因为，，所以，选项C正确； 因为，则， 所以， 则， 两边取对数得. 因为， 令， 令， ，， 因为，，单调递增， 即得，即， 所以，即，选项D正确. 8．已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项分析判断. 【详解】对于A，由，得，而，则，A错误； 对于B，由，得，而，则，B正确； 对于C，由，得，而，则，C错误； 对于D，由，得；由，得，则， 因此，即，D正确. 故选：BD 三、填空题 9．已知，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用换底公式换为，结合对勾函数求解即可. 【详解】因为， 所以令，则，所以，由的图象可知， 所以，，所以. 故答案为：. 10．(25-26高三上·福建多校·)若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】等价变形给定不等式，构造函数并确定在上单调性，求出最值并建立不等式，再利用不等式性质求出范围. 【详解】对任意的，不等式恒成立， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 则，因此，又，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 11．已知实数满足，则的取值范围是__________.. 【答案】 【分析】由题干中的等量关系化简所求代数式，根据参数的取值范围，可得答案. 【详解】，则， 又，得， 设，由函数在上单调递减，在上单调递增， 则，由原式为，则所求范围为. 故答案为：. 12．已知，，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】用待定系数法求出的表示形式，再根据和的取值范围求出的范围即可. 【详解】设，即，解得. 所以. 因为，. 所以，. 所以 . 故答案为：. 【新思维】13．(25-26高三上·浙江强基联盟·)已知，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为______． 【答案】 【分析】由可对不等式同除，然后求不等式右边的最小值.利用诱导公式和和差角公式化简右边代数式，分析得到右式在时取到最小值，此时再次化简右边等式，利用换元法得到代数式，构造函数，利用导数得到函数的最大值，从而得到右边代数式的最小值，然后得到实数的最大值. 【详解】∵，∴， 原式等价于， 化简得右式 以作为主元可得右式在时取到最小值， 此时右式， 令，则右边， 令，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， ∴，因此． 故答案为：. 题型04 不等式的基本证明 一、单选题 1．(24-25高三上·浙江金华·一模)某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 【答案】A 【分析】根据不等式的性质以及简单的逻辑推理，找出正确的选项即可. 【详解】设选辩题A的男生有x人，选辩题A的女生有y人，选辩题B的男生有m人，选辩题B的女生有n人. 已知该班女生人数多于男生人数，即；又知选辩题A的人数多于选辩题B的人数，即. 将这两个不等式相加得到：，两边同时消去得到，即. 这就意味着选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数. 故选：A. 2．对，不等式恒成立，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】令，通过举反例说明选项A、B错误；对于选项C、D，通过分析可得在 上恒成立，问题转化为函数有相同的零点，计算可得选项D正确. 【详解】由得， 对于选项A、B，若，可令，不等式可化为， 当时，， 要使恒成立，则需，即恒成立， ∴， 当时，， 要使恒成立，则需，即恒成立， ∴， ∴， 当时，， 要使恒成立，则需，即恒成立， ∴， 综上可得，不存在使得不等式恒成立，选项A、B错误. 对于选项C、D，若， ∵ ∴， ∴， 要使不等式恒成立，则需， ∵函数在为增函数， ∴函数有相同的零点， 由得，由得，， ∴，即， ∴， ∴，选项D正确. 故选D. 二、多选题 3．下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】对于A，由不等式同向可加性可判断选项正误；对于B，由可判断选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，由作差法可判断选项正误. 【详解】对于A，因，由不等式同向可加性可得，故A正确； 对于B，因，则，故B正确； 对于C，当，时，，故C错误； 对于D，， 因，则， 从而，故D正确. 故选：ABD 4．若实数x，y满足，则下列选项一定正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】用特例说明A是错误的，根据不等式的性质，结合完全平方公式，可判断B的真假；利用点到直线的距离公式可判断C的真假；根据绝对值不等式的性质，可判断D的真假. 【详解】对A：当，时，满足，但，则不成立，故A错误； 对B：因为，所以，所以，故B正确； 对C：设，其中，， 则 ，故C正确； 对D：因为 ， 因为，，所以，所以成立，故D正确. 故选：BCD 【新情境】5．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，如图所示．已知点是上一点，则（    ） A． B． C．当时，的最大值为 D．曲线在轴左侧所围成的区域面积大于2 【答案】ABD 【分析】对于A，由已知方程解得， 由，解不等式从而判定A；利用不等式的基本性质分析，可以判定B正确；对于C，设，利用导数研究单调性求得最大值，进而得到当时，的最大值，然后比较可以判定；对于选项D，利用多边形面积比较得到曲线在 y 轴左侧围成的“闭合瓣”面积大于2,可以判定D. 【详解】将方程，整理为，从而可解得. 讨论自变量 的取值要使 为实数且，需. 结合  并对分母、分子作符号分析，可得可行解域为. 故 A 正确； 由可见，当给定 时，实数满足. 为判断成立，只需验证足成立， 当时两边都是0，显然成立； 当时平方并利用化简得，这显然成立. 故 B正确； 当  时求的最大值，必然在区间之间存在最大值. 设， ， 令，得， 时，单调递增；时，单调递减. ， 因此，函数 的最大值为， 这实际上是 y² 的最大值，故最大 y 应为， 而选项 C 把最大 y 直接写成 （未开平方）显然有误，故C错误； 对于选项D 首先，我们分析曲线的对称性. 曲线方程为：， 注意到方程中 的幂次均为偶数，因此曲线关于 轴对称. 接下来，我们找到曲线与 轴的交点。 令 ，代入方程解得，因此曲线与 轴的交点为 。 在 轴左侧，我们取以下几个关键点： ，代入方程解得，得. 取，代入方程求得，得 和 取，代入方程求得，得 和 . 如图连接各线段，由题图可知多边形在曲线内部，面积小于曲线左侧部分的面积. 计算这个四边形的面积： 所以曲线在轴左侧所围成的区域面积大于2， 故选项 D 正确. 故选：ABD. 三、填空题 6．记表示数集中最大的数，设为正数，，，则的最小值为__________. 【答案】4 【分析】由不等式性质可得，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由题意，， 则， 当且仅当时，全部取得等号，所以，故的最小值为4. 故答案为：4. 四、解答题 7．(25-26高三上·湖南益阳·)已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，，求的取值范围； (3)若，证明：. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当时，，利用导数求其单调区间； （2）依题意，当时，成立，利用导数结合单调性进行证明； （3）令，，则，用此不等式对待证不等式左边各项放缩，并利用不等式的基本性质即可证得. 【详解】（1）当时，. 所以，. 所以，当时，，单调递增. 当时，，单调递减. 综上，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）当，成立，等价于当时，成立. 因为，设，则. 所以，单调递减，即单调递减. 当时，.所以，单调递减，，符合题意. 当时，，所以存在，使得当时，. 此时单调递增，，不符合题意. 综上. （3）由（2）知，当时，对任意，都有， 即成立，令，， 则. 当时，. 所以，. 当时，. 综上，. 8．记数列的前n项和为，已知，且，数列满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)记的前n项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用等比数列定义推理得证. （2）由（1）求得，再利用前n项和与第n项的关系求解. （3）利用不等式的性质，结合数列求和推理得证. 【详解】（1）由，，得，而， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列. （2）由（1）得，则，而， 两式相减可得，即， 所以. （3）依题意，，而，则， 当时，， 故. 【新情境】9．已知双曲线的右顶点为，右焦点为，直线与交于两点，且. (1)求的方程； (2)已知是轴的正半轴上点列，是第一象限曲线上点列），且和重合，与轴垂直，直线的斜率为，记点的横坐标为，设的面积为. （i）写出之间的递推公式； （ii）求证：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用焦点坐标以及垂直关系联立方程组计算可得结果; （2）（i）设，利用两点间斜率公式计算可得递推公式； （ii）根据递推公式利用双曲线的范围结合放缩法可得，再写出的表达式利用等比数列的前项和公式计算即可. 【详解】（1）如下图： 易知，不妨设， 则，① 又， 由，得， 即， 所以，即，② 将②代入①得，即， 又， 所以， 由题意知，所以， 故的方程为. （2）（i）设，则， 又在第一象限，所以. 又直线的斜率，即 所以， 即所求递推公式为. （ii）证明：由， 两边平方得，即， 两边平方得， 所以，所以， 又，所以， 故， 所以当时，， 即， 所以， 所以.又， 所以， 由题意知， 由得， 故 . 【新角度】10．设正项数列，如果对小于的每个正整数都有，则称是数列的一个“时刻”.记是数列的所有“时刻”组成的集合（其中）. (1)若，求； (2)若，且，证明：； (3)若中存在使得，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“时刻”的概念可得，，由此可得结果. （2）根据题意可得，由得，由此可证明结论. （3）记，可证明，即证明结论. 【详解】（1）当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上，. （2）由题意知， 即，所以， 由得，所以，所以，即. （3）因为存在使得，所以， 记， 显然，且对任意的正整数，即， 又因为，所以，所以，所以. 11．已知实数，，满足. (1)若，求证：； (2)若，，，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）由条件得且，代入，利用基本不等式求解. 【详解】（1）由，且，得，， 故，所以，所以，即. （2）由且，，，得，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 12．(24-25高三上·四川雅安·)已知数列满足，（，且）． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和； (3)令，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用构造法，结合等比数列定义推理即得. （2）由（1）求出，再利用分组求和法及错位相减法求即得. （3）利用（2）的信息求出，再利用不等式的性质，结合等比数列求和公式推理得证. 【详解】（1）数列中，当时，，则， 而，又，解得，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，，即，， 则， 令， 则， 两式相减得， 则，所以. （3）由（2）知，，，显然， 则；又， 于是， 所以. 重难·创新演练 设题创新:综合考察 一、单选题 1．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是（   ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 【答案】D 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，所以，. 所以，令，且. 则， 当或时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 综上所述：顾客购得的黄金是无法确定的. 2．已知实数满足，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，可知，无法判断正负，所以选项A错误； 对于选项B，可知时，所以，所以选项B错误； 对于选项C，因为，所以， 可知，当且仅当，即时取等号，所以等号取不到， 所以，选项C正确； 对于选项D，当时，无法判断不等式是否成立，所以选项D错误； 3．（2026·山东日照·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数单调性判断A，利用基本不等式判断B，利用作差法即可求解BD. 【详解】由可得 对于A，由于，函数为单调递增函数，故 ，故A错误， 对于B， ，由于 ，故 ， 故，则，故B错误， 对于C，由于故 ，故C错误， 对于D， ，由于得，故. 4．已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得且，再由为减函数可得，从而可判断A和D的正误，对于B，利用导数可得时不成立，对于C，利用零点存在定理可判断当时不成立. 【详解】因为且，故， 而，故，所以，故， 设，则， 所以为上的减函数， 而即为，故，故D成立. 由可得即， 故， 所以，所以即，故A错误. 对于B，取，由D的分析可得. 若，则即， 设，， 而均为上的减函数，故为上的减函数， 故， 所以在上为减函数， 所以，故， 所以不成立，故B错误. 对于C，取，则，即， 仍取D分析中的函数，考虑方程的解， 设，因为为上的减函数， 所以为上的减函数，而, 故，故此时不成立，故C错误. 二、多选题 5．已知数列的前项和为，若，，则（    ） A．数列为等比数列 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用等比数列的定义可判断A选项；求出数列的通项公式，代值计算可得的值，可判断B选项；利用作差法可判断C选项；当时，放缩得出，结合等比数列的求和公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为数列的前项和为，且，， 则，所以， 且，所以数列是首项为，公比为的等比数列，A对； 对于B选项，由A选项可知，故， 所以，B错； 对于C选项， 对任意的恒成立，所以，C对； 对于D选项，当时，， 所以 ，D对. 6．（河北文安县第一中学2026届高三一模）已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则 【答案】ACD 【详解】，，又，，故A正确， 令，，故B错误， ，即，，又，，， ，当且仅当时，即等号成立，故C正确， ， 又，，则， 又，，当且仅当，即时等号成立，故D正确. 7．（2026·哈尔滨三中·二模）若，则成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合充分条件、必要条件的定义，由函数单调性和举反例进行判断，得到结论 【详解】A选项，若，则， 若，则，若，则，所以，充分性成立， 若，不妨设，但不满足，必要性不成立，A正确； B选项，若，不妨设，此时，充分性不成立，B错误； C选项，若，则，充分性成立， 当时，无意义，必要性不成立，C正确； D选项，若，则，当时，， 故为成立的充分必要条件，D错误. 8．（江西省萍乡市2026届高三上学期一模）已知实数，若，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于选项A，利用对数函数单调性判断的范围；对于选项B，利用幂函数单调性判断与的大小；对于选项C，作差比较与的大小；对于选项D，构造函数判断与的大小，即可得出结果. 【详解】对于选项A，已知，则，故，A正确. 对于选项B，因为，幂函数在上单调递增，又，所以，B错误. 对于选项C，， 因为，，所以，，， 故，即，C正确. 对于选项D，构造函数，，则在上单调递增. 因为，所以，即，整理得，D错误. 故选：AC 9．（陕西省铜川市印台区等2地2026届高三一模）已知三次函数，下列说法正确的是（    ） A．若的极大值为4，则 B．的极小值为0，则 C．，则 D．存在，使在的值域为 【答案】AC 【分析】A选项，显然，求导，并进行因式分解，分和两种情况，得到的单调性和极值情况，得到，A正确；B选项，在A基础上，分和两种情况，分析出满足要求；C选项，作差法比较出，C正确；D选项，在A基础上，分，和三种情况，得到D错误. 【详解】对于A选项，显然，， 令得或3，若， 令，得或，令，得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，在处取得极小值，且， 令，解得；若， 令得，令得或， 故在，上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，在处取得极大值， 且，不合要求，综上，，A正确； 对于B选项，由A可知，当时，极小值为，满足要求； 当时，极小值为，不合要求，则，B错误； 对于C选项，由题意得， 可得，， 又，故，故，C正确； 对于D选项，由A知，时，在，上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 显然的最小值为，不合要求； 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 若，则在上单调递增，在上单调递减， 其中，故的最小值为，不合要求； 若，则在上单调递减，故的最小值为，不合要求； 不存在，使在的值域为，D错误. 故选：AC 10．设且，若，则下列大小关系可能成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先降次，将降为后再构造函数即可判断. 【详解】因为且，，所以. 又，所以. 构造函数， 则的定义域为，， 所以在上单调递减，又， 所以当时，，即，所以， 所以，故CD正确； 当时，，即， 所以，所以，故AD正确，B错误. 故选:ACD. 11．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用导数求得，可得，再由导数研究的区间单调性，可得，即可求解. 【详解】令且，则恒成立， 所以在上单调递增，则，即， 由得，， 而， 所以，即， 设且，则，所以在单调递增， 由，得，则， 所以. 故选：AD 三、解答题 【新思维】12．（2026·山东济南·一模）已知函数的定义域为，导函数.将所有的极值点按照从小到大的顺序排列构成数列. (1)若，比较与的大小； (2)从下列两个命题中任选一个证明： ①数列为递减数列； ②数列为递增数列； （若两个命题均选，按照第一个解答计分） (3)若为正整数，且对任意的，都有，求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）先根据导函数确定极值点，再通过作差法比较 与 的大小； （2）选择①，构造函数，选择②，构造函数求导计算可得 ，结合（1）中可得的正负，通过分析函数的单调性来判断相邻两项的差值； （3）先分析函数在给定区间上的单调性，再根据单调性求出函数在该区间上的最值，可得，构造函数，通过单调性判断进而得出，确定的最小值. 【详解】（1）令，得， 因为为的变号零点，所以. 当时，，且. ， . 故. （2）选择①， 令， 则， 当时，即时，， ， 故， 由（1）知，. 故单调递减，从而有， 即， 即，从而数列为递减数列. 选择②， 令， 则， 当时，即时，， ， 故， 由（1）知，， 故单调递增，从而有， 即， 即，从而数列为递增数列. （3）由（2）知，在区间上，的最大值为，的最小值为. 对任意，都有成立， 当且仅当. 因为为正整数，所以当时，令， 则， 注意到，且， 从而有， 故单调递增. 故，即，故. 从而的最小值为1. 真题·实战演练 高频考点：不等式性质的应用 一、单选题 1．（2016·浙江卷·高考）已知实数a，b，c. A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100 B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2＜100 C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2＜100 D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2＜100 【答案】D 【详解】试题分析：采用排除法：A.令可排除此选项， B.令可排除此选项， C.令可排除此选项，故选D． 【考点】不等式的性质． 【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式． 二、填空题 2．（2010·江西卷·高考）如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，分别经过三条棱作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，则的大小关系为__________________． 【答案】 【分析】根据中点的对称性分析相应的截面，结合垂直关系运算求解. 【详解】取的中点，连接， 可知点到平面的距离相等，所以平面平分三棱锥的体积， 因为平面，所以平面， 且平面，则， 设，则， 因为为直角三角形，则， 所以， 同理可得：， 因为，则， 所以. 故答案为：.    三、解答题 3．（2014·上海卷·高考）定义域为R，且对任意实数都满足不等式的所有函数组成的集合记为M，例如，函数． (1)已知函数，证明：； (2)写出一个函数，使得，并说明理由； (3)写出一个函数，使得数列极限 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据定义可证明； （2）取，，则可说明； （3）取即可满足条件. 【详解】（1）由题设可得当或时，均有， 若，时，由， 而， 故， 所以成立； 若，时， 则， 所以成立； 综上，. （2）取，，则， 故. （3）取满足，则，. 4．（2013·陕西卷·高考）已知函数. (1)若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值; (2)设x>0, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线 公共点的个数. (3)设a<b,比较与的大小, 并说明理由. 【答案】(1) （2）当时两曲线有2个交点；当时两曲线有1个交点；当时两曲线没有交点 (3)，理由见解析. 【分析】（1）设切点，利用导数的几何意义得到方程组可得答案； （2），转化为与图象交点的个数问题； （3）作差得到，令，构造新函数 ，求导即可得到答案. 【详解】函数 (1)函数，的反函数为， 设切点坐标为则，.    （2）令即，设 有，当，，当， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，所以当时，两曲线有2个交点； 当时，两曲线有1个交点；当时，两曲线没有交点. （3） ，令 上式 令 ，则恒成立， ，而，， 故 5．（2007·重庆卷·高考）已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且 （1）求{}的通项公式； （2）设数列{}满足，并记为{}的前n项和，求证：. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【分析】（1）利用与的关系可得，结合条件及等差数列的定义即得； （2）由题可得，，令，然后判断增减性，进而可证；或利用放缩法证明；或利用数学归纳法证明. 【详解】（1）由，解得或，又， 因此， 又由， 得， ∴或，因，故不成立，舍去． 因此， 从而是公差为，首项为的等差数列， 故的通项为． （2）证法一：由可解得； 从而， 因此， 令，则． 因， 故． ∴，从而． 即． 证法二：同证法一求得及， 由二项式定理知，当时，不等式成立． 由此不等式有 ． 证法三：同证法一求得及． 令，． 因．因此． 从而 ． 证法四：同证法一求得及． 下面用数学归纳法证明：． 当时，，， 因此，结论成立． 假设结论当时成立，即． 则当时， 因， 故， 从而．这就是说，当时结论也成立． 综上对任何成立． 6．（2012·陕西卷·高考）设函数 (1)设，，，证明：在区间内存在唯一的零点； (2)设为偶数，，，求的最小值和最大值； (3)设，若对任意 ，有，求的取值范围； 【答案】(1)证明见解析 (2)最小值为，最大值为 (3) 【分析】（1）依题意可得，再用导数判断的单调性即可得证； （2）由和，得到①，②，再由不等式的性质求出的取值范围，即可得解； （3）当时，，等价于在上最大值与最小值之差，据此分类讨论解决即可． 【详解】（1）解：当，，时， ， 在区间内存在零点， 又当时，， 在上单调递增， 在区间内存在唯一的零点； （2）解：依题意，即，① ，即，② ①②得：， 当，时，；当时，； 的最小值为，最大值为； （3）解：当时，，对任意，，，有， 等价于在上最大值与最小值之差，据此分类讨论如下： 当，即，，与题设矛盾； 当，即时，恒成立， 当，即时，恒成立， 综上所述，． 7．（2006·陕西卷·高考）已知函数，且存在，使． (1)证明：是上的单调增函数； (2)设，，，，其中．证明：； (3)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】(1)结合已知条件，利用导函数即可证明； (2)结合已知条件，利用数学归纳法即可证明； (3)结合已知条件可得到，然后结合(2)中结论求出的取值范围即可证明. 【详解】（1）因为， 所以在上恒成立， 故是上的单调增函数. （2）由，，，，，可知， ， 因为是上的单调增函数， 所以， 从而有， 用数学归纳法证明如下： ①当时，上面已证明成立； ②假设当时，所证不等式成立， 则， 当时， 因为是上的单调增函数， 所以， 即， 即当时，所证不等式也成立. 综上所述，对，. （3）由题意，， 从而， 由(2)知，时，数列是首项为0的单调递增数列，且， 数列是首项为的单调递减数列，且， 故， 从而. 1 / 53 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $