综合自测题（3）2025-2026学年人教版七年级下册数学

**基本信息** 七年级数学下学期期末综合自测题，以《九章算术》买琎石问题、长江防汛探照灯运动等情境为载体，融合几何直观、模型意识与推理能力，实现文化传承与实际应用的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|平行线性质、平方根、统计调查|第6题以《九章算术》古题考查方程组建模，体现数学文化| |填空题|6/18|坐标系、角平分线规律|第16题通过角平分线迭代探究角度规律，培养创新意识| |解答题|9/72|不等式组、统计图表、方案设计|22题购物方案设计考查模型意识，25题探照灯运动问题融合空间观念与推理能力|

七年级数学下学期 综合自测题（3） 考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题3分 ，共计30分 ）   1.下列命题是真命题的是（       ） A.两直线平行，同位角相等 B.两个锐角的和是钝角 C.如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 D.同旁内角互补 2.的平方根是（     ） A.3 B. C. D.81 3.已知，则下列不等式中正确的是（     ） A. B. C. D. 4.下列调查中，最适合采用普查的是（        ） A.调查浙江省中学生的睡眠时间 B.调查西湖的水质情况 C.调查某新能源汽车的销量状况 D.调查全班同学的视力情况 5.在平面直角坐标系中，若点在第四象限，且点到轴的距离为1，到轴的距离为2，则点的坐标为（     ） A. B. C. D. 6.中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？其大意：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差了钱．问人数、琎价各是多少？设人数为，琎价为钱，则可列方程组为（        ） A. B. C. D. 7.如图，直线相交于点O，，且平分．若，请用含的代数式表示的度数（        ） A. B. C. D. 8.实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果是（       ） A.2a B.2b C.2a＋2b D.0 9.若整数使关于的不等式组至少有个整数解，且使关于，的方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数的个数是（     ） A. B. C. D. 10.已知直线 ，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（       ） ①如图，若，，则； ②如图，点在之间，当，，则； ③如图，点在之间，当，，则； ④如图，的角平分线交于，且 ，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计6小题 ，每题3分 ，共计18分 ）   11.2﹣的值________0（填“大于”、“小于”或“等于”） 12.在平面直角坐标系中，点A为，点B为，直线轴，则________ 13.某市出租车夜间收费（单位：元）与行驶路程（单位：千米）之间的关系如图所示，如果勇勇乘出租车最远能到公里，那么他恰有____________元． 14.已知方程组，则的值___________． 15.若关于的不等式组有解，且关于的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为________． 16.如图，直线，点P是直线m、n之间的一点，且满足，、分别平分、交于点，、分别平分、交于点；；以此类推，直至交于点．直接写出的度数是_______． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.(4分) 解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来． 18.(6分) 计算 （1）计算：； （2）解方程组：． 19.(7分) 为了解学生周末两天的读书时间，校团委随机调查了部分学生的读书时间（单位：），把统计数据分为四组，，，．其中落在组的数据为：85，60，70，75，65，78，80，62，75，78，85，76，80，70，65，72．根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图： 请根据以上信息，回答下列问题： （1）被调查的学生共有 ___________人； （2）补全频数分布直方图； （3）求扇形统计图中组所对应的扇形圆心角度数； （4）若本校七年级共有400人，请估计阅读时间的学生共有多少人？ 20.(7分) 如图，在正方形网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，点A、B、C、O均在格点上，其中O为坐标原点，． （1）将向右平移6个单位，向下平移1个单位，对应得到，请在图中画出平移后的，写出点的坐标； （2）求的面积； （3）在x轴上有一点P，使得的面积等于的面积，直接写出点P坐标． 21.(8分) 如图，直线，相交于点，，垂足为．     （1）若，求∠COB的度数 （2）若，求的度数． 22.(9分) 某校为推进五育并举，增强学生身体素质，拟开设篮球、足球校本选修课程，现需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和1个足球共需费用330元；购买5个篮球和2个足球共需费用780元． （1）求篮球和足球的单价各是多少元？ （2）在开设选修课程前，学校拟用810元购买若干个篮球和足球进行教学评估，且两种球均要购买，有哪几种购买方案？ （3）若正式开设选修课程需要采购篮球、足球共60个，并要求篮球不少于19个，且总费用不超过6050元，试根据不同的购买方案，确定如何购买，才能使总费用最少，并求出费用的最小值． 23.(9分) 按要求解答问题： （1）如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，大正方形的边长为______________． （2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为和的长方形沿对角线剪开，将所得到的个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到大正方形的面积为_________，边长为____________________． （3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 24.(10分) 对非负实数“四舍五入”到个位的值记为．即：当为非负整数时，如果，则．反之，当为非负整数时，如果，则，例如：，，，． 试解决下列问题： （1）填空：_______；如果，则实数的取值范围为_________； （2）若关于的不等式组的整数解恰有个，求的取值范围； （3）求满足的所有的值． 25.(12分) 长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤情况．灯 射线自 顺时针旋转至 便立即原速返回至原位置，灯 射线自 顺时针旋转至 便立即原速返回至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯 转动的速度是 /秒，灯 转动的速度是 /秒，且 满足 ．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即 ，且 ． （1）求 的值． （2）如图 ，若两灯同时转动，在灯 射线第一次转到 之前，两灯射出的光线交于点 ，若 ，求 的度数． （3）若灯 射线先转动 秒，灯 射线才开始转动，在灯 射线第一次转到 之前， 灯转动几秒，两灯的光线互相平行？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期 综合自测题（3） 考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题3分 ，共计30分 ）   1.下列命题是真命题的是（       ） A.两直线平行，同位角相等 B.两个锐角的和是钝角 C.如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 D.同旁内角互补 2.的平方根是（     ） A.3 B. C. D.81 3.已知，则下列不等式中正确的是（     ） A. B. C. D. 4.下列调查中，最适合采用普查的是（        ） A.调查浙江省中学生的睡眠时间 B.调查西湖的水质情况 C.调查某新能源汽车的销量状况 D.调查全班同学的视力情况 5.在平面直角坐标系中，若点在第四象限，且点到轴的距离为1，到轴的距离为2，则点的坐标为（     ） A. B. C. D. 6.中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？其大意：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差了钱．问人数、琎价各是多少？设人数为，琎价为钱，则可列方程组为（        ） A. B. C. D. 7.如图，直线相交于点O，，且平分．若，请用含的代数式表示的度数（        ） A. B. C. D. 8.实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果是（       ） A.2a B.2b C.2a＋2b D.0 9.若整数使关于的不等式组至少有个整数解，且使关于，的方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数的个数是（     ） A. B. C. D. 10.已知直线 ，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（       ） ①如图，若，，则； ②如图，点在之间，当，，则； ③如图，点在之间，当，，则； ④如图，的角平分线交于，且 ，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计6小题 ，每题3分 ，共计18分 ）   11.2﹣的值________0（填“大于”、“小于”或“等于”） 12.在平面直角坐标系中，点A为，点B为，直线轴，则________ 13.某市出租车夜间收费（单位：元）与行驶路程（单位：千米）之间的关系如图所示，如果勇勇乘出租车最远能到公里，那么他恰有____________元． 14.已知方程组，则的值___________． 15.若关于的不等式组有解，且关于的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为________． 16.如图，直线，点P是直线m、n之间的一点，且满足，、分别平分、交于点，、分别平分、交于点；；以此类推，直至交于点．直接写出的度数是_______． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.(4分) 解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来． 18.(6分) 计算 （1）计算：； （2）解方程组：． 19.(7分) 为了解学生周末两天的读书时间，校团委随机调查了部分学生的读书时间（单位：），把统计数据分为四组，，，．其中落在组的数据为：85，60，70，75，65，78，80，62，75，78，85，76，80，70，65，72．根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图： 请根据以上信息，回答下列问题： （1）被调查的学生共有 ___________人； （2）补全频数分布直方图； （3）求扇形统计图中组所对应的扇形圆心角度数； （4）若本校七年级共有400人，请估计阅读时间的学生共有多少人？ 20.(7分) 如图，在正方形网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，点A、B、C、O均在格点上，其中O为坐标原点，． （1）将向右平移6个单位，向下平移1个单位，对应得到，请在图中画出平移后的，写出点的坐标； （2）求的面积； （3）在x轴上有一点P，使得的面积等于的面积，直接写出点P坐标． 21.(8分) 如图，直线，相交于点，，垂足为．     （1）若，求∠COB的度数 （2）若，求的度数． 22.(9分) 某校为推进五育并举，增强学生身体素质，拟开设篮球、足球校本选修课程，现需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和1个足球共需费用330元；购买5个篮球和2个足球共需费用780元． （1）求篮球和足球的单价各是多少元？ （2）在开设选修课程前，学校拟用810元购买若干个篮球和足球进行教学评估，且两种球均要购买，有哪几种购买方案？ （3）若正式开设选修课程需要采购篮球、足球共60个，并要求篮球不少于19个，且总费用不超过6050元，试根据不同的购买方案，确定如何购买，才能使总费用最少，并求出费用的最小值． 23.(9分) 按要求解答问题： （1）如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，大正方形的边长为______________． （2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为和的长方形沿对角线剪开，将所得到的个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到大正方形的面积为_________，边长为____________________． （3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 24.(10分) 对非负实数“四舍五入”到个位的值记为．即：当为非负整数时，如果，则．反之，当为非负整数时，如果，则，例如：，，，． 试解决下列问题： （1）填空：_______；如果，则实数的取值范围为_________； （2）若关于的不等式组的整数解恰有个，求的取值范围； （3）求满足的所有的值． 25.(12分) 长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤情况．灯 射线自 顺时针旋转至 便立即原速返回至原位置，灯 射线自 顺时针旋转至 便立即原速返回至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯 转动的速度是 /秒，灯 转动的速度是 /秒，且 满足 ．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即 ，且 ． （1）求 的值． （2）如图 ，若两灯同时转动，在灯 射线第一次转到 之前，两灯射出的光线交于点 ，若 ，求 的度数． （3）若灯 射线先转动 秒，灯 射线才开始转动，在灯 射线第一次转到 之前， 灯转动几秒，两灯的光线互相平行？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期 综合自测题（3） 考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题3分 ，共计30分 ）   1.下列命题是真命题的是（       ） A.两直线平行，同位角相等 B.两个锐角的和是钝角 C.如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 D.同旁内角互补 【答案】 A 【解析】 本题考查真命题的判断，平行线的性质和判定，同旁内角，锐角和钝角，掌握相关知识是解决问题的关键．需根据平行线的性质、锐角和钝角的概念、垂直的性质等知识逐一分析选项． 【解答】 解：A、两直线平行，同位角相等，这是正确的，是真命题； B、两个锐角的和可能是锐角或直角，不一定是钝角，原命题错误，是假命题； C、在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，原命题缺少“在同一平面内”，是假命题； D、同旁内角只有在两直线平行时才互补，原命题错误，是假命题． 故选：A. 2.的平方根是（     ） A.3 B. C. D.81 【答案】 C 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解： 3的平方根是 的平方根为  故选：C. 3.已知，则下列不等式中正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可得到答案. 【解答】 解：已知a对于选项A，becausea对于选项B，根据不等式的基本性质，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，∴ a-3对于选项C，根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，∴ ，∴ C错误； 对于选项D，根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，∴ ，∴ D错误. 故选：B. 4.下列调查中，最适合采用普查的是（        ） A.调查浙江省中学生的睡眠时间 B.调查西湖的水质情况 C.调查某新能源汽车的销量状况 D.调查全班同学的视力情况 【答案】 D 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：选项A调查浙江省中学生的睡眠时间，调查范围过大，不适合普查； 选项B调查西湖的水质情况，无法进行全面普查，适合抽样调查； 选项C调查某新能源汽车的销量状况，范围较大，不需要逐一普查，适合抽样调查； 选项D调查全班同学的视力情况，范围小，易操作，符合普查的适用条件； 故适合采用普查的是D. 故选：D.  5.在平面直角坐标系中，若点在第四象限，且点到轴的距离为1，到轴的距离为2，则点的坐标为（     ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，再结合第四象限点横坐标为正、纵坐标为负的特征，即可求出点P的坐标. 【解答】 解： 点P在第四象限 点P的横坐标为正，纵坐标为负 点P到x轴的距离为1 点P纵坐标的绝对值为1，即纵坐标为 点P到y轴的距离为2 点P横坐标的绝对值为2，即横坐标为2 点P的坐标为(2， ). 故选：A.  6.中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？其大意：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差了钱．问人数、琎价各是多少？设人数为，琎价为钱，则可列方程组为（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据题意找到等量关系即可列出对应方程，得到方程组. 【解答】 解：设人数为x，琎价为y钱， ∵ 每人出钱时，总出钱比琎价多出4钱， ∴ y=x-4， ∵ 每人出钱时，总出钱比琊价少3钱， ∴ y=x+3， 因此可得方程组 .  故选：B. 7.如图，直线相交于点O，，且平分．若，请用含的代数式表示的度数（        ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 先利用邻补角和角平分线求出∠FOC，再利用对顶角求出∠EOD，最后结合垂直定义和角的和差关系求出∠BOD. 【解答】 解：∵ 直线EF，CD相交于点O，∠AOE=α， ∴ ∠AOF=180°-∠AOE=180°-α， ∵ OC平分∠AOF， ∴ ∠FOC=∠AOF=， ∵ ∠EOD与∠FOC是对顶角， ∴ ∠EOD=∠FOC=90°-， ∵ OA⊥OB， ∴ ∠AOB=90°， ∴ ∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-， ∴ ∠BOD=∠EOD-∠BOE=()-()=. 故选：D.  8.实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果是（       ） A.2a B.2b C.2a＋2b D.0 【答案】 D 【解析】 根据数轴可判断a与b的符号，再结合已知可确定a+b的符号，再根据绝对值的计算、算术平方根的性质 ，即可完成化简. 【解答】 由数轴知： 故选：D 9.若整数使关于的不等式组至少有个整数解，且使关于，的方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数的个数是（     ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 先解不等式组得到解集，根据不等式组至少有4个整数解确定a的取值范围，再解方程组，根据方程组的解为整数找出符合条件的整数a，统计其个数即可. 【解答】 解：解不等式 , 解得 ; 解不等式 ; 不等式组的解集为 不等式组至少有4个整数解， 解得 \\ x+y=4 ②, 由 ② 得，， 将 ③ 代入 ① 得， 整理得 将 代入 ③ 得， 方程组的解为整数， 为整数， 为整数，且 , , 所有满足条件的整数a的个数是3个. 故选：C.  10.已知直线 ，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（       ） ①如图，若，，则； ②如图，点在之间，当，，则； ③如图，点在之间，当，，则； ④如图，的角平分线交于，且 ，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题主要考查平行线的判定和性质．①过点作，则，根据平行线的性质即可求解；②过点作，过点作，则，，结合，即可得到结论；③过点作，过点作，则，，结合，即可得到结论；④过点作，则，可得，过点作，可得，即，结合，，可得，进而可得结论． 【解答】 解：①过点作，则， ， ， ， ， ；①正确； ②点作，过点作，则，， ， ，即， 同理：， ，， ， ， ，即，②正确； ③过点作，过点作，则，， ， ，即， 同理：， ， ， ， ，即，③正确； ④过点作，则， ， ，即， ， ， 过点作， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，④正确． 综上，正确的有个， 故选：． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计6小题 ，每题3分 ，共计18分 ）   11.2﹣的值___小于_____0（填“大于”、“小于”或“等于”） 【答案】 小于. 【解析】 根据，即可求解. 【解答】 解：， 小于0. 故答案为：小于. 12.在平面直角坐标系中，点A为，点B为，直线轴，则____1____ 【答案】 1 【解析】 根据平行于x轴的直线的点的纵坐标相等，据此列出关于a的一元一次方程求解即可. 【解答】 解：直线AB//x轴， 点A和点B的纵坐标相等，即， 移项得，解得a=1. 故答案为：1.  13.某市出租车夜间收费（单位：元）与行驶路程（单位：千米）之间的关系如图所示，如果勇勇乘出租车最远能到公里，那么他恰有______19.9________元． 【答案】 【解析】 本题考查了折线统计图．从坐标图可看出千米收费元，路程千米钱数由元在增加，求出每千米增加的钱．可得公里的钱数． 【解答】 解：（千米） （元） （元） 故答案为：． 14.已知方程组，则的值_____5______． 【答案】 【解析】 本题考查了三元一次方程组，利用整体思想解题是关键．利用加减消元法可得，再整体代入方程组求解即可． 【解答】 解：， 由得：， 将③代入①得：， 则， 故答案为：5  15.若关于的不等式组有解，且关于的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为________． 【答案】 【解析】 先解一元一次不等式组，根据不等式组有解确定的取值范围，再解关于的一元一次方程，根据方程有非负整数解找出符合条件的整数，最后计算所有符合条件的整数的和. 【解答】 解： , 解①得： , 解②得： , 不等式组有解, , 解得： , 化简方程 得 , , , 方程的解为 , 方程有非负整数解，且 不满足方程， 为正整数，即 为负整数，且 是6的因数， , , 的可能取值为, 对应整数为. 符合条件的所有整数的和为 . 故答案为：. 16.如图，直线，点P是直线m、n之间的一点，且满足，、分别平分、交于点，、分别平分、交于点；；以此类推，直至交于点．直接写出的度数是________． 【答案】 【解析】 过点P作 PQ ，根据平行线的性质求出 ，从而求出 ，再根据角平分线的定义求出 ，同理得出 ，从而得出一般规律 ，即可得出答案. 【解答】 解：过点P作 PQ ，如图所示： 则 分别平分 同理可得： 分别平分 同理可得： 同理可得： ... 以此类推 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.(4分) 解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 x > -3 ，数轴见详解 【解析】 分别算出每个不等式的解集，再取它们公共部分解集，得出 ，根据要求用数轴表示不等式组的解集，即可作答. 【解答】 解： 由 ，得出 由 ，得出-3≤x 不等式组的解集为-3≤x<1 数轴如图所示：   18.(6分) 计算 （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解：原式 . （2）解：， 由 ① + ② 得 解得 将 代入 ① 得 解得 方程组的解为 .  19.(7分) 为了解学生周末两天的读书时间，校团委随机调查了部分学生的读书时间（单位：），把统计数据分为四组，，，．其中落在组的数据为：85，60，70，75，65，78，80，62，75，78，85，76，80，70，65，72．根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图： 请根据以上信息，回答下列问题： （1）被调查的学生共有 _____40______人； （2）补全频数分布直方图； （3）求扇形统计图中组所对应的扇形圆心角度数； （4）若本校七年级共有400人，请估计阅读时间的学生共有多少人？ 【答案】 40 频数分布直方图如图所示： 160人 【解析】 （1）利用“A组的数据个数除以该组数据所占百分比”，即可获得答案； （2）首先确定落在B组的数据和D组的数据个数，然后补全频数分布直方图即可； （3）利用“C组数据占比”，即可获得答案； （4）利用“七年级总人数乘以抽样调查中阅读时间 （ ）的学生占比”，即可获得答案. 【解答】 （1）解：由图可知，A组的人数为8人，占被调查的学生 被调查的学生共有 （人）； （2）解：根据题意，可知B组的数据共计16个，则D组的数据个数为40-8-16-12=4，故可补全频数分布直方图如图所示： （3）解：扇形统计图中C组所对应的扇形圆心角度数为 （4）解： （人）， .估计七年级阅读时间（ ）的学生共有160人. 20.(7分) 如图，在正方形网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，点A、B、C、O均在格点上，其中O为坐标原点，． （1）将向右平移6个单位，向下平移1个单位，对应得到，请在图中画出平移后的，写出点的坐标； （2）求的面积； （3）在x轴上有一点P，使得的面积等于的面积，直接写出点P坐标． 【答案】 如图， 即为所求： 3 【解析】 （1）分别作出 、B、C的对应点 ，即可得到 （2）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积即可得到 的面积； （3）设 ，利用三角形面积关系构建方程求解即可. 【解答】 （1）解：图画，略； 向右平移6个单位，向下平移1个单位，对应得到 坐标为（-3+6，3-1），即 （2）解： 的面积 （3）解：设 向右平移6个单位，向下平移1个单位，对应得到 的面积 解得： 或7， 或P（7，0）.  21.(8分) 如图，直线，相交于点，，垂足为．     （1）若，求∠COB的度数 （2）若，求的度数． 【答案】 128° 36° 【解析】 （1）根据垂直的定义得出，根据余角的定义求得，进而根据邻补角即可求解； （2）根据题意设，则，根据平角的定义求得，继而得出，根据余角的定义即可求解. 【解答】 （1）， ， 又 ， ， ； （2）设， ， ， ， 即， ， ， 又 ， ， .  22.(9分) 某校为推进五育并举，增强学生身体素质，拟开设篮球、足球校本选修课程，现需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和1个足球共需费用330元；购买5个篮球和2个足球共需费用780元． （1）求篮球和足球的单价各是多少元？ （2）在开设选修课程前，学校拟用810元购买若干个篮球和足球进行教学评估，且两种球均要购买，有哪几种购买方案？ （3）若正式开设选修课程需要采购篮球、足球共60个，并要求篮球不少于19个，且总费用不超过6050元，试根据不同的购买方案，确定如何购买，才能使总费用最少，并求出费用的最小值． 【答案】 篮球和足球的单价分别是120元/个、90元/个 共有2种购买方案，分别是：方案1：购买3个篮球，5个足球；方案2：购买6个篮球，1个足球 购买19个篮球，41个足球费用最少，最少费用为5970元. 【解析】 （1）设篮球的单价为x元/个，足球的单价为y元/个，根据购买2个篮球和1个足球共需费用330元；购买5个篮球和2个足球共需费用780元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买m个篮球，n个足球，根据篮球和足球总共花费810元，列出方程，求出方程的正整数解即可； （3）设购买篮球a个，则购买足球(60-a)个，根据篮球不少于19个，且总费用不超过6050元，列出不等式组，解不等式组即可得出答案. 【解答】 （1）解：设篮球的单价为x元/个，足球的单价为y元/个，依题意得: 解得 经检验，符合题意, 答：篮球和足球的单价分别是120元/个、90元/个. （2）解：设购买m个篮球，n个足球，依题意得 整理得 都是正整数, 或 共有2种购买方案，分别是: 方案1：购买3个篮球，5个足球; 方案2：购买6个篮球，1个足球. （3）解：设购买篮球a个，则购买足球(60-a)个，依题意得解得又 , 是正整数, 或20或21, 相应的60-a=41或40或39, 共有3种购买方案，分别是: 方案l：购买19个篮球，41个足球，总费用为：（元）; 方案2：购买20个篮球，40个足球；总费用为：（元）; 方案3：购买21个篮球，39个足球；总费用为：$（元）; 方案1的费用最少，最少费用为5970元.  23.(9分) 按要求解答问题： （1）如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，大正方形的边长为__________________． （2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为和的长方形沿对角线剪开，将所得到的个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到大正方形的面积为___________，边长为______________________． （3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 【答案】 不可行 【解析】 （1）根据大正方形的面积 个小正方形的面积和，即可得解； （2）小正方形的边长等于直角三角形两直角边的长的差，大正方形的面积 个直角三角形的面积 小正方形的面积，据此即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为 ，宽为 ，根据题意列出方程，计算即可解答。 【解答】 （1）解：由拼图可得大正方形面积为 ，其边长为 。 （2）解：由拼图可知，小正方形 的边长为：； 大正方形 的面积为：， 所以正方形 的边长为 。 （3）解：不可行，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为 cm，宽为 cm， 由题意得，， 解得 （负值舍弃）； 所以截出的长方形纸片的长为 cm，宽为 cm， 由于正方形纸片的面积为 ，则这个正方形纸片的边长为 ； ， 故 ， ， 故边长为 正方形纸片，无法裁出一个长为 cm的长方形纸片； 即不能用一块面积为 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 的长方形纸片，使它的长与宽之比为 。 24.(10分) 对非负实数“四舍五入”到个位的值记为．即：当为非负整数时，如果，则．反之，当为非负整数时，如果，则，例如：，，，． 试解决下列问题： （1）填空：____3_____；如果，则实数的取值范围为_________； （2）若关于的不等式组的整数解恰有个，求的取值范围； （3）求满足的所有的值． 【答案】 ①3; ②; ; , 3, , . 【解析】 （1）根据新定义即可求解; （2）先求出不等式组的解集为 , 又因为关于 的不等式组 的整数解恰有2个，所以 , 则 , 解得 ; （3）设 (为非负整数), 所以 , 因为 , 所以 , 则 , 故有 , 解得 , 从而求得 或或或, 然后代入 即可求解. 【解答】 （1）解: ① , ; ② , , 解得 , 实数 的取值范围为 , 故答案为: , ; （2）解: \textcircled{1}\textcircled{2}, 解不等式①得 , 解不等式②得 , 不等式组的解集为 , 关于 的不等式组 的整数解恰有2个，即 , , , , , 即 的取值范围是 ; （3）解: 设 (为非负整数), , , , , , , 解得 , 为非负整数, 或或或, 或或或, 的值为 , , , .  25.(12分) 长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤情况．灯 射线自 顺时针旋转至 便立即原速返回至原位置，灯 射线自 顺时针旋转至 便立即原速返回至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯 转动的速度是 /秒，灯 转动的速度是 /秒，且 满足 ．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即 ，且 ． （1）求 的值． （2）如图 ，若两灯同时转动，在灯 射线第一次转到 之前，两灯射出的光线交于点 ，若 ，求 的度数． （3）若灯 射线先转动 秒，灯 射线才开始转动，在灯 射线第一次转到 之前， 灯转动几秒，两灯的光线互相平行？ 【答案】 a=3,b=1 (3) 10秒或85秒 【解析】 （1）根据绝对值、平方数都是非负数，两个非负数相加等于0，则各自都等于0，继而得到 ，求解即可. （2） (2) 过点C作CE ，设两灯转动时间为x秒，则 ，根据平行线的性质得到关于x的一元一次方程，解方程得到 x=55，即可得出答案。 程得到 ，即可得出答案. （3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分情况讨论，根据平行线的性质即可列出关于 的方程，并解方程得到答案. 【解答】 （1）解： 解得： （2）解：如图，过点C作CE 设两灯转动时间为 秒，则 ， 解得 x=55, （3）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， 由（1）可知，灯 ，B转动的速度分别是 ， ①如图，在灯 的射线 到达 之前时，即当 时， 又 由题意可列方程： 解得： ②如图，在灯 的射线 到达 之后时，即当 时， 又 由题意可列方程： 解得 ③如图，在灯A的射线AC到达AM之后时，即当 时， 又 由题意可列方程： 解得 t=190，190>180，（不合题意，舍去）， 综上所述，A灯转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $七年级数学下学期 综合自测题（3) 考试总分：120分考试时间：120 卷I(选择题) 一、单选题（本题共计10小题，每题3分，共计30分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C B D A B 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分) 1.小于：121：1319.9145：15-14：16280 22026 三、解答题（本题共计9小题，共计72分) 1 9 00 云 4x-2x-1<4 17.(4分)解： 二号 2 由4x-2x-1<4,得出x<1 由X12兴，得出-3≤x 2≤3 ·不等式组的解集为-3≤x<1 数轴如图所示： -4-3-2-101234 18.(6分)(1)解：原式=-1+5-2+V5-2 =V5 (2)解： 4x+y=5① x-2y=8② 由①×2+②得9x=18, 解得X=2, 将x=2代入①得4×2+y=5, 解得y=-3, x=2 ∴.方程组的解为 y=-3 19.(7分)(1)解：由图可知，A组的人数为8人，占被调查的学生20%∴.被调查的学生共有 8÷20%=40(人)： (2)解：根据题意，可知B组的数据共计16个，则D组的数据个数为40-8-16-12=4，故可补全频数分 布直方图如图所示： 频数小 201 16 8 4. 0 306090120150组别 (3)解：扇形统计图中c组所对应的扇形圆心角度数为360°×2-108 40 (4)解： 400×12+4=160(人)， 40 估计七年级阅读时间(90≤x<150)的学生共有160人 20.(7分)(1)解：图画， :△ABC向右平移6个单位，向下平移1个单位，对应得到4A,B,C1,A-3,31,A,坐标为 (-3+6,3-1)，即A13,2. (2)解：4A,B,C,的面积=2×4-号×2x2-号×2×1-号×4×1=3， 2 (3)解：设Pm,0, 51 :B-2,1,A-3,3,△4BC向右平移6个单位，向下平移1 .B4,0A13,2 4PAB,的而积方×m-4到×2-3， 解得：m=1或7， .P1,0或P(7,0) 21.(8分)(1).E01AB. .∴.∠AOE=∠EOB=90, 又.·∠EOD=38°， .∴∠DOB=∠EOB-∠EOD=52' ∴.∠COB=180°-∠D0B=128 (2)设AOC=3x, .AOC:COB=3:7' ∴.∠COB=7x' .·∠AOC+∠C0B=180 即10x=180°， 个单位，对应得到△AB,C1 .∴.x=18 .∴.∠A0C=54 又·∠AOE=90°， .∴.∠AOC+∠EOD=90 ∴.∠EOD=36 22.(9分)(1)解：设篮球的单价为x元/个，足球的单价为y元/个 2x+y=330 5x+2y=780 x=120 解得y=90 经检验，符合题意， 答：篮球和足球的单价分别是120元/个、90元/个. (2)解：设购买m个篮球，n个足球，依题意得 120m+90n=810 .4 整理得n=9-3m .'m,n 都是正整数， ∴m=3或/m=6 n=5n=1 ,:共有2种购买方案，分别是： 方案1：购买3个篮球，5个足球： 方案2：购买6个篮球，1个足球. 依题意得： (3)解：设购买篮球a个，则购买足球(60a个，依题意得120a+90(60-a≤6050解得a≤21号又 .a≥19， 19≤a≤213 是正整数， a .a=19或20或21， 相应的60-a=41或40或39， :.共有3种购买方案，分别是： 方案1：购买19个篮球，41个足球，总费用为：19×120+41×90=5970（元）： 方案2：购买20个篮球，40个足球；总费用为：20×120+40×90=6000（元）； 方案3：购买21个篮球，39个足球；总费用为：21×120+39×90=6030$（元）； .∵5970<6000<6030， :.方案1的费用最少，最少费用为5970元. 23.(9分)(1)解：由拼图可得大正方形面积为1+1=2，其边长为2。 (2)解：由拼图可知，小正方形EFGH的边长为：3-2=1： 大正方形ABCD的面积为：4×号×3×2+1=13， 2 所以正方形ABCD的边长为V13。 (3)解：不可行，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为5xcm,宽为4xcm, 由题意得，5x·4x=740, 解得x=V37(负值舍弃)： 所以截出的长方形纸片的长为5/37cm,宽为4V37cm, 由于正方形纸片的面积为900cm,则这个正方形纸片的边长为30cm: .36<37<49 6 故6<37<7， ∴.30<5V37<35 故边长为30cm正方形纸片，无法裁出一个长为537cm的长方形纸片； 即不能用一块面积为900cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为740cm的长方形纸片，使 它的长与宽之比为5：4。 2410分)1)解：①：3-2314<3+2 .∴.<3.14>=3 ②.<X-1>=2, 2-x12* 解得多5义 .7 ∴.实数x的取值范围为 5sx<7 21 故答案为：3号三X子 (2)解：\textcircled{1}\textcircled{2,解不等式①得x≥-1， 解不等式②得x<<a>, :.不等式组的解集为-1≤x<Q> …关于x的不等式组 2x-4≤x-1 3 的整数解恰有2个，即-1'0 <a>-x>0 .∴.<a>=1 11+号 > 2 1 3 即a的取值范围是2≤a< (3)解：设<x+1>=n(n为非负整数)， ,1 .∴.n- 2x+1<n+2 3 1 ∴.n- 2≤x<n-2 3七 <X+1>= n=4, X, 3 33 ·n-≤兰n<n-,」 解得2<n≤6， n为非负整数， n=3或n=4或n=5或n=6 x=9或x=3或x 15或x 9 4 ×的值为是3早号 25.(12分)(1)解：la-3+a+b-4=0, .∴.a-3=0,a+b-4=0, 解得：a=3,b=1; (2)解：如图，过点C作CE‖MW E--- M A .'PQ‖MN ∴.CE PQ MN, 设两灯转动时间为X秒，则∠MAC=3x°，∠PBC=x .∠CAN=180-3x°， ∴.∠BCE=∠PBC=x°，∠ECA=∠CAN=180-3x '∠ACB=∠BCE+∠ECA=70°， .∴.180-3x+x=70, 解得x=55, ∴.∠CAN=180-3×55°=15°， ∴.∠BAC=∠BAN-∠CAN=45°-15°=30°； (3)解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， 由(1)可知，灯A,B转动的速度分别是3°/秒，1°/秒 ①如图，在灯A的射线AC到达AN之前时，即当0≤t≤60时， MA N .PQ‖MN, .∴.∠PBA=∠MAB, BD//AC .∴.∠CAB=∠DBA, 又.'∠CAM=∠MAB-∠CAB,∠DBP=∠PBA-∠DBA, 9 ∴.∠CAM=∠DBP, :.由题意可列方程：3t=20+t×1, 解得：t=10 ②如图，在灯A的射线AC到达AN之后时，即当60≤t≤120时， P D N PQ MN, .∴.∠QBA=∠NAB, BD//AC, ∴.∠CAB=∠DBA, 又.'∠QBD=∠QAB+∠DBA,∠NAC=∠NAB+∠CAB, ∴.∠QBD=∠NAC, 由题意可列方程：3t-180=180-20+t×1, 解得t=85, ③如图，在灯A的射线AC到达AM之后时，即当120≤t≤180时， D .PQ‖MN, ∴.∠QBA=∠NAB, BD//AC .∴.∠CAB=∠DBA, 又.'∠QBD=∠QAB-∠DBA,∠NAC=∠NAB-∠CAB, .∴.∠QBD=∠NAC, ∴.∠PBD=∠MAC, 10 :.由题意可列方程：3t-120=1×20+t, 解得t=190,190>180,(不合题意，舍去)， 综上所述，A灯转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行. 11