第七章相交线与平行线易错典型题 2025-2026学年人教版七年级下册数学期末复习专项

**基本信息** 聚焦相交线与平行线核心易错点，以11类题型系统覆盖概念理解、性质应用及平移操作，构建从基础到综合的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相交线角度计算|4题|含选择、填空、解答，涉及对顶角、角平分线|从相交线基本概念到角的数量关系推导| |平行线判定与性质|8题|证明题占比高，结合角平分线、垂直|判定与性质互逆应用，强化逻辑推理| |平移|7题|含性质计算、实际应用及作图|从平移性质到网格作图，体现几何直观与应用意识|

第七章相交线与平行线易错典型题 目录 题型1 与相交线有关的角度计算 1 题型2 两条直线垂直 2 题型3 两直线被第三条直线所截 3 题型4 平行线基本事实及其推论 4 题型5 平行线的判定 6 题型6 根据平行线的性质求角度 8 题型7 根据平行线的性质证明 9 题型8 定义、命题、定理 10 题型9 利用平移的性质求解 10 题型10 利用平移解决实际问题 12 题型11 平移作图 14 题型1 与相交线有关的角度计算 1．如图，直线、相交于点O，，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线、相交于点，于点．若，则______． 3．如图，直线，相交于点，平分，射线在内部． (1)若，求的度数； (2)若，，与垂直吗？请说明理由． 4．已知，，，三点在同一直线上，平分． (1)如图1，若平分，求的度数； (2)如图2，若在内，，，求的度数． 题型2 两条直线垂直 5．如图，点为直线外一点，点，点为直线上的两点，已知，，则点到直线的距离可能为（    ） A．1.8 B．2.2 C．2.5 D．2.8 6．如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为______． 7．如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 8．如图，直线，相交于点O，平分，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 题型3 两直线被第三条直线所截 9．如图，下列判断错误的是(     ) A．与是内错角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 10．如图，下列判断正确的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 11．如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是___________（填序号）． 12．如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 题型4 平行线基本事实及其推论 13．下列说法中正确的个数为（    ） ①在同一平面内，两条直线的位置关系只有三种：相交、平行和重合． ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． ④过一点，有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图，是一个风车的示意图，如果旋转到与地面平行的位置时，不能同时与地面平行，理由是：______________________． 15．平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是________． 16．反证法：先假设求证的结论是错误的，由此推导出与已知定义、定理、公理或条件相矛盾的结果，从而否定开始的假设，得出先前求证结果的正确性． 求证：同位角相等，两直线平行． 以下是用反证法证明该命题正确性的过程，请填空： 已知：， 证明：， 假设（ ）． 过点画一条直线，使得， ， （ ）． ，（已知）， 和都过点 ，且都平行于．与平行公理（ ）产生矛盾． 假设不成立， 原命题成立． 题型5 平行线的判定 17． 如图， 直线交于点G， 分别平分 和 已知 (1)请说明： ； (2)若，求 的度数． 18．已知：如图，点在上，且平分． 求证：． 证明：平分（___________）， ______________________（角平分线的定义）． （___________）， ___________（___________）． （___________）． 19．如图，已知，，，试说明：．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式： 解：（已知）， （ ）． （ ） （已知）， （ ）． （ ）． ∴（ ） 即：， ∵（已知） ∴（ ） 即：， ∴（ ） 20．把下面的说理过程补充完整： 已知，如图，直线被直线所截，点H为与的交点，于点H，，．试说明： 解：∵（______________） ， ∴ （____________________________）， 又 （____________________________）， _______ ， （____________________________）， 又（____________________________）， ∴ （______________）， ∴（______________）． 请完成以上推导过程和推理依据，并将相应内容填写在横线上． 题型6 根据平行线的性质求角度 21．如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后入眼，若，，，则反射角的度数为（     ） A． B． C． D． 22．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1，动车顶上的“受电弓”是动车从接触网取得电能的电气设备，保证了动车高速顺畅地运行．“受电弓”示意图如图2所示．已知在某一时刻，，，则的度数为______． 23．如图，点E在的边上，点F在边的延长线上，与交于点G，平分交于点D，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 24．已知：如图，，，， (1)求证： (2)若，，求的度数． 题型7 根据平行线的性质证明 25．如图，下列推理正确的选项是（     ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤若，则． A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 26．如图，四边形中，，，的平分线交于点，连接，，的平分线交的延长线于点F，下列结论：；；平分；．其中正确的结论有__． 27．如图，已知，与互补． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 28．如图，点D、E在上，点F、G分别在上，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型8 定义、命题、定理 29．下列命题中，属于真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 30．把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：_______ 31．下列能说明命题“若，则”是假命题的一组反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 32．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型9 利用平移的性质求解 33．如图，在中，，，，把沿着直线的方向平移后得到，连接、，有以下结论①；②；③；④，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．如图，在中，．将沿向右平移，得到，与交于点F，连接，若，，则图中阴影部分的面积为________． 35．如图，将三角形沿方向平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若是的三等分点，求平移的距离． (3)若四边形的面积为26，请直接写出四边形的面积． 36．如图1是由25个边长为1个单位的小正方形组成的网格，三角形的端点都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题： (1)将三角形向上平移1个单位，向右平移2个单位，画出三角形； (2)连接、，则与之间的数量关系为________；与之间的位置关系为________； (3)如图2，将三角形沿方向平移若干距离得到三角形．若三角形和五边形的周长分别是与，则三角形平移的距离为________． 题型10 利用平移解决实际问题 37．某商场在开业前装修，准备在大厅的楼梯上铺设红地毯，已知楼梯的竖直高度为，水平跨度为，且． (1)至少需要多长的地毯？ (2)若所铺设的地毯每平方米售价为50元，楼梯的宽度为，则至少需要多少元钱去购买地毯？ 38．图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，求，，并比较大小； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是________平方米（用含a，b的式子表示）； (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，求剩余的耕地面积． 39．南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 40．【类比学习】一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用有理数加法表示为． 若坐标平面上的点做如下平移：沿轴方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿y轴方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位，则把有序数对叫做这一平移的“平移量”；“平移量”与“平移量”的加法运算法则为 【解决问题】 (1)计算：______． (2)动点从坐标原点出发，先按照“平移量”平移到，再按照“平移量”平移到；若先把动点按照“平移量”平移到，再按照“平移量”平移，在图1中标出点A、B、C，并画出四边形． (3)如图2，一般船从码头O出发，先航行到湖心岛码头，再从码头航行到码头．用“平移量”加法算式表示它的航行过程为：______ 题型11 平移作图 41．如图，三角形的顶点落在边长为1个单位长度的小正方形网格的格点上． (1)将三角形向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形，请画出三角形．（、、分别对应、 、） (2)图中与相等的角是______； (3)连接、、，图中与相等的线段有______． 42．如图，三角形的三个顶点坐标分别是，，，将三角形先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）． (1)在图中画出三角形； (2)若点P在y轴上运动，当线段长度最小时，点P的坐标是______； (3)在平移过程中，求线段扫过的图形的面积． 43．如图，三角形的三个顶点都在小正方形的格点上，点A的坐标为，点的坐标为，点C的坐标为． (1)画出三角形先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的三角形； (2)分别写出平移后的三角形三个顶点、的坐标； (3)直接写出三角形的面积． 44．如图，在的正方形网格中有，点，，均在格点上． (1)画出点到直线的最短路径； (2)过点画出的平行线，交于点； (3)将向左平移格得到，画出； (4)判断和的数量关系　　　． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章相交线与平行线易错典型题 目录 题型1 与相交线有关的角度计算 1 题型2 两条直线垂直 4 题型3 两直线被第三条直线所截 7 题型4 平行线基本事实及其推论 10 题型5 平行线的判定 11 题型6 根据平行线的性质求角度 16 题型7 根据平行线的性质证明 19 题型8 定义、命题、定理 23 题型9 利用平移的性质求解 24 题型10 利用平移解决实际问题 28 题型11 平移作图 33 题型1 与相交线有关的角度计算 1．如图，直线、相交于点O，，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平角的定义求出，再由角平分线的定义求出，则 ． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 2．如图，直线、相交于点，于点．若，则______． 【答案】 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．如图，直线，相交于点，平分，射线在内部． (1)若，求的度数； (2)若，，与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)与垂直，理由见解析 【分析】（1）由对顶角相等，邻补角互补求出，，由角平分线的定义得出，即可求出的度数； （2）先求出，再根据对顶角相等得到，根据平角的定义求出的度数，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ，． 平分， ． ． （2）解：，理由如下： ，， ． ． 平分， ． ． ． 4．已知，，，三点在同一直线上，平分． (1)如图1，若平分，求的度数； (2)如图2，若在内，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据平角的定义可得，进而求得； （2）根据角平分线的定义得，根据平角的定义可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴ ∵， ∴ （2）∵平分，， ∴， ∴ ∴ 题型2 两条直线垂直 5．如图，点为直线外一点，点，点为直线上的两点，已知，，则点到直线的距离可能为（    ） A．1.8 B．2.2 C．2.5 D．2.8 【答案】A 【分析】根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”这一性质，可知点 到直线的距离应小于或等于与中的较小值，据此判断即可． 【详解】解：设点 到直线 的距离为． 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， 且 ． ，， ． 6．如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为______． 【答案】4.8 【分析】本题主要考查了垂线段最短，点到直线的距离，解题关键是熟练掌握利用线段的性质解决最短路径问题．根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短，过点作于点，交于点，利用已知条件和直角三角形的面积公式，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， 根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短， ， ， ，，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 7．如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 【答案】(1)图见详解 (2) (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查了基本作图以及垂线的画法、点到直线的距离、垂线段最短，正确借助网格得出是解题关键． （1）利用垂线的定义结合网格进而得出直线、； （2）利用点到直线的距离得出答案； （3）利用垂线段的性质进而得出答案； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由（1）得，， ∴的长度是点A到直线的距离， 故答案为：； （3）解：∵垂线段最短， ∴由图可得， 故答案为：；垂线段最短． 8．如图，直线，相交于点O，平分，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角平分线的定义得到，则求出的度数，根据垂线的定义得到，利用求解即可； （2）根据题意得到，利用平角的定义求出的度数，进而得到的度数，利用求解即可． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型3 两直线被第三条直线所截 9．如图，下列判断错误的是(     ) A．与是内错角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】A 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、邻补角的概念逐一判断即可． 【详解】解：A．与是邻补角，原表述错误，符合题意； B．与是内错角，正确，不符合题意； C．与是同位角，正确，不符合题意； D．与是同旁内角，正确，不符合题意． 10．如图，下列判断正确的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 【答案】A 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．与是同旁内角，正确，符合题意； B．与是内错角，原表述错误，不符合题意； C．与是同位角，原表述错误，不符合题意； D．与不是内错角，原表述错误，不符合题意； 故选：A． 11．如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是___________（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查对顶角、内错角、同旁内角的相关概念，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 根据对顶角、同旁内角、内错角的性质判断即可． 【详解】解：与是对顶角，①说法正确； 与是同旁内角，②说法正确； 与不是同旁内角，③说法错误； 与是内错角，④说法正确； 故答案为：①②④． 12．如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 【答案】(1)．（答案不唯一） (2)能，路径如下： ．（答案不唯一） 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． （1）根据内错角，同位角，同旁内角直接逐个判断即可得到答案； （2）根据内错角、同位角、同旁内角反向推导即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，．（答案不唯一） （2）解：能，路径如下： ．（答案不唯一） 题型4 平行线基本事实及其推论 13．下列说法中正确的个数为（    ） ①在同一平面内，两条直线的位置关系只有三种：相交、平行和重合． ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． ④过一点，有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①在同一平面内，两条直线的位置关系只有三种：相交、平行和重合，故①正确； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，②没有限定“在同一平面内”，故②错误 ③从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，不是垂线段本身，故③错误； ④只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在与已知直线平行的直线，故④错误； 综上，正确的说法共1个． 14．如图，是一个风车的示意图，如果旋转到与地面平行的位置时，不能同时与地面平行，理由是：______________________． 【答案】 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：如果旋转到与地面平行时， 可知不能与地面平行， 理由是：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 15．平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是________． 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键．根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵若，，，，，，…， ∴，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：平行． 题型5 平行线的判定 16．反证法：先假设求证的结论是错误的，由此推导出与已知定义、定理、公理或条件相矛盾的结果，从而否定开始的假设，得出先前求证结果的正确性． 求证：同位角相等，两直线平行． 以下是用反证法证明该命题正确性的过程，请填空： 已知：， 证明：， 假设（ ）． 过点画一条直线，使得， ， （ ）． ，（已知）， 和都过点 ，且都平行于．与平行公理（ ）产生矛盾． 假设不成立， 原命题成立． 【答案】；；同位角相等，两直线平行；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】利用反证法的一般步骤解答即可． 【详解】略 17． 如图， 直线交于点G， 分别平分 和 已知 (1)请说明： ； (2)若，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的判定，熟练掌握角平分线有关的角的计算，平行线的判定定理是解题的关键． （1）利用角平分线与邻补角定义求得，再根据余角的性质即可得出，即可由平行线的判定定理得出结论； （2）设，则，，再根据角平分线定义与邻补角列方程，求解，进而可求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵，分别平分和 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴设，则，， ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴． 18．已知：如图，点在上，且平分． 求证：． 证明：平分（___________）， ______________________（角平分线的定义）． （___________）， ___________（___________）． （___________）． 【答案】已知；；；已知；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定和角平分线的定义，根据角平分线的定义得到，进而得到，再根据内错角相等，两直线平行得到结论即可． 【详解】解：证明：平分（已知）， （角平分线的定义）． （已知）， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；；；已知；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 19．如图，已知，，，试说明：．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式： 解：（已知）， （ ）． （ ） （已知）， （ ）． （ ）． ∴（ ） 即：， ∵（已知） ∴（ ） 即：， ∴（ ） 【答案】；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理，完善证明过程即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 即， ∵（已知）， ∴（等量代换）， 即， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 20．把下面的说理过程补充完整： 已知，如图，直线被直线所截，点H为与的交点，于点H，，．试说明： 解：∵（______________） ， ∴ （____________________________）， 又 （____________________________）， _______ ， （____________________________）， 又（____________________________）， ∴ （______________）， ∴（______________）． 请完成以上推导过程和推理依据，并将相应内容填写在横线上． 【答案】 已知；垂直的定义；已知；60；对顶角相等；已知；；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】根据已知，垂直的定义，角的和差关系，对顶角相等，平行线的判定方法作答即可． 【详解】解：∵（已知） ， ∴（垂直的定义）， 又（已知）， ， （对顶角相等）， 又（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 题型6 根据平行线的性质求角度 21．如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后入眼，若，，，则反射角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得到的度数，再求出的度数，再根据反射角等于入射角即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵反射角等于入射角， ∴． 22．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1，动车顶上的“受电弓”是动车从接触网取得电能的电气设备，保证了动车高速顺畅地运行．“受电弓”示意图如图2所示．已知在某一时刻，，，则的度数为______． 【答案】48°/48度 【分析】过点C作，则，再利用平行线的性质求出和的度数，最后根据代入对应角度即可求解． 【详解】解：如图，过点C作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 23．如图，点E在的边上，点F在边的延长线上，与交于点G，平分交于点D，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明： 平分， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）由角平分线的定义及证明即可证明结论； （2）根据平行线的性质即可求得的度数． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ． 24．已知：如图，，，， (1)求证： (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据垂线的性质得到，则，进而得到，从而得出结论； （2）根据平行线的性质得到、，进而得到，结合求出的度数，从而求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型7 根据平行线的性质证明 25．如图，下列推理正确的选项是（     ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤若，则． A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【答案】C 【分析】根据平行线的判定与性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：①若，则，依据：内错角相等，两直线平行，故正确； ②若，不能判断，故错误； ③若，则，依据：同旁内角互补，两直线平行，故正确； ④若，无法判定，故错误； ⑤若，则．依据：内错角相等，两直线平行，故正确． 26．如图，四边形中，，，的平分线交于点，连接，，的平分线交的延长线于点F，下列结论：；；平分；．其中正确的结论有__． 【答案】①②③ 【分析】由角平分线的定义，结合，可判断；由，结合平行线的性质，可判断；由角平分线的定义，结合平行线的性质，可判断；由，可得，，结合，可判断． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴正确， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴正确， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴错误， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴正确． 27．如图，已知，与互补． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）首先证明，再进一步结合已知条件即可得证； （2）结合已知条件先求出，进而利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ． ． ， ， 又， ， ； （2）解：平分， ， 又， ． ， ， ． ， ， ． 28．如图，点D、E在上，点F、G分别在上，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，则可证明，据此可证明； （2）由垂线的定义和平行线的性质可求出的度数，再由平角的定义可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型8 定义、命题、定理 29．下列命题中，属于真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】利用对顶角性质，平行线与垂线的基本定理，熟记相关概念定理，逐项判断即可． 【详解】解：A、∵ 相等的角不一定是对顶角，任意位置的两个相等角不一定是对顶角，故此选项不符合题意； B、∵ 只有两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等，选项缺少“平行”的前提条件，故此选项不符合题意； C、∵ 正确表述为“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，选项表述错误，故此选项不符合题意； D、∵ 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的基本定理，故此选项是真命题，符合题意． 30．把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：_______ 【答案】如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的概念，命题是由题设和结论两部分组成，根据命题的概念作答即可． 【详解】解：把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等 ． 31．下列能说明命题“若，则”是假命题的一组反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】要说明命题“若，则”是假命题，只需找到满足条件，但不满足结论的反例，据此对各选项判断即可． 【详解】解：∵反例需要满足原命题条件，不满足原命题结论， 对各选项逐一判断： 选项A，，满足，且，满足结论，不能作为反例． 选项B，，，不满足条件，不能作为反例， 选项C，，满足即，计算得，，可得，不满足原命题结论，可作为反例， 选项D，，，不满足条件，不能作为反例． 32．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据命题、定理、基本事实的概念，逐一判断四个说法的正误即可解答． 【详解】解：∵基本事实是经过实践检验公认的真命题， ∴①正确； ∵定理是依据基本事实、定义等，经过推理证明得到的真命题， ∴②正确； ∵并不是所有真命题都是基本事实，只有公认的作为推理依据的真命题才是基本事实， ∴③错误； ∵只有经过证明，可作为推理依据的真命题才是定理，并非所有真命题都是定理， ∴④错误； 综上，正确的说法有2个． 题型9 利用平移的性质求解 33．如图，在中，，，，把沿着直线的方向平移后得到，连接、，有以下结论①；②；③；④，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，根据平移的性质，结合图形，对每个结论进行一一分析，选出正确答案． 【详解】解：沿着直线的方向平移后得到， ，故①正确；，故②正确；，故③正确；， 又， ， ，故④正确， 其中正确的结论有4个． 34．如图，在中，．将沿向右平移，得到，与交于点F，连接，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】24 【分析】利用平移的性质得到，，，从而可得，然后根据梯形的面积公式计算． 【详解】解：∵将沿向右平移，得到，与交于点F，连接，若，， ∴，，， ∴ ∵， ∴ ． 35．如图，将三角形沿方向平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若是的三等分点，求平移的距离． (3)若四边形的面积为26，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1) (2)6 (3)26 【分析】（1）根据平移的性质，即可得出结果； （2）根据平移的性质，得到的长即为平移距离，进行求解即可； （3）根据平移的性质，推出四边形的面积等于四边形的面积即可. 【详解】（1）解：∵平移，， ∴； （2）解：∵是的三等分点， ∴， ∵平移， ∴平移的距离为； （3）解：∵平移， ∴， ∴， ∴， 即四边形的面积等于四边形的面积， ∵四边形的面积为26， ∴四边形的面积为26. 36．如图1是由25个边长为1个单位的小正方形组成的网格，三角形的端点都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题： (1)将三角形向上平移1个单位，向右平移2个单位，画出三角形； (2)连接、，则与之间的数量关系为________；与之间的位置关系为________； (3)如图2，将三角形沿方向平移若干距离得到三角形．若三角形和五边形的周长分别是与，则三角形平移的距离为________． 【答案】(1) (2)， (3)2 【分析】（1）分别作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可得； （2）根据平移的性质：经过平移,对应线段,对应角分别相等;对应点所连的线段平行且相等即可作答； （3）根据平移的性质作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵三角形向上平移个单位，向右平移个单位，得三角形， ∴，； （3）解∶∵将三角形沿方向平移若干距离得到三角形， ∴平移距离为的长，且，， ， ∵三角形和五边形的周长分别是与， ∴，， ∴， ∴平移距离为的长． 题型10 利用平移解决实际问题 37．某商场在开业前装修，准备在大厅的楼梯上铺设红地毯，已知楼梯的竖直高度为，水平跨度为，且． (1)至少需要多长的地毯？ (2)若所铺设的地毯每平方米售价为50元，楼梯的宽度为，则至少需要多少元钱去购买地毯？ 【答案】(1) (2)1890元 【分析】（1）根据平移性质得到地毯的长度至少为的长，求得的长度即可解答； （2）求得地毯的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵为，， ∴，则， 由平移性质，地毯的长度至少为； （2）解：（元）， 答：至少需要1890元钱去购买地毯． 38．图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，求，，并比较大小； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是________平方米（用含a，b的式子表示）； (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，求剩余的耕地面积． 【答案】(1)，， (2)平方米 (3)平方米 【分析】（1）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，且长方形的长为10米，宽为米，从而得到平方米； （2）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出草地面积； （3）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出耕地面积． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，， 根据平移的性质可得（平方米），（平方米）； ． （2）解：原长方形的长为米，宽为米，小路的宽度是1米， 原长方形去掉弯曲小路后，剩下的图形重新拼接仍为长方形， 此时新长方形的长为米，宽为米， 空白部分表示的草地的面积是平方米； （3）解：长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米， 空白部分表示的耕地的面积是平方米． 39．南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）图1中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （2）图2中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （3）图3中，将路线的横向部分平移后总长度等于长方形的长，纵向部分平移后总长度为2(宽)米，相加得到路线总长． 【详解】（1）解：将图1中小路往左平移，直到E、F分别与A、B重合， 则平移后可得到草地是长为米，宽为米的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （2）解：将图2中将小路往、边平移，直到小路与草地的边重合，则平移后可得到草地是长为(米)，宽为(米)的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （3）解：将路线的横向部分平移，总长度为米； 将路线的纵向部分平移，总长度为(米)； ∴所走路线的长度为(米)． 40．【类比学习】一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用有理数加法表示为． 若坐标平面上的点做如下平移：沿轴方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿y轴方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位，则把有序数对叫做这一平移的“平移量”；“平移量”与“平移量”的加法运算法则为 【解决问题】 (1)计算：______． (2)动点从坐标原点出发，先按照“平移量”平移到，再按照“平移量”平移到；若先把动点按照“平移量”平移到，再按照“平移量”平移，在图1中标出点A、B、C，并画出四边形． (3)如图2，一般船从码头O出发，先航行到湖心岛码头，再从码头航行到码头．用“平移量”加法算式表示它的航行过程为：______ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平移，理解“平移量”的定义和加法运算法则是解题关键． （1）根据“平移量”的加法法则即可得； （2）先根据“平移量”的定义得出点的坐标，再描点、顺次连接点即可得； （3）先分别求出点O到点P的“平移量”、点P到点Q的“平移量”、点Q到点O的“平移量”，再根据“平移量”的加法法则即可得． 【详解】（1）解：原式， ， 故答案为：； （2）解：点O的坐标为， ，即， ，即， ，即， 先描点，再顺次连接点即可得到四边形，如图所示： （3）解：由题意得：从点O出发，先向右平移2个单位，再向上平移3个单位即到达点P， 则点O到点P的“平移量”为， 同理可得：点P到点Q的“平移量”为，即， 点Q到点O的“平移量”为， 因此有， 故答案为：． 题型11 平移作图 41．如图，三角形的顶点落在边长为1个单位长度的小正方形网格的格点上． (1)将三角形向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形，请画出三角形．（、、分别对应、 、） (2)图中与相等的角是______； (3)连接、、，图中与相等的线段有______． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点、、，再连线即可得解； （2）根据平移前后三角形的角的大小不变即可得解； （3）根据平移的性质即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：根据平移的性质得出：与相等的角是． （3）解：根据平移的性质得出：图中与相等的线段有． 42．如图，三角形的三个顶点坐标分别是，，，将三角形先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）． (1)在图中画出三角形； (2)若点P在y轴上运动，当线段长度最小时，点P的坐标是______； (3)在平移过程中，求线段扫过的图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)18 【分析】（1）根据平移的规律先确定，，，进而作出即可； （2）根据垂线段最短求解即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：根据点到直线的距离中，垂线段最短，可得当轴时，线段长度最小， ∴点P的坐标是； （3）解：在平移过程中，线段扫过的图形的面积为． 43．如图，三角形的三个顶点都在小正方形的格点上，点A的坐标为，点的坐标为，点C的坐标为． (1)画出三角形先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的三角形； (2)分别写出平移后的三角形三个顶点、的坐标； (3)直接写出三角形的面积． 【答案】(1)作图见详解 (2)，， (3) 【分析】（1）利用坐标平移规律“左减右加，上加下减”得出平移后的点坐标，并依次连接即可得出； （2）由（1）可得出点坐标； （3）结合网格图特征，利用割补法即可求得的面积． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：，，． （3）解：． 44．如图，在的正方形网格中有，点，，均在格点上． (1)画出点到直线的最短路径； (2)过点画出的平行线，交于点； (3)将向左平移格得到，画出； (4)判断和的数量关系　　　． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)． 【分析】（）点到直线的最短路径，即过点作直线的垂线，由此即可求解； （）根据过点作已知线段的平行线的方法即可求解； （）根据平移的方法作图即可； （）根据得，然后通过直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； （4）解：如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $