精品解析：江苏省宿迁市钟吾初级中学2021-2022学年八年级下学期期中测试 数学试卷

宿迁市钟吾初级中学2021-2022学年度初二年级第二学期期中测试 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列标志中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式是分式的是（　　） A. B. C. D. 3. 使二次根式的有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 将分式中的x，y同时扩大4倍，则分式的值（ ） A. 扩大4倍 B. 扩大2倍 C. 缩小到原来的一半 D. 保持不变 6. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 7. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（　　） A. B. 6 C. 4 D. 5 8. 如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中： ①； ②四边形是平行四边形； ③； ④．错误的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 当__________时，分式值为0． 10. 分式，，的最简公分母是______． 11. 当有意义时，的取值范围是______． 12. 已知关于的分式方程有增根，则______． 13. 已知，则分式的值为______． 14. 若的整数部分是，小数部分是，则______． 15. 已知实数、满足，则的值为______． 16. 如图，在中，，，平分交边于点，平分交边于点，则______． 17. 如图，在正方形中，，，分别为边，的中点，连接，，点，分别为，的中点，连接．则的长为______． 18. 如图，在菱形中，，，点E在边上，点F在对角线上，，连结，，则的最小值为___． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）； 20. 化简： （1） （2）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 已知：a=-2，b=+2，分别求下列代数式的值： （1）a2b-ab2 （2）a2+ab+b2 23. 在坐标系中的位置如图1所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）按要求作图： ①画出关于原点O的中心对称图形，写出、、三点的坐标； ②画出将绕点A逆时针旋转得到，写出、两点的坐标； （2）如图2，已知，，点在边上，四边形是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出的平分线（请保留画图痕迹）． 24. 如图所示，点O是菱形对角线的交点，，连接，交于F． （1）求证：四边形是矩形 （2）如果设，求的长． 25. 宿迁市新冠肺炎疫情防控指挥部发布开展全市全员新冠病毒核酸检测的通告，某小区有人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数比原计划增加人，结果在规定时间内不仅完成了该小区人的检测任务而且还帮助临近小区完成了人核酸检测任务．问实际每小时检测多少人？ 26. 如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，已知AD=10，CD=4，B′D=2． （1）求证：B′E=BF； （2）求AE的长． 27. 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． （1）下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有____________（只填序号）； （2）若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”； （3）若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 28. 结合图形，解答下列各题： 【问题探究】： （1）如图1，锐角中，分别以、为边向外作正方形和正方形，连接、交于点，试猜想线段与线段的数量及位置关系，并说明理由； 【拓展应用】： （2）在【问题探究】的条件下，如图1，连接，若，，则_______； （3）如图2，在中，，以为直角边，为直角顶点向外作等腰直角，连接，若，，则长为_________； （4）如图3，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，、，过点作直线轴，点是直线上的一个动点，线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，则的最小值为_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宿迁市钟吾初级中学2021-2022学年度初二年级第二学期期中测试 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列标志中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，熟知中心对称的定义是解题的关键． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此求解即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 2. 下列各式是分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的定义作答，一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式． 【详解】解：A、是单项式，故本选项不符合题意； B、是单项式，故本选项不符合题意； C、是单项式，故本选项不符合题意； D、是分式，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式是解题的关键． 3. 使二次根式的有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：要使有意义，必须，解得：．故选C． 考点：二次根式有意义的条件． 4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A：被开方数为，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； B：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； C：，与是同类二次根式，故此选项符合题意； D：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意．   故选：C ． 5. 将分式中的x，y同时扩大4倍，则分式的值（ ） A. 扩大4倍 B. 扩大2倍 C. 缩小到原来的一半 D. 保持不变 【答案】A 【解析】 【分析】分别用4x和4y去代换原来分式中的x，y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：分别用4x和4y去代换原来分式中的x，y，得： ； 可见新的分式是原分式的4倍； 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练应用分式的基本性质． 6. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质，平行线定理和等腰三角形的性质求答； 【详解】解：ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠B=180°－∠C=110°， △BAE中，BA=BE， ∴∠BAE=∠BEA=（180°－∠B）=35°， 故选：A 【点睛】本题考查平行线定理（两直线平行，同旁内角互补），等腰三角形的性质，平行四边形的性质（两组对边平行且相等），熟记其性质是解题关键． 7. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（　　） A. B. 6 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到AF=AB，∠AFE=∠B=90°，根据等腰三角形的性质得到AF=CF，于是得到结论． 【详解】∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处， ∴AF=AB，∠AFE=∠B=90°， ∴EF⊥AC， ∵∠EAC=∠ECA， ∴AE=CE， ∴AF=CF， ∴AC=2AB=6， 故选B． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 8. 如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中： ①； ②四边形是平行四边形； ③； ④．错误的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理证得，得，则四边形是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得，则③正确；最后求出，故④错误；即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴，故①正确； ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ∴，故③正确； 过A作于G，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴，故④错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 当__________时，分式值为0． 【答案】-1 【解析】 【详解】由题意得x+1=0， 解得：x=-1． 故答案为：-1 10. 分式，，的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简公分母，根据最简公分母的定义可以找出题目中各个式子的最简公分母，本题得以解决． 【详解】解：分式的最简公分母是， 故答案为：． 11. 当有意义时，的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】要使有意义，需要且，解不等式取公共部分即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了二次根式有意义，被开方数为非负数；分式有意义，分母不为0；零指数幂有意义，底数不为0；熟练掌握有意义的条件是关键． 12. 已知关于的分式方程有增根，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意先将分式方程化为整式方程，然后把x=1代入到整式方程中进行计算即可解答． 【详解】解：， 去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴x-1=0， ∴x=1， 把x=1代入中得： 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后，代入到整式方程中进行计算是解题的关键． 13. 已知，则分式的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查分式的加减法，分式的基本性质，整体思想等内容，找到“整体”，对已知或所求进行合理变形，是解题关键． 对进行通分变形得到，在所求代数式中用代替即可． 【详解】 即 故答案为：1 14. 若的整数部分是，小数部分是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先估算的大小，再计算的取值范围，取得整数部分，得到a，b的值，最后计算． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查无理数的估算，涉及无理数整数部分的计算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 15. 已知实数、满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值与算术平方根的非负性可得：且 再把求解得到的的值代入，分母有理化后可得答案. 【详解】解： ， 且 故答案为： 【点睛】本题考查的是绝对值与算术平方根的非负性，二次根式的除法运算，熟悉分母有理化是解题的关键. 16. 如图，在中，，，平分交边于点，平分交边于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，利用平行线的性质和角平分线的定义证明，，进而根据等角对等边得到，，最后根据线段的和差关系计算的长． 【详解】解：四边形是平行四边形，  ，，，  ，，  平分，平分，  ，，  ，，  ，，  ． 17. 如图，在正方形中，，，分别为边，的中点，连接，，点，分别为，的中点，连接．则的长为______． 【答案】1 【解析】 【分析】连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，由正方形ABCD推出AB=CD=BC=2，，∠C=90°，证得△AEM≌GDM，得到AM=MG，AE=DG=AB，根据三角形中位线定理得到MN=FG，由勾股定理求出FG即可得到MN． 【详解】解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CD=BC=2，，∠C=90°， ∴∠AEM=∠GDM，∠EAM=∠DGM， ∵M为DE的中点， ∴ME=MD， ∵在△AEM和GDM中， ∴△AEM≌△GDM（AAS）， ∴AM=MG，AE=DG=AB=CD， ∴CG=CD=， ∵点N为AF的中点， ∴MN=FG， ∵F为BC的中点， ∴CF=BC=， ∴FG==2， ∴MN=1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线定理，正确作出辅助线且证出AM=MG是解决问题的关键． 18. 如图，在菱形中，，，点E在边上，点F在对角线上，，连结，，则的最小值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 先由边角边的证明方法证明和全等，再由边角边的证明方法证明和全等，根据全等三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：如答图，过点D作于点D，使得，连结，在上取一点T，使得，连结，， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴≌， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴≌， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，绝对值，负整数指数幂，零指数幂，再算加减，即可求解； （2）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 化简： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式的乘除混合运算法则，即可求解； （2）根据分式加减乘除混合运算法则，即可求解． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式 ． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值和二次根式的化简，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 22. 已知：a=-2，b=+2，分别求下列代数式的值： （1）a2b-ab2 （2）a2+ab+b2 【答案】（1）4 （2）13 【解析】 【详解】试题分析：（1）由a、b的值先计算出ab、a﹣b，再代入原式=ab（a﹣b）可得答案； （2）将a﹣b、ab代入原式（a﹣b）2+3ab计算可得． 试题解析：解：（1）∵a=﹣2，b=+2，∴ab=（﹣2）（+2）=3﹣4=﹣1，a﹣b=﹣2﹣﹣2=﹣4，则a2b﹣ab2=ab（a﹣b）=4； （2）原式=（a﹣b）2+3ab=16﹣3=13 点睛：本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和法则． 23. 在坐标系中的位置如图1所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）按要求作图： ①画出关于原点O的中心对称图形，写出、、三点的坐标； ②画出将绕点A逆时针旋转得到，写出、两点的坐标； （2）如图2，已知，，点在边上，四边形是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出的平分线（请保留画图痕迹）． 【答案】（1）①如图1中，即为所求作． 、、； ②如图1中，即为所求作． 、； （2）如图2中，射线即为所求作． 【解析】 【分析】（1）①分别作出，，的对应点，，，顺次连接即可，再写出点的坐标即可； ②分别作出，的对应点，，顺次连接即可，再写出点的坐标即可； （2）连接，交于点，作射线即可． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：略 24. 如图所示，点O是菱形对角线的交点，，连接，交于F． （1）求证：四边形是矩形 （2）如果设，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由，可证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得到，由此即可证明结论； （2）先根据菱形的性质得到，再根据矩形的性质和勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵四边形是矩形 ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． 25. 宿迁市新冠肺炎疫情防控指挥部发布开展全市全员新冠病毒核酸检测的通告，某小区有人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数比原计划增加人，结果在规定时间内不仅完成了该小区人的检测任务而且还帮助临近小区完成了人核酸检测任务．问实际每小时检测多少人？ 【答案】 实际每小时检测人 【解析】 【分析】本题根据规定时间相等建立等量关系，设实际每小时检测人数为，利用“时间=总检测人数÷每小时检测人数”，得到原计划检测人的时间等于实际检测人的时间，列分式方程求解即可． 【详解】解：设实际每小时检测人， ∴原计划每小时检测人 ∴  ， 整理得  ， 解得  ， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解，且符合题意， 答：实际每小时检测人． 26. 如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，已知AD=10，CD=4，B′D=2． （1）求证：B′E=BF； （2）求AE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】 【详解】解：（1）由题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE， 在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠B′EF=∠BFE， ∴∠B′FE=∠B′EF， ∴B′F=B′E， ∴B′E=BF； （2）由折叠的性质可得AE=A′E，AB=A′B′=4， 在Rt△A′B′E中，A′B′2+A′E2=B′E2， 42+A′E2=（10-2-A′E）2， 解得A′E=3， 即AE的长为3． 27. 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． （1）下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有____________（只填序号）； （2）若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”； （3）若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 【答案】（1）②③ （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，求解分式的值，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键． （1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断； （2）根据a，b互为倒数，得ab=1，把 代入计算出结果即可； （3）根据分式与属于“友好分式组”，得求出①a=-4b，②ab=4b2-2a2，分别把①②代入分式求出结果即可． 【小问1详解】 解：① ②； ③ 则 ∴属于“友好分式组”的有②③． 故答案为：②③ 【小问2详解】 ∵a，b互为倒数， ∴，， ∴ ∴与属于“友好分式组” 【小问3详解】 ∵a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”， 或 把①代入 把②代入 ∴的值为或 28. 结合图形，解答下列各题： 【问题探究】： （1）如图1，锐角中，分别以、为边向外作正方形和正方形，连接、交于点，试猜想线段与线段的数量及位置关系，并说明理由； 【拓展应用】： （2）在【问题探究】的条件下，如图1，连接，若，，则_______； （3）如图2，在中，，以为直角边，为直角顶点向外作等腰直角，连接，若，，则长为_________； （4）如图3，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，、，过点作直线轴，点是直线上的一个动点，线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，则的最小值为_________． 【答案】（1）解：，，理由如下： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴与的大小关系及位置关系为：，； （2）104 （3）； （4） 【解析】 【分析】（1）由角边角的判定方法可证明与全等，即可得与的大小关系； （2）利用勾股定理求解即可； （3）通过构造辅助线构造等腰直角三角形求解的长度，再由角边角的判定方法证明与全等，由此即可求解； （4）通过构造辅助线，使用角边角的证明方法证明与全等，即可得，再将的最小值的问题转化为的最小值，通过三点共线使用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：连接，， ∵正方形和正方形， ∴，， ∴，， 由（1）得， 由勾股定理得：，， ，， ∴； 【小问3详解】 解：以为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角， 使得，连接，如图， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在等腰直角中，， 在中，， ∵， ∴， 即， 又∵，， 在与中， ， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：连接，在y轴负半轴上取一点D，使得， 作点D关于直线l的对称点，连接，，如图， ∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段， ∴， ∵、， ∴，， 在中，， 取的中点，连接， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵点D关于直线l的对称点， ∴， ∴， 要使的值最小，即为的值最小， 即点A，点B，点三点共线，即为， ∵，， 在中，， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $