专题02绝对值与相反数、有理数的加法与减法 (暑假预习讲义)-2026-2027学年苏科版数学七年级上册.

专题02绝对值与相反数、有理数的加法与减法 暑假预习讲义（苏科版◆新教材） ✺知识框架 1.相反数板块：核心符号概念，用于数的符号化简，是有理数减法转化为加法的核心依据。 2.绝对值板块：数轴衍生的核心工具，用于剥离数字符号、比较数的大小、支撑有理数加减的数值运算。 3.有理数加减运算板块：依托前两个概念形成的核心运算体系，包含基础法则、运算律、简便运算及混合运算，是初中所有代数运算的基础。 整体核心逻辑：概念服务于运算，运算巩固概念，为本册后续混合运算、代数式化简、方程计算筑牢基础。 ✅本节为苏科版七年级上册有理数核心基础内容，核心围绕相反数、绝对值、有理数加减法三大模块展开，三者层层递进、相辅相成，是初中代数符号运算的入门基石，承接小学算术运算，完成初中数学运算思维的关键转型。 ✺学习目标： 1.知识掌握 掌握相反数的定义、几何意义与基本性质，会求任意有理数的相反数； 掌握绝对值的定义、代数法则与非负性，会求任意有理数的绝对值； 掌握利用绝对值比较有理数大小的方法，重点掌握两个负数的大小比较； 熟记有理数加法、减法的课本运算法则，理解减法化加法的转化思想； 掌握加法交换律、结合律，能运用运算律进行简便运算与混合运算化简。 2.能力提升 借助数轴理解相反数、绝对值的几何意义，建立数形结合的思维方式； 规范有理数加减运算步骤，纠正小学固定运算思维，减少符号、数值计算错误； 能独立完成基础求值、大小比较、加减计算题型，具备初步的代数运算能力。 3.数学素养 建立有理数符号运算思维，养成严谨、规范、有序的运算习惯，培养数形结合、转化化简的数学思想，夯实初中数学学习基础。 ✺题型归纳： 题型1.绝对值的几何意义 题型2.求一个数的绝对值 题型3.绝对值的非负性 题型4.绝对值的其他应用 题型5.有理数大小比较 题型6.有理数大小比较的实际应用 题型7.相反数的定义 题型8.相反数的应用 题型9.化简多重符号 题型10.有理数加法运算 题型11.有理数加法中的符号问题 题型12.有理数加法在生活中的应用 题型13.有理数加法运算律 题型14.有理数的减法运算 题型15.有理数减法的实际应用 题型16.有理数的加减混合运算 题型17.有理数加减中的简便运算 题型18.有理数加减混合运算的应用 题型19.省略加号和括号的形式 ✺知识◆清单 知识点一、相反数 1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数。特别规定：0的相反数是0。 示例：2与-2、1.5与-1.5、与-分别互为相反数。 2.几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，分别位于原点两旁，且到原点的距离相等。 示例：数轴上表示7和-7的点，到原点的距离都为7个单位长度，二者互为相反数。 3.基本性质：若两个数互为相反数，则它们的和为0；若两个数的和为0，则这两个数互为相反数。 示例：9+(-9)=0，因此9与-9互为相反数。 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是它本身。 一个数的相反数的相反数等于它本身，即 -(-a)=a。 示例：-(-6)=6，-(-4.8)=4.8。 4.求相反数的方法：求一个数或式子的相反数，只需在整体前面添上“-”，多项式需要整体加括号。 示例：x的相反数是-x，x-y的相反数是-(x-y)。 💡预习易错点拨：相反数是成对出现的概念，不能单独说某个数是相反数。如不能说“-9是相反数”，正确表述为“-9和9互为相反数”。 知识点二：绝对值 1.定义：数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值，记作|a|。由于距离非负，因此任意有理数的绝对值一定是非负数。 示例：数轴上表示-8的点到原点距离为8，则|-8|=8；表示3的点到原点距离为3，则|3|=3。 2.绝对值代数法则 正数的绝对值是它本身：若a>0，则|a|=a。 示例：|12|=12，|5.2|=5.2。 负数的绝对值是它的相反数：若a<0，则|a|=-a。 示例：|-11|=11，|-|=。 0的绝对值是0：若a=0，则|a|=0。 3.核心性质 非负性：任何有理数的绝对值都大于或等于0，即|a|≥0，0是绝对值最小的有理数。若几个绝对值的和为0，则每一个绝对值都为0。 互为相反数的两个数绝对值相等，即|a|=|-a|。 示例：|6|=|-6|=6。 若|a|=|b|，则a=b或a=-b。 示例：若|m|=4，则m=4或m=-4。 4.利用绝对值比较有理数大小 正数大于0，负数小于0，正数大于负数； 两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小。 示例：比较-8与-5，|-8|=8，|-5|=5，8>5，所以-8<-5。 💡预习易错点拨：绝对值等于本身的数是正数和0，不要遗漏0；绝对值等于一个正数的数有两个，且互为相反数。 知识点三、有理数的加法 1.有理数加法法则 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 示例：(+4)+(+6)=+10，(-4)+(-6)=-10。 异号两数相加：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0。 示例：(+7)+(-2)=+5，(+9)+(-9)=0。 一个数同0相加：仍得这个数。 示例：0+(-12)=-12。 2.加法运算律 加法交换律：a+b=b+a 示例：(-7)+9=9+(-7)=2。 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 示例：(2+(-6))+8=2+((-6)+8)=4。 3.简便运算常用技巧 运用运算律重组加数，优先结合：互为相反数的数、同符号的数、可凑整的数、同分母分数，简化计算、降低出错率。 示例：12+(-5)+(-12)=[12+(-12)]+(-5)=-5。 知识点四：有理数的减法 1.减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。公式：a-b=a+(-b)。 2.标准化运算步骤（两变一不变） ▶有理数减法统一执行“两变一不变”标准步骤，步骤固定、适配所有题型： ① 不变：被减数保持符号、数值不变； ② 两变：减号变加号，减数变为它的相反数； ③ 计算：按照有理数加法法则计算结果。 示例：4-9=4+(-9)=-5，-5-(-7)=-5+7=2，-3-8=-3+(-8)=-11。 💡预习易错点拨：只改变运算符号和减数，被减数绝对不能改变，这是减法最容易出错的地方。 错误示例：-5-3≠5+(-3)；正确写法：-5-3=-5+(-3)=-8。 知识点五：有理数加减混合运算 1.统一成代数和形式:所有加减混合运算，都可以通过“化减为加”，统一转化为省略括号和加号的代数和形式。 示例：(+4)-(-6)+(-8)-(+2)=4+6-8-2。 2.运算顺序:有括号先算括号内；无括号时，可从左到右依次计算，也可利用加法运算律分组简便运算。 示例：6-9+4-2=(6+4)-(9+2)=-1。 3.规范读法:代数和算式有两种标准读法：常规加减读法、各数依次求和的代数和读法。 示例：-5+9+4-3可读“负5加9加4减3”，也可读“负5、正9、正4、负3的和”。 ✺题型精讲 题型1.绝对值的几何意义 1．若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 2．如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 3．（1）如果，，且a，b异号，求a，b的值； （2）如果，，且，求a，b的值． 题型2.求一个数的绝对值 1．的绝对值是（     ） A．2 B． C． D． 2．_____________． 3．已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 题型3.绝对值的非负性 1．下列说法正确的是（   ） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 2．（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 3．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 题型4.绝对值的其他应用 1．在航天零件制造中，先进的算法的应用，极大地提高了零件的制造精度．下面是某航天零件制造车间四台运用算法的机床生产的火箭发动机零件的误差数据，其中精确程度最高的是（     ） A． B． C． D． 2．某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层． 3．检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 题型5.有理数大小比较 1．在数，0，1，4中，绝对值最小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．4 2．比较大小：________．(填“”“”或“”) 3．比较下列每组数的大小 (1) (2) (3) (4)． 题型6.有理数大小比较的实际应用 1．下表是几种液体在标准大气压下的沸点，其中沸点最低的液体是（     ） 液体名称 液态氯 液态氢 液态氮 液态氦 沸点/ A．液态氯 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氦 2．亚洲、欧洲、非洲的最低海拔分别为米，米，米，其中海拔最低的大洲是________． 3．重庆文德中学为适应新的中考要求，决定添置一批体育器材，学校准备在网上订购一批某品牌铅球和跳绳，在查阅天猫网店后发现铅球每个定价160元，跳绳每条定价30元．现有、两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．网店：买一个铅球送一条跳绳，网店：铅球和跳绳都按定价的付款，已知要购买跳绳60条，铅球个． (1)若在网店购买，需付款__________元（用含的代数式表示）；若在网店购买需付款__________元（用含的代数式表示） (2)当时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？ 题型7.相反数的定义 1．的相反数是（     ） A． B． C． D． 2．如果互为相反数，则______________． 3．画数轴，并用数轴上的点表示下列各数： 0，，，，，4.5及它们的相反数． 题型8.相反数的应用 1．已知与互为相反数，则 (   ) A． B．3 C． D．2 2．若与互为相反数，则的值为______． 3．周末，小明把老师布置的作业题忘记了，只记得式子是：，小军告诉小明，已知a是最大的负整数，b，c互为相反数，负数d的绝对值是2，请你帮小明解答下列问题：在上述条件下，求：的值． 题型9.化简多重符号 1．化简的结果是（　　） A． B．4 C． D． 2．比较大小：______（填“”、“”或“”）． 3．化简下列各式： (1) (2) 题型10.有理数加法运算 1．计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 2．、11、三个数的和等于______． 3．定义新运算 “”，根据运算规律完成作答： ，，，，，． (1)归纳 “” 运算法则：两数进行运算时，_________；任何数与进行运算时，___________． (2)计算：； (3)判断交换律、结合律在该运算中是否适用． 题型11.有理数加法中的符号问题 1．如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 2．与的和取___________号；与的和取___________号；和的和取___________号．（填“正”或“负”） 3．定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 题型12.有理数加法在生活中的应用 1．某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（     ） A． B． C． D． 2．一名足球守门员进行短距离折返跑冲刺练习，一组跑7次．规定：从球门线中点位置出发，向场地中央方向跑动的距离都记为正数；相反地，跑回球门线方向的跑动距离记为负数．教练将他的跑动距离记录如下： 序 1 2 3 4 5 6 7 单位：米 根据记录数据，完成这组练习后这位守门员一共跑了____米． 3．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位： ）： ， ， ， ， ， ， ， ．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过 （不包括 ），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 题型13.有理数加法运算律 1．小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 2．对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是____．（请填写正确说法的序号） ①；②；③若，则；④该运算满足交换律． 3．计算： (1)； (2) (3)； 题型14.有理数的减法运算 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．计算的结果等于______． 3．已知，且，求的值． 题型15.有理数减法的实际应用 1．如图，某工程队测得点的海拔为，点的海拔为，则点与点之间的高度差为（     ） A． B． C． D． 2．王老师采用一种新的计分方法如下：以优秀成绩分为标准，小强考了分记为分，小刚考试成绩记为分，那么小刚这次考试的实际分数为______分． 3．2025年9月3日的盛大阅兵式上，空中梯队的直升机编队飞越天安门广场上空，其中26架直升机组成了巨大的“80”字样，以纪念抗战胜利80周年． (1)阅兵仪式上，一架执行摄影任务的直升机先在海拔米的高度飞行，为了避开气流，它先上升了米，随后又下降了米．请问此时直升机的海拔高度是多少米？ (2)另一架直升机在执行任务时，从海拔米的高度开始下降，先下降了米后，又下降了米．请问它现在的飞行高度是多少米？ 题型16.有理数的加减混合运算 1．小明在做课外习题时遇到如下所示一道题：计算： ，其中是被污损而看不清的一个数，他翻看答案后得知该题的计算结果为15，则表示的数是（  ） A．10 B． C． D．10或 2．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． 已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，则___________． 3．定义：表示不超过的最大整数． (1)求的值； (2)求的值． 题型17.有理数加减中的简便运算 1．计算：的值为（  ） A． B． C． D． 2．计算：________． 3．计算： 题型18.有理数加减混合运算的应用 1．乒乓球选手赛前需挑选符合标准弹性的比赛用球，将球从高度自由下落，反弹高度在范围内为达标，则下列乒乓球反弹高度中，符合该弹性标准的是（    ） A． B． C． D． 2．在温控范围内，肉联厂的冷藏库能使冷藏食品每小时降温（冷藏库温度到达零下后自动停止降温），每开库一次，温度上升，现有的肉放入冷藏库，3小时后开一次库，2小时后再次开库，再关上库门4小时，此时肉的温度是________． 3．某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期______，比生产马年玩偶最少的一天多生产______个； (2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？ (3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． 题型19.省略加号和括号的形式 1．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 2．将式子写成省略加号的形式__________． 3．计算：． _ ✺巩固测试 一、单选题 1．如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 2．若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．若与互为相反数，则等于（    ） A． B． C． D． 4．一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 5．决定在方格表中的各个单元格内填入数，使得四个可能的正方形内的各数的总和相同．如图所示，其中三个角落处单元格内的数已经写好了．问她应该在位于第四个角落的单元格里写什么数？（   ） A．0     B．1      C．4      D．5        E．6 二、填空题 6．已知，且，求___________． 7．比较下列各对数的大小： ①_________；    ②_________；    ③_________ 8．从图（1）中找规律，并按此规律在图（2）的空格里填上合适的数． 9．把写成省略加号的和的形式是_________． 10．计算：______． 三、解答题 11．已知零件的标准直径是，超过标准直径长度的数量记作正数，不足标准直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了件样品，检查结果如下表： 样品编号 偏差 (1)指出哪件样品的直径大小最符合要求． (2)如果规定误差的绝对值在以内的是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么这件样品分别属于哪类产品？ 12．小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 13．． 小李的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据小李的计算过程，回答下列问题： (1)小李在进行第二步计算时，运用的运算律是_______； (2)请指出他从第_______步开始出现错误； (3)将错误的一步改正并写出之后正确的解答过程． 14．食堂管理：下表是实验小学食堂库存大米在这个星期内的变化情况．（运进为正，运出为负） 星期 日 一 二 三 四 五 六 运进和运出仓库的大米质量/千克 (1)星期四运进大米（    ）千克，运出大米（    ）千克． (2)星期（    ）只运出大米，而没有运进大米；星期（    ）运出的大米和运进的大米同样多． (3)如果上个星期六剩余大米200千克，那么到这个星期六食堂剩余多少千克大米？ 15．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过60单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于60单的部分记为“－”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送_____单； (2)该外卖小哥这一周总共送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成．送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过60单的部分，每单补贴2元；超过60单但不超过70单的部分，每单补贴4元；超过70单的部分，每单补贴6元．该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02绝对值与相反数、有理数的加法与减法 暑假预习讲义（苏科版◆新教材） ✺知识框架 1.相反数板块：核心符号概念，用于数的符号化简，是有理数减法转化为加法的核心依据。 2.绝对值板块：数轴衍生的核心工具，用于剥离数字符号、比较数的大小、支撑有理数加减的数值运算。 3.有理数加减运算板块：依托前两个概念形成的核心运算体系，包含基础法则、运算律、简便运算及混合运算，是初中所有代数运算的基础。 整体核心逻辑：概念服务于运算，运算巩固概念，为本册后续混合运算、代数式化简、方程计算筑牢基础。 ✅本节为苏科版七年级上册有理数核心基础内容，核心围绕相反数、绝对值、有理数加减法三大模块展开，三者层层递进、相辅相成，是初中代数符号运算的入门基石，承接小学算术运算，完成初中数学运算思维的关键转型。 ✺学习目标： 1.知识掌握 掌握相反数的定义、几何意义与基本性质，会求任意有理数的相反数； 掌握绝对值的定义、代数法则与非负性，会求任意有理数的绝对值； 掌握利用绝对值比较有理数大小的方法，重点掌握两个负数的大小比较； 熟记有理数加法、减法的课本运算法则，理解减法化加法的转化思想； 掌握加法交换律、结合律，能运用运算律进行简便运算与混合运算化简。 2.能力提升 借助数轴理解相反数、绝对值的几何意义，建立数形结合的思维方式； 规范有理数加减运算步骤，纠正小学固定运算思维，减少符号、数值计算错误； 能独立完成基础求值、大小比较、加减计算题型，具备初步的代数运算能力。 3.数学素养 建立有理数符号运算思维，养成严谨、规范、有序的运算习惯，培养数形结合、转化化简的数学思想，夯实初中数学学习基础。 ✺题型归纳： 题型1.绝对值的几何意义 题型2.求一个数的绝对值 题型3.绝对值的非负性 题型4.绝对值的其他应用 题型5.有理数大小比较 题型6.有理数大小比较的实际应用 题型7.相反数的定义 题型8.相反数的应用 题型9.化简多重符号 题型10.有理数加法运算 题型11.有理数加法中的符号问题 题型12.有理数加法在生活中的应用 题型13.有理数加法运算律 题型14.有理数的减法运算 题型15.有理数减法的实际应用 题型16.有理数的加减混合运算 题型17.有理数加减中的简便运算 题型18.有理数加减混合运算的应用 题型19.省略加号和括号的形式 ✺知识◆清单 知识点一、相反数 1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数。特别规定：0的相反数是0。 示例：2与-2、1.5与-1.5、与-分别互为相反数。 2.几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，分别位于原点两旁，且到原点的距离相等。 示例：数轴上表示7和-7的点，到原点的距离都为7个单位长度，二者互为相反数。 3.基本性质：若两个数互为相反数，则它们的和为0；若两个数的和为0，则这两个数互为相反数。 示例：9+(-9)=0，因此9与-9互为相反数。 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是它本身。 一个数的相反数的相反数等于它本身，即 -(-a)=a。 示例：-(-6)=6，-(-4.8)=4.8。 4.求相反数的方法：求一个数或式子的相反数，只需在整体前面添上“-”，多项式需要整体加括号。 示例：x的相反数是-x，x-y的相反数是-(x-y)。 💡预习易错点拨：相反数是成对出现的概念，不能单独说某个数是相反数。如不能说“-9是相反数”，正确表述为“-9和9互为相反数”。 知识点二：绝对值 1.定义：数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值，记作|a|。由于距离非负，因此任意有理数的绝对值一定是非负数。 示例：数轴上表示-8的点到原点距离为8，则|-8|=8；表示3的点到原点距离为3，则|3|=3。 2.绝对值代数法则 正数的绝对值是它本身：若a>0，则|a|=a。 示例：|12|=12，|5.2|=5.2。 负数的绝对值是它的相反数：若a<0，则|a|=-a。 示例：|-11|=11，|-|=。 0的绝对值是0：若a=0，则|a|=0。 3.核心性质 非负性：任何有理数的绝对值都大于或等于0，即|a|≥0，0是绝对值最小的有理数。若几个绝对值的和为0，则每一个绝对值都为0。 互为相反数的两个数绝对值相等，即|a|=|-a|。 示例：|6|=|-6|=6。 若|a|=|b|，则a=b或a=-b。 示例：若|m|=4，则m=4或m=-4。 4.利用绝对值比较有理数大小 正数大于0，负数小于0，正数大于负数； 两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小。 示例：比较-8与-5，|-8|=8，|-5|=5，8>5，所以-8<-5。 💡预习易错点拨：绝对值等于本身的数是正数和0，不要遗漏0；绝对值等于一个正数的数有两个，且互为相反数。 知识点三、有理数的加法 1.有理数加法法则 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 示例：(+4)+(+6)=+10，(-4)+(-6)=-10。 异号两数相加：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0。 示例：(+7)+(-2)=+5，(+9)+(-9)=0。 一个数同0相加：仍得这个数。 示例：0+(-12)=-12。 2.加法运算律 加法交换律：a+b=b+a 示例：(-7)+9=9+(-7)=2。 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 示例：(2+(-6))+8=2+((-6)+8)=4。 3.简便运算常用技巧 运用运算律重组加数，优先结合：互为相反数的数、同符号的数、可凑整的数、同分母分数，简化计算、降低出错率。 示例：12+(-5)+(-12)=[12+(-12)]+(-5)=-5。 知识点四：有理数的减法 1.减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。公式：a-b=a+(-b)。 2.标准化运算步骤（两变一不变） ▶有理数减法统一执行“两变一不变”标准步骤，步骤固定、适配所有题型： ① 不变：被减数保持符号、数值不变； ② 两变：减号变加号，减数变为它的相反数； ③ 计算：按照有理数加法法则计算结果。 示例：4-9=4+(-9)=-5，-5-(-7)=-5+7=2，-3-8=-3+(-8)=-11。 💡预习易错点拨：只改变运算符号和减数，被减数绝对不能改变，这是减法最容易出错的地方。 错误示例：-5-3≠5+(-3)；正确写法：-5-3=-5+(-3)=-8。 知识点五：有理数加减混合运算 1.统一成代数和形式:所有加减混合运算，都可以通过“化减为加”，统一转化为省略括号和加号的代数和形式。 示例：(+4)-(-6)+(-8)-(+2)=4+6-8-2。 2.运算顺序:有括号先算括号内；无括号时，可从左到右依次计算，也可利用加法运算律分组简便运算。 示例：6-9+4-2=(6+4)-(9+2)=-1。 3.规范读法:代数和算式有两种标准读法：常规加减读法、各数依次求和的代数和读法。 示例：-5+9+4-3可读“负5加9加4减3”，也可读“负5、正9、正4、负3的和”。 ✺题型精讲 题型1.绝对值的几何意义 1．若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 【答案】A 【分析】本题考查绝对值与相反数的定义，根据绝对值的性质分情况讨论，即可判断符合条件的数． 【详解】解：设这个数为，根据题意得． ∵当时，，不满足； 当时，，的相反数是，满足； 当时，，满足条件； ∴这个数是负数或． 2．如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 【答案】＜ 【详解】解：∵， ∴． 3．（1）如果，，且a，b异号，求a，b的值； （2）如果，，且，求a，b的值． 【答案】 （1），或， （2），或， 【分析】本题考查了绝对值的计算，理解绝对值的定义是解题的关键． （1）根据绝对值的定义解题即可； （2）根据绝对值的定义解题即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵、异号， ∴，或，； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴，或，． 题型2.求一个数的绝对值 1．的绝对值是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的绝对值是2． 2．_____________． 【答案】/ 【分析】先判断的正负性，再根据绝对值的性质化简即可得到结果. 【详解】解：∵， ∴. 3．已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)4或12 (2)4或12 【分析】本题考查了求代数式的值，绝对值，正确求出、的值是解题的关键． （1）根据绝对值的定义求出、的值，再根据进一步确定、的值，然后分别代入计算即可； （2）根据绝对值的定义求出、的值，再根据进一步确定、的值，然后分别代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值是4或12； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值是4或12． 题型3.绝对值的非负性 1．下列说法正确的是（   ） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值的性质、正负数的定义、举反例判断命题的真假等知识点，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值的非负性、正负数的定义以及举反例判断命题的真假逐项判断即可． 【详解】解：A．由，则，即，故a不一定为负数，可能为零，A错误； B．由，则，故一定是正数，B正确； C．由时，或，故不一定相等，C错误； D．例如，，但，故不一定是正数，D错误． 故选B． 2．（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【答案】 0 0 6 0 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴ ∴． 3．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【答案】(1)5 (2)画图见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． 题型4.绝对值的其他应用 1．在航天零件制造中，先进的算法的应用，极大地提高了零件的制造精度．下面是某航天零件制造车间四台运用算法的机床生产的火箭发动机零件的误差数据，其中精确程度最高的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】零件误差的精确程度由误差的绝对值决定，误差的绝对值越小，精确程度越高，只需计算各选项误差的绝对值并比较大小，即可得到结果． 【详解】解：∵ 误差的精确程度由误差的绝对值决定，绝对值越小，精确程度越高， ∵ ，，， ， 又∵ ， ∴ 的误差绝对值最小，精确程度最高． 2．某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值的应用和求最小值问题． 会议地点应设在使所有志愿者爬楼距离之和最小的楼层，通过计算每层作为会议地点时的总距离，比较即可． 【详解】解：设会议地点在第层， 则总距离， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 可知当时，总距离最短， 故会议地点应设在第2层． 故答案为：2． 3．检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球最接近标准质量 (2)的篮球的质量好一些 【分析】本题主要考查正负数，绝对值的运用，理解题意是关键． （1） 利用绝对值比较大小，值越小，越接近； （2）利用绝对值比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴3号篮球最接近标准质量． （2）解：∵， ∴结果为的篮球的质量好一些． 题型5.有理数大小比较 1．在数，0，1，4中，绝对值最小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】B 【详解】解 ，，，， 又 ， 绝对值最小的数是． 2．比较大小：________．(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，涉及相反数与绝对值的化简，先化简两个数，再根据两个负数比较大小，绝对值越大的负数越小的规则进行比较即可． 【详解】解：先化简两个数，． 计算两个数的绝对值，． 因为，可得， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得，即． 3．比较下列每组数的大小 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵，， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴； （4）解：∵， ∴． 题型6.有理数大小比较的实际应用 1．下表是几种液体在标准大气压下的沸点，其中沸点最低的液体是（     ） 液体名称 液态氯 液态氢 液态氮 液态氦 沸点/ A．液态氯 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氦 【答案】D 【分析】利用“两个负数相比较，绝对值大的反而小”的规则，即可得出沸点最低的液体． 【详解】解：∵ 四种液体的沸点分别为，，，，且均为负数， ∴ 计算各数的绝对值得，，，，， ∵ ， ∴ ， ∴ 沸点最低的是液态氦． 2．亚洲、欧洲、非洲的最低海拔分别为米，米，米，其中海拔最低的大洲是________． 【答案】亚洲 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴海拔最低的大洲是亚洲， 故答案为：亚洲． 3．重庆文德中学为适应新的中考要求，决定添置一批体育器材，学校准备在网上订购一批某品牌铅球和跳绳，在查阅天猫网店后发现铅球每个定价160元，跳绳每条定价30元．现有、两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．网店：买一个铅球送一条跳绳，网店：铅球和跳绳都按定价的付款，已知要购买跳绳60条，铅球个． (1)若在网店购买，需付款__________元（用含的代数式表示）；若在网店购买需付款__________元（用含的代数式表示） (2)当时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？ 【答案】(1)；． (2)在A网店购买较为合算 【分析】本题考查了列代数式及代数式求值，解题的关键是根据优惠方案列出对应的表达式． （1）A网店：买x个铅球,送了条跳绳，付款为元，化简得；B网店：铅球和跳绳都按定价90%付款，付款为元，化简得元． （2）将分别代入A、B网店的表达式，计算后比较大小． 【详解】（1）解： A网店：元， B网店： 元， 故答案为：；． （2）解：当时， A网店付款：（元）， B网店付款：（ 元）， 因为， 答：在A网店购买较为合算． 题型7.相反数的定义 1．的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的相反数是． 2．如果互为相反数，则______________． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，掌握互为相反数的两个数和为0是解题的关键． 根据相反数的定义，a与 b互为相反数，则，代入表达式 计算即可． 【详解】解：互为相反数， ， ， 故答案为：． 3．画数轴，并用数轴上的点表示下列各数： 0，，，，，4.5及它们的相反数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相反数的定义及在数轴上表示数的方法． 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0，可写出已知六个数的相反数；再根据一对相反数在数轴上的位置特点，分别在原点的左右两边，并且与原点的距离相等，可把各数与其相反数在数轴上依次表示出来． 【详解】解：0的相反数是0， 的相反数是2.5， 的相反数是3， 的相反数是， 的相反数是． 4.5的相反数是． 在数轴上可表示为： 题型8.相反数的应用 1．已知与互为相反数，则 (   ) A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】根据相反数数的和为0，得，求解即可． 【详解】解：由题意，得 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查相反数，熟练掌握相反数的和为0是解题的关键． 2．若与互为相反数，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查相反数，解一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 由互为相反数的两数之和为零，建立方程并求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 去分母，方程两边同乘3，得， 合并同类项，得， 移项，得， 系数化为1，得． 故答案为：． 3．周末，小明把老师布置的作业题忘记了，只记得式子是：，小军告诉小明，已知a是最大的负整数，b，c互为相反数，负数d的绝对值是2，请你帮小明解答下列问题：在上述条件下，求：的值． 【答案】 【分析】a是最大的负整数得，b，c互为相反数得：，负数的绝对值是2得，将其代入代数式即可求解． 【详解】解：是最大的负整数， ， ，互为相反数， ， ∵负数的绝对值是2， ， 当, , 时， 代入得：． 【点睛】本题考查了绝对值、相反数及代数式求值，熟练掌握绝对值的意义及相反数的意义是解题的关键． 题型9.化简多重符号 1．化简的结果是（　　） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】运用去括号的符号法则，从内向外逐层化简即可得到结果． 【详解】解：． 2．比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值、相反数、有理数大小比较等知识点，掌握负数比较大小的法则（绝对值大的反而小）是解题的关键． 先根据绝对值、相反数化简两个表达式得到两个负数，再根据负数比较大小的法则比较大小即可． 【详解】解：，， ∵，，， ∴． 故答案为：． 3．化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1)1.2 (2) 【分析】本题主要考查了化简多重符号、绝对值等知识， （1）根据化简多重符号法则“负负得正，负正得负，正正得正”，即可获得答案； （2）先化简绝对值内部分，然后根据绝对值定义，即可获得答案． 【详解】（1）解：； （2） 解：． 题型10.有理数加法运算 1．计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 【答案】C 【分析】利用互为相反数的加法法则直接计算出结果即可． 【详解】解：∵和互为相反数，根据有理数加法法则，互为相反数的两个数相加得． ∴． 2．、11、三个数的和等于______． 【答案】 【分析】运用有理数加法法则计算即可得到结果． 【详解】解： ． 3．定义新运算 “”，根据运算规律完成作答： ，，，，，． (1)归纳 “” 运算法则：两数进行运算时，_________；任何数与进行运算时，___________． (2)计算：； (3)判断交换律、结合律在该运算中是否适用． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；结果为这个数的绝对值 (2)9 (3)交换律适用，结合律不适用 【分析】（1）根据已知运算法则即可得到规律； （2）根据规律求解即可； （3）对于交换律，利用规律证明即可，对于结合律，可举例子求解． 【详解】（1）解：由已知运算可得，两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数与进行运算时，结果为这个数的绝对值； （2）解： ； （3）解：交换律适用，结合律不适用， 设同号时， 则，，故； 设异号时， 则，，故； 设中，则，，故， ∴交换律适用； 对于结合律，不成立， 举例子，设， 则，，结果不同 故对于结合律不适用． 题型11.有理数加法中的符号问题 1．如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 根据有理数的加法性质，分析求解，即可解题． 【详解】解：设两个有理数为a和b，且． 因为若且，则，与矛盾， 所以至少有一个加数大于0，即两个加数中至少一个是正数． 故选：B． 2．与的和取___________号；与的和取___________号；和的和取___________号．（填“正”或“负”） 【答案】 负 正 负 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解本题的关键． 根据有理数的加法法则，“同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，当绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”逐一计算即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：负正 负 3．定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 【答案】(1)相加；绝对值 (2)①11；② 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的加法，理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）观察算式的规律，归纳新定义的运算法则即可解答； （2）①根据（1）中的运算法则计算即可；②根据（1）中的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的绝对值． 故答案为：相加；绝对值． （2）解：①∵5和6同号，， ∴， 故答案为：11； ②由（1）得，， ∵和4异号，， ∴， 即． 题型12.有理数加法在生活中的应用 1．某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】温度上升是在原气温基础上做加法运算，直接计算即可得到结果． 【详解】因为早上气温为，中午温度上升 ， 所以中午温度为． 2．一名足球守门员进行短距离折返跑冲刺练习，一组跑7次．规定：从球门线中点位置出发，向场地中央方向跑动的距离都记为正数；相反地，跑回球门线方向的跑动距离记为负数．教练将他的跑动距离记录如下： 序 1 2 3 4 5 6 7 单位：米 根据记录数据，完成这组练习后这位守门员一共跑了____米． 【答案】104 【分析】本题主要考查有理数加法的实际应用，做题的关键是审清题意，正确列式，熟练掌握有理数的运算法则．根据题意，计算每次跑动距离的绝对值之和即可． 【详解】解：由题意得， （米）， 即完成这组练习后这位守门员一共跑了104米． 故答案为：104． 3．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位： ）： ， ， ， ， ， ， ， ．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过 （不包括 ），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上 (2)25米 (3)4次，理由如下： 由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10米，8米，13米，25米，19米，10米，14米，0，则符合题意的有：13，25，19，14． ∴对方球员有4次挑射破门的机会． 【分析】（1）根据有理数加减法的规则进行计算，因为初始位置为球门线，对应数值0，所以只需将所有跑动记录的数值相加，判断和是否为0即可； （2）如果要找离开球门线的最远距离，那么需要依次计算每次跑动后守门员相对于球门线的位置，取最大值； （3）因为需要统计距离超过10m的次数，所以需逐一核对每次跑动后位置，统计其中大于10的次数即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 米， ∴守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次距离开球门线 （米）； 第三次距离开球门线 （米）； 第四次距离开球门线 （米）； 第五次距离开球门线 （米）； 第六次距离开球门线 （米）； 第七次距离开球门线 （米）； 第八次距离开球门线 （米）． ∴守门员离开球门线的最远距离为25米； （3） 略． 题型13.有理数加法运算律 1．小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计算． 小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律． 【详解】原式为，小慧将其变为， ∵交换了加数4的位置， ∴使用了加法交换律； ∵将和结合， ∴使用了加法结合律， 综上，运用了加法交换律与结合律． 故选：C． 2．对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是____．（请填写正确说法的序号） ①；②；③若，则；④该运算满足交换律． 【答案】②③ 【分析】根据新定义逐项进行分析即可． 【详解】解：①∵， ∴， 故①错误； ∵，； ∴， 故②正确； ∵，，， ∴； 故③正确； ，， 只有当时，， ∴该运算满足交换律不成立． 故④错误， 故答案为：②③ 【点睛】此题考查了新定义运算，读懂题意是解题的关键． 3．计算： (1)； (2) (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型14.有理数的减法运算 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 2．计算的结果等于______． 【答案】 【详解】解：． 3．已知，且，求的值． 【答案】或 【分析】先由与的大小求解出与的值，由此计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，或，， 当，， 则； 当，， 则； 故的值为或． 题型15.有理数减法的实际应用 1．如图，某工程队测得点的海拔为，点的海拔为，则点与点之间的高度差为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点与点之间的高度差为：， 2．王老师采用一种新的计分方法如下：以优秀成绩分为标准，小强考了分记为分，小刚考试成绩记为分，那么小刚这次考试的实际分数为______分． 【答案】 【分析】由正负数的实际意义，根据给定的标准分，结合有理数的减法运算计算即可． 【详解】解：以优秀成绩分为标准，小刚考试成绩记为分，则小刚这次考试的实际分数为（分）． 3．2025年9月3日的盛大阅兵式上，空中梯队的直升机编队飞越天安门广场上空，其中26架直升机组成了巨大的“80”字样，以纪念抗战胜利80周年． (1)阅兵仪式上，一架执行摄影任务的直升机先在海拔米的高度飞行，为了避开气流，它先上升了米，随后又下降了米．请问此时直升机的海拔高度是多少米？ (2)另一架直升机在执行任务时，从海拔米的高度开始下降，先下降了米后，又下降了米．请问它现在的飞行高度是多少米？ 【答案】(1)此时直升机的海拔高度是850米 (2)直升机现在的飞行高度是2500米 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数的加减运算，解题的关键是掌握正负数的实际意义和有理数加减运算法则． （1）根据正负数的实际意义，列出算式，利用有理数的加减运算法则进行计算即可； （2）根据正负数的实际意义，列出算式，利用有理数的加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：记上升为正，下降为负，则 （米） 答：此时直升机的海拔高度是850米； （2）解： （米） 答：直升机现在的飞行高度是2500米． 题型16.有理数的加减混合运算 1．小明在做课外习题时遇到如下所示一道题：计算： ，其中是被污损而看不清的一个数，他翻看答案后得知该题的计算结果为15，则表示的数是（  ） A．10 B． C． D．10或 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 用结果减去加数，加上减数即可． 【详解】解：∵计算结果为15， ∴ ，即， ∴． 故选：A． 2．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． 已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，则___________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减运算， 根据题意原式可化为，中间项相互抵消，只剩首项和末项，进而求解即可． 【详解】解：由题意，对于连续非零整数，有． ∴ ． 故答案为：． 3．定义：表示不超过的最大整数． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题干提供的信息列式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型17.有理数加减中的简便运算 1．计算：的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法．观察每个分母为两个连续整数的乘积，利用裂项法将每个分数拆分为两个分数的差，然后求和时中间项相互抵消，从而简化计算. 【详解】解：∵，，，，， ∴原式. 故选：C． 2．计算：________． 【答案】50 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式两项两项合并正好得50个1，最后计算结果即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：50． 3．计算： 【答案】 【分析】运用加法交换律和结合律，将分母相同的带分数分组计算，简化运算过程． 【详解】解：原式 ． 题型18.有理数加减混合运算的应用 1．乒乓球选手赛前需挑选符合标准弹性的比赛用球，将球从高度自由下落，反弹高度在范围内为达标，则下列乒乓球反弹高度中，符合该弹性标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到反弹高度的范围为，再逐项判断即可． 【详解】解：反弹高度在范围内，即反弹高度为，则符合弹性标准，故选项B符合题意． 2．在温控范围内，肉联厂的冷藏库能使冷藏食品每小时降温（冷藏库温度到达零下后自动停止降温），每开库一次，温度上升，现有的肉放入冷藏库，3小时后开一次库，2小时后再次开库，再关上库门4小时，此时肉的温度是________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加减法的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据温度变化规则，逐步计算降温与开库后的温度变化即可． 【详解】解：∵初始温度为， ∴降温3小时：每小时降温，共降温，温度变为， 开库一次：温度上升，变为， 降温2小时：每小时降温，共降温，温度变为， 再次开库：温度上升，变为， 降温4小时：每小时降温，共降温，温度变为， 未达到降温下限，故最终温度为， 故答案为：． 3．某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期______，比生产马年玩偶最少的一天多生产______个； (2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？ (3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． 【答案】(1)六，19 (2)910个 (3)301个 【分析】（1）根据表格中每天生产玩偶与计划数量的差值，找出最多和最少的一天，再计算差值； （2）先求出前三天生产玩偶与计划数量的差值总和，再加上前三天计划生产的数量； （3）先求出着一周生产玩偶与计划数量的差值总和，再计算平均每天的生产数量． 【详解】（1）解：根据题意可知，周六那天生产的玩偶最多，比计划多生产12个，生产最少的一天比计划少生产7个， 则周六那天比生产马年玩偶最少的一天多生产个． （2）解：（个）， 答：该玩具厂这一周前三天共生产了910个马年玩偶． （3）解：（个）． 答：该玩具厂这一周平均每天生产301个马年玩偶． 题型19.省略加号和括号的形式 1．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， A错误； B、， B正确； C、， C错误； D、， D错误． 2．将式子写成省略加号的形式__________． 【答案】 【分析】根据有理数去括号法则化简每个括号内的符号，然后写成省略加号的形式即可，注意若括号前为减号，去括号时需改变括号内各项的符号；本题主要考查了有理数的减法运算，熟练掌握省略加法及括号的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 则原式 ； 故答案为：． 3．计算：． 【答案】9 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，首先将减法转化为加法，再利用加法运算律进行计算，然后相加即可． 【详解】解：原式 ． _ ✺巩固测试 一、单选题 1．如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 【答案】B 【分析】根据字母a在数轴上的位置，得出，从而得出，从而得出答案． 【详解】解：根据数轴可得：， ∴， ∴可能是1.7． 2．若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的大小比较，方法一结合数轴进行求解，方法二结合已知条件用特殊值法即可快速得出结果． 【详解】方法一：如图所示， ∴ ． 方法二：∵ ，，，，为有理数 ∴ 取满足条件的特殊值 ， 计算得 ，， ∵ ∴ ． 3．若与互为相反数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，一元一次方程的解法，利用互为相反数两数之和为，列出方程，求出方程的解即可得到的值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】∵与互为相反数， ∴，解得：， 故选：． 4．一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：点在线段上和点在的延长线上，根据和点B表示的数求出点表示的数，再根据折叠可得点C为的中点，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，∵，且点B表示的数为10， ∴点表示的数为， ∵点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 当点在的延长线上时，∵，且点B表示的数为10， ∴点表示的数为， ∵点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 综上所述，点C表示的数为或． 5．决定在方格表中的各个单元格内填入数，使得四个可能的正方形内的各数的总和相同．如图所示，其中三个角落处单元格内的数已经写好了．问她应该在位于第四个角落的单元格里写什么数？（   ） A．0     B．1      C．4      D．5        E．6 【答案】B 【分析】用分别方格中另外5个数，设第四个角落的单元格里的数为，根据题意列出相应的式子即可求解． 【详解】解：如图，用分别方格中另外5个数，设第四个角落的单元格里的数为， ∵四个可能的正方形内的各数的总和相同， ∴，即， ∴， 同理，，即， ∴， ∴第四个角落的单元格里的数为1． 二、填空题 6．已知，且，求___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的意义和绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．由绝对值的意义和绝对值的非负性可确定m和n的值，再代入中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴当时， 当时，， 故答案为：或． 7．比较下列各对数的大小： ①_________；    ②_________；    ③_________ 【答案】 【分析】先根据相反数和绝对值的定义化简各组中的数，再根据有理数大小比较法则判断：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；正数大于一切负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大． 【详解】解：，，， ∵， ∴，即； ∵，， ∴，， ∵， ∴； ，， ∵， ∴． 8．从图（1）中找规律，并按此规律在图（2）的空格里填上合适的数． 【答案】答案见解析 【分析】本题主要考查了有理数的加法，数字的变化类问题，仔细观察数字的分布，找到规律下面两个数的和等于上面的一个数字；进而根据图形的规律，写出答案即可． 【详解】解：观察（1）发现：， ， ， 规律为：下面两个数的和等于上面的一个数字； 根据规律得到：， ， ． 如图所示： 9．把写成省略加号的和的形式是_________． 【答案】 【分析】先把原式统一为加法运算，再省略括号与括号前面的加号，从而可得答案. 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查的是把加减运算统一为加法运算，再写成省略“”的和的形式，掌握“减去一个数，等于加上这个数的相反数”是解题的关键． 10．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，解题的关键在于找出规律正确计算． 根据有理数的加减混合运算方法，用正有理数的和加上负有理数的和，即可求出结果． 【详解】解： ． 三、解答题 11．已知零件的标准直径是，超过标准直径长度的数量记作正数，不足标准直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了件样品，检查结果如下表： 样品编号 偏差 (1)指出哪件样品的直径大小最符合要求． (2)如果规定误差的绝对值在以内的是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么这件样品分别属于哪类产品？ 【答案】(1)编号为4的样品的大小最符合要求 (2)见解析 【分析】本题考查正负数的应用、绝对值的应用、有理数的大小比较，理解绝对值的性质是解答的关键． （1）先求得各数据的绝对值，再比较大小，根据绝对值最小的最符合要求即可解答； （2）比较各绝对值与、的大小，根据正品、次品和废品定义可得结论． 【详解】（1）解：，，，，， ∵， ∴编号为4的样品的大小最符合要求； （2）解：因为，，， 所以编号为1，2，4的样品是正品； 因为， 所以编号为3的样品是次品； 因为， 所以编号为5的样品是废品． 12．小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【答案】(1)小李在集合点的南边，距集合点1千米 (2) (3)能，理由见解析 【分析】（1）将题中所记录的数据相加求和即可得出答案； （2）分别求出这6次行驶距离集合点的路程，比较即可； （3）分别求出这6个数的绝对值，相加求和，然后与12进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解： （千米）， 答：小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的南边，距集合点1千米； （2）第一次距离集合点（千米）， 第二次距离集合点（千米）， 第三次距离集合点（千米）， 第四次距离集合点（千米）， 第五次距离集合点（千米）， 第六次距离集合点（千米）， 因为， 所以小李距集合点最远为2千米， 故答案为：2； （3）能，理由： （千米）千米， 所以在中间不充电的情况下，他能完成上面的行程． 13．． 小李的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据小李的计算过程，回答下列问题： (1)小李在进行第二步计算时，运用的运算律是_______； (2)请指出他从第_______步开始出现错误； (3)将错误的一步改正并写出之后正确的解答过程． 【答案】(1)加法的交换律、结合律 (2)三 (3)解：原式 ． 【详解】（1）解：小李在进行第二步计算时，运用的运算律是加法的交换律、结合律． （2）解：第三步两个负数相加计算错误． （3）略 14．食堂管理：下表是实验小学食堂库存大米在这个星期内的变化情况．（运进为正，运出为负） 星期 日 一 二 三 四 五 六 运进和运出仓库的大米质量/千克 (1)星期四运进大米（    ）千克，运出大米（    ）千克． (2)星期（    ）只运出大米，而没有运进大米；星期（    ）运出的大米和运进的大米同样多． (3)如果上个星期六剩余大米200千克，那么到这个星期六食堂剩余多少千克大米？ 【答案】(1)180，90 (2)五，一 (3)660千克 【分析】（1）根据表格即可解答； （2）根据表格即可解答； （3）对表格中所有数据求和再加200即可解答； 【详解】（1）解：根据表格可知，星期四运进大米180千克，运出大米90千克； （2）解：根据表格可知，星期五只运出大米，而没有运进大米；星期一运出的大米和运进的大米同样多． （3）解： 千克， 答：如果上个星期六剩余大米200千克，那么到这个星期六食堂剩余660千克大米． 15．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过60单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于60单的部分记为“－”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送_____单； (2)该外卖小哥这一周总共送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成．送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过60单的部分，每单补贴2元；超过60单但不超过70单的部分，每单补贴4元；超过70单的部分，每单补贴6元．该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】(1)22 (2)该外卖小哥这一周共送餐441单 (3)该外卖小哥这一周的工资收入是1388元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）用表格中的最大数减去最小数即可； （2）计算表格数据的和，再加上，即可求解； （3）根据工资方案，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：（单）； 故答案为：． （2）解：（单）， 答：该外卖小哥这一周共送餐441单． （3）解：（元）， 答：该外卖小哥这一周的工资收入是1388元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $