第06讲 有理数的乘法与除法15大题型（暑假预习讲义）新七年级数学新教材苏科版

第06讲 有理数的乘法与除法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 两个有理数的乘法运算 题型2 多个有理数的乘法运算 题型3 有理数乘法的实际应用 题型4 倒数 题型5 有理数的乘法运算律 题型6 有理数的除法运算 题型7 有理数除法的应用 题型8 有理数乘除混合运算 题型9 有理数乘除中的简便运算 题型10 有理数四则运算 题型11 有理数四则混合运算的实际应用 题型12 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型13 有理数四则运算中错题纠正问题 题型14 有理数四则混合运算的规律计算 题型15 有理数四则混合运算的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 有理数的乘法运算 有理数的除法运算 有理数四则混合运算 1.理解有理数乘、除法法则由来，能准确判断两数相乘除结果符号，规范写出运算步骤； 2.熟练掌握多个有理数连乘连除运算，灵活运用符号规律简化计算，减少计算失误； 3.掌握倒数概念，会求整数、分数、小数的倒数，能利用倒数将除法转化为乘法计算； 4.会运用乘法交换律、结合律、分配律简便运算，提升混合算式计算速度与准确率； 5.能结合实际问题列有理数乘除算式，读懂题意并正确计算，解决简单生活应用题。 学习重点：掌握有理数乘除符号法则，会求倒数，活用运算律简便计算，规范完成各类乘除运算。 学习难点：多个数连乘判断符号，乘除混合统一化乘法，分配律灵活运用，结合实际列式解题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 即时即练 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1) (2) 3．计算 (1)； (2) 知识点02 有理数的乘法运算律 1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即； 2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即； 3.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即. 4.拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 即时即练 4．简便运算： (1)； (2)． 5．请你参考黑板上老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算 例1： 例2： (1)； (2)． 6．计算： (1) (2) 知识点03 倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 即时即练 7．的倒数是______． 8．若、互为倒数，则、之间的关系可以写成__________． 9．如果a，b互为相反数，c，d互为倒数，那么_______． 知识点04 有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 易错归纳： 1.符号判断出错 两数相除，同号得正、异号得负；多个数连除时，负数个数奇数结果为负，偶数为正，常漏数负号。 2.0 参与运算混淆 0 除以任何非 0 数得 0；0 不能作除数，做题易出现被除数、除数颠倒，把 0 当除数计算。 3.除法变乘法转换失误 除以一个数等于乘它的倒数，只颠倒除数，很多学生误把被除数也取倒数，转换步骤写错。 4.倒数求解错误 小数、带分数求倒数未先化假分数；正数倒数正、负数倒数负，易忽略负号直接颠倒分子分母。 5.乘除混合运算顺序乱 只从左往右依次计算，有括号先算括号内；不少人随意约分、跳步骤，改变运算顺序致结果错误。 6.分配律误用除法 乘法分配律可拆分，除法不能直接拆分被除数以外的项，容易套用a÷(b+c)=a÷b+a÷c错误公式。 7.约分漏带符号 分数形式除法约分，只化简数字，忽略分子分母自带负号，约分后符号丢失，最终符号相反。 即时即练 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．数学老师布置了一道题： 计算：÷． 小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法来解决这个问题． 小明的解法： 原式的倒数为， 所以． (1)小明的解答是否正确？请说明理由； (2)请你运用小明的方法计算：÷． 12．请你认真阅读下列材料：计算： 解：因为原式的倒数为 ． 所以原式 根据你对所提供材料的理解，计算下面的题目： 知识点05 有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 即时即练 13．计算： (1)； (2)； (3)． 14．计算： (1)； (2)． 15．计算： (1)． (2)； (3)； (4)． 题型1 两个有理数的乘法运算 【例1】计算：（   ） A．12 B． C．8 D． 【变式1】计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 【变式2】规定，算一算的结果是________． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式4】淇淇在计算时，产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 = = 思路二： 解：原式= = (1)在“思路一”的“□”填上合适的数，并完成计算； (2)在“思路二”的“〇”内填上运算符号（“+”、“-”、“×”、“÷”中的一个），使得运算过程正确，并完成计算． 题型2 多个有理数的乘法运算 【例2】四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 【变式1】计算的结果是（   ） A．10800 B．-2700 C．-432 D．1080 【变式2】绝对值小于的所有负整数的积是________． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型3 有理数乘法的实际应用 【例3】我市某公司今年1月月平均每月亏损2.5万元，4月月平均每月盈利12万元，则该公司今年1月月共盈利（   ） A．万元 B．万元 C．36万元 D．万元 【变式1】区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制，这与他们独特的计数方式有关．如图，右手4根手指的12个指关节表示1~12，左手的五根手指表示1~5倍．如：当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第8指关节时，表示的十进制数字是；当左手伸出2根手指，右手掐住第10指关节时，表示的十进制数字是．若当其左手伸出4根手指，右手掐住第5指关节时，表示的十进制数字是（    ） A．37 B．35 C．41 D．53 【变式2】如图，学校数学兴趣小组活动室的门上安装了密码锁．请根据门上的小提示，确定正确的密码是________． 数学兴趣活动室欢迎你！ 6#4@7=284270 4#7@8=563288 8#4@6=244872 3#9@8=密码 【变式3】徐州苏宁广场是徐州市地标性建筑物之一，最高的是A座，地上有61层，还有地下一层，通常叫负1楼，总高度达到266米，楼里面每台电梯无论上楼还是下楼，平均每层楼耗电度．2024年中秋假期，王子腾先是从一楼来到顶楼61楼餐厅就餐，紧接着跟着同学下到负一楼取个东西，两人又来到30楼某个门店，最后回到一楼，全程都是坐电梯．那么王子腾在此期间坐电梯一共用电__________度． 【变式4】小星在一根直立的细竹竿上作了刻度标记，一只蚂蚁从这根细竹竿上的虫眼开始上、下爬行．约定向上记为正，小星同学的观察记录如下： ． (1)记录中的数据“”表示的意义为 ； (2)观察结束时，蚂蚁离出发时的虫眼多远？在虫眼的上方还是下方？试说明理由． (3)蚂蚁平均每厘米爬秒，小星同学一共观察了多少时间？ 题型4 倒数 【例4】的倒数是（   ） A．2027 B． C． D． 【易错警示】 求倒数时切勿忽略负号，负数倒数仍为负；带分数、小数要先化成假分数再颠倒分子分母。0 没有倒数，不可错误求 0 的倒数。除法转化乘法仅除数取倒数，被除数不变，别颠倒被除数。区分相反数与倒数，相反数仅变符号，倒数需分子分母互换，避免概念混淆。 【变式1】若a的相反数是2026，则a的倒数是（   ） A．2026 B． C． D． 【变式2】如果代数式的值与互为倒数，则的值是______． 【变式3】已知、互为相反数且，、互为倒数，，求的值． 【变式4】已知：与互为相反数且、均不为零．是最大的负整数，是倒数等于本身的数，的绝对值等于3的数，试求的值． 题型5 有理数的乘法运算律 【例5】计算： (1)； (2)． 【变式1】简便计算： (1) (2) 【变式2】计算： (1) (2) 【变式3】计算： (1)； (2)． 【变式4】计算题 (1) (2) (3) 题型6 有理数的除法运算 【例6】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】阅读下列材料：计算 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 =． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． (2)请你选择合适的解法解答下列问题：计算： 【变式3】（1）根据倒数的定义我们知道，若，则________． （2）计算． （3）根据以上信息可知：________． 【变式4】计算，方方同学的计算过程如下： 原式=． 请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 题型7 有理数除法的应用 【例7】江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）于2025年5月10日拉开帷幕，第一轮常规赛由代表各地级市的13支球队进行单循环比赛，即每支球队都要与其他球队比赛一场，则“苏超”第一轮常规赛共比赛（    ） A．12场 B．24场 C．78场 D．85场 【变式1】辆大卡车和辆小卡车小时可运货吨，现在有一批货物，辆大卡车和辆小卡车用小时可运完，运了小时后，辆大卡车和 辆小卡车被调走执行其他任务．剩下的货物______小时可运完． 【变式2】我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正在一条南北方向的公路上执行治安巡逻，规定：初始位置为0，向北为正，向南为负．机器人从初始位置到巡逻结束所走的路程（单位：）如下：，，，，，． (1)在这次巡逻中，该巡逻机器人离出发点的最远距离为多少？ (2)已知巡逻机器人的平均速度为，求这次治安巡逻的时间． 【变式3】下表记录的是黑河本周内的水位变化情况，上周末（上个星期日）的水位已达到15米，（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）   星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化（米） (1)本周最高水位是______米，最低水位是______米； (2)与上周末相比，本周末河流的水位是______； （填“上升了”或“下降了） (3)由于下周将有大降雨天气，工作人员预测水位将会以每小时0.05米的速度上升，当水位达到米时，就要开闸泄洪，请你计算一下，再经过多少个小时工作人员就需要开闸泄洪？ 【变式4】近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这天里路程最多的一天比最少的一天多走多少？ (2)请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油的价格为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少元？ 题型8 有理数乘除混合运算 【例8】计算： (1)； (2)． 【易错警示】 运算先统一转化为乘法，只给除数取倒数，切勿改动被除数。先确定整体符号，数清负因数个数再计算。乘除同级从左往右算，不可随意调换运算顺序。乱用分配律拆分除数式，约分遗漏负号，带小数、分数未化简就计算，均易出现结果错误。 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】计算： 【变式3】计算： 【变式4】计算，能简算的要用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 题型9 有理数乘除中的简便运算 【例9】计算 (1) (2) (3) (4) 【易错警示】 运用乘法运算律时，注意仅乘法可分配，除法不能直接拆分除数。交换位置要连带数字前符号，勿丢负号。拆分带分数计算分配律易漏乘，连乘约分忽略负因数个数。切勿随意调整乘除混合运算顺序，转化乘法再简算，避免步骤混乱出错。 【变式1】请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【变式2】用简便方法计算下列各题 (1) (2) 【变式3】用运算律简便运算 (1) (2) 【变式4】计算 题型10 有理数四则运算 【例10】计算 (1) (2) (3) 【变式1】计算下面各题，能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) 【变式2】简便计算： (1)； (2) 【变式3】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6)（简便运算） 【变式4】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型11 有理数四则混合运算的实际应用 【例11】现有一批杨梅共6盒，以每盒5千克为标准质量，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下，其中一盒质量大于等于5千克的杨梅称为“精品杨梅”． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量的差值（单位：千克） (1)这6盒杨梅中“精品杨梅”有___________盒，最重的一盒杨梅___________千克； (2)若“精品杨梅”每千克售价50元，其他杨梅每千克售价40元，则出售这批杨梅总共多少元？ 【易错警示】 审题易混淆正负代表的实际意义，列式时符号标注错误。运算前未理清运算顺序，简便计算乱用分配律。计算过程漏负号、约分失误，最后忘记检验结果是否贴合生活实际，出现不符合题意的数值，作答不写完整单位与答句。 【变式1】某水果店以每箱元的价格从水果批发市场购进箱苹果，若以每箱千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下（单位：千克）：，，，， (1)求这箱苹果的总质量； (2)若水果店打算以每千克元的价格销售这批苹果，则全部售出可获利多少元？ 【变式2】刚大学毕业的小智把自家果园的冬枣放到网上进行直播销售，他原计划每天卖冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据记录的数据可知前三天共卖出冬枣__________； (2)若小智将冬枣都按每千克12元的价格出售，平均每千克冬枣的运费为6元，不考虑其他成本，求小智这周卖冬枣获得的利润． 【变式3】下表是九年级某班50位同学参加某次一分钟仰卧起坐比赛的情况，规定标准数量为每人每分钟50个． 实际数量与标准数量的差值 0 1 3 4 人数 6 8 3 10 9 8 6 (1)50名学生中一分钟做仰卧起坐个数最多的学生比最少的学生多做多少个？ (2)该班所有同学一分钟共做仰卧起坐多少个？ (3)一分钟仰卧起坐比赛的计分方式为：刚好达到标准数量不得分，若每分钟仰卧起坐个数超过规定标准数量，每多做一个加3分，没有达到规定标准数量的，每少做1个扣2分，则该班50名学生的总积分是多少？ 【变式4】每年的5月20日为中国学生营养日，2025年营养日的主题是“吃动平衡，身心健康”．某学校为每位学生定制了盒装的牛奶和豆浆，它们的部分营养成分表如下： 营养成分/食品种类 一盒牛奶 一盒豆浆 蛋白质 脂肪 某天，初中生小志牛奶和豆浆共喝了三盒，并从这两种食品中恰好摄入了蛋白质． (1)小志喝了牛奶和豆浆各多少盒？ (2)初中生每日脂肪摄入量标准约为．若小志这天已经从其它食品中摄入脂肪，在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标，并说明理由． 题型12 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例12】已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是（   ） A．1 B． C． D．3 【易错警示】 先分清数轴上数的大小与正负，距离不直接等同于数值。判断和差易混淆加减符号，两数相乘除忘记数负号个数。去括号时忽略负号变号规则，比较绝对值大小失误，误判式子结果符号。切勿凭位置直观臆断，需结合绝对值、运算法则分步推导。 【变式1】已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简为______． 【变式2】有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)用“”“”或“”填空：______0；_____0；_____0； (2)化简：． 【变式3】根据数轴，解决下列问题． (1)比较：_____（填写“”“”或“”）； (2)判断正负，用“”或“”填空： ______，______， ______； (3)化简：． 【变式4】按下列要求解答： (1)已知，化简：； (2)若、、在数轴上对应位置如图所示，化简：． 题型13 有理数四则运算中的错题纠正问题 【例13】阅读下面解题过程： 计算： 解：原式—（第一步） ———————（第二步） ———————————（第三步） (1)上面解题过程中有两处错误，第一处错误是第_____步，错误原因是_____； (2)第二处错误是第________步，错误原因是_______； (3)正确的计算结果是______． 【变式1】阅读下面的解题过程： 计算． 解：原式  （第一步）   （第二步）   （第三步） 回答： (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第______步，错误的原因是______，第二处是第______步，错误的原因是______； (2)把正确的解题过程写出来． 【变式2】简便运算纠错： 小伟对进行了如下运算： 解：原式…第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 解答下列问题： (1)第一步的运算法则是__________； (2)以上运算中的错误出现在第_________步，错误原因是________； (3)请你从错误的那一步开始完成余下部分的正确解答或用其它方法完整解答． 【变式3】阅读下面材料，然后回答问题． 计算． 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 解法三：原式的倒数为 ， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪种解法是错误的？并说明错误原因． (2)请选择适当的方法计算：． 【变式4】阅读下面的解题过程，然后回答问题： 计算： ． 解：原式   （第一步）    （第二步） ．  （第三步） (1)上述解题过程中有两处错误： ①第一处是第_____步，错误原因为____________________________________； ②第二处是第_____步，错误原因为____________________________________． (2)请你写出正确的解答过程． 题型14 有理数四则混合运算的规律计算 【例14】探究有规律分数的求和方法——裂项相消应用 【规律探寻】 观察一组数，，，，，…，尝试分析其规律并解决相关问题． （1）根据规律，第8个数是______，是第______个数； （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律______； 【方法应用】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． （3）运用上述经验完成下面的计算：． 【变式1】观察下列各式，你会发现什么规律？ ，… (1)请你按上述规律写出第5个等式______； (2)利用以上规律计算：的值． 【变式2】阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算： (2)计算： 【变式3】研究下列式子，你能发现什么规律？ ，，，，， (1)第个式子是___________； (2)请用含（为正整数）的式子表示你发现的规律___________； (3)请用你所发现的规律解决下面的问题： 计算． 【变式4】观察下列算式，你会发现什么规律？ …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)找出规律并计算：______=______； (2)用含有n的式子表示上面的规律：______； (3)用找到的规律解决下面的问题： 计算：______． 题型15 有理数四则混合运算的新定义问题 【例15】现定义某种新运算：对任意两个有理数a，b，有，那么（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式1】如果对于任意非零有理数a、b，定义运算“※”如下：，则______． 【变式2】中考新趋势·新定义 若，是有理数，定义一种运算“”：． (1)计算的值； (2)计算的值； (3)定义的新运算“”对交换律是否成立？请写出你的探究过程． 【变式3】a、b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”： 定义；例如：． 请根据“⊕”的定义计算： (1)； (2)． 【变式4】现定义一种新运算：，如． (1)求； (2)新定义的运算满足交换律吗？试以和举例说明． 1．2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 3．计算，正确的结果是（    ） A．12 B． C．7 D． 4．已知，且，则的值等于（   ） A．8或 B．2或 C．8或2 D．或 5．快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 6．已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是（   ） A．1 B． C． D．3 7．a，b为非零有理数，则的值为（　　） A．3 B． C．3或 D． 8．数轴上的点沿数轴向右移动7个单位后到达点，且点到原点的距离为1，若数轴上的点到点和到原点的距离相等，则点表示的数是（   ） A．3或4 B．或 C．或4 D．3或 9．若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为．现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D．4 10．如果有4个不同的正整数，，，满足，那么的值为（   ） A．8080 B．8100 C．8084 D．8096 11．______． 12．绝对值不大于的所有整数的积是______ 13．在，，，这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是______． 14．有理数a，b，c表示的点在数轴上的位置如图所示，则_______． 15．已知，，且，则的值为______． 16．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则序号为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则序号为12）．以2026年为例： 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2035年为农历________年． 17．学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，注意到与互为倒数． （1）若，则的值为_____． （2）计算的值为_____． 18．已知、、是有理数，且，则的值是___________． 19．对于整数x，规定，例如，，求：______． 20．老师让大家写出三个互不相等的有理数，小聪写出的是1，，a，小明写出的是0，，b，老师说两人写的数字完全一样．则字母a表示的有理数是________． 21．计算： (1)； (2)． 22．计算： (1)； (2)． 23．有理数a，b在数轴上的位置如图所示： (1)用“”或“”填空：________0，________0； (2)化简：． 24．计算：． 25．阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日     星期日 这周，老师布置了作业： 观察下列各式：；； 通过以上各式，请你写出这种新定义的运算： ． 在完成老师布置的作业之后，我对这个新定义的运算充满了好奇，继而思考：这个新定义的运算满足交换律吗？于是我展开以下探究： 若满足交换律，则有． …… 任务： (1)请你补全上述材料的空缺部分： ． (2)根据材料，计算与． (3)请你补全小宇日记中的探究过程． 26．已知、 互为相反数，、 互为倒数，是绝对值最小的负整数，数轴上表示数 的点到原点的距离为 2 个单位长度，求 的值． 27．学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目，计算：，看谁算得又快又对，有两位同学的解法如下： 聪聪：原式． 明明：原式=． (1)请用明明的方法计算：． (2)对于题目中老师所给的题目，除了聪聪和明明的做法之外，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来． 28．小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 29．某共享单车厂计划一周生产自行车2100辆，平均每天生产300辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车______辆； (3)该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖25元；少生产一辆扣30元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ (4)若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下这一周工人的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 30．实际应用与探究：某数学兴趣小组设计了一种“有理数运算器”，其运算规则如下： 对于任意有理数，，定义运算：． (1)计算和的值，观察结果有什么规律 (2)探究：对于任意有理数，，是否等于，请说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 有理数的乘法与除法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 两个有理数的乘法运算 题型2 多个有理数的乘法运算 题型3 有理数乘法的实际应用 题型4 倒数 题型5 有理数的乘法运算律 题型6 有理数的除法运算 题型7 有理数除法的应用 题型8 有理数乘除混合运算 题型9 有理数乘除中的简便运算 题型10 有理数四则运算 题型11 有理数四则混合运算的实际应用 题型12 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型13 有理数四则运算中错题纠正问题 题型14 有理数四则混合运算的规律计算 题型15 有理数四则混合运算的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 有理数的乘法运算 有理数的除法运算 有理数四则混合运算 1.理解有理数乘、除法法则由来，能准确判断两数相乘除结果符号，规范写出运算步骤； 2.熟练掌握多个有理数连乘连除运算，灵活运用符号规律简化计算，减少计算失误； 3.掌握倒数概念，会求整数、分数、小数的倒数，能利用倒数将除法转化为乘法计算； 4.会运用乘法交换律、结合律、分配律简便运算，提升混合算式计算速度与准确率； 5.能结合实际问题列有理数乘除算式，读懂题意并正确计算，解决简单生活应用题。 学习重点：掌握有理数乘除符号法则，会求倒数，活用运算律简便计算，规范完成各类乘除运算。 学习难点：多个数连乘判断符号，乘除混合统一化乘法，分配律灵活运用，结合实际列式解题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 即时即练 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)2 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，有理数乘法分配律： （1）根据有理数的乘法计算法则求解即可； （2）根据有理数的乘法计算法则求解即可； （3）根据有理数的乘法计算法则求解即可； （4）根据有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1)33 (2)3 【分析】本题考查有理数的运算． （1）先算乘法，再进行加减运算即可； （2）利用乘法分配律，进行计算即可． 掌握相关法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 3．计算 (1)； (2) 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则和乘法运算律是解题关键． 知识点02 有理数的乘法运算律 1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即； 2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即； 3.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即. 4.拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 即时即练 4．简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了有理数的简便运算，解决本题的关键是利用乘法分配律进行简便运算． 利用乘法分配律，把与括号里面的各个分数分别相乘再相加即可； 把写成的形式，再运用乘法分配律，把与整数部分、分数部分分别相乘再相加即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．请你参考黑板上老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算 例1： 例2： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，能够熟练运用乘法分配律是解题的关键． （1）把写成，利用乘法分配律进行计算； （2）逆用乘法分配律，提取，进行简便计算即可． 【详解】（1） （2） ． 6．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答的关键． （1）利用乘法分配律简便运算即可； （2）逆用乘法分配律简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点03 倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 即时即练 7．的倒数是______． 【答案】 【详解】解：的倒数是． 8．若、互为倒数，则、之间的关系可以写成__________． 【答案】 【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两个数乘积等于1． 本题考查倒数的概念，正确理解概念是解题的关键． 【详解】解：因为a和b互为倒数，所以它们的乘积等于1，即． 故答案为：． 9．如果a，b互为相反数，c，d互为倒数，那么_______． 【答案】 【分析】本题考查了相反数，倒数，代数式求值，根据相反数和倒数的定义，得到，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数， ∴，， ∴原式 故答案为：． 知识点04 有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 易错归纳： 1.符号判断出错 两数相除，同号得正、异号得负；多个数连除时，负数个数奇数结果为负，偶数为正，常漏数负号。 2.0 参与运算混淆 0 除以任何非 0 数得 0；0 不能作除数，做题易出现被除数、除数颠倒，把 0 当除数计算。 3.除法变乘法转换失误 除以一个数等于乘它的倒数，只颠倒除数，很多学生误把被除数也取倒数，转换步骤写错。 4.倒数求解错误 小数、带分数求倒数未先化假分数；正数倒数正、负数倒数负，易忽略负号直接颠倒分子分母。 5.乘除混合运算顺序乱 只从左往右依次计算，有括号先算括号内；不少人随意约分、跳步骤，改变运算顺序致结果错误。 6.分配律误用除法 乘法分配律可拆分，除法不能直接拆分被除数以外的项，容易套用a÷(b+c)=a÷b+a÷c错误公式。 7.约分漏带符号 分数形式除法约分，只化简数字，忽略分子分母自带负号，约分后符号丢失，最终符号相反。 即时即练 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)2 (3)-6 (4)2 【分析】此题考查了有理数的除法运算，根据有理数的除法运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 11．数学老师布置了一道题： 计算：÷． 小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法来解决这个问题． 小明的解法： 原式的倒数为， 所以． (1)小明的解答是否正确？请说明理由； (2)请你运用小明的方法计算：÷． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2) 【分析】（1）正确，利用倒数的定义判断即可； （2）求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：正确，理由为：一个数的倒数的倒数等于原数； （2）解：原式的倒数为 ， 则． 12．请你认真阅读下列材料：计算： 解：因为原式的倒数为 ． 所以原式 根据你对所提供材料的理解，计算下面的题目： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．表示出原式的倒数，先将除法转化为乘法，然后利用乘法分配律求出值，进而确定出所求即可． 【详解】解：原式的倒数 ． ∴原式． 知识点05 有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 即时即练 13．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，包括乘法分配律、乘除混合运算以及简便运算． （1）括号内为分数加减混合运算，乘以整数时，利用乘法分配律将括号内每一项分别与相乘，再求和，简化计算； （2）乘除混合运算中，将除法转化为乘法(除以一个数等于乘以其倒数)，然后依次约分计算，注意符号的连续运算； （3）带分数乘法可拆分为整数与分数的和，再利用乘法分配律展开，分别计算整数部分和分数部分与的乘积，最后合并结果． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了有理数的乘除法运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）按从左到右的顺序计算有理数的乘除法即可； （2）按从左到右的顺序计算有理数的乘除法即可． 【详解】（1）解： （2） 15．计算： (1)． (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算：将除法变成乘法，再根据乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型1 两个有理数的乘法运算 【例1】计算：（   ） A．12 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数乘法运算，掌握有理数乘法法则即可直接计算出结果． 【详解】解：． 【变式1】计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正，再将两个数的绝对值相乘. 与都是负数，符号相同， . 【变式2】规定，算一算的结果是________． 【答案】6 【分析】按照运算顺序先计算括号内的式子，再根据给定运算规则计算括号外的式子即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘法法则． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可； （5）根据有理数的乘法法则计算即可； （6）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式4】淇淇在计算时，产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 = = 思路二： 解：原式= = (1)在“思路一”的“□”填上合适的数，并完成计算； (2)在“思路二”的“〇”内填上运算符号（“+”、“-”、“×”、“÷”中的一个），使得运算过程正确，并完成计算． 【答案】(1) “”里应填， ∴原式 (2) ∴“”内填“”， ∴原式 【分析】（1）先把带分数拆成整十数加剩余部分的形式，因为要凑出整数方便计算，所以可将其改写为，根据带分数的拆分规则确定的数值，再运用乘法分配律展开计算； （2）先明确带分数的定义，因为带分数是整数部分与分数部分的和的简写，所以判断中整数和分数部分的运算符号，确定的内容，再运用乘法分配律展开计算． 【详解】（1）略 （2）略 题型2 多个有理数的乘法运算 【例2】四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法的符号法则，根据“”的个数，奇负偶正，得到被污染的有理数是一个负数，进行判断即可． 【详解】解：∵四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，积为负数， ∴被污染的有理数是一个负数；故满足题意的只有A选项； 故选：A． 【变式1】计算的结果是（   ） A．10800 B．-2700 C．-432 D．1080 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式2】绝对值小于的所有负整数的积是________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的概念，有理数的乘法；解题的关键是掌握绝对值的概念；根据绝对值的概念，找出所有绝对值小于的负整数，再计算它们的乘积． 【详解】解：绝对值小于的负整数有，它们的积为， 故答案为：． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则以及运算律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据乘法交换律简化计算即可； （2）根据乘法交换律和结合律简化计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型3 有理数乘法的实际应用 【例3】我市某公司今年1月月平均每月亏损2.5万元，4月月平均每月盈利12万元，则该公司今年1月月共盈利（   ） A．万元 B．万元 C．36万元 D．万元 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法与减法在实际盈利问题中的应用，解题的关键是明确亏损与盈利的数量关系，分别计算前3个月的总亏损和后3个月的总盈利，再通过差值求出总盈利． 先根据“总盈亏月均盈亏月数”分别算出1月月的总亏损和4月月的总盈利，再用总盈利减去总亏损得到1月月的总盈利，对应选项得出答案． 【详解】解：1月月共3个月，总亏损为万元； 4月月共3个月，总盈利为万元； 该公司1月月共盈利为万元． 故选：B． 【变式1】区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制，这与他们独特的计数方式有关．如图，右手4根手指的12个指关节表示1~12，左手的五根手指表示1~5倍．如：当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第8指关节时，表示的十进制数字是；当左手伸出2根手指，右手掐住第10指关节时，表示的十进制数字是．若当其左手伸出4根手指，右手掐住第5指关节时，表示的十进制数字是（    ） A．37 B．35 C．41 D．53 【答案】D 【分析】主要考查了有理数的四则混合计算，根据题意用左手的手指数乘以12加上右手的关节数字即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 【变式2】如图，学校数学兴趣小组活动室的门上安装了密码锁．请根据门上的小提示，确定正确的密码是________． 数学兴趣活动室欢迎你！ 6#4@7=284270 4#7@8=563288 8#4@6=244872 3#9@8=密码 【答案】 【分析】本题考查了数字中的规律问题，理解题目中的规律是解题关键． 根据给定的三个例子，分析出的操作规则：结果是一个六位数，由三部分组成，前两位是b和c的乘积，中间两位是a和c的乘积，后两位是a与b的和与c的乘积． 【详解】由题意分析出的操作规则：结果是一个六位数，由三部分组成，前两位是b和c的乘积，中间两位是a和c的乘积，后两位是a与b的和与c的乘积， 所以对于，， 计算， ， ， 将连接，得到． 故答案为． 【变式3】徐州苏宁广场是徐州市地标性建筑物之一，最高的是A座，地上有61层，还有地下一层，通常叫负1楼，总高度达到266米，楼里面每台电梯无论上楼还是下楼，平均每层楼耗电度．2024年中秋假期，王子腾先是从一楼来到顶楼61楼餐厅就餐，紧接着跟着同学下到负一楼取个东西，两人又来到30楼某个门店，最后回到一楼，全程都是坐电梯．那么王子腾在此期间坐电梯一共用电__________度． 【答案】 【分析】根据题意，计算一共有（层），结合每层楼耗电度．计算解答即可． 本题考查了小数的乘法，熟练掌握小数的乘法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，（层），（层），（层）（层） 又每层楼耗电度． 故（度）． 故答案为：． 【变式4】小星在一根直立的细竹竿上作了刻度标记，一只蚂蚁从这根细竹竿上的虫眼开始上、下爬行．约定向上记为正，小星同学的观察记录如下： ． (1)记录中的数据“”表示的意义为 ； (2)观察结束时，蚂蚁离出发时的虫眼多远？在虫眼的上方还是下方？试说明理由． (3)蚂蚁平均每厘米爬秒，小星同学一共观察了多少时间？ 【答案】(1)向下爬了 (2)，蚂蚁在虫眼的上方 (3) 【分析】（1）根据向上爬为正，则负为向下爬判断即可； （2）有相对位置关系，则直接把各记录的数带好符号相加，结果为正则在上方，为负则在下方，绝对值则为距离虫眼的距离； （3）把各数的绝对值相加，计算出总路程，再乘以，即为总时间． 【详解】（1）解：由题意得，向上爬为正，则负为向下爬， ∴“”表示的意义为向下爬了， 故答案为：向下爬了； （2）解：∵， ∴此时蚂蚁离出发时的虫眼，蚂蚁在虫眼的上方； （3）解：由题意得， ， ∴， 答：爬了． 【点睛】本题考查了有理数的正负的实际应用，解决本题的关键是掌握具有相反意义的量才有正负之分，当计算有相对关系时，要带好符号相加，当无相对关系而求总量时，则取绝对值相加． 题型4 倒数 【例4】的倒数是（   ） A．2027 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查倒数的定义，熟练掌握倒数定义是问题求解的关键． 根据倒数的定义，互为倒数的两个数的乘积为，可完成求解． 【详解】解：由，可得． 故选：B． 【易错警示】 求倒数时切勿忽略负号，负数倒数仍为负；带分数、小数要先化成假分数再颠倒分子分母。0 没有倒数，不可错误求 0 的倒数。除法转化乘法仅除数取倒数，被除数不变，别颠倒被除数。区分相反数与倒数，相反数仅变符号，倒数需分子分母互换，避免概念混淆。 【变式1】若a的相反数是2026，则a的倒数是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相反数与倒数的判断，掌握相反数为相加为0的两个数，倒数为乘积为1的两个数是解题的关键． 根据相反数与倒数的定义判断即可． 【详解】解：∵a的相反数是2026， ∴， ∴a的倒数是． 故选：D． 【变式2】如果代数式的值与互为倒数，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，倒数的定义，互为倒数的两个数的乘积为1，则可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵代数式的值与互为倒数， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3】已知、互为相反数且，、互为倒数，，求的值． 【答案】0或 【分析】根据题意得：，，，，，分类讨论：当时和当时，将其值代入代数式即可求解． 【详解】解：∵、互为相反数且，、互为倒数，， ∴，，，， 当时， 代入得：； 当时， 代入得：． ∴的值为0或． 【点睛】本题考查了代数式求值、相反数、倒数及绝对值，熟练掌握相反数的意义、倒数的意义及去绝对值是解题的关键． 【变式4】已知：与互为相反数且、均不为零．是最大的负整数，是倒数等于本身的数，的绝对值等于3的数，试求的值． 【答案】0或． 【分析】本题考查了相反数，绝对值和倒数，有理数的分类，代数式求值，掌握相关知识点是解题关键．根据题意可得，，，，，再代入计算求值即可． 【详解】解：与互为相反数且、均不为零， ，， 是最大的负整数，是倒数等于本身的数，的绝对值等于3的数， ，，， 当时， 当时，， 综上可知，的值为0或． 题型5 有理数的乘法运算律 【例5】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用乘法分配律进行解答即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1】简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘法分配律． （1）直接根据乘法分配律计算即可； （2）将化为，再根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答的关键． （1）利用乘法分配律简便运算即可； （2）逆用乘法分配律简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把1.25化成，再进行乘法运算即可； （2）把化为，再运用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4】计算题 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）将变为，根据乘法分配律计算即可； （3）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型6 有理数的除法运算 【例6】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的除法运算．熟练掌握有理数的除法运算是解题的关键． （1）先将带分数化成假分数，然后进行除法运算即可； （2）直接进行除法运算即可； （3）先将带分数化成假分数，然后进行除法运算即可； （4）先将带分数化成假分数，然后进行除法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)2 (3)-6 (4)2 【分析】此题考查了有理数的除法运算，根据有理数的除法运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式2】阅读下列材料：计算 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 =． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． (2)请你选择合适的解法解答下列问题：计算： 【答案】(1)一 (2)原式 【分析】此题考查了有理数的除法．熟练掌握除法法则，取倒数计算除法，乘法分配律，是解本题的关键． （1）解法一是错误的．根据有理数的运算顺序，先算括号里面的，再算有理数的除法，可得答案．（2）被除数是一个数，除数是一个复杂算式，计算其倒数值，计算的倒数值，即得的值． 【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误； 故答案为：一； （2）解：∵ ， ∴． 【变式3】（1）根据倒数的定义我们知道，若，则________． （2）计算． （3）根据以上信息可知：________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，有理数的除法计算，有理数乘法分配律： （1）根据倒数的定义即可得到答案； （2）先把除法变成乘法，再根据乘法分配律求解即可； （3）根据倒数的定义得到，则． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2） ； （3）∵， ∴， ∴． 【变式4】计算，方方同学的计算过程如下： 原式=． 请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 【答案】不正确，144 【分析】此题考查了有理数的除法，用到的知识点是有理数的除法、通分、有理数的加法，关键是掌握运算顺序和结果的符号．根据有理数的混合运算顺序，先算括号里面的，再根据除法法则进行计算即可． 【详解】解：方方的计算过程不正确， 正确的计算过程是： 原式 ． 题型7 有理数除法的应用 【例7】江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）于2025年5月10日拉开帷幕，第一轮常规赛由代表各地级市的13支球队进行单循环比赛，即每支球队都要与其他球队比赛一场，则“苏超”第一轮常规赛共比赛（    ） A．12场 B．24场 C．78场 D．85场 【答案】C 【分析】本题考查了握手问题的实际应用，单循环比赛的总场次计算公式为：总场次球队数 (球队数) ． 【详解】解：∵ 有13支球队，每支球队需要与其他12支球队各比赛一场， ∴ 总比赛场次为（场）． 故选：C． 【变式1】辆大卡车和辆小卡车小时可运货吨，现在有一批货物，辆大卡车和辆小卡车用小时可运完，运了小时后，辆大卡车和 辆小卡车被调走执行其他任务．剩下的货物______小时可运完． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算的应用，根据题意找出数量关系即可求解，理解题意，列出算式是解题的关键． 【详解】解：∵辆大卡车和辆小卡车小时可运货吨， ∴辆大卡车和辆小卡车小时可运货（吨）， ∴辆大卡车和辆小卡车小时可运货（吨）， ∴辆大卡车和辆小卡车小时可运货（吨）， 由辆大卡车和辆小卡车小时可运货（吨）， 则剩余货物：（吨）， ∵辆大卡车和辆小卡车被调走执行其他任务， ∴剩下大卡车数量为（辆），剩下小卡车数量为（辆）， ∴辆大卡车和辆小卡车运货吨， ∴需要的时间为：（小时）， 故答案为：． 【变式2】我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正在一条南北方向的公路上执行治安巡逻，规定：初始位置为0，向北为正，向南为负．机器人从初始位置到巡逻结束所走的路程（单位：）如下：，，，，，． (1)在这次巡逻中，该巡逻机器人离出发点的最远距离为多少？ (2)已知巡逻机器人的平均速度为，求这次治安巡逻的时间． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正数和负数，绝对值及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）分别求得每次巡逻后距出发点的距离及位置后进行判断即可； （2）根据绝对值的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解：第1次；， 第2次：， 第3次：， 第4次：， 第5次：， 第6次：． 答：在这次巡逻中，该巡逻机器人离出发点的最远距离为． （2）解：． 答：这次治安巡逻的时间为． 【变式3】下表记录的是黑河本周内的水位变化情况，上周末（上个星期日）的水位已达到15米，（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）   星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化（米） (1)本周最高水位是______米，最低水位是______米； (2)与上周末相比，本周末河流的水位是______； （填“上升了”或“下降了） (3)由于下周将有大降雨天气，工作人员预测水位将会以每小时0.05米的速度上升，当水位达到米时，就要开闸泄洪，请你计算一下，再经过多少个小时工作人员就需要开闸泄洪？ 【答案】(1)； (2)上升了 (3)再经过个小时工作人员就需要开闸泄洪 【分析】本题考查正负数的应用，有理数加减的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）求出每一天的水位，进行判断即可； （2）由（1）进行判断即可； （3）用泄洪水位减去现在的水位，再除以每小时的上升速度，进行计算即可． 【详解】（1）解：周一：， 周二：， 周三：， 周四：， 周五：， 周六：， 周日：， 周五水位最高是，周一水位最低是． 故答案为：；； （2）， 和上周末相比水位上升了， 故答案为：上升了； （3）（小时）， 答：再经过个小时工作人员就需要开闸泄洪． 【变式4】近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这天里路程最多的一天比最少的一天多走多少？ (2)请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油的价格为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少元？ 【答案】(1)多走； (2)这七天平均每天行驶了； (3)这天的行驶费用比原来节省元． 【分析】本题主要考查了正负数的意义、平均数的计算以及费用的计算，熟练掌握正负数的运算和相关公式是解题的关键． （1）找出表格中最大和最小的数，求差得到最多的一天比最少的一天多走的路程； （2）先计算七天与标准路程差值的平均数，再加上标准路程得到平均每天行驶的路程； （3）分别计算汽油车和新能源车七天的行驶费用，再求差值得到节省的费用． 【详解】（1）解：， 答：多走； （2）解： ， ， 答：这七天平均每天行驶了； （3）解：七天总路程： 汽油车费用：（元） 新能源车费用：（元） （元） 答：这天的行驶费用比原来节省元． 题型8 有理数乘除混合运算 【例8】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法运算法则计算即可得到答案； （2）先将除法转化为乘法，然后计算有理数乘法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【易错警示】 运算先统一转化为乘法，只给除数取倒数，切勿改动被除数。先确定整体符号，数清负因数个数再计算。乘除同级从左往右算，不可随意调换运算顺序。乱用分配律拆分除数式，约分遗漏负号，带小数、分数未化简就计算，均易出现结果错误。 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题关键． （1）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （2）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （3）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【变式2】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算．根据有理数的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式3】计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 根据有理数的乘除混合运算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 【变式4】计算，能简算的要用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)7 (2)39 (3) (4)8 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解决此题的关键是注意计算的正确性；根据有理数的运算步骤先乘除后加减，有括号的先算括号里面的，一步步进行计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 题型9 有理数乘除中的简便运算 【例9】计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)499 (2)7 (3)885 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律及裂项法是解题的关键. （1）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （2）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （3）根据同分母分数加法运算法则进行计算，再变形，根据同分母分数加法运算法则，进行计算即可； （4）将原式变形为，然后裂项，再根据加法交换律和结合律，结合裂项法，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：                   ； （3）解： ； （4）解： ． 【易错警示】 运用乘法运算律时，注意仅乘法可分配，除法不能直接拆分除数。交换位置要连带数字前符号，勿丢负号。拆分带分数计算分配律易漏乘，连乘约分忽略负因数个数。切勿随意调整乘除混合运算顺序，转化乘法再简算，避免步骤混乱出错。 【变式1】请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【详解】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 【变式2】用简便方法计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1)23 (2) 【分析】本题主要考查有理数乘除中的简便运算； （1）先把除法变乘法，再根据有理数乘法运算律计算即可； （2）把2020变为，再根据有理数乘法运算律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3】用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式4】计算 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，包括乘法、加法和除法．将除法转换成乘法，根据乘法分配律和逆用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 题型10 有理数四则运算 【例10】计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，加法运算律以及乘法运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据加法结合律简便计算即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则计算即可； （3）根据乘法分配律简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】计算下面各题，能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)12 (2) (3) (4)590 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律、有理数四则混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）直接运用有理数的乘法运算律进行简便运算即可； （2）先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算括号外的除法； （3）把除以4化成乘上，再运用乘法的分配律进行简算； （4）运用乘法的分配律进行简算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式2】简便计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算及乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）根据有理数乘法分配律将括号内的每个数分别与相乘，再进行计算即可； （2）首先需要将带分数化为假分数，除法转化为乘法，然后观察到各项都含有这个因数，可利用乘法分配律的逆运算来简化计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6)（简便运算） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据有理数加法交换律和结合律，在运用加法运算法则即可求解； （2）根据有理数乘除混合运算法则即可求解； （3）化简绝对值，再根据有理数加减混合运算即可； （4）先算括号里的，再算乘除，最后算加减即可； （5）根据乘法分配律进行简便运算即可； （6）先对原式变形为，再利用乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． （5）解：原式 ． （6）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数加法交换律和结合律，有理数乘除混合运算法则，有理数四则混合运算法则，乘法分配律，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式4】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的混合运算与运算律，熟记运算法则和运算律是解题关键． （1）根据有理数的加法运算进行计算即可求解； （2）根据有理数的加法运算进行计算即可求解； （3）根据有理数的乘法运算进行计算即可求解； （4）根据有理数的乘除混合运算进行计算即可求解； （5）利用有理数的乘法分配律计算即可得； （6）利用有理数的除法法则计算即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 题型11 有理数四则混合运算的实际应用 【例11】现有一批杨梅共6盒，以每盒5千克为标准质量，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下，其中一盒质量大于等于5千克的杨梅称为“精品杨梅”． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量的差值（单位：千克） (1)这6盒杨梅中“精品杨梅”有___________盒，最重的一盒杨梅___________千克； (2)若“精品杨梅”每千克售价50元，其他杨梅每千克售价40元，则出售这批杨梅总共多少元？ 【答案】(1)4； (2)1423元 【分析】（1）根据正、负数的意义进行判断即可； （2）根据每千克售价乘以重量列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，“精品杨梅”的质量大于等于5千克，即其与标准质量的差值大于等于0．表格中差值大于等于0的有，共4盒，所以“精品杨梅”有4盒， 最重的一盒杨梅（千克）． （2）解：由题意得： （元） 答：出售这批杨梅总共1423元． 【易错警示】 审题易混淆正负代表的实际意义，列式时符号标注错误。运算前未理清运算顺序，简便计算乱用分配律。计算过程漏负号、约分失误，最后忘记检验结果是否贴合生活实际，出现不符合题意的数值，作答不写完整单位与答句。 【变式1】某水果店以每箱元的价格从水果批发市场购进箱苹果，若以每箱千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下（单位：千克）：，，，， (1)求这箱苹果的总质量； (2)若水果店打算以每千克元的价格销售这批苹果，则全部售出可获利多少元？ 【答案】(1) 这箱苹果的总质量是千克 (2) 全部售出可获利元 【分析】（1）根据箱苹果，每箱千克，用再把多的加上，少的减掉； （2）用销售额减去进价即可得到所获得的利润． 【详解】（1）解：（千克）， 答：这箱苹果的总质量为千克； （2）解： （元）， 答：全部售出可获利元． 【变式2】刚大学毕业的小智把自家果园的冬枣放到网上进行直播销售，他原计划每天卖冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据记录的数据可知前三天共卖出冬枣__________； (2)若小智将冬枣都按每千克12元的价格出售，平均每千克冬枣的运费为6元，不考虑其他成本，求小智这周卖冬枣获得的利润． 【答案】(1)296 (2)4302元 【分析】此题考查正数和负数的应用问题，以及有理数的混合运算，解此题的关键是读懂题意，找出关系，然后列式计算． （1）根据前三天销售量相加计算即可． （2）将总数量乘以价格差，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得前三天分别卖出冬枣：，，， ∴前三天共卖出冬枣， 故答案为：． （2）解：根据题意可得这周冬枣总销售量为：， 平均每千克冬枣的利润为元， 故这周总利润为：（元）． 答：小智这周卖冬枣获得的利润为元． 【变式3】下表是九年级某班50位同学参加某次一分钟仰卧起坐比赛的情况，规定标准数量为每人每分钟50个． 实际数量与标准数量的差值 0 1 3 4 人数 6 8 3 10 9 8 6 (1)50名学生中一分钟做仰卧起坐个数最多的学生比最少的学生多做多少个？ (2)该班所有同学一分钟共做仰卧起坐多少个？ (3)一分钟仰卧起坐比赛的计分方式为：刚好达到标准数量不得分，若每分钟仰卧起坐个数超过规定标准数量，每多做一个加3分，没有达到规定标准数量的，每少做1个扣2分，则该班50名学生的总积分是多少？ 【答案】(1)9个 (2)2508个 (3)73分 【分析】本题主要考查正负数在实际生活中的应用以及有理数的混合运算．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据正负数意义，用最大值减去最小值计算即可； （2）先计算出实际数量与标准数量的差值的和，再加上每人每分钟50个乘人数即可； （3）结合计分方式列式计算即可． 【详解】（1）解：（个）， 答：50名学生中一分钟做仰卧起坐个数最多的学生比最少的学生多做9个； （2）解： （个）， 答：该班所有同学一分钟共做仰卧起坐2508个； （3）解： （分）， 答：该班50名学生的总积分为73分． 【变式4】每年的5月20日为中国学生营养日，2025年营养日的主题是“吃动平衡，身心健康”．某学校为每位学生定制了盒装的牛奶和豆浆，它们的部分营养成分表如下： 营养成分/食品种类 一盒牛奶 一盒豆浆 蛋白质 脂肪 某天，初中生小志牛奶和豆浆共喝了三盒，并从这两种食品中恰好摄入了蛋白质． (1)小志喝了牛奶和豆浆各多少盒？ (2)初中生每日脂肪摄入量标准约为．若小志这天已经从其它食品中摄入脂肪，在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标，并说明理由． 【答案】(1)小志喝了2盒牛奶和1盒豆浆； (2)他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用及有理数的混合运算，熟练掌握根据实际问题等量关系列方程求解，再结合数据进行计算比较是解题的关键． （1）设喝牛奶的盒数为未知数，根据总盒数表示出豆浆的盒数，再结合蛋白质摄入量列方程求解． （2）根据（1）的结果计算牛奶和豆浆的脂肪总量，加上其他食品的脂肪摄入量，与标准范围比较． 【详解】（1）解：设小志喝了盒牛奶，则喝了盒豆浆． ， ， ， ， ∴， 答：小志喝了2盒牛奶，1盒豆浆； （2）解：牛奶和豆浆的脂肪总量： 总脂肪摄入量：， ∵， ∴他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标． 答：他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标． 题型12 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例12】已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的知识点，化简绝对值，由数轴可得，且，从而可得，，，再根据绝对值的性质化简即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，且， ∴，，， ∴ ， 故选：B． 【易错警示】 先分清数轴上数的大小与正负，距离不直接等同于数值。判断和差易混淆加减符号，两数相乘除忘记数负号个数。去括号时忽略负号变号规则，比较绝对值大小失误，误判式子结果符号。切勿凭位置直观臆断，需结合绝对值、运算法则分步推导。 【变式1】已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数轴及绝对值，整式的加减，解题的关键是根据数轴确定，，，． 利用数轴可得，，，然后化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知：，且， ，，， ． 故答案为：． 【变式2】有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)用“”“”或“”填空：______0；_____0；_____0； (2)化简：． 【答案】(1)；；； (2)． 【分析】本题主要考查了数轴的应用、有理数的大小比较及绝对值的化简，熟练掌握绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）是解题的关键． （1）根据数轴确定的范围，通过分析式子的符号或计算比较与0的大小． （2）依据第(1)题的符号判断结果，利用绝对值的性质去掉绝对值符号后化简． 【详解】（1）解：由数轴知：， ∵ ，， ∴， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴， ∵， ∴ ； （2）解：由（1）知：，，， ∴ ． 【变式3】根据数轴，解决下列问题． (1)比较：_____（填写“”“”或“”）； (2)判断正负，用“”或“”填空： ______，______， ______； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数轴比较数的大小，判断不等式的符号，绝对值的化简，合并同类项，解题的关键是利用数形结合的思想求解． ()根据数轴得：，即可判断； ()先判断出的范围，再根据不等式的性质运算进行判断； ()先判断出，再进行绝对值化简． 【详解】（1）解：根据数轴得：， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴ 【变式4】按下列要求解答： (1)已知，化简：； (2)若、、在数轴上对应位置如图所示，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有数轴判断式子的正负，化简绝对值，熟练掌握相关定义为解题关键． （1）根据题意判断出，，再化简求值即可； （2）先根据数轴上字母的位置判断出，再得到，，，从而化简求出结果即可． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：由数轴可知：， ，，， ． 题型13 有理数四则运算中的错题纠正问题 【例13】阅读下面解题过程： 计算： 解：原式—（第一步） ———————（第二步） ———————————（第三步） (1)上面解题过程中有两处错误，第一处错误是第_____步，错误原因是_____； (2)第二处错误是第________步，错误原因是_______； (3)正确的计算结果是______． 【答案】(1)二，运算顺序不正确 (2)三，两个负数相除得正数 (3) 【分析】此题考查了有理数的乘除法，掌握有理数的乘除法顺序和结果的符号是本题的关键． （1）根据有理数乘除法的运算法则中的从左至右的运算顺序计算即可得出答案； （2）根据负负得正即可得出答案； （3）根据有理数的乘除法顺序先算括号里面的，再按照从左至右的运算顺序计算，然后把除法转化成乘法，约分即可． 【详解】（1）上面解题过程中有两处错误，第一处错误是第二步，错误原因是运算顺序不正确； （2）第二处错误是第三步，错误原因是两个负数相除得正数； （3）解： 故答案为：． 【变式1】阅读下面的解题过程： 计算． 解：原式  （第一步）   （第二步）   （第三步） 回答： (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第______步，错误的原因是______，第二处是第______步，错误的原因是______； (2)把正确的解题过程写出来． 【答案】(1)二，运算顺序错误，三，符号错误 (2)答案见解析 【分析】此题主要考查了有理数四则混合运算，解题的关键是要明确：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． （1）从第一步到第二步，同级运算应从左到右依次进行，而原解法先计算了乘法，所以第1处是第二步，错误原因是运算顺序错误；然后根据有理数除法的运算方法，可得第2处是第三步，错误原因是符号错误． （2）根据有理数除法、乘法的运算方法，从左向右，求出答案即可． 【详解】（1）解：上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是运算顺序错误，第二处是第三步，错误的原因是符号错误．故答案为：二，运算顺序错误；三，符号错误； （2）解：原式 ； 【变式2】简便运算纠错： 小伟对进行了如下运算： 解：原式…第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 解答下列问题： (1)第一步的运算法则是__________； (2)以上运算中的错误出现在第_________步，错误原因是________； (3)请你从错误的那一步开始完成余下部分的正确解答或用其它方法完整解答． 【答案】(1)除以一个数等于乘以这个数的倒数 (2)三，同号相乘应为正 (3)见解析 【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的除法运算法则即可解答； （2）根据有理数的乘法运算法则即可解答； （3）先计算除法，再用乘法分配律计算，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：第一步的运算法则是除以一个数等于乘以这个数的倒数； 故答案为：除以一个数等于乘以这个数的倒数； （2）解：以上运算中的错误出现在第三步，错误原因是同号相乘应为正； 故答案为：三，同号相乘应为正； （3）解：原式 ． 【变式3】阅读下面材料，然后回答问题． 计算． 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 解法三：原式的倒数为 ， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪种解法是错误的？并说明错误原因． (2)请选择适当的方法计算：． 【答案】(1)解法一和解法二都错误，原因见解析 (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题意是解本题的关键． （1）根据有理数运算法则和运算律分析判断即可； （2）利用乘法分配律求出原式倒数的值，即可求出原式的值． 【详解】（1）解：解法一和解法二错误， 原因：解法一错误地运用了除法分配律，除法不具有分配律； 解法二在运用加法交换律时，没有连同数字前面的符号一起移动； （2）解：∵ ， ∴． 【变式4】阅读下面的解题过程，然后回答问题： 计算： ． 解：原式   （第一步）    （第二步） ．  （第三步） (1)上述解题过程中有两处错误： ①第一处是第_____步，错误原因为____________________________________； ②第二处是第_____步，错误原因为____________________________________． (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)①二；运算顺序错误；②三；符号错误，两数相除，同号为正 (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键． （1）根据有理数混合运算的运算顺序和运算法则分析即可； （2）根据有理数的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：①第一处是第二步，错误原因为运算顺序错误； ②第二处是第三步，错误原因为符号错误或两数相除，同号为正． 故答案为：①二，运算顺序错误；②三，符号错误或两数相除，同号为正； （2）解：原式 ． 题型14 有理数四则混合运算的规律计算 【例14】探究有规律分数的求和方法——裂项相消应用 【规律探寻】 观察一组数，，，，，…，尝试分析其规律并解决相关问题． （1）根据规律，第8个数是______，是第______个数； （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律______； 【方法应用】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． （3）运用上述经验完成下面的计算：． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数四则混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）将分母写成两个连续整数的积的形式即可找出规律； （2）从前面几个式子中找出规律，用n表示即可； （3）利用拆项求求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， … 第8个数：； 是第个数， 故答案为：；． （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律：， 故答案为：． （3） ． 【变式1】观察下列各式，你会发现什么规律？ ，… (1)请你按上述规律写出第5个等式______； (2)利用以上规律计算：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． （1）观察已知所给各式即可得结论； （2）结合（1）的结论即可进行计算． 【详解】（1）观察已知各式可知：第5个等式是； （2） ． 【变式2】阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算： (2)计算： 【答案】(1)5151 (2) 【分析】本题考查了规律探索，有理数的混合运算，观察所给算式，得出运算的规律是解决问题的关键． （1）根据所给算式得出，然后代入计算即可； （2）利用规律对原式进行变形，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得出规律：， ∴， 故答案为：5151； （2）解： ． 【变式3】研究下列式子，你能发现什么规律？ ，，，，， (1)第个式子是___________； (2)请用含（为正整数）的式子表示你发现的规律___________； (3)请用你所发现的规律解决下面的问题： 计算． 【答案】(1) ； (2) ； (3) ． 【分析】本题主要考查了数字的变化规律、有理数的混合运算． 根据题干中式子的变化规律写出第个式子； 根据中的规律写出第个式子； 根据中式子的变化规律可得：原式，再根据分数的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：第个式子， 第个式子， 第个式子， 第个式子， ， 第个式子， 故答案为：； （2）解：由中的规律可知，第个式子为， 故答案为：； （3）解：由 . 【变式4】观察下列算式，你会发现什么规律？ …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)找出规律并计算：______=______； (2)用含有n的式子表示上面的规律：______； (3)用找到的规律解决下面的问题： 计算：______． 【答案】(1)64， (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的运算法则计算即可；掌握有理数的运算法则是解题的关键； （2）观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，即可总结出含有n的式子表示的规律；发现数字间的关系是解题的关键； （3）将原式变形为知，，然后再利用（2）的规律计算即可；灵活对原式进行变形是解题的关键． 【详解】（1）解：． 故答案为：64，． （2）解：观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，则第n个等式为：． 故答案为:． （3）解： ． 故答案为． 题型15 有理数四则混合运算的新定义问题 【例15】现定义某种新运算：对任意两个有理数a，b，有，那么（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，涉及有理数的乘法和加法运算，解题的关键是正确理解定义． 根据新运算的定义，将和代入公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式1】如果对于任意非零有理数a、b，定义运算“※”如下：，则______． 【答案】 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的除法与减法，掌握知识点是解题的关键． 根据新定义下的运算，逐步计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 【变式2】中考新趋势·新定义 若，是有理数，定义一种运算“”：． (1)计算的值； (2)计算的值； (3)定义的新运算“”对交换律是否成立？请写出你的探究过程． 【答案】(1) (2) (3)成立，见解析 【分析】（1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据新定义运算法则，先计算括号里的计算即可； （3）按照交换律的性质，计算判断即可． 本题考查了新定义运算，有理数的乘法，有理数的加减混合，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解： ． （3）解：∵，， ∴， ∴定义的新运算“”对交换律成立． 【变式3】a、b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”： 定义；例如：． 请根据“⊕”的定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题目中定义运算法则代入求解即可． （1）根据新定义的代入计算即可； （2）据新定义的代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： ． 【变式4】现定义一种新运算：，如． (1)求； (2)新定义的运算满足交换律吗？试以和举例说明． 【答案】(1) (2)不满足交换律，举例见解析 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得答案； （2）不满足，分别计算和说明即可． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： ； （2）新定义的运算不满足交换律， 例如：； ， ∵， ∴， 则不满足交换律． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 1．2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 2．《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 【答案】C 【详解】解：∵ 由题意可知：盈为3不足为4，两次每人出钱数分别为8和7， ∴根据题中给出的算法人数为， ∴物价为． 3．计算，正确的结果是（    ） A．12 B． C．7 D． 【答案】B 【详解】解：有理数乘法中，异号两数相乘得负，再把绝对值相乘， ． 4．已知，且，则的值等于（   ） A．8或 B．2或 C．8或2 D．或 【答案】B 【分析】根据可知异号，结合绝对值的定义确定的所有可能取值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，即异号， ∴当时，，此时； 当时，，此时； ∴的值为2或． 5．快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】先假设500只玻璃杯都没有损坏时应得的运费，进而求得损坏的玻璃杯数量． 【详解】解：2角元，8角元， 假设500只玻璃杯都没有损坏，此时应得运费：（元）， （元）， 每损坏一只玻璃杯，少得的费用为运费损失0.2元加上赔偿的0.8元，即：（元）， 损坏的玻璃杯数量：（只）， 故快递公司损坏13只玻璃杯． 6．已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的知识点，化简绝对值，由数轴可得，且，从而可得，，，再根据绝对值的性质化简即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，且， ∴，，， ∴ ， 故选：B． 7．a，b为非零有理数，则的值为（　　） A．3 B． C．3或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义、有理数的除法，解决本题的关键是确定的符号．分别讨论的正负，再根据有理数的除法，即可解答． 【详解】解：当且时，原式； 当且时，原式； 当且时，原式； 当且时，原式． 的值为3或． 故选：C． 8．数轴上的点沿数轴向右移动7个单位后到达点，且点到原点的距离为1，若数轴上的点到点和到原点的距离相等，则点表示的数是（   ） A．3或4 B．或 C．或4 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数，结合点C到点A和到原点距离相等，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ 点B到原点的距离为1， ∴ 点B表示的数为1或， ∵ 点A向右移动7个单位到达点B， ∴ 点A表示的数为或， ∵ 点C到点A和到原点的距离相等， ∴ 点C表示的数为 或， 点表示的数是或， 故选：． 9．若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为．现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】此题考查数字的规律循环，通过计算前几项发现周期是解题关键． 根据差倒数的定义，计算前几项发现每三个数为一个循环，依次是、、，由2025是3的倍数，可知，即可得解． 【详解】解：由题意可知， ， 则， ， ， …… 观察发现，每三个数为一个循环，依次是、、， ∵， ∴ ， 故选：D． 10．如果有4个不同的正整数，，，满足，那么的值为（   ） A．8080 B．8100 C．8084 D．8096 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法． 一个正整数通过分解把它写为四个不同的整数的乘积，要考虑有两个正因数，两个负因数，从而再结合题意解决问题即可． 【详解】∵，， ∴可设， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 11．______． 【答案】 【分析】根据有理数乘法法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 12．绝对值不大于的所有整数的积是______ 【答案】0 【分析】本题考查了绝对值定义和性质，有理数的乘法法则，正确理解绝对值的几何意义是解题的关键． 先求出所有的整数，再根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：绝对值不大于的所有整数是， 则积为． 故答案为：0 13．在，，，这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数大小比较，要使两个数相乘的积最大，应选择同号的两个数，因为同号得正，异号得负，正数大于负数．比较正数乘积和负数乘积的大小即可． 【详解】解：要使所得的积最大，两个数必定同号， ，， ， 任意取两个数相乘，所得的积最大是． 故答案为：． 14．有理数a，b，c表示的点在数轴上的位置如图所示，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于数轴的知识以及绝对值的知识，正确把握相关知识是解题的关键． 根据数轴位置，判断绝对值内式子的符号，利用绝对值性质化简计算． 【详解】解：由数轴得，，且， ，则； ，则； ，则． 因此． 故答案为 ． 15．已知，，且，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值的概念，根据绝对值的定义进行分类讨论是解题关键． 根据绝对值的定义，x和y各有两种可能值，再根据确定x和y异号，从而得到两种组合，分别计算的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，或，， ∴或． 故答案为：或． 16．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则序号为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则序号为12）．以2026年为例： 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2035年为农历________年． 【答案】乙卯 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据干支纪年法的计算规则，计算2035年对应的天干和地支余数，并对照表格得出农历年． 【详解】计算天干：，对应天干乙； 计算地支：，对应地支卯． ∴2035年为农历乙卯年， 故答案为：乙卯． 17．学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，注意到与互为倒数． （1）若，则的值为_____． （2）计算的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查有理数的除法法则（除以一个数等于乘它的倒数），涉及知识点：倒数的定义、有理数的混合运算． （1）根据有理数除法的意义，是的倒数； （2）先计算，再求结果的倒数，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴． （2） ， ． 故答案为：，． 18．已知、、是有理数，且，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘法，有理数加法和绝对值，学生必须熟练掌握才能正确解答． 根据，可得a，b，c三个数一定是两正一负，然后再进行化简计算即可． 【详解】解：∵，， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为： 19．对于整数x，规定，例如，，求：______． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关键是熟练掌握题目中的新规定，有理数混合运算的顺序和法则． 通过计算发现，然后将求和式中的项配对求和，最后加上单独的，即可解答． 【详解】解：由，得 ， 所以． ∴ ． 故答案为：． 20．老师让大家写出三个互不相等的有理数，小聪写出的是1，，a，小明写出的是0，，b，老师说两人写的数字完全一样．则字母a表示的有理数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是有理数的有关运算，由小明的数中有0，可得小聪的数中必有0．又由分数有意义，可得分母．因此只能是，即．由于小聪的数中有1，可得小明的数中必有1．因此或．再求解即可． 【详解】解：由题意，小聪写的三个数是1，，a，小明写的三个数是0，，b，且两组数完全相同． 因为小明的数中有0， 所以小聪的数中必有0． 又因为分数有意义， 所以分母． 因此只能是，即． 因为小聪的数中有1， 所以小明的数中必有1． 因此或． 若，将代入得，即，此式不成立，故舍去． 所以只能是． 将代入得，解得． 检验：当时，小聪的数为，小明的数为，两组数相同且互不相等，符合题意． 故． 故答案为：． 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用乘法分配律进行解答即可． 【详解】（1）解： （2）解： 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)51 (2)5 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据有理数的乘除混合运算法则进行计算，即可作答． （2）运用有理数的乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 23．有理数a，b在数轴上的位置如图所示： (1)用“”或“”填空：________0，________0； (2)化简：． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，绝对值的意义及有理数的运算，熟练掌握数轴上有理数的表示，绝对值的意义及有理数的运算是解题的关键； （1）由数轴可得，，且，然后问题可求解； （2）由（1）及结合绝对值的意义可进行求解． 【详解】（1）解：由数轴可得，，且， ，； 故答案为：，； （2）解： ． 24．计算：． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后计算括号外面的除法． 【详解】解： ． 25．阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日     星期日 这周，老师布置了作业： 观察下列各式：；； 通过以上各式，请你写出这种新定义的运算： ． 在完成老师布置的作业之后，我对这个新定义的运算充满了好奇，继而思考：这个新定义的运算满足交换律吗？于是我展开以下探究： 若满足交换律，则有． …… 任务： (1)请你补全上述材料的空缺部分： ． (2)根据材料，计算与． (3)请你补全小宇日记中的探究过程． 【答案】(1) (2)， (3)见解析 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据各式可得； （2）根据新运算的定义列式，先计算乘法、去括号，再计算加减法即可得； （3）根据新运算的定义可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：观察各式可知，， 故答案为：． （2）解： ． ． （3）解：因为，， 所以， 所以这个新定义的运算满足交换律． 26．已知、 互为相反数，、 互为倒数，是绝对值最小的负整数，数轴上表示数 的点到原点的距离为 2 个单位长度，求 的值． 【答案】或0 【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值，用数轴上的点表示有理数，代数式求值．熟练掌握相反数，倒数，绝对值，用数轴上的点表示有理数，代数式求值是解题的关键． 由题意知，，然后分情况代入值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 当时，； 当时，； 综上所述，的值为或0． 27．学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目，计算：，看谁算得又快又对，有两位同学的解法如下： 聪聪：原式． 明明：原式=． (1)请用明明的方法计算：． (2)对于题目中老师所给的题目，除了聪聪和明明的做法之外，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来． 【答案】(1) (2)有更好的方法，见解析 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，解题的关键是熟练乘法分配律． （1）将原式变形为，再利用乘法分配律计算； （2）将原式变形为，再利用乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：有更好的方法， ． 28．小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， ； （2）， ， ， ； （3）， ． 29．某共享单车厂计划一周生产自行车2100辆，平均每天生产300辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车______辆； (3)该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖25元；少生产一辆扣30元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ (4)若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下这一周工人的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 【答案】(1)2107 (2)27 (3)该厂工人这一周的工资总额是126460元 (4)实行每周计件工资制的工资更多 【分析】本题主要考查有理数的四则混合运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）用周计划生产总量加上本周总的增减产量，即可求得本周的实际生产量； （2）找出增减产量中的最大值与最小值，二者相减即可； （3）由（1）及题意先得出此时的工资，然后再加上减产和增产的工资即可； （4）由（1）及题意可直接进行求解 【详解】（1）解：该厂本周实际生产自行车数量为： （辆）， 故答案为：； （2）解：根据表格得：产量最多的一天为周六，最少的一天为周日， ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车：辆， 故答案为：27； （3）解：（元）， 答：该厂工人这一周的工资总额是126460元； （4）解：实行每周计件工资制的工资为， 所以按周计件制的一周工资较高． 30．实际应用与探究：某数学兴趣小组设计了一种“有理数运算器”，其运算规则如下： 对于任意有理数，，定义运算：． (1)计算和的值，观察结果有什么规律 (2)探究：对于任意有理数，，是否等于，请说明理由． 【答案】(1)，；规律：（交换律成立） (2)，理由见解析 【分析】本题考查了数字规律探索，找出正确的规律是解决本题的关键． （1）根据题意进行计算即可得出结果，再进行探索规律即可； （2）将和表达出来，进而分析求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； ， 观察结果：，推测交换律成立， ∴规律为（交换律成立）； （2）解：． 理由：； ， ∵，且， ∴， 即． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $