第二十章勾股定理期末冲刺2025-2026学年八年级数学下册人教版

**基本信息** 聚焦勾股定理核心考点，通过多题型覆盖概念判定、性质应用及综合拓展，强化几何直观与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|单选1-7、9|多组数据判定直角三角形，逆向思维辨析|从勾股定理到逆定理，构建“数量关系→图形性质”逻辑链| |性质应用|单选8、10，填空11-14|结合数轴、正方形面积、光线反射，应用斜边中线性质|以定理为核心，关联几何图形与实际情境，体现模型意识| |综合拓展|解答16-23|网格问题、实际应用题（船靠岸/摩天轮）、坐标系与对称，融合材料阅读|从单一计算到跨知识整合，培养推理意识与应用能力|

新人教版·八年级下册期末冲刺 第二十章 勾股定理 【解析版】 一、单选题 1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，边在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，的长为个单位长度，以为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 3．在中，，，的对边分别为a，b，c，下列所给数据中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 4．如图中，，分别以边，，向外做正方形，正方形的面积为64，正方形的面积为225，则正方形的面积是（    ）    A．170 B．161 C．279 D．289 5．以下列各组线段为边，不能构成直角三角形的是（    ） A． B．， C．，， D． 6．的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是 (    ) A．，， B． C． D． 7．设的三边长分别为，，，则满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则光线从点到点经过的路线长是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 9．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（   ） A．5，6，7 B．，2， C．1，， D．6，8，9 10．如图中能用来证明勾股定理的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、填空题 11．如图，在中，，点是边的中点，若，则______． 12．如图，在中，，，，四边形是正方形，则正方形的面积是______.    13．已知的三边长分别为6，10，8，则的面积为_______． 14．中，，上的高为12，则的长为_____ 15．如图，等腰的底边，面积为48，点在边上，且，是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为_____． 三、解答题 16．在中，，求的长． 17．如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．如图，明明在距离河面高度为的岸边C处，用长为的绳子拉点B处的船靠岸，若明明收绳后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？    19．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，将按照某一方向经过一次平移后得到，图中标出了点A的对应点D． (1)画出平移之后的； (2)连接，则这两条线段的数量关系是______，位置关系是______； (3)直接写出平移的距离是______． 20．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A，B，C为顶点的，请根据所学的知识回答下列问题： (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 21．如图，这是一座摩天轮的平面示意图，中心轴O与地面l的距离为13米，圆盘半径为10米，一共有24个座舱，座舱在圆盘上均匀排布．小明所在的座舱 M和小刚所在的座舱N 中间隔了5个座舱，．在某一时刻，小明和小刚与地面的距离分别为5米和7米，则此时小明与小刚的水平距离为多少？ 22．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为，，． (1)请作出与关于x轴对称的； (2)写出与点C关于y轴对称的点的坐标； (3)点P在x轴上，，直接写出点P的坐标． 23．汉语中的对联呈现对仗之美的不变性，即字面上、词类上声律上相对称．数学中也存对偶原理，即对于一个已知数或代数式或一个已知命题，我们引进一个与之对应的有某种对偶关系的命题，然后一起参与运算，从而使问题变得简单．阅读下列材料，回答问题． 材料一：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”相乘可以将与中的“去掉． 例如：已知，求的值． 解： ． ∵，∴， 材料二：如图，点，点，以为斜边作，则，，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． (1)利用材料一，解关于x的方程：，其中； (2)利用材料二，求代数式的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新人教版·八年级下册期末冲刺 第二十章 勾股定理 【解析版】 一、单选题 1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题关键．只要比较较小两个数的平方和与第三个数的平方是否相等即可． 【详解】解：A．∵，∴不能组成直角三角形，故不符合题意； B．∵，∴1，，能组成直角三角形，故符合题意； C．∵，∴45，45，90不能组成直角三角形，故不符合题意； D．∵，∴8，16，17不能组成直角三角形，故不符合题意； 故选B． 2．如图，在中，，边在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，的长为个单位长度，以为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求得的长度，即的长度，即可得出结果． 【详解】解：点表示的数为，点表示的数为， ， ，， ， 点表示的数为， 故选：D． 3．在中，，，的对边分别为a，b，c，下列所给数据中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定．根据三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定解决此题． 【详解】解：A、，， ， ， 此时，是直角三角形； B、由题意，设，，， ∵， ∴， 是直角三角形； C、， ， 是直角三角形； D．∵，，， ， 不是直角三角形． 故选：D． 4．如图中，，分别以边，，向外做正方形，正方形的面积为64，正方形的面积为225，则正方形的面积是（    ）    A．170 B．161 C．279 D．289 【答案】D 【分析】求出、，再用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵正方形的面积为64，正方形的面积为225， ∴，， ∵ ∴ ∴正方形的面积是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、勾股定理、掌握正方形的性质、勾股定理是解题的关键． 5．以下列各组线段为边，不能构成直角三角形的是（    ） A． B．， C．，， D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可． 【详解】解：A、，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，不符合题意； B、，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，不符合题意； C、，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，不符合题意； D、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，符合题意． 故选：D． 6．的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是 (    ) A．，， B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及勾股定理和角度关系，通过计算平方和或角度和判断是否满足条件． 根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，，，，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B、，，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； C、设，，，则，，，，，∴不是直角三角形，故此选项符合题意； D、，，，是直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 7．设的三边长分别为，，，则满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形的判定和勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定方法是解答本题的关键． 根据直角三角形的判定方法逐项判断即可解答． 【详解】解：A、，， ， ， 是直角三角形，故A选项不符合题意； B、设，则，， 根据三角形内角和定理得：， 解得：，即， 是直角三角形，故B选项不符合题意； C、当，，时， ， 根据勾股定理的逆定理知不是直角三角形，故C选项符合题意； D、变形可得：， 根据勾股定理的逆定理知是直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：C． 8．如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则光线从点到点经过的路线长是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标和勾股定理，解题关键是熟练掌握通过添加辅助线解答问题．延长交x轴于点E，过点C作垂直x轴于点F，根据已知条件得到：，，然后根据对顶角的性质得到，再根据全等三角形的判定定理证明，从而得到，，再根据点的坐标求出，从而求出，然后根据勾股定理求出，从而求出答案即可． 【详解】解：如图所示：延长交x轴于点E，过点C作垂直x轴于点F， 由题意可知：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴光线从A点到C点经过的路线长是：， 故选：B． 9．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（   ） A．5，6，7 B．，2， C．1，， D．6，8，9 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足最长边的平方等于另两边的平方和，则该三角形为直角三角形，需逐一验证各选项是否符合条件． 【详解】A 、5，6，7中最长边为7，计算得：，而，，故不构成直角三角形； B 、，2，中最长边为，计算得：，而，，故不构成直角三角形； C 、1，，中最长边为，计算得：，而，，故能构成直角三角形； D 、6，8，9中最长边为9，计算得：，而，，故不构成直角三角形． 故选：C． 10．如图中能用来证明勾股定理的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】运用等面积法证明即可； 【详解】①根据等面积法得：，得出，可以证明勾股定理； ②，得出，可以证明勾股定理； ③不能证明勾股定理； ④，得出，可以证明勾股定理； ⑤得出，可以证明勾股定理； ⑥，得出，可以证明勾股定理； ⑦，不可以证明勾股定理； 故①②④⑤⑥可以证明勾股定理； 故选：C． 【点睛】该题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键是运用等面积法的列等量关系． 二、填空题 11．如图，在中，，点是边的中点，若，则______． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理，由点是边的中点得出，再由勾股定理进行计算即可，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：点是边的中点，， ， 在中，， ， 故答案为：． 12．如图，在中，，，，四边形是正方形，则正方形的面积是______.    【答案】21 【分析】在中，通过勾股定理得，从而解决问题． 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理得：， ∵四边形是正方形， ∴， 故答案为：21． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟记勾股定理内容：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，是解题的关键． 13．已知的三边长分别为6，10，8，则的面积为_______． 【答案】24 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积公式，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据三边长度可利用勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形．再求面积即可． 【详解】解：∵的三边长分别为6，10，8， 且， ∴是直角三角形，两直角边长是6，8， ∴的面积为：， 故答案为：24． 14．中，，上的高为12，则的长为_____ 【答案】或11 【分析】此题主要考查了三角形高的性质和勾股定理，根据题意利用分类讨论正确画出图形是解题关键．由于三角形的高的位置随三角形的形状改变而变化，分别根据题意画出当点D在线段上、点D在线段的延长线上时的图形，分别利用勾股定理得出答案即可． 【详解】解：设边上的高为， 当点D在线段上时， 如图1所示： 在中，，， 根据勾股定理：； 在中，，， 根据勾股定理：； ∴； 当D在线段的延长线上时， 如图2所示： 同理可知：，， ∴； 综上所述：或11， 故答案为：或11． 15．如图，等腰的底边，面积为48，点在边上，且，是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】如图作于，连接．由垂直平分线段，推出，推出，可得当、、共线时，的值最小，最小值就是线段的长； 【详解】解：如图作于，连接． 垂直平分线段， ， ， 当、、共线时，的值最小，最小值就是线段的长， ，， ∴， ，， ， ， ， ， 的最小值为． 周长的最小值为； 故答案为． 【点睛】本题考查轴对称最短问题、线段的垂直平分线的性质、勾股定理的应用，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型． 三、解答题 16．在中，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的化简，根据勾股定理计算即可求解． 【详解】解：在中，， ． 17．如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用勾股定理逆定理可得结论； （2）首先确定的长，进而可得的长，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵的垂直平分线分别交、于点、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且； （2）解：∵，且， ∴ ∴， ∴． 由（1）得是直角三角形，且， ∴． 18．如图，明明在距离河面高度为的岸边C处，用长为的绳子拉点B处的船靠岸，若明明收绳后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？    【答案】向岸A移动了9米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意得到，分别根据勾股定理求出，，即可求出． 【详解】解：由题意得， 在中，， 在中，， ∴． 答：船向岸A移动了9米． 19．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，将按照某一方向经过一次平移后得到，图中标出了点A的对应点D． (1)画出平移之后的； (2)连接，则这两条线段的数量关系是______，位置关系是______； (3)直接写出平移的距离是______． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平移规则，画出； （2）根据平移的性质进行作答即可； （3）利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可知，； （3）解：由勾股定理，得平移距离为． 20．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A，B，C为顶点的，请根据所学的知识回答下列问题： (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)是直角三角形 (2)2 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理． （1）利用勾股定理和逆定理进行判断即可； （2）利用分割法求的面积即可． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由：，，， 所以， 所以是直角三角形； （2）的面积：． 21．如图，这是一座摩天轮的平面示意图，中心轴O与地面l的距离为13米，圆盘半径为10米，一共有24个座舱，座舱在圆盘上均匀排布．小明所在的座舱 M和小刚所在的座舱N 中间隔了5个座舱，．在某一时刻，小明和小刚与地面的距离分别为5米和7米，则此时小明与小刚的水平距离为多少？ 【答案】14米 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 过点M、N分别作，根据各角之间的关系确定，利用全等三角形的判定和性质得出，结合图形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点M、N分别作，如图所示： 由题意得， , ∴， ， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵小明和小刚与地面的距离分别为5米和7米， ∴， ∵中心轴O与地面l的距离为13米， ∴， ∴， ∴，， ∴米， ∴小明与小刚的水平距离为14米． 22．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为，，． (1)请作出与关于x轴对称的； (2)写出与点C关于y轴对称的点的坐标； (3)点P在x轴上，，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点C关于y轴对称的点的坐标为； (3) 【分析】本题考查作轴对称图形，点关于坐标轴对称，平面直角坐标系中两点之间的距离，掌握知识点是解题的关键． （1）先找出A，B，C三点关于轴对称的对称点，连接三点画出三角形即可； （2）根据点关于坐标轴对称的性质即可； （3）设点P的坐标为，求出 ∴，再根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所作的图形； （2）点C关于y轴对称的点的坐标为； （3）∵点P在x轴上， ∴设点P的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴    ， 解得， ∴点P的坐标为． 23．汉语中的对联呈现对仗之美的不变性，即字面上、词类上声律上相对称．数学中也存对偶原理，即对于一个已知数或代数式或一个已知命题，我们引进一个与之对应的有某种对偶关系的命题，然后一起参与运算，从而使问题变得简单．阅读下列材料，回答问题． 材料一：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”相乘可以将与中的“去掉． 例如：已知，求的值． 解： ． ∵，∴， 材料二：如图，点，点，以为斜边作，则，，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． (1)利用材料一，解关于x的方程：，其中； (2)利用材料二，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值，两点间的距离公式，解题的关键是读懂题意，掌握二次根式相关的运算法则． （1）求出，得出，，故，再检验可得答案； （2）原式，根据两点之间，线段最短可知，当点点在点，组成的线段上时，的值最小，最小值为，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴； 经检验，是原方程的解， ∴； （2） 而可看作到，的距离之和，如图： 根据两点之间，线段最短可知，当点在点，组成的线段上时，的值最小，最小值为， ∴的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $