第02讲 立方根 暑假预习讲义 2026--2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第02讲 立方根（知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：立方根 知识点02：立方根的性质 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：立方根概念理解 题型02：求一个数的立方根 题型03：已知一个数的立方根，求这个数 题型04：与立方根有关的规律探索 题型05：立方根的实际应用 题型06：算术平方根和立方根的综合应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 知识点01：立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x叫作a的立方根，也称为三次方根.a叫作被开方数 求一个数a的立方根的运算叫作开立方.例如，求64的立方根，就是要对 64 进行开立方运算，64是被开方数. 一个数a的立方根用“”表示。 知识点02：立方根的性质 正数的立方根为正数，的立方根为，负数的立方根为负数。 当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)倍． 被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位 【题型01】立方根概念理解 【典例1-1】.（25-26八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（    ） A．任何数都有平方根 B．是的立方根 C． D．算术平方根是非负数 【典例1-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）平方根与立方根相同的数是_________． 【变式1-1】．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法：①如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是或；②平方根和立方根都等于它自身的数是和；③互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数；④一个数的算术平方根一定是正数；⑤没有平方根．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】．若一个数的立方根就是它本身，则这个数是_________________． 【变式1-3】．利用平方根和立方根的知识求下列方程中来知数的值； (1) (2) 【题型02】求一个数的立方根 【典例2-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 【典例2-2】．（25-26八年级上·上海金山·期中）已知，则_____． 【典例2-3】．解方程： 【变式2-1】．如果，，那么约等于（　　） A．28.72 B．13.33 C．0.2872 D．0.1333 【变式2-2】．（25-26八年级上·上海青浦·期中）计算：_______． 【变式2-3】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如果，那么的立方根是_______________． 【变式2-4】．（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速又准确地计算出来的吗？ (1)【发现与思考】因为，，，所以是两位数．因为的个位数字是，所以的个位数字是______．因为，，所以的十位数字是______，所以=______． (2)【运用并解决】类比上述的【发现与思考】，推理求出的立方根． 【题型03】已知一个数的立方根，求这个数 【典例3-1】．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】．（25-26八年级上·上海长宁·期中）若，，则b的值为________． 【典例3-3】．（25-26八年级上·上海·期中）已知的立方根为3，求的平方根． 【变式3-1】．已知一个数的立方根是，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】．（25-26八年级上·上海·期中）已知，且，则______________ ． 【典例3-3】．求下列各式中的值： (1) (2) 【题型04】与立方根有关的规律探索 【典例4-1】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知，如果，则_____． 【典例4-3】．计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【变式4-1】．如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 【变式4-2】．（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是________． 【变式4-3】．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 【题型05】立方根的实际应用 【典例5-1】．我们知道，球的体积公式是，若某种型号的皮球的体积为，则这个皮球的半径为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）方程的根是______． 【典例5-3】．把一个长为，宽为，高为的长方体铁块锻造成一个正方体铁块，求锻造后正方体铁块的棱长． 【变式5-1】．（25-26八年级上·上海·期中）已知，则的值是_____． (结果用含字母 的代数式表示) 【变式5-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）设，且，且，求的值． 【变式5-3】．填写下表，并回答问题： a … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … … （1）数a与它的立方根的小数点的移动有何规律？ （2）根据这个规律，若已知，求a的值． 【题型06】算术平方根和立方根的综合应用 【典例6-1】．的立方根是______． 【变式6-1】．计算：． 【变式6-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知和是同一个正数的平方根，的立方根为，求的平方根？ 【变式6-3】．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 一、立方根的定义 如果一个数的立方等于 ，即 ，那么这个数 叫做 的立方根（三次方根）。 记作：，其中“”是立方根符号， 是被开方数，根指数3不能省略（区别于平方根）。 二、立方根的性质（核心重点） 正数的立方根是正数：一个正数有且只有一个正的立方根； 负数的立方根是负数：一个负数有且只有一个负的立方根； 0的立方根是0； 任意实数都有且只有一个立方根（这是和平方根最大的区别）。 三、基础运算规律 ，开立方时负号可以直接移出根号； 、，开立方与立方互为逆运算。 四、常见立方数（必背） 五、立方根与平方根简单对比（易错辨析） 平方根：只有非负数有平方根，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0； 立方根：全体实数都有立方根，一个数只有唯一的立方根。 六、课堂易错点 1. 混淆根指数：平方根指数2可省略，立方根指数3必须写； 2. 误认为负数没有立方根，实际负数有唯一负立方根； 3. 计算时混淆平方、立方运算，需区分 和 的结果。 一、单选题 1．的立方根是（    ） A． B． C． D．没有意义 2．下列式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．5的立方根是 C．的算术平方根是2 D．没有立方根 4．下列说法：①是的立方根；②没有最小的有理数；③相反数是本身的数是；④的平方根是；⑤倒数是本身的数是．其中正确的有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．若，则（   ） A． B． C． D． 6．如果a、b表示两个实数，那么下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 二、填空题 7．若一个数的算术平方根和立方根都等于它本身，则这个数一定是______． 8．若一块体积为的金属块熔铸成四个体积相同的小正方体金属块，则每个小正方体金属块的棱长为______． 9．7的平方根是________________，_______． 10．计算： （1）________； （2）________． 11．已知a，b为两个相连的整数，满足，则的立方根为_________． 12．计算：______． 13．如果和互为相反数，那么立方根是_____． 14．已知，，则______． 15．已知，则的值为______. 16．根据下面表格中的数据规律，填空： x … 0.2026 2.026 20.26 202.6 2026 … … 0.4501 1.423 4.501 14.23 45.01 … … 0.5873 1.265 2.726 5.873 12.65 … 若，，则_______． 17．已知关于的方程组和关于的方程组的解相同，则的立方根为______． 18．已知 、 都是实数，且满足 ，则 的立方根是_____． 三、解答题 19．． 20．已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 21．求的值： (1) (2) 22．（1）求出下列各数：①4的算术平方根___________；②的立方根___________；③___________； （2）将（1）中求出的每个数表示在数轴上，并用“”连接． 23．已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的棱长； (2)求丙正方体纸盒的棱长． 24．观察下表，并解答下列问题． 1 1000 1000000 1 10 100 【规律总结】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动__________位． 【规律应用】 （2）已知，，． ①__________． ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 25．【阅读理解】我们都知道，是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完整地写出来，于是有同学用来表示的小数部分，这个方法是因为，所以的整数部分是1，而对于任意一个正实数，用这个数减去它的整数部分，所得的差就是它的小数部分，所以可以用来表示的小数部分． 再比如，我们要估算一个体积为的正方体魔方的棱长： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据上面问题的思路与方法，解决下列问题： (1)的整数部分是____，小数部分是___，的整数部分是___； (2)【类比应用】如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； 26．阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 立方根（知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：立方根 知识点02：立方根的性质 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：立方根概念理解 题型02：求一个数的立方根 题型03：已知一个数的立方根，求这个数 题型04：与立方根有关的规律探索 题型05：立方根的实际应用 题型06：算术平方根和立方根的综合应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 知识点01：立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x叫作a的立方根，也称为三次方根.a叫作被开方数 求一个数a的立方根的运算叫作开立方.例如，求64的立方根，就是要对 64 进行开立方运算，64是被开方数. 一个数a的立方根用“”表示。 知识点02：立方根的性质 正数的立方根为正数，的立方根为，负数的立方根为负数。 当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)倍． 被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位 【题型01】立方根概念理解 【典例1-1】.（25-26八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（    ） A．任何数都有平方根 B．是的立方根 C． D．算术平方根是非负数 【答案】D 【知识点】立方根概念理解、平方根概念理解 【分析】本题考查平方根和立方根的基本概念． 选项A错误，因为负数在实数范围内没有平方根；选项B错误，因为，8的立方根是2，不是；选项C错误，因为，不一定等于；选项D正确，因为算术平方根的定义是非负数． 【详解】解：∵ 负数没有平方根， ∴ A错误； ∵，8的立方根是2， ∴ B错误； ∵，当时，， ∴ C错误； ∵ 算术平方根的定义是非负数（包括0）， ∴ D正确． 故选：D． 【典例1-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）平方根与立方根相同的数是_________． 【答案】0 【知识点】立方根概念理解、平方根概念理解 【分析】本题主要考查了平方根和立方根， 根据平方根和立方根的定义解答即可. 【详解】解：因为正数的平方根有两个，互为相反数，任何实数都有一个立方根， 所以正数的平方根和立方根不能相同. 因为负数没有平方根， 所以负数的平方根和立方根不能相同. 只有0的平方根是0，立方根是0. 故答案为：0. 【变式1-1】．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法：①如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是或；②平方根和立方根都等于它自身的数是和；③互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数；④一个数的算术平方根一定是正数；⑤没有平方根．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】立方根概念理解、平方根概念理解 【分析】本题考查平方根、立方根和算术平方根的概念，需注意特殊数和负数的处理． 逐一判断每个说法的正误：①立方根等于本身的数包括、、，但说法漏了，错误；②平方根和立方根都等于自身的数只有，但说法包括，错误；③互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，正确；④算术平方根为非负数，的算术平方根为，不是正数，错误；⑤，有平方根，错误．因此仅有一个正确． 【详解】①立方根等于本身的数有、、，但说法限定为或，漏了，故①错误； ②平方根等于本身的数只有（因为平方根定义，的平方根为），立方根等于本身的数有、、，故②错误； ③设与互为相反数，即，则，故互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数，故③正确； ④算术平方根定义为非负数，的算术平方根为，不是正数，故④错误； ⑤因为，的平方根为，所以有平方根，故说法⑤错误． 仅③正确，正确的个数为个， 故选：A. 【变式1-2】．若一个数的立方根就是它本身，则这个数是_________________． 【答案】或或 【知识点】立方根概念理解 【分析】本题考查立方根的概念和性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键． 【详解】立方根是它本身的数有个，分别是或或 故答案为：或或 【变式1-3】．利用平方根和立方根的知识求下列方程中来知数的值； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】立方根概念理解、利用平方根解方程 【分析】本题考查了平方根和立方根的运算，熟练掌握平方根和立方根的运算法则是解题的关键； （1）利用平方根的性质求解即可； （2）利用立方根的性质求解即可 【详解】（1）解： （2）解： 【题型02】求一个数的立方根 【典例2-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解： 那么的立方根是：， 故选：B． 【典例2-2】．（25-26八年级上·上海金山·期中）已知，则_____． 【答案】167.6 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查立方根的定义，通过观察给定数字与所求数字的关系，发现，利用立方根的性质进行求解． 【详解】解：已知， 因为， 所以． 其中， 因此． 故答案为：167.6． 【典例2-3】．解方程： 【答案】 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了利用立方根的性质解方程，正确计算是解题的关键． 先利用等式的性质将原方程化为，再利用立方根的定义求解即可． 【详解】解： ， 解得：． 【变式2-1】．如果，，那么约等于（　　） A．28.72 B．13.33 C．0.2872 D．0.1333 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查的是立方根规律问题，直接利用立方根的含义求解即可； 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【变式2-2】．（25-26八年级上·上海青浦·期中）计算：_______． 【答案】 0.4 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了求一个数的立方根，计算一个数的立方等于 0.064，得出立方根的值． 【详解】解：因为 ，所以 ． 故答案为 0.4． 【变式2-3】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如果，那么的立方根是_______________． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的之间的变化规律．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，它的立方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位． 根据立方根的变化规律求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式2-4】．（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速又准确地计算出来的吗？ (1)【发现与思考】因为，，，所以是两位数．因为的个位数字是，所以的个位数字是______．因为，，所以的十位数字是______，所以=______． (2)【运用并解决】类比上述的【发现与思考】，推理求出的立方根． 【答案】(1)；； (2) 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了求一个数的立方根； （1）根据推导过程即可完成填空； （2）结合（1）中的推导过程即可求解． 【详解】（1）解：因为的个位数字是，所以的个位数字是．因为，，所以的十位数字是，所以． 故答案为：；；． （2）解：，； 又； 是两位数； 的个位数字是； 的个位数字是． ，； 的十位数字是5． ． 【题型03】已知一个数的立方根，求这个数 【典例3-1】．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】先移项，把方程化为，再解方程即可. 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选C 【点睛】本题考查的是利用立方根的含义解方程，掌握立方根的含义是解本题的关键. 【典例3-2】．（25-26八年级上·上海长宁·期中）若，，则b的值为________． 【答案】1000000 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键． 根据立方根的性质，由可得，由可得，然后通过代数运算求b的值． 【详解】解：， ． ， ． ． ． 故答案为：1000000． 【典例3-3】．（25-26八年级上·上海·期中）已知的立方根为3，求的平方根． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数、加减消元法 【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，得到关于的二元一次方程组，求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：∵的立方根为3， ∴，解得， ∴， ∴的平方根为． 【变式3-1】．已知一个数的立方根是，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题主要考查的是立方根的定义，如果一个数x的立方等于a，那么x就是a的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：一个数的立方根是， 这个数是， 故选：． 【典例3-2】．（25-26八年级上·上海·期中）已知，且，则______________ ． 【答案】5230 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了求一个数的立方根． 根据立方根的性质，被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍．由已知条件，立方根从1.735变为17.35，是原来的10倍，因此被开方数应为原来的1000倍． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 故答案为： 【典例3-3】．求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、利用平方根解方程 【分析】本题考查了利用平方根，立方根的定义解方程． （1）移项，利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ∴ 解得： 【题型04】与立方根有关的规律探索 【典例4-1】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点的移动规律是解题的关键． 根据被开方数小数点向左移动三位，则立方根小数点向左移动一位求解即可． 【详解】解：，， ∴ 故选：A． 【典例4-2】．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知，如果，则_____． 【答案】5230000 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查立方根，掌握知识点是解题的关键． 通过比较已知立方根与未知立方根之间的倍数关系，利用立方根的性质进行求解． 【详解】解：已知，且． 所以． 故答案为：5230000． 【典例4-3】．计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【答案】(1) (2)6180 【知识点】求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题主要考查了立方根的性质： （1）根据表格可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位，即可求解； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：完成表格，如下： 式子 …… …… 结果 …… 6 60 …… 由此发现，被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 故答案为：6180． 【变式4-1】．如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查立方根的性质，一个数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 【变式4-2】．（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是________． 【答案】 【知识点】与立方根有关的规律探索、求一个数的立方根 【分析】本题考查立方根，算术平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．根据立方根的性质：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案． 【详解】解：由，得； ∵，， 故 故答案为：． 【变式4-3】．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 【答案】(1)5 (2)①两；②8；③， (3) 【知识点】立方根概念理解、与立方根有关的规律探索、求一个数的立方根 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据已知内容进行类比探究是解答问题的关键． （）根据的个位数字即可判断； （）根据题干提供的思路和方法，进行推理验证得出答案； （）根据（）的方法、步骤，类推出相应的结果即可． 【详解】（1）解：∵，个位数字为， ∴个位数字为， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∴可以确定是两位数， 故答案为：两； ②由的个位上的数是，，个位数字为， ∴的个位上的数是， 故答案为：； ③∵，，， ∴， ∴可以确定的十位上的数是， ∴ 故答案为：． （3）解：，， 的个位上的数是6，只有个位数字是6的数的立方的个位数字是6， 的个位数字是6． 如果划去17576后面的三位576得到数17，而，，， ， ，即的十位数字是2． ． 【题型05】立方根的实际应用 【典例5-1】．我们知道，球的体积公式是，若某种型号的皮球的体积为，则这个皮球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】立方根的实际应用 【分析】根据球的体积公式，代入已知体积求解半径。 【详解】解：设球的半径为r代入公式： ． 两边同时除以， 得． 对216开立方， 得 ． 因此，皮球的半径为． 故选：A． 【典例5-2】．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）方程的根是______． 【答案】 【知识点】立方根的实际应用、求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例5-3】．把一个长为，宽为，高为的长方体铁块锻造成一个正方体铁块，求锻造后正方体铁块的棱长． 【答案】 【知识点】立方根的实际应用 【分析】首先根据长方体的体积公式求出铁块的总体积，然后根据正方体的体积公式求出正方体铁块的棱长． 【详解】解：设正方体铁块的棱长为a， 根据题意，长方体铁块的体积为， 前后体积不变，故有， 解得． 答：锻造后正方体铁块的棱长为 ． 【点睛】本题主要考查了利用立方根的定义解决实际问题，解决本题的关键是理解熔化前后总体积不变，需注意立方体的棱长应是体积的三次方根． 【变式5-1】．（25-26八年级上·上海·期中）已知，则的值是_____． (结果用含字母 的代数式表示) 【答案】 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律．当被开方数的小数点每向右(或向左)移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右(或向左)移动1位． 根据被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 【变式5-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）设，且，且，求的值． 【答案】． 【知识点】求一个数的立方根、立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根条件求值问题，设，则可得，由，则，，，原等式变形为，再整理成即可求解，掌握立方根的性质，巧秒恒等变形使实际问题简化，利用等式两边平方，因式分解求出代数式的值是解题的关键． 【详解】解：设，则可得， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【变式5-3】．填写下表，并回答问题： a … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … … （1）数a与它的立方根的小数点的移动有何规律？ （2）根据这个规律，若已知，求a的值． 【答案】填表见解析；（1）见解析；（2） 【知识点】立方根的实际应用 【分析】（1）根据被开方数的小数点每向右或向左移动三位，立方根的小数点相应地向右或向左移动一位解答； （2）根据（1）总结的规律解答． 【详解】 a … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … （1）由题可知，被开方数的小数点每向右或向左移动三位，立方根的小数点相应地向右或向左移动一位； （2）由（1）总结的规律可知：0.1738的小数点向右移动了一位， ∴0.00525的小数点应向右移动三位，得到． 【点睛】本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格． 【题型06】算术平方根和立方根的综合应用 【典例6-1】．的立方根是______． 【答案】 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】先计算36的算术平方根为6，再根据立方根的定义求6的立方根即可解题． 【详解】解：，6的立方根为 故答案为：． 【点睛】本题考查算术平方根、立方根等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式6-1】．计算：． 【答案】． 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】先计算算术平方根、立方根、化简绝对值，再计算有理数的加减法即可得． 【详解】解：原式， ． 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根、绝对值等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． 【变式6-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知和是同一个正数的平方根，的立方根为，求的平方根？ 【答案】或 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、已知一个数的平方根，求这个数、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了平分根与立方根，熟悉理解平分根与立方根是解题的关键． 根据平分根的概念分两种情况分析：当和互为相反数时，当和互为相等时，求出的值，根据立方根的概念求出的值，代入运算即可． 【详解】解：∵和是同一个正数的平方根， ∴当和互为相反数时， ∴， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴的平方根为：； 当和相等时， ∴， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴的平方根为：； ∴的平方根为或． 【变式6-3】．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【答案】(1) (2)为任意实数 (3)或 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 一、立方根的定义 如果一个数的立方等于 ，即 ，那么这个数 叫做 的立方根（三次方根）。 记作：，其中“”是立方根符号， 是被开方数，根指数3不能省略（区别于平方根）。 二、立方根的性质（核心重点） 正数的立方根是正数：一个正数有且只有一个正的立方根； 负数的立方根是负数：一个负数有且只有一个负的立方根； 0的立方根是0； 任意实数都有且只有一个立方根（这是和平方根最大的区别）。 三、基础运算规律 ，开立方时负号可以直接移出根号； 、，开立方与立方互为逆运算。 四、常见立方数（必背） 五、立方根与平方根简单对比（易错辨析） 平方根：只有非负数有平方根，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0； 立方根：全体实数都有立方根，一个数只有唯一的立方根。 六、课堂易错点 1. 混淆根指数：平方根指数2可省略，立方根指数3必须写； 2. 误认为负数没有立方根，实际负数有唯一负立方根； 3. 计算时混淆平方、立方运算，需区分 和 的结果。 一、单选题 1．的立方根是（    ） A． B． C． D．没有意义 【答案】C 【分析】根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：C． 【点睛】本题考查立方根，会利用立方根的定义求一个数的立方根是解答的关键． 2．下列式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据负数的立方根是负数，正数的立方根是正数进行逐项分析计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项运算正确，不符合题意； B、，故该选项运算正确，不符合题意； C、，故该选项运算正确，不符合题意； D、，故该选项运算错误，符合题意； 故选：D 3．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．5的立方根是 C．的算术平方根是2 D．没有立方根 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根．根据平方根、算术平方根和立方根的概念进行判断即可． 【详解】解：A、的平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意； B、5的立方根是，正确，故此选项符合题意； C、，2的算术平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意； D、的立方根是，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．下列说法：①是的立方根；②没有最小的有理数；③相反数是本身的数是；④的平方根是；⑤倒数是本身的数是．其中正确的有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据立方根的定义，有理数的分类，相反数的定义，平方根的定义，倒数的定义逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：是的立方根，则①正确； 有理数包括正有理数，和负有理数，因此没有最小的有理数，则②正确； 相反数是本身的数是，则③正确； 的平方根是，则④错误； 倒数是本身的数是，则⑤错误； 综上，正确的有个， 故选：B． 【点睛】本题考查了立方根的定义，有理数的分类，相反数的定义，平方根的定义，倒数的定义，掌握以上知识是解题的关键． 5．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据完全平方公式化简根号内的算式，即可求解． 【详解】解： , , 故选:B. 【点睛】本题考查了求一个数的立方根，完全平方公式与平方差公式，正确的计算是解题的关键． 6．如果a、b表示两个实数，那么下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】C 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及一个数的平方根、立方根的含义和求法，要熟练掌握它们的意义是解题的关键． 根据乘方的意义和平方根及立方根意义判断，判断一个命题是假命题只需要举一个反例即可． 【详解】， 或，如则； 故选项A不正确， 若，且a，b互为相反数，则，，如，则 故选项B说法不正确， 若，则， ∴， 故选项C正确， 若， ， ， 故选项D错误， 故选：C． 二、填空题 7．若一个数的算术平方根和立方根都等于它本身，则这个数一定是______． 【答案】0或1/1或0 【分析】此题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．利用算术平方根，以及立方根定义判断即可． 【详解】解：算术平方根和立方根都等于它本身的数是0或1． 故答案为：0或1． 8．若一块体积为的金属块熔铸成四个体积相同的小正方体金属块，则每个小正方体金属块的棱长为______． 【答案】3 【分析】先根据总体积求出每个小正方体的体积，再利用正方体体积公式计算每个小正方体的棱长. 【详解】解：由题意可得，每个小正方体的体积为 ， 设每个小正方体金属块的棱长为，根据正方体体积公式可得 ， ∴两边开立方得 . 9．7的平方根是________________，_______． 【答案】 【分析】此题考查了平方根和立方根，根据平方根及立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：7的平方根是，． 故答案为：，． 10．计算： （1）________； （2）________． 【答案】 9 【分析】本题考查了立方根的定义和计算，掌握立方根的计算方法，尤其是分数立方根的拆分计算是解题的关键． 计算立方根时，需找到使立方等于被开方数的数；分数立方根可分解为分子分母分别开立方；负号表示取相反数． 【详解】解：（1） ， ． 故答案为：； （2），首先计算 ， ，， ， ， 故答案为：． 11．已知a，b为两个相连的整数，满足，则的立方根为_________． 【答案】3 【分析】根据夹逼法求出a，b，算出，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵a，b为两个相连的整数， ∴，， ∴， 故答案为3． 【点睛】本题考查二次根数的估算及立方根的定义，解题的关键是用夹逼法求出a，b． 12．计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算立方根，再计算减法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 13．如果和互为相反数，那么立方根是_____． 【答案】2 【分析】根据相反数的性质和算术平方根的非负性列出关于x、y的二元一次方程组，求得x、y，最后代入求值即可． 【详解】解：由题意得： 解得 所以立方根是． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性、算术平方根的非负性以及二元一次方程组的解法等知识点，根据相反数的性质和二次根式的非负性列出关于x、y的二元一次方程组成为解答本题的关键． 14．已知，，则______． 【答案】或/或 【分析】本题考查了代数式求值，平方根、立方根的定义，根据平方根、立方根的定义求出、的值，再代入计算即可，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， 当，时，， 当，时，， 故答案为：或． 15．已知，则的值为______. 【答案】或1或0 【分析】本题主要考查立方根的概念，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键，正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0，根据立方根是本身的数是列式求解出的值，再代入求解即可． 【详解】解：， 或或， 或或， ， 的值为：或1或0 故答案为：或1或0． 16．根据下面表格中的数据规律，填空： x … 0.2026 2.026 20.26 202.6 2026 … … 0.4501 1.423 4.501 14.23 45.01 … … 0.5873 1.265 2.726 5.873 12.65 … 若，，则_______． 【答案】 【详解】解：由表格可得，被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位；被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位， ∴，， ∴． 17．已知关于的方程组和关于的方程组的解相同，则的立方根为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组的解的定义、解二元一次方程组、代数式取值、立方根等知识点，根据共解求出方程组的解是解题的关键． 根据两个方程组共解可得到方程组的解即为原方程组的解，解方程组可得x，y的值，然后代入计算出m，n的值，然后求出的值并求立方根即可． 【详解】解：∵关于的方程组和关于的方程组的解相同， ∴解方程组可得：， 将代入可得解得：， ∴， ∵的立方根为， ∴的立方根为． 故答案为：． 18．已知 、 都是实数，且满足 ，则 的立方根是_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，绝对值，立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．因为且，可得，求出后代入求值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ， ． 故答案为：． 三、解答题 19．． 【答案】 【分析】本题考查实数混合运算，涉及乘方运算、算术平方根、立方根及化简绝对值等知识，根据乘方运算、算术平方根、立方根及化简绝对值分别计算后，利用实数加减法求解即可得到答案． 【详解】解： ． 20．已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质求解即可； （2）先求出，再根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴，即， 解得：； （2）∵， ∴的平方根为． 21．求的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根解方程，利用立方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再在方程两边同时除以4，最后开平方，即可作答． （2）先开立方，再移项，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 22．（1）求出下列各数：①4的算术平方根___________；②的立方根___________；③___________； （2）将（1）中求出的每个数表示在数轴上，并用“”连接． 【答案】（1）2，，3；（2）数轴见解析， 【分析】本题考查算术平方根、立方根、绝对值，利用数轴比较数的大小： （1）根据算术平方根、立方根、绝对值的定义求解即可； （2）根据有理数与数轴的关系，可将（1）中求出的每个数表示在数轴上，根据数轴上左边的数比右边的数小来解答． 【详解】解：（1）①4的算术平方根为：；②的立方根；③， 故答案为：2，，3； （2）将（1）中求出的每个数表示在数轴上如下： 用“”连接为：． 23．已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的棱长； (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查立方根、算术平方根的应用， （1）根据甲正方体纸盒的底面积求出其棱长，即可求出其体积，从而得出乙正方体纸盒的体积，即可求出乙正方体纸盒的棱长； （2）先求出丙正方体纸盒的体积，再求出丙正方体纸盒的棱长即可； 掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵甲正方体纸盒的底面积为， ∴甲正方体纸盒的棱长为， ∴甲正方体纸盒的体积为， ∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大， ∴乙正方体纸盒的体积为：， ∴乙正方体纸盒的棱长为， 答：乙正方体纸盒的棱长为； （2）由（1）知乙正方体纸盒的体积为， ∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的， ∴丙正方体纸盒的体积是， ∴丙正方体纸盒的棱长是， 答：丙正方体纸盒的棱长． 24．观察下表，并解答下列问题． 1 1000 1000000 1 10 100 【规律总结】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动__________位． 【规律应用】 （2）已知，，． ①__________． ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 【答案】（1）一；（2）①；②1248平方米 【分析】本题主要考查了立方根的变化规律，熟练掌握立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）从被开方数的小数点，以及相应的立方根的小数点的移动来找规律，回答即可； （2）①根据解析（1）中规律进行解答即可； ②先根据正方体的体积求出棱长，再求出正方体盒子的表面积即可． 【详解】解：（1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． （2）①∵， ∴； ②∵正方体的体积为3000立方米， ∴正方体的棱长为：米， ∴需要铁皮的面积为： （平方米）． 25．【阅读理解】我们都知道，是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完整地写出来，于是有同学用来表示的小数部分，这个方法是因为，所以的整数部分是1，而对于任意一个正实数，用这个数减去它的整数部分，所得的差就是它的小数部分，所以可以用来表示的小数部分． 再比如，我们要估算一个体积为的正方体魔方的棱长： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据上面问题的思路与方法，解决下列问题： (1)的整数部分是____，小数部分是___，的整数部分是___； (2)【类比应用】如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； 【答案】(1)3，；3 (2)0 【分析】（1）根据算术平方根的定义，估算无理数的大小即可； （2）估算无理数的大小，进而得出a的值，估算无理数的大小，进而得出b的大小，再代入计算即可得出的平方根． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； ∵， ∴， ∴的整数部分是3； （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分为； ∵， ∴， ∴的整数部分； ∴， 又0的平方根是0， ∴的平方根是0． 26．阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1或3 【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）参照题干材料进行猜想、验证，可得答案； （2）根据与互为相反数，可得与5互为相反数，由此可解； （3）将所给等式变形为，根据0，，1的立方根等于它本身，可得答案． 【详解】（1）解：因为，所以是两位数； 其次观察立方数．猜想个位数字是8； 接着将195112往前移动3位小数点后约为195，因为，，所以的十位数字应为5，于是猜想、验证，得195112的立方根是58； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到， 故答案为：． （2）解：， 与互为相反数， 与5互为相反数， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， 或， 解得或1或3． 1 学科网（北京）股份有限公司 $