第01讲 算术平方根与平方根 暑假预习讲义 2026--2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第01讲 算术平方根与平方根（知识详解+10典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：算术平方根 知识点02：算术平方根性质 知识点03：平方根 知识点04：平方根的性质 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：求一个数的算术平方根 题型02：利用算术平方根的非负性解题 题型03：估计算术平方根的取值范围 题型04：与算术平方根有关的规律探索题 题型05：算术平方根的实际应用 题型06：平方根概念理解 题型07：求一个数的平方根 题型08：已知一个数的平方根，求这个数 题型09：利用平方根解方程 题型10：平方根的应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 知识点01：算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫作a 的算术平方根.a 的算术平方根记为“”，读作“根号 a”.a 叫作被开方数 因为0的平方是0，所以规定0的算术平方根是0，记为=0. 知识点02：算术平方根性质 当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍()． 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 知识点03：平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a 叫作被开方数. 求一个数a的平方根的运算叫作开平方，例如，求64的平方根，就是要对 64 进行开平方运算，64是被开方数. 正数的两个平方根可以用“”表示，其中+表示的正平方根（即算术平方根），表示的负平方根，读作“负根号”．0的平方根记为“”，=0. 知识点04：平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根. 【题型01】求一个数的算术平方根 【典例1-1】．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（   ） A．9的算术平方根是 B．9的算术平方根是3 C．3的算术平方根是9 D．的算术平方根是 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是明确算术平方根为非负数且负数没有算术平方根． 根据算术平方根的定义，一个非负数的算术平方根是指那个非负的平方根，即，且负数没有算术平方根；据此对各选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、9的算术平方根是3，不是，此选项不符合题意； B、9的算术平方根是3，此选项符合题意； C、3的算术平方根是，不是9，此选项不符合题意； D、是负数，没有算术平方根，此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算：________． 【答案】3 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题可先计算根号内有理数的乘方，再计算算术平方根即可得到结果． 【详解】解：． 【变式1-2】．的算术平方根是_____． 【答案】3 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了求算术平方根，先计算的值，再求其算术平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故的算术平方根是， 故答案为：． 【变式1-3】．（2024八年级上·上海·专题练习）计算： （1） ， ； （2） ， ； （3） ， ； （4） ， ． 比较上述各式，你猜想到什么结论？ 【答案】（1），（2），（3），（4），；结论：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握平方根是解题的关键．根据平方根的运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1），； （2），； （3），； （4），． 结论：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 【题型02】利用算术平方根的非负性解题 【典例2-1】．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果等式成立，那么应满足的条件是_____． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查算术平方根的非负性，掌握知识点是解题的关键． 根据算术平方根的非负性，表示的算术平方根，其值总是非负的，因此等式成立的条件是为非负数． 【详解】解：由算术平方根的定义可知，．等式即，根据绝对值的性质，当且仅当时，成立．因此，应满足的条件是． 故答案为． 【变式2-1】．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段检测）若，则_______________． 【答案】1 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查非负性，根据非负性求出的值，代入代数式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 【变式2-2】．若x，y为实数，且满足，则的值是________． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、加减消元法 【分析】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性和解二元一次方程组等知识点，熟练掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键．由绝对值和算术平方根的非负性列方程组求解后，代入x，y的值计算即可． 【详解】解：由题意， 解得， 则． 故答案为：． 【变式2-3】．（2023八年级上·上海·专题练习）已知的值． 【答案】1 【知识点】绝对值非负性、求一个数的算术平方根、利用算术平方根的非负性解题 【分析】通过非负性得到未知数的值后计算即可． 【详解】由题意得：，解得：，代入得：． 【点睛】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，还考查了去绝对值的知识． 【题型03】估计算术平方根的取值范围 【典例3-1】．已知，则的近似值为（   ） A．0.0101 B．0.101 C．101 D．1.01 【答案】D 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开平方的数的小数点每向左移动两位，那么被开平方的结果的小数点向左移动一位，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【变式3-1】．在什么范围（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】C 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】根据，即可知道，接着即可求解． 【详解】解： 故答案选：C． 【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握算术平方根的定义． 【变式3-2】．（25-26八年级上·上海闵行·期末）定义：对于自然数，我们用【】表示不大于的最大整数，称之为的根号整数．例如的根号整数，的根号整数．那么满足的自然数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题结合新定义“根号整数”考查估计算术平方根，关键是根据定义转化为不等式，再结合自然数的范围确定的取值． 【详解】解：根据“根号整数”的定义，若， 则； 两边平方，得． ∵是自然数， ∴的取值为1、2、3，共3个． 故选：C． 【变式3-3】．与最接近的整数是______． 【答案】8 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查了算术平方根的估算，利用“夹逼法”估算出的范围即可． 【详解】解：∵，即 ∴， ∴与最接近的整数是8． 故答案为：8． 【题型04】与算术平方根有关的规律探索题 【典例4-1】．已知：，，请根据以上规律得到的结果是（   ） A．0.071 B．0.224 C．0.0017 D．0.0224 【答案】A 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查算术平方根有关的规律探索，将化成是解题的关键． 根据，再把代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴． 故选：A． 【变式4-1】．（25-26八年级上·上海崇明·期末）如果，，那么的值是__________． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查算术平方根的性质．根据被开方数的小数点每移动两位，算术平方根的小数点就移动一位，即可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为： 【变式4-2】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，，那么____________________． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律题．通过观察已知条件，利用平方根的性质，被开方数扩大10000倍，平方根扩大100倍，将所求式子转化为已知近似值的形式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】．按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】(1)见解析 (2)，68 (3)求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得； （3）根据（1）解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 填表如下： 4 400 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，， ∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴； 故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 【题型05】算术平方根的实际应用 【典例5-1】．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是_____． 【答案】 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根，根据题意得出大正方形的面积，根据正方形的面积公式可得边长． 【详解】解：∵把两个面积为的小正方形拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长是， 故答案为：． 【变式5-1】．（23-24八年级·上海闵行·期末）伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h(米)与下降的时间t(秒)的关系可以近似地表示为(不计空气阻力)，一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了920米，这段时间大约有_______秒(精确到1秒)． 【答案】14 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查实数运算，理解算术平方根的意义是解答关键，将代入进行计算即可． 【详解】解：当时，， ∵，解得秒， 故答案为：14． 【变式5-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）某街区在进行改造时，将原来的正方形场地改建成面积不变的长方形场地，且其长、宽比为． (1)原正方形场地的周长为_____． (2)如果把原来正方形场地的金属板围墙全部循环利用(不改变高度、厚度、不计加工损耗)那么这些金属板是否够用？试利用所学知识说明理由． 【答案】(1)120 (2)这些金属板不够用，理由见详解 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，列一元二次方程解决几何问题，二次根式的大小比较，解题的关键是掌握二次根式的运算． （1）利用求一个数的算术平方根进行求解即可； （2）设长方形的长为，宽为，根据面积相等列出方程求解得出，再求出周长和正方形周长比较即可． 【详解】（1）解：原正方形场地的周长为， 故答案为：120； （2）解：这些金属板不够用，理由如下： 设长方形的长为，宽为，根据题意得， ， 解得，（负值已舍） ∴长方形的周长为， ∵， ∴， ∴， ∴这些金属板不够用． 【变式5-3】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 【答案】（1）；；（2）；（3）欢欢的想法不对，理由见解析 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查算术平方根的应用． （1）由题意得出大正方形的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的方法画出图形，得出大正方形的面积，即可得出答案； （3）设长为，则宽为，则得出，解出，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个正方形 ∴这个正方形的面积为的大正方形，边长为； 故答案为：；；． （2）如图， ∵用10个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， 拼成的大正方形的边长为； 故答案为：． （3）欢欢的想法不对，理由如下， 假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为，设长为，则宽为，则有： ， 解得，， 为长方形的长， ， ， 则长为， 要求长方形的四周至少留出的边框， 长方形的长应当为， ， 假设错误，不能． 【题型06】平方根概念理解 【典例6-1】．（25-26八年级上·上海松江·期中）下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．4是2的算术平方根 D．的算术平方根是2 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．根据定义，正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根是非负的；负数没有实数平方根，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵ 4的平方根是，A只给出2，故A错误； ∵ 负数没有平方根，故B错误； ∵ 2的算术平方根是，不是4，故C错误； ∵，4的算术平方根是2，故D正确． 故选：D． 【变式6-1】．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值为______． 【答案】 【知识点】平方根概念理解 【分析】根据已知得出方程即可求出．本题考查了平方根，能根据题意得出关于的方程是解此题的关键，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 【详解】根据题意知， 解得：， 故答案为：． 【变式6-2】．若一个正数的两个平方根是和，则a的值是______． 【答案】 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查平方根的性质，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数． 根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解． 【详解】解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以与的和为0， 即：， 解得：， 故答案为：． 【变式6-3】．一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为 ___________ ． 【答案】2 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出m的值． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 故答案为：2． 【变式6-4】．已知，． (1)如果x的算术平方根为3，求a的值． (2)如果x，y是同一个正数的两个不同的平方根，求这个正数． 【答案】(1) (2)这个正数是25 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解 【分析】本题考查了算术平方根、平方根的定义，熟练掌握算术平方根、平方根的定义是解此题的关键． （1）根据算术平方根的定义得出，求解即可； （2）根据平方根的定义得出，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：的算术平方根是3， ， ． （2）解：x，y是同一个正数的两个不同的平方根， ， ， 这个正数是， 这个正数是25． 【题型07】求一个数的平方根 【典例7-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了求一个的平方根以及算术平方根，解题的关键是熟练掌握平方根以及算术平方根的定义． 根据平方根和算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， ，， 故A、C、D正确，不符合题意，B错误，符合题意； 故选：B. 【变式7-1】．16的平方根是________． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【详解】解：∵， ∴的平方根是. 【变式7-2】．（2025八年级上·上海·专题练习）的平方根是______． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了平方根的定义，根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：的平方根是， 故答案为：． 【变式7-3】．（25-26八年级上·上海·期中）的平方根为________； 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】该题考查了平方根，先将带分数转换为假分数，再求其平方根． 【详解】解：， ∵ = ， = ， ∴的平方根为． 即的平方根为． 故答案为：． 【变式7-4】．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）求下列各数的平方根： (1)6400； (2)0.000016； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查求一个数的平方根，一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．即如果，那么x叫做a的平方根．即． （1）根据平方根的定义求解即可； （2）根据平方根的定义求解即可； （3）根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：6400的平方根为：； （2）解：0.000016的平方根为：； （3）解：的平方根为：． 【题型08】已知一个数的平方根，求这个数 【典例8-1】．若与是同一个数的两个不同的平方根，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】B 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】根据题意列方程求解即可； 【详解】解：∵与是同一个数的两个不同的平方根， ∴， 解得：． 【变式8-1】．（25-26八年级上·上海·期中）若一个正整数的正平方根是 ，则比这个正整数大 1 的数的正平方根是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，由正整数的正平方根为，可得该正整数为，则比它大1的数为，其正平方根为 ，即可得出结果． 【详解】解：设这个正整数为， ∵的正平方根是， ∴． ∴比大1的数为， ∴ 的正平方根为． 故选C． 【变式8-2】．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是______． 【答案】1 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题主要考查了平方根定义，熟练掌握正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．根据平方根的性质，一个正数的两个不同的平方根互为相反数，由此建立方程求解即可． 【详解】解：∵和是一个正数的两个不同的平方根， ∴， 解得：， 则，， ∴ 这个正数是：． 故答案为：1． 【变式8-3】．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______． 【答案】 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；根据平方根和算术平方根的定义，分别求出a和b的值，再计算的算术平方根即可． 【详解】解：由题意得：， ∵，且9的算术平方根是b， ∴， ∴， 故答案为． 【题型09】利用平方根解方程 【典例9-1】．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段检测）方程有解的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查了利用平方根解方程，应当注意到在解方程时，要先看方程是否有解，再选择适当方法解题．因为在中，左边是一个平方式，总是大于等于0，所以必须大于等于0． 【详解】解：， ， 利用平方根性质解方程时，被开方数必须为非负数，方程才有实数根． 即． 得． 故选A． 【变式9-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）方程：的根是_________． 【答案】， 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查了利用平方根的定义方程，熟练掌平方根的定义是解题的关键． 利用平方根的定义解方程即可． 【详解】解： ∴，； 故答案为：，． 【变式9-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）解方程：． 【答案】， 【知识点】利用平方根解方程 【分析】利用直接开平方法计算即可． 本题考查了直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵, ∴ ∴ ∴或， 解得，． 【变式9-3】．（25-26八年级上·上海普陀·期末）解方程：． 【答案】 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题主要考查运用平方根解方程，掌握平方根的计算方法是关键，根据题意，去分母，去括号，移项，整理为，再运用平方根的计算即可求解． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 整理得，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， 解得，． 【题型10】平方根的应用 【典例10-1】．（25-26八年级上·上海虹口·期中）有一个圆的面积和边长为的正方形的面积相同，则此圆的半径为______． 【答案】 【知识点】平方根的应用 【分析】本题考查了平方根的应用，先计算正方形的面积，再根据圆的面积与正方形面积相等建立方程，求解圆的半径即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由正方形的边长为，则其面积为， 设圆的半径为，则圆的面积为， 根据题意，， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故答案为：． 【变式10-1】．已知实数的一个平方根是，则它的另一个平方根是______． 【答案】 【知识点】平方根的应用 【分析】因为一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数的关系即可求出另一个平方根． 【详解】解：∵实数的一个平方根是， ∴它的另一个平方根是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平方根的应用，解决本题的关键是要熟练掌握平方根的意义． 【变式10-2】．一切运动的物体都具有动能（单位：焦耳），其大小由物体的质量m（单位：千克）和运动速度v（单位：米/秒）决定，计算公式为．在2025年3月23日举行的全国马拉松锦标赛首站上，河南选手包揽了女子组冠亚军．若某长跑运动员在匀速跑步，她的质量是60千克，她某时的动能是1350焦耳，则该运动员此时的跑步速度为________米/秒．（结果保留根号） 【答案】 【知识点】平方根的应用 【分析】本题考查平方根的应用，根据公式列得方程，据此求解即可． 【详解】解：由题意可得， 解得或（舍去）， ∴该运动员此时的跑步速度为米/秒， 故答案为：． 【变式10-3】．在驾车行驶过程中，若司机发现前方道路有异常，从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离．小智收集的实验数据：制动距离（单位：）与行驶速度（单位：）满足关系式．某天王叔叔开车在公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施．经测量，王叔叔的刹车制动距离为．已知该段公路最高限速为，请你判断王叔叔是否超速，并说明理由． 【答案】王叔叔没有超速，理由见解析 【知识点】平方根的应用 【分析】本题考查平方根的实际应用，熟练应用平方根的性质计算是解题的关键．根据题意，将代入，求出速度，即可解答． 【详解】解：王叔叔没有超速．理由如下： 将代入，得． ， ， 是正数， ． ， 王叔叔没有超速． 1. 平方根定义 核心定义：若，则叫做的平方根 符号表示：平方根记作 取值要求：被开方数，负数没有平方根 2. 核心概念区分 平方根：符号；有2个、有1个、有0个 算术平方根：符号，为非负数；时有且仅有1个，是平方根中的正根 开平方：求一个数平方根的运算，与平方运算互为逆运算 3. 平方根核心性质 正数：有两个互为相反数的平方根 0：平方根和算术平方根均为0（唯一平方根） 负数：没有平方根，也没有算术平方根 两大必考公式：、 4. 本节典型题型 求非负数的平方根、算术平方根 已知一个数的平方根，求原数或未知数 利用算术平方根的非负性（）求值解题 化简含平方、根号的代数式 5. 高频易错点汇总 概念混淆：求解平方根时漏写，混淆平方根与算术平方根 取值误区：忽略被开方数非负要求，错误对负数开平方 公式易错：化简时直接写成，遗漏绝对值符号 一、单选题 1．一个正数的两个不相等的平方根是和，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根的性质，利用正数的平方根互为相反数求出的值，进而求出一个平方根即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ 一个正数的两个不相等的平方根是和， ∴， 解得， ∴一个平方根为， ∴ 这个正数为， 故选：． 2．的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．熟练掌握概念是解题关键； 先计算16的算术平方根，再求该结果的平方根． 【详解】∵， 又 ∵ 4的平方根是， ∴的平方根是． 故选：C． 3．估计的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．根据，即可估计的值． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， 即估计的值在2到3之间， 故选：B． 4．如图，用五个面积均为2的小正方形拼成了一个“T”字图形，然后将这个“T”字图形剪拼成一个如图2所示的大正方形，那么这个大正方形的边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的运用，理解正方形的面积，掌握算术平方根的计算是关键． 根据题意得到正方形的面积为10，由算术平方根的计算即可求解． 【详解】解：用五个面积均为2的小正方形拼成了一个“T”字图形， ∴， ∴正方形的边长为， 故选：C ． 5．用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意，理解图表是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此求解即可． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵， ∴， 故选：A． 6．已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性，三角形三边之间的关系，解二元一次方程组，等腰三角形的定义，由，得，解得，然后分为腰长时，为腰长时两种情况分析即可，熟练掌握相关性质以及运用分类讨论的思想方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，解得：， 当为腰长时，该等腰三角形三边为、、， ∵， ∴不能构成三角形； 当为腰长时，该等腰三角形三边为、、， ∵， ∴该等腰三角形存在， ∴此等腰三角形的周长， 综上：此等腰三角形的周长为， 故选：． 二、填空题 7．若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是________． 【答案】± 【分析】本题考查了算术平方根和平方根． 根据“算术平方根是指一个正数的正的平方根”即可求解． 【详解】解：∵一个正数的算术平方根是， ∴这个正数是， 故这个正数的平方根是． 故答案为：． 8．已知，，那么的算术平方根约是____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的性质，核心知识点是被开方数与算术平方根的小数点移动规律：当被开方数的小数点向左或向右移动位时，对应的算术平方根的小数点向左或向右移动位 【详解】解：∵， 又∵， ∴； 故答案为：． 9．若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是________． 【答案】 【分析】本题考查了对平方根和相反数的应用，熟练运用平方根和相反数的应用是解题的关键； 根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数得出这两个根互为相反数，相加为零即可求得的值，进而求解； 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 则， 这个正数是， 故答案为： 10．已知的算术平方根为3，的平方根为±5，的平方根是______． 【答案】±1 【分析】运用算术平方根和平方根的意义列出方程，解出未知数，再求的平方根即可求解． 【详解】解：由题意得， ， 解得， ∴ ， ， 的平方根是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了运用平方根进行有关运算的能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 11．一个正数a的两个不同的平方根分别是和，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根．熟练掌握正数的平方根是两个互为相反数，是解题的关键．根据正数的平方根互为相反数，列出方程求解，再求，最后计算． 【详解】由题意，正数的两个平方根互为相反数，因此． 化简，得， 解得． 代入平方根表达式：，． ∴． 则． 故答案为：． 12．若，求的平方根是___________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ， 的平方根是． 故答案为： 【点睛】本题考查了非负数的性质与求代数式的平方根，即几个非负数的和为0，则每个非负数都是0．现阶段学习的非负数的形式主要有三种：，，（为正整数）． 13．若的整数部分是，的整数部分是，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的估算，熟练掌握估算方法是解题的关键． 利用估算方法求出和的值后代入运算即可． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 14．若实数与满足，则的平方根为__________． 【答案】 【分析】利用非负数的和为则每个非负数都为的性质列方程组，解出，的值，再计算并求其平方根． 【详解】解：， 则， 解得， 则，其平方根为． 15．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【答案】 【分析】本题考查与算术平方根有关的规律探索题．根据已知等式总结规律，然后化简并计算即可． 【详解】解：， ， ， … ， ． 原式 ． 故答案为：． 16．客厅地面呈长方形，长与宽的比恰为，现要用同一大小的正方形地砖铺满地面，且正方形不能切割．有一家地砖厂商，能够生产任意边长的正方形，那么这家厂商_____（填“能”或“不能”）生产出符合要求的正方形地砖； 【答案】不能 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，理解题意是解决本题的关键． 假设存在边长为s的正方形地砖能铺满地面，则长和宽a都必须是s的整数倍，设存在正整数m、n，使得，两式相除得即可判断． 【详解】解：设地面宽为，则长为， 假设存在边长为s的正方形地砖能铺满地面，则长和宽a都必须是s的整数倍， 即存在正整数m、n，使得． 两式相除得， ∵是无理数，而是有理数，矛盾． ∴不存在这样的正方形地砖． 故答案为：不能． 17．在综合实践课中，数学兴趣小组对正整数进行研究，将正整数去除平方数后从小到大排成一排，记作，则______；若n为正整数，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的估算和应用，关键是通过对数的规律的探究，表达出前个数中的平方数的个数． ①先列出原始正整数序列：，识别其中的平方数，去除平方数后，按顺序计数到第项，直接得到即可； ②设第个非平方数，从1到中，平方数的个数为，因此非平方数的个数为．根据题意可得方程，变形为，则的整数部分为，尝试，代入得，验证满足条件，然后计算附近的平方数：，，得到的最小值即可． 【详解】解：将正整数从小到大排成一排为，其中平方数为，，，．去除平方数后，剩余数为 由此可知； 设第个非平方数为，从1到中，平方数的个数为，因此非平方数的个数为． 令，则，则的整数部分为，且， 当时，，的整数部分为，满足条件，故． ∵， ∴，即， ，，且， 的最小值为； 故答案为：；． 18．在数学活动课《神奇的加密术》中，小明设计了一种“平方根加密法”，规则如下：明文字母明文数字：将26个英文字母按顺序对应1到26的整数（如，，……，）； 明文数字→加密数字：若设明文数字为： ①计算的算术平方根，取其整数部分为； ②计算差值：； ③加密数字为：． 若收到的加密数字分别：“34、10、44、24”，则明文字母按序组成的单词为_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，一元一次方程的应用；根据加密规则，对每个加密数字反向推算明文数字，再转换为字母即可． 【详解】解：∵，，……，， ∴，且为整数， ∴， ∵为的整数部分， ∴，且为整数， ∴， ∴， 当加密数字为34时，，当时，，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴整数部分正好是3，符合题意， ∴加密数字34对应的明文数字为13，对应的字母为M， 当加密数字为10时，，当时，，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴整数部分正好是1，符合题意， ∴加密数字10对应的明文数字为1，对应的字母为A， 当加密数字为44时，，当时，，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴整数部分正好是4，符合题意， ∴加密数字44对应的明文数字为20，对应的字母为T， 当加密数字为24时，，当时，，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴整数部分正好是2，符合题意， ∴加密数字24对应的明文数字为8，对应的字母为H， 综上：明文字母按序组成的单词为． 故答案为：． 三、解答题 19．填写表格： a 0.0016 0.16 16 1600 0.04 0.4 从中观察得出被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律． 【答案】4；40；规律为：被开方数a的小数点每向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应的向左（或向右）移动一位 【分析】先根据算术平方根的定义求出16和1600的算术平方根，再对比被开方数和算术平方根的小数点位置总结规律即可． 【详解】解：，， 被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律为：被开方数a的小数点每向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应的向左（或向右）移动一位． 20．已知实数，不相等，且，． (1)若的算术平方根为3，求的值； (2)如果与是同一个正数的两个平方根，求这个正数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根，平方根的定义，注意二次根式与平方的联系． （1）先求出的值，再根据列出方程，求出的值； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，列出方程，求出，然后求出，最后求出这个正数． 【详解】（1）解：的算术平方根为3， ， 即， ； （2）解：根据题意得：， 即：， ， ， 这个正数为． 21．已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据算术平方根由意义的条件可得，，即可得到，进而可得； （）把的值代入中求出的值，进而可求出它的平方根； 本题考查了算术平方根、平方根，掌握算术平方根、平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 22．在综合实践课上，小明用铁丝围成一个面积为正方形区域后，打算重新弯折铁丝，围成一个面积为的长方形区域，且长与宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长及铁丝的总长度； (2)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1)正方形区域的边长为，铁丝的总长度为 (2)铁丝不够用 【分析】本题考查算术平方根，掌握正方形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据正方形的面积公式即可得出答案； （2）求出长方形的长、宽，周长，再比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可． 【详解】（1）解：∵正方形面积为， ∴边长为， ∴周长为，即铁丝总长度； （2）解：设长方形长为，宽为，则面积为， 解得， ∴长为，宽为， ∴周长为，铁丝总长度为， ∵，，， ∴，故铁丝不够用 23．阅读与思考： ，即， 的整数部分为1， 设的小数部分为x， 则， ， 即的小数部分为． 解答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了无理数的估算． (1)根据可得，所以可得的整数部分是，小数部分是； (2)由可知，可得由，可知，可得，把字母的值代入代数式中计算求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：， ， ， 的整数部分是，小数部分是， ， ， ， ， 的整数部分是， ， 24．问题情境：有多大？如图1，教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为． (1)探究过程：因为，，所以．设，将边长为的正方形分成如图2所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到），即______． (2)理解应用：现在仿照上面的探究“有多大？”的过程，请你写出探究“有多大？”的过程．（结果均保留到） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了算术平方根，无理数大小估算等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）由可得； （2）由题意画出图形，由（1）的方法可得出答案； 【详解】（1）解：， （2），， ， 设，画出示意图， 由面积公式，可得． 值很小，更小， 解得（保留到）， ∴． 25．综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： (1)请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． (2)请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） (3)已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 【答案】(1)4，16，25这三个数是“漂亮数” (2)1，9，16；4，25，64（答案不唯一） (3)81 【分析】本题主要考查了新定义和算术平方根，解题关键是理解已知条件中的定义． （1）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后判断即可； （2）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后进行解答即可； （3）分别根据已知条件中的定义和最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，列出关于m的方程，求出m即可． 【详解】（1）解：，，， ，20，10都是整数， ，16，25是“漂亮数”； （2）1，9，16这三个数称为“漂亮数”； 4，25，64这三个数称为“漂亮数”，理由如下： ，，， 1，9，16这三个数称为“漂亮数”； ，，， 4，25，64这三个数称为“漂亮数”； （3）∵正整数， ∴。 三个算术平方根为、、。 ∵，， ∴“最小算术平方根”为15，“最大算术平方根”为。” ， ． 解得． 的值为81． 26．阅读下列解题过程：；；；…… (1)计算：_______；_______； (2)按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：；； （2）解：依据上述运算的规律可得：， 故答案为：； （3）解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 算术平方根与平方根（知识详解+10典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：算术平方根 知识点02：算术平方根性质 知识点03：平方根 知识点04：平方根的性质 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：求一个数的算术平方根 题型02：利用算术平方根的非负性解题 题型03：估计算术平方根的取值范围 题型04：与算术平方根有关的规律探索题 题型05：算术平方根的实际应用 题型06：平方根概念理解 题型07：求一个数的平方根 题型08：已知一个数的平方根，求这个数 题型09：利用平方根解方程 题型10：平方根的应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 知识点01：算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫作a 的算术平方根.a 的算术平方根记为“”，读作“根号 a”.a 叫作被开方数 因为0的平方是0，所以规定0的算术平方根是0，记为=0. 知识点02：算术平方根性质 当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍()． 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 知识点03：平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a 叫作被开方数. 求一个数a的平方根的运算叫作开平方，例如，求64的平方根，就是要对 64 进行开平方运算，64是被开方数. 正数的两个平方根可以用“”表示，其中+表示的正平方根（即算术平方根），表示的负平方根，读作“负根号”．0的平方根记为“”，=0. 知识点04：平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根. 【题型01】求一个数的算术平方根 【典例1-1】．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（   ） A．9的算术平方根是 B．9的算术平方根是3 C．3的算术平方根是9 D．的算术平方根是 【变式1-1】．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算：________． 【变式1-2】．的算术平方根是_____． 【变式1-3】．（2024八年级上·上海·专题练习）计算： （1） ， ； （2） ， ； （3） ， ； （4） ， ． 比较上述各式，你猜想到什么结论？ 【题型02】利用算术平方根的非负性解题 【典例2-1】．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果等式成立，那么应满足的条件是_____． 【变式2-1】．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段检测）若，则_______________． 【变式2-2】．若x，y为实数，且满足，则的值是________． 【变式2-3】．（2023八年级上·上海·专题练习）已知的值． 【题型03】估计算术平方根的取值范围 【典例3-1】．已知，则的近似值为（   ） A．0.0101 B．0.101 C．101 D．1.01 【变式3-1】．在什么范围（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【变式3-2】．（25-26八年级上·上海闵行·期末）定义：对于自然数，我们用【】表示不大于的最大整数，称之为的根号整数．例如的根号整数，的根号整数．那么满足的自然数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-3】．与最接近的整数是______． 【题型04】与算术平方根有关的规律探索题 【典例4-1】．已知：，，请根据以上规律得到的结果是（   ） A．0.071 B．0.224 C．0.0017 D．0.0224 【变式4-1】．（25-26八年级上·上海崇明·期末）如果，，那么的值是__________． 【变式4-2】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，，那么____________________． 【变式4-3】．按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【题型05】算术平方根的实际应用 【典例5-1】．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是_____． 【变式5-1】．（23-24八年级·上海闵行·期末）伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h(米)与下降的时间t(秒)的关系可以近似地表示为(不计空气阻力)，一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了920米，这段时间大约有_______秒(精确到1秒)． 【变式5-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）某街区在进行改造时，将原来的正方形场地改建成面积不变的长方形场地，且其长、宽比为． (1)原正方形场地的周长为_____． (2)如果把原来正方形场地的金属板围墙全部循环利用(不改变高度、厚度、不计加工损耗)那么这些金属板是否够用？试利用所学知识说明理由． 【变式5-3】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 【题型06】平方根概念理解 【典例6-1】．（25-26八年级上·上海松江·期中）下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．4是2的算术平方根 D．的算术平方根是2 【变式6-1】．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值为______． 【变式6-2】．若一个正数的两个平方根是和，则a的值是______． 【变式6-3】．一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为 ___________ ． 【变式6-4】．已知，． (1)如果x的算术平方根为3，求a的值． (2)如果x，y是同一个正数的两个不同的平方根，求这个正数． 【题型07】求一个数的平方根 【典例7-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】．16的平方根是________． 【变式7-2】．（2025八年级上·上海·专题练习）的平方根是______． 【变式7-3】．（25-26八年级上·上海·期中）的平方根为________； 【变式7-4】．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）求下列各数的平方根： (1)6400； (2)0.000016； (3)． 【题型08】已知一个数的平方根，求这个数 【典例8-1】．若与是同一个数的两个不同的平方根，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D． 【变式8-1】．（25-26八年级上·上海·期中）若一个正整数的正平方根是 ，则比这个正整数大 1 的数的正平方根是 （     ） A． B． C． D． 【变式8-2】．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是______． 【变式8-3】．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______． 【题型09】利用平方根解方程 【典例9-1】．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段检测）方程有解的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）方程：的根是_________． 【变式9-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）解方程：． 【变式9-3】．（25-26八年级上·上海普陀·期末）解方程：． 【题型10】平方根的应用 【典例10-1】．（25-26八年级上·上海虹口·期中）有一个圆的面积和边长为的正方形的面积相同，则此圆的半径为______． 【变式10-1】．已知实数的一个平方根是，则它的另一个平方根是______． 【变式10-2】．一切运动的物体都具有动能（单位：焦耳），其大小由物体的质量m（单位：千克）和运动速度v（单位：米/秒）决定，计算公式为．在2025年3月23日举行的全国马拉松锦标赛首站上，河南选手包揽了女子组冠亚军．若某长跑运动员在匀速跑步，她的质量是60千克，她某时的动能是1350焦耳，则该运动员此时的跑步速度为________米/秒．（结果保留根号） 【变式10-3】．在驾车行驶过程中，若司机发现前方道路有异常，从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离．小智收集的实验数据：制动距离（单位：）与行驶速度（单位：）满足关系式．某天王叔叔开车在公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施．经测量，王叔叔的刹车制动距离为．已知该段公路最高限速为，请你判断王叔叔是否超速，并说明理由． 1. 平方根定义 核心定义：若，则叫做的平方根 符号表示：平方根记作 取值要求：被开方数，负数没有平方根 2. 核心概念区分 平方根：符号；有2个、有1个、有0个 算术平方根：符号，为非负数；时有且仅有1个，是平方根中的正根 开平方：求一个数平方根的运算，与平方运算互为逆运算 3. 平方根核心性质 正数：有两个互为相反数的平方根 0：平方根和算术平方根均为0（唯一平方根） 负数：没有平方根，也没有算术平方根 两大必考公式：、 4. 本节典型题型 求非负数的平方根、算术平方根 已知一个数的平方根，求原数或未知数 利用算术平方根的非负性（）求值解题 化简含平方、根号的代数式 5. 高频易错点汇总 概念混淆：求解平方根时漏写，混淆平方根与算术平方根 取值误区：忽略被开方数非负要求，错误对负数开平方 公式易错：化简时直接写成，遗漏绝对值符号 一、单选题 1．一个正数的两个不相等的平方根是和，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 2．的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 3．估计的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 4．如图，用五个面积均为2的小正方形拼成了一个“T”字图形，然后将这个“T”字图形剪拼成一个如图2所示的大正方形，那么这个大正方形的边长是（    ） A． B． C． D． 5．用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A． B．或 C． D．或 二、填空题 7．若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是________． 8．已知，，那么的算术平方根约是____． 9．若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是________． 10．已知的算术平方根为3，的平方根为±5，的平方根是______． 11．一个正数a的两个不同的平方根分别是和，则___________． 12．若，求的平方根是___________． 13．若的整数部分是，的整数部分是，则__________． 14．若实数与满足，则的平方根为__________． 15．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 16．客厅地面呈长方形，长与宽的比恰为，现要用同一大小的正方形地砖铺满地面，且正方形不能切割．有一家地砖厂商，能够生产任意边长的正方形，那么这家厂商_____（填“能”或“不能”）生产出符合要求的正方形地砖； 17．在综合实践课中，数学兴趣小组对正整数进行研究，将正整数去除平方数后从小到大排成一排，记作，则______；若n为正整数，则的最小值为_______． 18．在数学活动课《神奇的加密术》中，小明设计了一种“平方根加密法”，规则如下：明文字母明文数字：将26个英文字母按顺序对应1到26的整数（如，，……，）； 明文数字→加密数字：若设明文数字为： ①计算的算术平方根，取其整数部分为； ②计算差值：； ③加密数字为：． 若收到的加密数字分别：“34、10、44、24”，则明文字母按序组成的单词为_____． 三、解答题 19．填写表格： a 0.0016 0.16 16 1600 0.04 0.4 从中观察得出被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律． 20．已知实数，不相等，且，． (1)若的算术平方根为3，求的值； (2)如果与是同一个正数的两个平方根，求这个正数． 21．已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 22．在综合实践课上，小明用铁丝围成一个面积为正方形区域后，打算重新弯折铁丝，围成一个面积为的长方形区域，且长与宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长及铁丝的总长度； (2)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 23．阅读与思考： ，即， 的整数部分为1， 设的小数部分为x， 则， ， 即的小数部分为． 解答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 24．问题情境：有多大？如图1，教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为． (1)探究过程：因为，，所以．设，将边长为的正方形分成如图2所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到），即______． (2)理解应用：现在仿照上面的探究“有多大？”的过程，请你写出探究“有多大？”的过程．（结果均保留到） 25．综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： (1)请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． (2)请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） (3)已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 26．阅读下列解题过程：；；；…… (1)计算：_______；_______； (2)按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）； (3)计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $