第03讲 实数的相关概念（暑假预习讲义）新八年级数学新教材沪教版五四制

第03讲 实数的相关概念 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 无理数（重点） 题型2 无理数的大小估算 题型3 无理数整数部分的有关计算（重点） 题型4 实数的分类 题型5 实数与数轴（难点） 题型6 实数的大小比较 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 无理数的分类与估算、 实数与数轴、 实数的绝对值、相反数 实数的大小比较 1. 理解无理数的定义，掌握无理数的三类常见形式，能准确辨析有理数与无理数，区分“无限循环小数”与“无限不循环小数”的差异. 2. 理解实数的定义，掌握实数的两种分类方式（按定义分、按正负分），理清数系从有理数扩充到实数的逻辑. 3. 理解实数与数轴一一对应的关系，掌握数轴上实数的位置特征与几何意义，能通过估算确定无理数在数轴上的大致位置. 4. 掌握估算无理数的取值范围，能确定无理数的整数部分与小数部分，并完成相关代数式求值. 学习重点：1. 无理数的概念辨析与识别方法 2. 实数的分类标准与易混概念辨析（0的归类、分数与无理数的区分、正/负实数的范围等）. 3. 用“夹逼法”估算无理数的取值范围，以及无理数整数部分、小数部分的推导与相关计算. 4. 实数的相反数、绝对值的性质，以及实数大小比较的常用方法. 5. 实数与数轴的一一对应关系，数轴上两点距离、对称点的基础计算. 学习难点：1. 无限小数与无理数的关系、带根号的数与无理数的区别. 2. 无理数整数部分与小数部分. 3. 结合数轴的实数符号判断，以及含多重绝对值的代数式化简. 4. 针对不同形式的实数，灵活选用最优方法进行大小比较. 5. 数轴上翻折、动点、图形结合类的实数综合问题的分析与求解. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01有理数的小数形式 1.任何有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式;反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 2.分数与小数的互化 (1)分数化成小数:用分子除以分母，能除尽得有限小数，除不尽得无限循环小数. (2)小数化成分数: ①有限小数:看是几位小数，在1后面添几个0做分母，去掉小数点后的数做分子，再约分. ②纯循环小数:设未知数，利用循环节扩大倍数后列方程求解. ③混循环小数:先分离整数部分和纯循环部分，再按纯循环小数的方法转化. 知识点02无理数 1．概念：无限不循环小数又叫无理数，如 等. 2．特征： （1）小数部分无限. （2）小数部分不循环，不能表示成分数形式. 注意：＂无限循环小数＂和＂无限不循环小数＂的异同：相同点是都是小数；不同点是前者能化成分数（有理数），能用 的形式表示；后者不能化成分数形式，为无理数. 3．性质：被开方数越大，对应的算术平方根也越大，即如果 ，那么 . 无理数的判断方法 （1）概念是判断无理数的重要依据. （2）有理数都可以写成分数（分子、分母都是整数）的形式，而无理数则不能写成分数的形式，如 是无理数，不是分数. （3）根据无理数常见的几种形式来判断，判断前要先将原数化为最简形式. 下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数的定义，无理数是无限不循环小数，有理数包含整数和分数，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵无理数的定义为无限不循环小数，有理数包括整数与分数； A、是无限不循环小数，属于无理数； B、是整数，属于有理数； C、是分数，属于有理数； D、是整数，属于有理数． 故选：A． 比较大小：________（填“”“”“”）． 【答案】 【分析】两个正分数分母相同，只需比较分子的大小，先估算的取值范围，推导分子的范围，即可比较两个数的大小． 【详解】解：两个分数分母均为，且均为正数，因此只需比较分子大小. ， ， ． 知识点03用计算器求一个正数的算术平方根或求一个数的立方根 1. 用科学计算器求一个正数a的算术平方根的步骤： (1) 按AC/ON开机、清除键； (2) 依次输入. 用计算器求一个正数的算术平方根或求一个数的立方根时，其计算结果有可能是有理数，也可能是无理数.当要求根式的近似值时，一般按保留几位小数的要求用“四舍五入”的方法截取.计算时，需要注意的是按键顺序与计算器的型号有关. 用计算器计算的值大约为（   ） A．3.0482 B．3.0495 C．3.0513 D．3.0525 【答案】B 【分析】此题主要考查了用计算器求数的立方根，以及四舍五入法求近似值问题的应用，要熟练掌握． 利用计算器计算即可． 【详解】解：， 故答案为：B． 小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根的性质，被开方数的小数点每向左（右）平移两个数位，算术平方根的小数点向左（右）平移1个数位，进行判断即可． 【详解】解：右图可知：， ∴， ∴； 故选D． 知识点04实数的概念及分类 1.概念:有理数和无理数统称为实数. 2.分类: 实数分为有理数(正有理数、0、负有理数，即有限小数或无限循环小数)和无理数(正无理数、负无理数，即无限不循环小数);也可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数);还可按性质符号分为正实数(正有理数、正无理数)、0、负实数(负有理数、负无理数)说明:在实数范围内，一个数不是有理数就是无理数. 实数分类有技巧，几个关键要记好 (1)0既不是正实数也不是负实数. (2)所有的分数都是有理数. (3)有些实数是以运算的形式出现的，不要看到带着根号的数就认为它是无理数，要先化简再判断. 下列说法中，正确的是（    ） A．任何实数都有倒数 B．任何实数不是有理数就是无理数 C．任何实数都有平方根 D．任何实数不是正实数就是负实数 【答案】B 【分析】本题考查了实数的定义性质，根据实数的定义和性质，判断各选项的正确性即可． 【详解】解：A、0没有倒数，故A错误； B、实数由有理数和无理数组成，故B正确； C、负数没有平方根，故C错误； D、0既不是正实数也不是负实数，故D错误， 故选：B． 下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则_____． 【答案】9 【分析】本题主要考查了无理数，整数，非负数的定义，解题的关键是熟练掌握以上定义． 利用无理数，整数，非负数的定义，确定个数，代入代数式进行求解即可． 【详解】解：无理数为：，得； 整数为：6，0，得； 非负数为：，，，，0，，得； ∴， 故答案为：9． 知识点05实数与数轴上的点的关系 实数与数轴上的点一一对应:任意一个实数在数轴上有唯一的对应点;数轴上的每一个点都表示一个实数. 一个无理数在数轴上所对应的点，可以利用这个无理数的近似值(有理数)所对应的点来大致确定. 数轴上点和点表示的数如图所示，且点与点关于点对称，则点表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，设点表示的数是，利用对称点到对称中心的距离相等得到． 【详解】解：点与点关于点对称， ， 设点表示的数是， ， ， 故选：A． 在数轴上有两个点和点，点所对应的实数是两点的距离为3，那么点所对应的实数是__________． 【答案】 或 【分析】本题考查数轴上两点距离的表示，分为点B在点A的右侧和点B在点A的左侧两种情况，运用实数的加减法解题即可． 【详解】解：当点B在点A的右侧时，点B对应的数是； 当点B在点A的左侧时，点B对应的数是； 综上，点所对应的实数是或． 故答案为：或． 知识点06实数的绝对值和大小比较 1．绝对值：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值，记作 $|a|$ ，任何实数的绝对值都是非负数，即 . 2．相反数：绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数； 0 的相反数是 0 .非零实数 的相反数是 ，若 、 互为相反数，则 . 3．绝对值的性质：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数， 0 的绝对值是 0 ，即 ；互为相反数的两个实数的绝对值相等，即 . 4．实数的大小比较： ①数轴法：数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大. ②法则：①负数 正数；②两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小. 5．数轴上两点间的距离公式：在数轴上，如果点 、点 所对应的数分别为 a , b，那么A , B两点的距离 . 将下列各数、、用“”连接：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据实数的大小比较法则解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为： 比较大小：________． 【答案】 【分析】根据“两个负数，绝对值大的反而小”．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴． 题型1 无理数 【例1】下列实数中，属于无理数的是（    ） A． B．3.14159 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）．根据无理数的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．是无理数，故符合题意 B．3.14159是有限小数，属于有理数，故不符合题意； C．是分数，属于有理数，故不符合题意； D．是整数，属于有理数，故不符合题意． 故选：A． 【例2】在下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【分析】本题考查无理数的定义，无理数是指无限不循环小数，根据定义逐一分析每个选项． 【详解】解：∵，2是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是分数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； ∴是无理数的是． 故选：B． 【技巧归纳】 1. 判断无理数：无限不循环小数才是无理数；分数、整数、有限小数、无限循环小数均为有理数. 2. 常见无理数类型：开方开不尽的数、含π的数、构造型无限不循环小数. 3. 区分易混点：带根号不一定是无理数（如），不带根号也可能是无理数（如π）. 4. 估算大小：找相邻整数平方/立方，确定无理数介于哪两个整数之间. 5. 实数分类：先分有理、无理，再细分正负，不重复、不遗漏. 6. 运算要点：无理数加减仅同类可合并；结果保留最简形式. 【变式1-1】实数，，，，（“27”依次不断出现）中，其中无理数是______． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查了无理数的定义，二次根式的化简，求一个数的立方根． 根据无理数的定义逐一判断各数即可． 【详解】解：，其中是无理数，因此是无理数； 是有限小数，是有理数； ，是整数，是有理数． 是有限小数，是有理数． 是无限循环小数，是有理数． 综上所述，无理数是． 故答案为：． 【变式1-2】在实数、、0、、、、、、（位数无限，每两个2之间依次增加一个0）．无理数有________个． 【答案】3 【难度】0.85 【分析】该题考查了无理数，根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，逐一判断每个实数． 【详解】解：是无理数；是整数，是有理数；0是整数，是有理数；π是无理数；是循环小数，是有理数；是分数，是有理数；是有限小数，是有理数；，是有理数；（位数无限，每两个2之间依次增加一个0）是无限不循环小数，是无理数．因此无理数有3个． 故答案为：3． 【变式1-3】在下列各数∶ 中，无理数有_____个． 【答案】5 【难度】0.65 【分析】本题考查无理数，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：在中，无理数有、、、、，共5个． 故答案为：5． 题型2 无理数的大小估算 【例3】如图，若数轴上的点A表示下列四个无理数中的一个，则这个无理数可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题考查了实数与数轴、无理数的估算，根据无理数的估算、实数与数轴的关系即可解答，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：、因为，所以该选项不符合题意； 、因为，所以该选项不符合题意； 、因为，∴，所以该选项不符合题意； 、因为，所以该选项符合题意； 故选：D． 【例4】一个正方形的面积是5，估计它的边长大小在（   ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，无理数的估算，根据正方形的面积公式求出边长，夹逼法求出无理数的范围即可． 【详解】解：∵正方形的面积是5， ∴它的边长为， ∵， ∴； ∴它的边长大小在2与3之间； 故选A． 【技巧归纳】 1.平方法:两数均为正数，分别平方后比大小，平方大的原数大. 2.作差法:两数相减，差大于0则前者大，小于0则后者大. 3.估值法:估算无理数近似值，再直接比较. 4.分母有理化:含分式无理数，先化简再对比. 5.同号规则:正数大于负数;两个负数，绝对值大的数反而小. 【变式2-1】比较大小（用、、、中的一个符号）：_______________2． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查了实数大小的比较，解题的关键是掌握实数的大小的比较方法．通过比较平方数的大小关系推断平方根的大小． 【详解】解：因为，且， 所以，即 ； 故答案为． 【变式2-2】写出一个介于3和4之间的一个无理数：_____．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.94 【分析】本题考查无理数的定义和取值范围，掌握知识点是解题的关键． 考虑无理数的定义和取值范围，选择3和4之间的平方根或圆周率等常见无理数． 【详解】解：无理数是无限不循环小数．由于，，因此、、、、、都是介于3和4之间的无理数． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-3】的十分位上的数字是_______． 【答案】6 【难度】0.65 【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法，求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴ 在 2.6 和 2.7 之间， 故的十分位上的数字为6． 故答案为：6． 题型3 无理数整数部分的有关计算 【例5】若的整数部分和小数部分分别是和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题考查的知识点是估算无理数的大小，解题关键是利用不等式的性质确定出的范围． 先由确定 的整数部分和小数部分，再计算． 【详解】解：， ， ， ， 即， 则整数部分，小数部分， ． 故选：． 【例6】若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题考查了无理数的估算，估算出，从而可得，，即可得出，，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∵的小数部分为a，的小数部分为b， ∴，， ∴， 故选：A． 【技巧归纳】 1.定范围:找出相邻两个整数，确定无理数介于二者之间. 2.判整数部分:区间左侧整数即为该数的整数部分. 3.求小数部分:原数-整数部分. 4.变式计算:结合整数、小数部分列式，直接代值运算. 【变式3-1】已知是两个连续整数，若，则___________． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题主要考查无理数的估算及算术平方根，熟练掌握无理数的估算及算术平方根是解题的关键；首先估算的取值范围，由于，因此，即，从而确定连续整数，；然后计算，并化简为，然后问题可求解． 【详解】解：因为，所以，即． 由于，是两个连续整数，且， 因此，． 则． 故答案为． 【变式3-2】已知，是的小数部分，比较大小: _____ (填“>”、“<”或“=”) 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了无理数的小数部分表示，无理数的大小比较，解题的关键是掌握无理数大小的比较． 表示出无理数的小数部分，利用倒数法和平方法比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴的小数部分为， ，的倒数为7， ， ， ∵， ∴，则， 即， 又∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式3-3】已知是的小数部分，是不大于的最大整数，那么与的和是______． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了无理数的估算，正确估算出各无理数的整数部分成为解题的关键． 先确定 的整数部分，得到小数部分 ，再求不大于 的最大整数 ，最后计算 ． 【详解】解：， 的整数部分为， ． 又 ， 不大于 的最大整数为 ， 即 ． ． 故答案为：． 题型4 实数的分类 【例7】下列说法中，正确的是（   ） A．正实数包括正有理数，正无理数和0； B．实数可以分为正实数和负实数； C．所有有理数都可以对应数轴上的点； D．数轴上的点都对应有理数． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查实数的分类和数轴的性质.通过分析每个选项的定义和性质判断正误． 【详解】解：∵ 正实数是指大于0的实数，不包括0， ∴ A错误； ∵ 实数包括正实数、负实数和0，不能仅分为正实数和负实数， ∴ B错误； ∵ 有理数是实数的子集，数轴上的点与实数一一对应，因此所有有理数都可以对应数轴上的点， ∴ C正确； ∵ 数轴上的点对应所有实数，包括无理数，而并非只对应有理数， ∴ D错误． 故选：C． 【例8】下列四个说法中，正确的有（    ）． （1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数； （3）正实数包括正有理数和正无理数；（4）实数可以分为正实数和负实数两类． A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查实数的分类，根据有理数和无理数的定义判断各说法的正误． 【详解】解：（1）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故（1）的说法错误； （2）无理数是指无限不循环小数，都是无限小数，故（2）的说法正确； （3）正实数包括正有理数和正无理数，故（3）的说法正确； （4）实数包括正实数、负实数和零，故（4）的说法错误． 综上，正确的说法有（2）和（3），共2个． 故选：B． 【技巧归纳】 1.先二分:先区分有理数、无理数，有理数:整数、分数、有限/无限循环小数;无理数:无限不循环小数. 2.辨特例:带根号能开尽、含π化简后为整数/分数的，都归有理数. 3.再细分:按正负,分为正实数、0、负实数,0单独归类. 4.排查漏项:逐个判断，不重复、不遗漏. 【变式4-1】下列说法正确的是（   ） A．任何数都有平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．任何实数不是正实数就是负实数 D．实数与数轴上的点一一对应 【答案】D 【难度】0.65 【分析】根据平方根，无理数，实数与数轴的关系，解答即可. 本题考查实数的基本概念，包括平方根、无理数的性质、实数的分类以及实数与数轴的关系. 【详解】解：∵ 负数没有平方根， ∴ A错误； ∵两个无理数的和不一定是无理数，如， ∴ B错误； ∵ 0是实数，但既不是正实数也不是负实数， ∴ C错误； ∵ 实数与数轴上的点一一对应， ∴ D正确， 故选：D. 【变式4-2】下列说法正确的有________． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥/⑥① 【难度】0.85 【分析】本题考查的是实数的概念，实数与数轴，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 【变式4-3】下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是_________（填序号） 【答案】③④ 【难度】0.65 【分析】本题考查了无理数的概念，二次根式的化简，掌握无理数是指无限不循环小数是解题的关键．根据无理数定义逐一判断即得． 【详解】解：①是有理数； ②是有理数； ③是无理数； ④是无理数； ⑤是有理数； ⑥是有理数； ⑦是有理数． 故答案为：③④． 题型5 实数与数轴 【例9】如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【难度】0.85 【分析】根据数轴上点到原点的距离等于该点所表示实数的绝对值． 本题考查数轴上距离与绝对值的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：∵点A到原点的距离是， ∴， ∴． 故选：C． 【例10】已知数、在数轴上对应的点如图所示，化简________． 【答案】3 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了实数的运算与数轴，算术平方根的非负性，化简绝对值等知识点，正确化简各式是解本题的关键． 观察数轴得：，可得，从而原式变形为，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴ ． 故答案为：3． 【技巧归纳】 1.对应关系:实数和数轴上的点一一对应. 2.位置判断:右边的数总大于左边的数. 3.找点读数:先估算无理数范围，再确定数轴上对应位置. 4.距离计算:两点距离=两数差的绝对值. 5.对称问题:利用中点公式求对称点表示的数. 【变式5-1】下列说法中，正确的是（    ） A．有理数与无理数的积是无理数 B．没有平方根 C．数轴上的每个点都有一个有理数与之对应 D．一个数的立方根与平方根相等，那么这个数只能是0 【答案】D 【难度】0.94 【分析】本题考查平方根，立方根的性质，数轴，有理数与无理数的积，根据相关知识逐一判断即可． 【详解】解：选项A，有理数0与无理数的积为0，是有理数，不符合题意； 选项B，若，则，有平方根，不符合题意； 选项C，数轴上存在无理数点，不与有理数对应，不符合题意； 选项D，若，平方根有两个值，立方根只有一个值，不可能相等；若，平方根不存在，立方根存在；只有时，平方根和立方根均为0，符合题意； 故选D． 【变式5-2】数轴上点A表示的数是，点B在点A的左边，且，那么点B表示的数是______． 【答案】/ 【难度】0.85 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握实数与数轴是解题的关键；根据数轴上点的位置关系，点B在点A左边，且，因此点B表示的数为点A表示的数减去3，然后问题可求解． 【详解】解：点A表示的数为，即，由于点B在点A左边且， 故点B表示的数为； 故答案为． 【变式5-3】（1）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】（1）；（2）1 【难度】0.65 【分析】本题考查了估算无理数的大小及实数与数轴，熟练掌握估算无理数的方法以及会根据数轴判定实数的大小是解题的关键． （1）根据数轴上a的位置，判断出a，b，c的取值范围，然后代入所求的式子中进行化简； （2）先估算出与的大小，从而得到a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：（1）由数轴知，， ∴ ； （2）∵，， ∴，， ∴． 题型6 实数的大小比较 【例11】在、、、中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解题的关键．先将，转换为小数，再根据实数的大小比较法则比较数的大小即可解答． 【详解】解：，， ， 最大的数是． 故选：A ． 【例12】比较大小：_____ 3（填“”或“”或“”）． 【答案】 【难度】0.95 【分析】对于两个正数，可通过比较平方后结果的大小判断原数大小，平方更大的原数更大，据此求解. 【详解】解：∵ ，， 又∵ ， ∴ . 【技巧归纳】 1.正负判断:正数>0>负数;两负数比绝对值，绝对值大的数更小. 2.数轴法:数轴上右侧的数大于左侧. 3.平方法:正数可平方后比较，平方大则原数大. 4.估值法:估算无理数近似值，直接对比. 5.作差法:两数相减，差为正则前者大，反之则小. 【变式6-1】若a为实数，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查实数的大小比较，无理数的估算．先估算，通过计算两式的差值并判断其正负，从而比较大小． 【详解】解：∵，即， ∴， ∵，且， ∴． 故答案为：． 【变式6-2】比较大小：___________3（选填“>”，“<”或“=”）． 【答案】 【难度】0.65 【分析】先判断出，即可判断出，问题得解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了实数的大小比较，正确估算出的取值是解题关键． 【变式6-3】观察下列等式，并回答问题： 第1个； 第2个； 第3个； 第4个； …… (1)化简：_____；这是第_____个等式． (2)第个等式是_____．（用含的式子表示） (3)比较与1的大小． 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.65 【分析】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． （1）根据已知等式的规律可以得到，可以根据规律得到结果． （2）由前4个等式可以猜想第n个等式为． （3）利用作差法比较大小． 【详解】（1）解：根据前4个式子可得：， 这是第个等式． （2）解：由前4个等式可得第n个等式为． （3）解：∵， ∴． 1．（25-26八年级上·上海崇明·期末）已知是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查多项式的运算，理解有理数加或减的结果为有理数是解题的关键．由是有理数，则为有理数，再判断选项即可． 【详解】解：∵为有理数， ∴为有理数， A、∵是无理数， ∴是无理数； B、 ∵，是无理数， ∴是无理数，故整体是无理数； C、∵，是无理数， ∴是无理数，故整体是无理数； D、∵，是有理数， ∴是有理数． 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）下列语句正确的是（    ） A．是5的一个平方根 B．400万有7个有效数字 C．近似数12.8和12.80表示的意义是相同的 D．一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1 【答案】A 【分析】本题考查近似数、有效数字、平方根、立方根，根据它们的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：5的平方根是，故是5的一个平方根，故A正确； B：400万有3个有效数字，故B错误； C：近似数12.8和12.80表示的意义是不同的，12.8精确到十分位，12.80精确到百分位，故C错误； D：一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是0，故D错误． 故选：A． 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列说法中正确的有（    ） ①，，都是无理数；        ②无理数包括正无理数、负无理数和零； ③实数分为正实数和负实数两类；        ④绝对值最小的实数是0； ⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0或1；⑥有理数与数轴上的点一一对应． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的分类，无理数的定义，求一个数的算术平方根和平方根，实数与数轴的关系，根据可判断①；根据0是有理数可判断②；根据0是实数可判断③；根据绝对值的非负性可判断④；根据平方根的定义可判断⑤；根据实数与数轴上的点一一对应可判断⑥． 【详解】解：①是有理数，原说法错误； ②无理数包括正无理数、负无理数，不包括零，原说法错误； ③实数分为正实数、负实数和0三类，原说法错误； ④绝对值最小的实数是0，原说法正确； ⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0，原说法错误； ⑥实数与数轴上的点一一对应，原说法错误； ∴说法正确的只有1个， 故选：A． 4．（25-26八年级上·上海青浦·期中）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数，理解其定义是解题的关键． 根据无理数的定义解题即可． 【详解】解：由图可知，这个无理数在和之间， A：，故该选项不合题意； B：，故该选项符合题意； C：，故该选项不合题意； D：，故该选项不合题意． 故选：B ． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）用科学记数法将保留三个有效数字________． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，有效数字，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先将数据用科学记数法表示，再将其保留三个有效数字即可． 【详解】解：∵用科学记数法表示可得， ∴保留三个有效数字为， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）近似数精确到______位． 【答案】千 【分析】本题考查了科学记数法和有效数字，注意精确到哪一位，即对下一位的数字进行四舍五入．根据近似数的精确度求解即可． 【详解】解：近似数精确到千位． 故答案为：千． 7．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，在数轴上，点与点关于点对称，、两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，对称的性质，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．设点C表示的数为x，根据两点间的距离公式可得到，求解即可得到答案． 【详解】解：设点C表示的数为x， 根据题意，得， 解得， ∴点C所对应的实数为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·上海虹口·期中）比较大小：___________9． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据即可解答，熟知（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）已知、是两个连续的整数，且，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，代数式求值，先估算的取值范围，得出的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵、是两个连续的整数，且， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图（）将一个由个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）．图（）是一个数轴，把图（）中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，点在点右侧，点表示数，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为_________． 【答案】/ 【分析】本题考查图形剪拼的面积不变性，实数与数轴的对应关系，数轴的对称性质，利用“剪拼前后面积不变”求正方形边长是解题关键． 先由剪拼前后面积不变求出正方形边长为​，确定点表示的数为​，再根据翻折的对称性，利用中点公式求出点表示的数． 【详解】解：大正方形旋转后如图所示． 设拼成的正方形边长为， 根据题意可知长方形的面积为， 长方形与拼成的正方形面积相同， ，则， 点与重合， 点在数轴上表示的数为， 点表示数，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处， 设点表示的数为， ， ， 解得， 故点所表示的数为． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）正方形和正方形在数轴上位置如图①所示，其中A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足；点E、F在正半轴上，在数轴上表示的数分别为m、n，且m是64的算术平方根，． (1) _____， _____，线段的长为____； (2)若正方形以6个单位/秒的速度水平向右匀速运动，正方形以2个单位/秒的速度水平向左匀速运动．两者同时出发，设运动时间为t． ①如图2，当正方形在正方形内部（即重叠部分面积等于正方形面积）时，求t的取值范围； ②当正方形运动到点E在正方形的左侧某位置时，，求此时t的值． 【答案】(1)，， (2)①；② 【分析】本题考查了绝对值的非负性，实数与数轴，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是正确用t的代数式表示各点． （1）根据绝对值和平方式的非负性求解即可； （2）①先用t的代数式表示运动后点的所对应的数，再找出两个临界位置求出t值，即可求解取值范围； ②由面积关系得到，再用t的代数式表示，然后建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵m是64的算术平方根， ∴，， ， 故答案为：，，； （2）解：①当点B与F重合时，则， 解得； 当点与点重合时，则， 解得， ∴t的取值范围为； ②∵， ∴， ∴， ∴ 解得． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 实数的相关概念 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 无理数（重点） 题型2 无理数的大小估算 题型3 无理数整数部分的有关计算（重点） 题型4 实数的分类 题型5 实数与数轴（难点） 题型6 实数的大小比较 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 无理数的分类与估算、 实数与数轴、 实数的绝对值、相反数 实数的大小比较 1. 理解无理数的定义，掌握无理数的三类常见形式，能准确辨析有理数与无理数，区分“无限循环小数”与“无限不循环小数”的差异. 2. 理解实数的定义，掌握实数的两种分类方式（按定义分、按正负分），理清数系从有理数扩充到实数的逻辑. 3. 理解实数与数轴一一对应的关系，掌握数轴上实数的位置特征与几何意义，能通过估算确定无理数在数轴上的大致位置. 4. 掌握估算无理数的取值范围，能确定无理数的整数部分与小数部分，并完成相关代数式求值. 学习重点：1. 无理数的概念辨析与识别方法 2. 实数的分类标准与易混概念辨析（0的归类、分数与无理数的区分、正/负实数的范围等）. 3. 用“夹逼法”估算无理数的取值范围，以及无理数整数部分、小数部分的推导与相关计算. 4. 实数的相反数、绝对值的性质，以及实数大小比较的常用方法. 5. 实数与数轴的一一对应关系，数轴上两点距离、对称点的基础计算. 学习难点：1. 无限小数与无理数的关系、带根号的数与无理数的区别. 2. 无理数整数部分与小数部分. 3. 结合数轴的实数符号判断，以及含多重绝对值的代数式化简. 4. 针对不同形式的实数，灵活选用最优方法进行大小比较. 5. 数轴上翻折、动点、图形结合类的实数综合问题的分析与求解. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01有理数的小数形式 1.任何有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式;反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 2.分数与小数的互化 (1)分数化成小数:用分子除以分母，能除尽得有限小数，除不尽得无限循环小数. (2)小数化成分数: ①有限小数:看是几位小数，在1后面添几个0做分母，去掉小数点后的数做分子，再约分. ②纯循环小数:设未知数，利用循环节扩大倍数后列方程求解. ③混循环小数:先分离整数部分和纯循环部分，再按纯循环小数的方法转化. 知识点02无理数 1．概念：无限不循环小数又叫无理数，如 等. 2．特征： （1）小数部分无限. （2）小数部分不循环，不能表示成分数形式. 注意：＂无限循环小数＂和＂无限不循环小数＂的异同：相同点是都是小数；不同点是前者能化成分数（有理数），能用 的形式表示；后者不能化成分数形式，为无理数. 3．性质：被开方数越大，对应的算术平方根也越大，即如果 ，那么 . 无理数的判断方法 （1）概念是判断无理数的重要依据. （2）有理数都可以写成分数（分子、分母都是整数）的形式，而无理数则不能写成分数的形式，如 是无理数，不是分数. （3）根据无理数常见的几种形式来判断，判断前要先将原数化为最简形式. 下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 比较大小：________（填“”“”“”）． 知识点03用计算器求一个正数的算术平方根或求一个数的立方根 1. 用科学计算器求一个正数a的算术平方根的步骤： (1) 按AC/ON开机、清除键； (2) 依次输入. 用计算器求一个正数的算术平方根或求一个数的立方根时，其计算结果有可能是有理数，也可能是无理数.当要求根式的近似值时，一般按保留几位小数的要求用“四舍五入”的方法截取.计算时，需要注意的是按键顺序与计算器的型号有关. 用计算器计算的值大约为（   ） A．3.0482 B．3.0495 C．3.0513 D．3.0525 小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 知识点04实数的概念及分类 1.概念:有理数和无理数统称为实数. 2.分类: 实数分为有理数(正有理数、0、负有理数，即有限小数或无限循环小数)和无理数(正无理数、负无理数，即无限不循环小数);也可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数);还可按性质符号分为正实数(正有理数、正无理数)、0、负实数(负有理数、负无理数)说明:在实数范围内，一个数不是有理数就是无理数. 实数分类有技巧，几个关键要记好 (1)0既不是正实数也不是负实数. (2)所有的分数都是有理数. (3)有些实数是以运算的形式出现的，不要看到带着根号的数就认为它是无理数，要先化简再判断. 下列说法中，正确的是（    ） A．任何实数都有倒数 B．任何实数不是有理数就是无理数 C．任何实数都有平方根 D．任何实数不是正实数就是负实数 下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则_____． 知识点05实数与数轴上的点的关系 实数与数轴上的点一一对应:任意一个实数在数轴上有唯一的对应点;数轴上的每一个点都表示一个实数. 一个无理数在数轴上所对应的点，可以利用这个无理数的近似值(有理数)所对应的点来大致确定. 数轴上点和点表示的数如图所示，且点与点关于点对称，则点表示的数是（　　） A． B． C． D． 在数轴上有两个点和点，点所对应的实数是两点的距离为3，那么点所对应的实数是__________． 知识点06实数的绝对值和大小比较 1．绝对值：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值，记作 $|a|$ ，任何实数的绝对值都是非负数，即 . 2．相反数：绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数； 0 的相反数是 0 .非零实数 的相反数是 ，若 、 互为相反数，则 . 3．绝对值的性质：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数， 0 的绝对值是 0 ，即 ；互为相反数的两个实数的绝对值相等，即 . 4．实数的大小比较： ①数轴法：数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大. ②法则：①负数 正数；②两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小. 5．数轴上两点间的距离公式：在数轴上，如果点 、点 所对应的数分别为 a , b，那么A , B两点的距离 . 将下列各数、、用“”连接：________． 比较大小：________． 题型1 无理数 【例1】下列实数中，属于无理数的是（    ） A． B．3.14159 C． D． 【例2】在下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1. 判断无理数：无限不循环小数才是无理数；分数、整数、有限小数、无限循环小数均为有理数. 2. 常见无理数类型：开方开不尽的数、含π的数、构造型无限不循环小数. 3. 区分易混点：带根号不一定是无理数（如），不带根号也可能是无理数（如π）. 4. 估算大小：找相邻整数平方/立方，确定无理数介于哪两个整数之间. 5. 实数分类：先分有理、无理，再细分正负，不重复、不遗漏. 6. 运算要点：无理数加减仅同类可合并；结果保留最简形式. 【变式1-1】实数，，，，（“27”依次不断出现）中，其中无理数是______． 【变式1-2】在实数、、0、、、、、、（位数无限，每两个2之间依次增加一个0）．无理数有________个． 【变式1-3】在下列各数∶ 中，无理数有_____个． 题型2 无理数的大小估算 【例3】如图，若数轴上的点A表示下列四个无理数中的一个，则这个无理数可能是（    ）． A． B． C． D． 【例4】一个正方形的面积是5，估计它的边长大小在（   ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【技巧归纳】 1.平方法:两数均为正数，分别平方后比大小，平方大的原数大. 2.作差法:两数相减，差大于0则前者大，小于0则后者大. 3.估值法:估算无理数近似值，再直接比较. 4.分母有理化:含分式无理数，先化简再对比. 5.同号规则:正数大于负数;两个负数，绝对值大的数反而小. 【变式2-1】比较大小（用、、、中的一个符号）：_______________2． 【变式2-2】写出一个介于3和4之间的一个无理数：_____．（只需写出一个） 【变式2-3】的十分位上的数字是_______． 题型3 无理数整数部分的有关计算 【例5】若的整数部分和小数部分分别是和，则（   ） A． B． C． D． 【例6】若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【技巧归纳】 1.定范围:找出相邻两个整数，确定无理数介于二者之间. 2.判整数部分:区间左侧整数即为该数的整数部分. 3.求小数部分:原数-整数部分. 4.变式计算:结合整数、小数部分列式，直接代值运算. 【变式3-1】已知是两个连续整数，若，则___________． 【变式3-2】已知，是的小数部分，比较大小: _____ (填“>”、“<”或“=”) 【变式3-3】已知是的小数部分，是不大于的最大整数，那么与的和是______． 题型4 实数的分类 【例7】下列说法中，正确的是（   ） A．正实数包括正有理数，正无理数和0； B．实数可以分为正实数和负实数； C．所有有理数都可以对应数轴上的点； D．数轴上的点都对应有理数． 【例8】下列四个说法中，正确的有（    ）． （1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数； （3）正实数包括正有理数和正无理数；（4）实数可以分为正实数和负实数两类． A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 【技巧归纳】 1.先二分:先区分有理数、无理数，有理数:整数、分数、有限/无限循环小数;无理数:无限不循环小数. 2.辨特例:带根号能开尽、含π化简后为整数/分数的，都归有理数. 3.再细分:按正负,分为正实数、0、负实数,0单独归类. 4.排查漏项:逐个判断，不重复、不遗漏. 【变式4-1】下列说法正确的是（   ） A．任何数都有平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．任何实数不是正实数就是负实数 D．实数与数轴上的点一一对应 【变式4-2】下列说法正确的有________． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【变式4-3】下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是_________（填序号） 题型5 实数与数轴 【例9】如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 【例10】已知数、在数轴上对应的点如图所示，化简________． 【技巧归纳】 1.对应关系:实数和数轴上的点一一对应. 2.位置判断:右边的数总大于左边的数. 3.找点读数:先估算无理数范围，再确定数轴上对应位置. 4.距离计算:两点距离=两数差的绝对值. 5.对称问题:利用中点公式求对称点表示的数. 【变式5-1】下列说法中，正确的是（    ） A．有理数与无理数的积是无理数 B．没有平方根 C．数轴上的每个点都有一个有理数与之对应 D．一个数的立方根与平方根相等，那么这个数只能是0 【变式5-2】数轴上点A表示的数是，点B在点A的左边，且，那么点B表示的数是______． 【变式5-3】（1）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 题型6 实数的大小比较 【例11】在、、、中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【例12】比较大小：_____ 3（填“”或“”或“”）． 【技巧归纳】 1.正负判断:正数>0>负数;两负数比绝对值，绝对值大的数更小. 2.数轴法:数轴上右侧的数大于左侧. 3.平方法:正数可平方后比较，平方大则原数大. 4.估值法:估算无理数近似值，直接对比. 5.作差法:两数相减，差为正则前者大，反之则小. 【变式6-1】若a为实数，则________．（填“”“”或“”） 【变式6-2】比较大小：___________3（选填“>”，“<”或“=”）． 【变式6-3】观察下列等式，并回答问题： 第1个； 第2个； 第3个； 第4个； …… (1)化简：_____；这是第_____个等式． (2)第个等式是_____．（用含的式子表示） (3)比较与1的大小． 1．（25-26八年级上·上海崇明·期末）已知是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）下列语句正确的是（    ） A．是5的一个平方根 B．400万有7个有效数字 C．近似数12.8和12.80表示的意义是相同的 D．一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列说法中正确的有（    ） ①，，都是无理数；        ②无理数包括正无理数、负无理数和零； ③实数分为正实数和负实数两类；        ④绝对值最小的实数是0； ⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0或1；⑥有理数与数轴上的点一一对应． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级上·上海青浦·期中）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）用科学记数法将保留三个有效数字________． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）近似数精确到______位． 7．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，在数轴上，点与点关于点对称，、两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是_____． 8．（25-26八年级上·上海虹口·期中）比较大小：___________9． 9．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）已知、是两个连续的整数，且，则_____． 10．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图（）将一个由个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）．图（）是一个数轴，把图（）中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，点在点右侧，点表示数，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为_________． 11．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）正方形和正方形在数轴上位置如图①所示，其中A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足；点E、F在正半轴上，在数轴上表示的数分别为m、n，且m是64的算术平方根，． (1) _____， _____，线段的长为____； (2)若正方形以6个单位/秒的速度水平向右匀速运动，正方形以2个单位/秒的速度水平向左匀速运动．两者同时出发，设运动时间为t． ①如图2，当正方形在正方形内部（即重叠部分面积等于正方形面积）时，求t的取值范围； ②当正方形运动到点E在正方形的左侧某位置时，，求此时t的值． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $有理数：任何有限小数或无限循环小数 无理数：无限不循环小数 有理数和无理数统称为实数 整数：正整数、0、负整数 实数的概念及分类 按整数、分数划分 分数：正分数、负分数 分类 正实数：正有理数、正无理数 按性质符号划分 0 负实数：负有理数、负无理数 实数的相关概念 实数与数轴上的，点一一对应 定义：绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数：0的相反数是0 相反数 表示：实数a的相反数为一a 性质：若a,b互为相反数，则a十b三0 实数的相反数、绝对值 a, a>0 0, a=0 a<0 实数的大小比较 数轴法：数轴上右边的，点表示的实数总比左边的，点表示的实数大