【人教B版专题01】2026-2027学年第一学期高一数学（第一章 集合及常用逻辑用语）1.1.1集合及其表示方法（7个考点+6道例题+40分钟限时训练）

**基本信息** 高中数学人教版B版高一第一章“集合及其表示方法”同步练，分层覆盖集合核心概念到综合应用，通过基础判断、符号辨析、参数求解构建梯度巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|集合确定性、数集符号等单一知识点|以选择、填空形式考查概念辨析，如集合确定性判断（例题1）| |能力提升层|元素互异性、表示方法等跨知识点|通过数集点集辨析（例题6）强化符号意识，突出易错点| |综合应用层|含参数集合求值、集合关系等综合问题|解答题（如例题5、题9）需推理验证，培养逻辑思维与应用能力|

2026-2027学年第一学期高一数学（人教版B版）第一章 集合及常用逻辑用语 1.1.1 集合及其表示方法 资料目录 一．学习目标与考情分析 二．核心知识点全面梳理 知识点1 集合与元素的基本概念 知识点2 集合中元素的三大特性（必考核心） 知识点3 元素与集合的从属关系 知识点4 常用数集符号（必须熟记） 知识点5 集合的分类 知识点6 集合的两种表示方法 知识点7 集合相等 三、典型例题精讲与详细分析 例题1 集合确定性判断 例题2 常用数集与从属关系判断 例题3 列举法表示集合 例题4 描述法书写集合（基础题型） 例题5 元素互异性求参数（高频重点题型） 例题6 数集与点集辨析（易错题型） 四、本节高频易错点总结 五、课堂限时训练 一、学习目标与考情分析 本节课是高中数学第一章开篇内容，是后续函数、不等式、立体几何等所有章节的语言基础，属于高考必考基础题型。 学习重点为掌握集合的基本概念、元素三大性质、常用数集、列举法与描述法两种表示方法。 学习难点为描述法集合的含义辨析、数集与点集的区分、利用集合元素互异性求解含参数问题，也是高一月考、期中高频易错点。 二、核心知识点全面梳理 知识点1 集合与元素的基本概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些能够确定的、不同的元素所组成的总体叫做集合。 集合通常用大写英文字母表示，元素通常用小写英文字母表示。 不含任何元素的集合叫做空集，空集是特殊集合，记作。 知识点2 集合中元素的三大特性（必考核心） 第一：确定性。对于一个给定的集合，任何一个对象要么是这个集合的元素，要么不是这个集合的元素，标准必须明确，模棱两可的对象不能构成集合。 例如“成绩较好的同学”“接近1的数”标准模糊，不能构成集合；“大于2的整数”标准明确，可以构成集合。 第二：互异性。一个集合中的任意两个元素都是互不相同的，同一个数、同一个对象在集合中只能出现一次。所有含参数的集合求值题目，最后必须检验互异性，舍去使元素重复的参数值，是高中最常见扣分点。 第三，无序性。集合中的元素没有固定排列顺序，元素顺序调换后集合不变。 知识点3 元素与集合的从属关系 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A。 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A。 需要特别注意：属于和不属于符号，只能用于元素和集合之间，不能用于集合与集合之间。 知识点4 常用数集符号（必须熟记） 全体自然数构成的集合，简称自然数集，符号为N，包含数字0和所有正整数。 全体正整数构成的集合，简称正整数集，符号为N*或N+，只包含1、2、3……所有正整数，不含0。 全体整数构成的集合，简称整数集，符号为Z，包含正整数、0、负整数。 全体有理数构成的集合，简称有理数集，符号为Q，包含所有整数和分数。 全体实数构成的集合，简称实数集，符号为R，包含所有有理数和无理数。 知识点5 集合的分类 按照元素个数划分，可以分为三类。 第一类是有限集，集合中元素个数是有限的，可以全部列举出来。 第二类是无限集，集合中元素有无数个，无法全部列举。 第三类是空集，不含任何元素，属于特殊的有限集。 知识点6 集合的两种表示方法 1.列举法：将集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内。 适用场景：元素数量较少、规律简单的有限集合。 书写要求：元素之间用逗号隔开，不重复、不遗漏、无顺序要求。 2. 描述法：用集合中元素所满足的共同特征来表示集合，通用书写格式为大括号内先写代表元素，再写竖线，最后写元素满足的条件。 描述法是考试重点，核心在于区分代表元素： 如果代表元素是单独的字母，代表数集，表示满足条件的所有数字。 如果代表元素是有序数对，代表点集，表示平面内满足条件的所有点。 知识点7 集合相等 如果两个集合包含的元素完全相同，则称两个集合相等，与元素的排列顺序无关。常结合元素互异性考查参数求解问题。 三、典型例题精讲与详细分析 例题1 集合确定性判断 题目：下列各组对象中，能够构成集合的是（ ） A. 班级个子很高的学生 B. 所有大于0且小于5的整数 C. 非常接近2的实数 D. 好看的课外书籍 例题2 常用数集与从属关系判断 题目：判断下列关系是否正确 （1）0∈N （2）∈Q （3）-5∈Z （4）0∉ 例题3 列举法表示集合 题目：用列举法表示“所有小于4的自然数组成的集合” 例题4 描述法书写集合（基础题型） 题目：用描述法表示下列集合 （1）大于3且小于9的所有实数 （2）直线y=3x-2上的所有点 例题5 元素互异性求参数（高频重点题型） 题目：已知集合A={2，a，a-1}，且3∈A，求实数a的值。 例题6 数集与点集辨析（易错题型） 题目：判断下列三个集合的区别 集合1：{x | y=x+1} 集合2：{y | y=x+1} 集合3：{(x，y) | y=x+1} 四、本节高频易错点总结 1.混淆自然数集与正整数集，忘记自然数集包含0。 2.分不清数集、点集，做题看错代表元素导致全盘错误。 3.含参数集合求值，忘记检验元素互异性。 4.乱用属于符号，用在集合与集合之间。 5.误认为空集含有元素，出现0∈这类错误写法。 五、课堂限时训练 2026-2027学年第一学期高一数学（人教版B版）第一章 集合及常用逻辑用语 1.1 集合的概念 课堂限时训练 考试时长：40分钟　满分：66分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法中，正确的为(     ) A. 集合可以用列举法表示 B. C. D. 集合不满足元素的互异性 2.集合用列举法表示为(     ) A. B. C. D. 3.给出下列关系：；；；，其中正确的个数为(     ) A. B. C. D. 4.若，则的取值范围为(     ) A. B. C. 或 D. 或 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知集合，且，则的可能取值有(     ) A. B. C. D. 6.下面四个说法中正确的是(     ) A. 以内的质数组成的集合是 B. 由，组成的集合可表示为或 C. 方程的所有解组成的集合是 D. 与表示同一个集合 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知集合，若，则实数的值是           ． 8.集合用列举法表示            四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知集合． 若，求的值； 若中只有一个元素，求的取值范围； 若中至多有一个元素，求的取值范围． 10.本小题分 集合，，若，且，求实数的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（人教版B版）第一章 集合及常用逻辑用语 1.1.1 集合及其表示方法 资料目录 一．学习目标与考情分析 二．核心知识点全面梳理 知识点1 集合与元素的基本概念 知识点2 集合中元素的三大特性（必考核心） 知识点3 元素与集合的从属关系 知识点4 常用数集符号（必须熟记） 知识点5 集合的分类 知识点6 集合的两种表示方法 知识点7 集合相等 三、典型例题精讲与详细分析 例题1 集合确定性判断 例题2 常用数集与从属关系判断 例题3 列举法表示集合 例题4 描述法书写集合（基础题型） 例题5 元素互异性求参数（高频重点题型） 例题6 数集与点集辨析（易错题型） 四、本节高频易错点总结 五、课堂限时训练 一、学习目标与考情分析 本节课是高中数学第一章开篇内容，是后续函数、不等式、立体几何等所有章节的语言基础，属于高考必考基础题型。 学习重点为掌握集合的基本概念、元素三大性质、常用数集、列举法与描述法两种表示方法。 学习难点为描述法集合的含义辨析、数集与点集的区分、利用集合元素互异性求解含参数问题，也是高一月考、期中高频易错点。 二、核心知识点全面梳理 知识点1 集合与元素的基本概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些能够确定的、不同的元素所组成的总体叫做集合。 集合通常用大写英文字母表示，元素通常用小写英文字母表示。 不含任何元素的集合叫做空集，空集是特殊集合，记作。 知识点2 集合中元素的三大特性（必考核心） 第一：确定性。对于一个给定的集合，任何一个对象要么是这个集合的元素，要么不是这个集合的元素，标准必须明确，模棱两可的对象不能构成集合。 例如“成绩较好的同学”“接近1的数”标准模糊，不能构成集合；“大于2的整数”标准明确，可以构成集合。 第二：互异性。一个集合中的任意两个元素都是互不相同的，同一个数、同一个对象在集合中只能出现一次。所有含参数的集合求值题目，最后必须检验互异性，舍去使元素重复的参数值，是高中最常见扣分点。 第三，无序性。集合中的元素没有固定排列顺序，元素顺序调换后集合不变。 知识点3 元素与集合的从属关系 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A。 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A。 需要特别注意：属于和不属于符号，只能用于元素和集合之间，不能用于集合与集合之间。 知识点4 常用数集符号（必须熟记） 全体自然数构成的集合，简称自然数集，符号为N，包含数字0和所有正整数。 全体正整数构成的集合，简称正整数集，符号为N*或N+，只包含1、2、3……所有正整数，不含0。 全体整数构成的集合，简称整数集，符号为Z，包含正整数、0、负整数。 全体有理数构成的集合，简称有理数集，符号为Q，包含所有整数和分数。 全体实数构成的集合，简称实数集，符号为R，包含所有有理数和无理数。 知识点5 集合的分类 按照元素个数划分，可以分为三类。 第一类是有限集，集合中元素个数是有限的，可以全部列举出来。 第二类是无限集，集合中元素有无数个，无法全部列举。 第三类是空集，不含任何元素，属于特殊的有限集。 知识点6 集合的两种表示方法 1.列举法：将集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内。 适用场景：元素数量较少、规律简单的有限集合。 书写要求：元素之间用逗号隔开，不重复、不遗漏、无顺序要求。 2. 描述法：用集合中元素所满足的共同特征来表示集合，通用书写格式为大括号内先写代表元素，再写竖线，最后写元素满足的条件。 描述法是考试重点，核心在于区分代表元素： 如果代表元素是单独的字母，代表数集，表示满足条件的所有数字。 如果代表元素是有序数对，代表点集，表示平面内满足条件的所有点。 知识点7 集合相等 如果两个集合包含的元素完全相同，则称两个集合相等，与元素的排列顺序无关。常结合元素互异性考查参数求解问题。 三、典型例题精讲与详细分析 例题1 集合确定性判断 题目：下列各组对象中，能够构成集合的是（ ） A. 班级个子很高的学生 B. 所有大于0且小于5的整数 C. 非常接近2的实数 D. 好看的课外书籍 例题2 常用数集与从属关系判断 题目：判断下列关系是否正确 （1）0∈N （2）∈Q （3）-5∈Z （4）0∉ 例题3 列举法表示集合 题目：用列举法表示“所有小于4的自然数组成的集合” 例题4 描述法书写集合（基础题型） 题目：用描述法表示下列集合 （1）大于3且小于9的所有实数 （2）直线y=3x-2上的所有点 例题5 元素互异性求参数（高频重点题型） 题目：已知集合A={2，a，a-1}，且3∈A，求实数a的值。 例题6 数集与点集辨析（易错题型） 题目：判断下列三个集合的区别 集合1：{x | y=x+1} 集合2：{y | y=x+1} 集合3：{(x，y) | y=x+1} 四、本节高频易错点总结 1.混淆自然数集与正整数集，忘记自然数集包含0。 2.分不清数集、点集，做题看错代表元素导致全盘错误。 3.含参数集合求值，忘记检验元素互异性。 4.乱用属于符号，用在集合与集合之间。 5.误认为空集含有元素，出现0∈这类错误写法。 五、课堂限时训练 2026-2027学年第一学期高一数学（人教版B版）第一章 集合及常用逻辑用语 1.1 集合的概念 课堂限时训练 考试时长：40分钟　满分：66分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法中，正确的为(     ) A. 集合可以用列举法表示 B. C. D. 集合不满足元素的互异性 2.集合用列举法表示为(     ) A. B. C. D. 3.给出下列关系：；；；，其中正确的个数为(     ) A. B. C. D. 4.若，则的取值范围为(     ) A. B. C. 或 D. 或 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知集合，且，则的可能取值有(     ) A. B. C. D. 6.下面四个说法中正确的是(     ) A. 以内的质数组成的集合是 B. 由，组成的集合可表示为或 C. 方程的所有解组成的集合是 D. 与表示同一个集合 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知集合，若，则实数的值是           ． 8.集合用列举法表示            四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知集合． 若，求的值； 若中只有一个元素，求的取值范围； 若中至多有一个元素，求的取值范围． 10.本小题分 集合，，若，且，求实数的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（人教版B版）第一章 集合及常用逻辑用语 1.1.1 集合及其表示方法 课堂限时训练 典型例题精讲与详细分析 例题1 集合确定性判断 题目：下列各组对象中，能够构成集合的是（ ） A. 班级个子很高的学生 B. 所有大于0且小于5的整数 C. 非常接近2的实数 D. 好看的课外书籍 解析： 集合的核心要求是元素具有确定性。 选项A、C、D的评判标准模糊，没有统一界定，不满足确定性，无法构成集合。 选项B中，大于0且小于5的整数是确定的，分别为1、2、3、4，可以构成集合。 答案：B 例题2 常用数集与从属关系判断 题目：判断下列关系是否正确 （1）0∈N （2）∈Q （3）-5∈Z （4）0∉ 解析： （1）自然数集包含0，关系正确。 （2）根号2是无理数，不属于有理数集，关系错误。 （3）负整数属于整数集，关系正确。 （4）空集没有任何元素，0不属于空集，关系正确。 例题3 列举法表示集合 题目：用列举法表示“所有小于4的自然数组成的集合” 解析： 自然数包含0，小于4的自然数为0、1、2、3。 所求集合为{0，1，2，3} 例题4 描述法书写集合（基础题型） 题目：用描述法表示下列集合 （1）大于3且小于9的所有实数 （2）直线y=3x-2上的所有点 解析： （1）该集合为数集，代表元素为x，满足3小于x且x小于9，集合表示为{x | 3＜x＜9，x∈R} （2）该集合为点集，代表元素为有序数对，集合表示为{(x，y) | y=3x-2，x∈R} 例题5 元素互异性求参数（高频重点题型） 题目：已知集合A={2，a，a-1}，且3∈A，求实数a的值。 解析： 根据元素属于集合，分两种情况分类讨论： 第一种情况，若a=3。 此时集合A={2，3，2}，出现两个相同元素2，不满足集合元素互异性，舍去该结果。 第二种情况，若a-1=3，解得a=4。 此时集合A={2，4，3}，三个元素互不重复，满足互异性，符合题意。 综上，实数a的值为4。 点评： 本题是本节最经典题型，解题关键是分类讨论后必须检验互异性，很多学生只计算不检验，导致解题扣分。 例题6 数集与点集辨析（易错题型） 题目：判断下列三个集合的区别 集合1：{x | y=x+1} 集合2：{y | y=x+1} 集合3：{(x，y) | y=x+1} 解析： 集合1代表元素为x，表示函数自变量的取值范围，全体实数。 集合2代表元素为y，表示函数函数值的取值范围，全体实数。 集合3代表元素为有序数对，表示直线上所有的点，是点集。 易错总结：判断集合类型，只看大括号内竖线前的代表元素，是区分数集和点集的唯一标准。 2026-2027学年第一学期高一数学（人教版B版）第一章 集合及常用逻辑用语 1.1.1 集合及其表示方法 课堂限时训练 考试时长：40分钟　满分：66分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法中，正确的为(     ) A. 集合可以用列举法表示 B. C. D. 集合不满足元素的互异性 【答案】C  2.集合用列举法表示为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题意，． 故选：． 3.给出下列关系：；；；，其中正确的个数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查元素与集合的关系及特殊集合的表示方法，利用和的定义，逐一分析求解即可． 【解答】 解：对于，为实数，而表示实数集，所以，即正确 对于，为整数，而表示整数集合，所以，即正确 对于，为正自然数，而表示正自然数集，所以，所以错误 对于，因为为无理数，表示有理数集，所以，即错误． 故选B． 4.若，则的取值范围为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查元素与集合的关系、解不含参的一元二次不等式，属于基础题． 根据题意得出，解一元二次不等式，即可求出结果． 【解答】 解：因为， 所以，即， 解得或． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知集合，且，则的可能取值有(    ) A. B. C. D. 【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查元素与集合的关系以及集合中元素的性质，属于基础题． 由，得，或，解出，注意元素具有互异性，可得结论． 【解答】 解：因为，所以或， 若，此时，，符合条件 若，此时或， 当时，，符合条件， 当时，，不满足集合中的元素具有互异性，故舍去． 故选：． 6.下面四个说法中正确的是(    ) A. 以内的质数组成的集合是 B. 由，组成的集合可表示为或 C. 方程的所有解组成的集合是 D. 与表示同一个集合 【答案】AB  【解析】【分析】 本题考查集合的含义和集合中元素的性质，属于基础题， 直接运用集合的含义和集合中元素的性质逐项判断即可． 【解答】 解：以内的质数组成的集合是，故A正确 由集合中元素的无序性知和表示同一集合，故B正确 方程的所有解组成的集合是，故C错误 由集合的表示方法知不是集合，故D错误． 故选AB． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知集合，若，则实数的值是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查集合的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，属于基础题． 推导出或，由此能求出的值，注意集合中的元素满足互异性． 【解答】 解：集合，， 或， 解得或， 时，，不成立， 时，，成立， 的值为． 故答案为：． 8.集合用列举法表示           【答案】  【解析】【分析】 本题考查集合的表示方法，属于基础题． 根据条件，求出集合中的元素，即可求解． 【解答】 解：由且，得到或或或， 所以集合用列举法表示为． 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知集合． 若，求的值； 若中只有一个元素，求的取值范围； 若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】解：集合， 由于，所以是的实数根，故，故； 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，，即，此时原方程的解为，符合题意． 故若中只有一个元素，的取值范围为或； 若中最多有一个元素，则中可能无任何元素或只有一个元素， 由知当时，中只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 故若中最多有一个元素，则的取值范围为或．  【解析】本题主要考查了元素与集合关系的应用，属于基础题． 将代入方程中即可求解的值； 将问题转化为关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 10.本小题分 集合，，若，且，求实数的值． 【答案】解：因为，并且， 所以，解得或， 当时，，不符合，所以不符合题意； 当时，，符合，所以为所求； 所以满足条件的为．  【解析】本题考查了元素与集合的关系，集合元素的确定性以及互异性，属于基础题． 由，并且，得，解得的值，结合的元素确定值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $