辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（一）

**基本信息** 辽宁葫芦岛高二数学期末复习卷，聚焦函数、数列、统计与概率核心内容，通过狄利克雷函数、广告费回归分析等情境，考查数学抽象、数据建模及逻辑推理能力，适配期末综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|正态分布、等比数列、函数单调性|基础概念辨析，如随机变量性质判断| |多选题|3/18|函数零点、统计量、条件概率|多维度能力考查，如盒子抽球概率分析| |填空题|3/15|幂函数、切线方程、恒成立问题|抽象函数与导数结合，如曲线公切线求解| |解答题|5/77|数列求和、线性回归、导数极值、独立性检验|综合应用导向，如七年广告费数据建模、顾客购买意愿概率计算|

辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知随机变量服从正态分布，若，则等于（   ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】C 【难度】0.75 【分析】利用正态分布关于对称的性质，结合已知概率推导所求区间的概率. 【详解】因为随机变量，因此正态曲线的对称轴为， 由对称性可知，， 已知，可得， 对称性知， 所以. 2．下列说法错误的是（      ）． A．若随机变量，则 B．若随机变量，，则 C．样本相关系数的绝对值越接近1，则成对数据的线性相关程度越强 D．样本相关系数的绝对值越接近0，则成对数据的线性相关程度越弱 【答案】B 【难度】0.75 【分析】根据正态分布的对称性以及相关系数与线性相关程度的关系判断即可. 【详解】对于A，因为随机变量，所以其图象关于直线对称， ，根据正态分布的对称性可知，A正确； 对于B，因为随机变量，所以其图象关于直线对称，所以； 因为随机变量，所以其图象关于直线对称，所以； 因此，而不是，B错误； 对于C，样本相关系数是用来衡量两个变量之间线性相关程度的指标，越接近1， 说明两个变量之间的线性关系越明显，即成对样本数据的线性相关程度越强，C正确； 对于D，越接近0，说明两个变量之间的线性关系越不明显，即成对样本数据的线性相关程度越弱，D正确. 3．在各项均为正数的等比数列中，，，则（    ） A．12 B． C．24 D． 【答案】C 【难度】0.75 【分析】利用等比数列的通项公式求解. 【详解】在各项均为正数的等比数列中，，， 所以，解得，此时，所以. 4．德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为若（ ，），则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】结合了狄利克雷函数的定义和基本不等式求最值. 【详解】①当时，．因为，所以． 因为，所以不符合题意． ②当时，．因为， 所以．因为，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值是． 5．设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.64 【详解】因为数列是单调递增数列，所以，，即， 化简得，，当时，有最大值，所以. 6．某班一天8节课，上、下午各4节．现安排上午两节语文课连上，下午两节数学课连上，英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，不同的排法种数是（    ） A．72 B．108 C．216 D．288 【答案】C 【难度】0.59 【分析】先排语文与数学，再通过乘法原理求解即可. 【详解】上午两节语文课连上有三种可能，同理下午两节数学课连上有三种可能， 因为英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，直接全排列，所以有种. 7．若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】D 【难度】0.4 【分析】根据条件结合赋值法计算可得，即可得该函数周期，再利用，则可计算出的值，即可得解. 【详解】因为是奇函数，所以. 由，令，得，故， 由，令，得， 所以，即， 所以，故以4为周期， 由，则，， ，， ，， ，， 所以 . 8．若不等式恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.38 【详解】设． 当时，；当时，． 因为对定义域内的恒成立， 所以在上恒成立，且在上恒成立． 又是开口向上的二次函数，故必为的较大零点． 于是，整理得所以 因为的两根乘积为，所以另一根为 要使在上恒成立，需另一根不大于，即 同时，由于是较大零点，且两根乘积为，所以． 令则，且 由基本不等式得所以 当，即时取等，此时 代回可知的两根为和， 而，，满足在上成立，在上成立． 因此的最小值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数 下列说法正确的是（   ） A．若，则方程有3个不相等的实数根 B．若方程的3个不相等的实数根，则 C．存在实数，使得直线与函数的图像有3个不同交点 D．对任意实数，函数都是奇函数 【答案】ABC 【难度】0.62 【分析】对于A，利用单调研究单调性作出函数图像即可判断，对于B，由得，进而判断B，由得，令，利用导数研究单调性作出函数图像即可判断C，先求即可判断D. 【详解】由题意得：，令，解得或， 由或，由， 所以在单调递增，在单调递减， 又， 作出函数的函数图像： 由图可知：当时，方程有3个不相等的实数根，故A正确； 由得，即， 又， 所以，所以， 所以，故B正确； 由，所以，令， 所以，令， 由或，由， 所以在单调递增，在单调递减， 所以的极大值为，的极小值为， 作出的函数图像： 由图可知：当时，直线与函数的图像有3个不同交点，故C正确； 由， 又，所以为偶函数，当时，为奇函数，故D错误. 10．下列说法正确的是（     ） A．随机变量，则方差 B．2，4，5，7，8，11，15，18的上四分位数是13 C．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是 D．对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，对于样本点对应的残差为 【答案】BCD 【难度】0.55 【分析】由二项分布的方差公式求方差判断A，由上四分位数的定义求分位数判断B，应用分步分类计数及排列组合求任意相邻两个数字的奇偶性不同的六位数的个数、其中相邻情况的个数，再由古典概型求概率判断C，根据样本中心求参数，再由残差的定义确定样本点的残差判断D. 【详解】A：由题设，则，错， B：由题设，数据从小到大排序知上四分位数是，对， C：将中任意相邻两个数字的奇偶性不同的六位数， 有两种情况：奇偶奇偶奇偶、偶奇偶奇偶奇，所以共有种， 其中相邻的情况，如：“奇偶奇偶奇偶”的排列， 共有奇偶相邻对有5个，将安排到其中一个， 再把中的奇数、偶数分别安排到余下的4个位置， 所以共有种， 同理“偶奇偶奇偶奇”的情况也有20种，故共有40种， 综上，在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是，对， D：由题意，可得，则， 当，则，则残差为，对. 11．已知编号为、、的三个盒子，每个盒子内都装有个球（这个球的编号分别为、、）.若第一次先从号盒子内随机抽取个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，观察之后继续放入与球同编号的盒子中，以此类推，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到号球的条件下，第二次也抽到号球的概率为 B．第二次抽到号球的概率为 C．如果第二次抽到的是号球，则它来自号盒子的概率最小 D．按题中规则，经过有限次操作，可以使得每个盒子内都只有与盒子编号相同的球 【答案】AC 【难度】0.42 【分析】分析出第一次抽到号球后，号盒子内球的编号及个数，结合古典概型的概率公式可判断A选项正确；利用全概率公式可判断B选项错误；利用贝叶斯公式可判断C选项正确；假设经过有限次操作，可以使得每个盒子内都只有与盒子编号相同的球，推出矛盾，可判断D错误. 【详解】记第一次取得号球为事件，则， 对于A选项，若第一次抽到号球，则接下来将号球放入号盒子， 此时号盒子中共有个球，其中有个号球， 故在第一次抽到号球的条件下，第二次也抽到号球的概率为，A对； 对于B选项，记第二次取到号球为事件， 由题意可得，， 由全概率公式可得 ，B错； 对于C选项，由条件概率公式可得， ， ， 所以， 故如果第二次抽到的是号球，则它来自号盒子的概率最小，C对； 对于D选项，假设可以达到目标状态，要使1号盒子内的球全部为1号球，需要将原在1号盒子的2号、3号球移出，并从2号、3号盒子移入1号球； 当1号盒子内的球全部变为1号球后，若下一次操作是从1号盒子抽球，则必抽到1号球，该球被放回1号盒子，之后的操作将永远在1号盒子内进行，无法再改变2号和3号盒子的状态； 此时若2号或3号盒子尚未达到目标状态，则永远无法达到；因此，不可能使得每个盒子内都只有与盒子编号相同的球，选项D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 【答案】6 【难度】0.82 【详解】由题意得，，解得，. 13．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________． 【答案】 【难度】0.68 【分析】先求出曲线在处的切线方程，再利用该切线与第二条曲线相切的条件，结合导数的几何意义联立方程求解参数. 【详解】函数的定义域为，求导得 ， 当时，导数值 ，即切线斜率为； 由点斜式得切线方程为，整理为， 设直线与相切于点， 对，求导得， 由导数的几何意义，切点处导数值等于切线斜率，即 ，解得， 因此切点坐标为 ，又切点在切线上， 代入得： ，解得. 14．已知函数（）．对，恒成立，实数的取值范围____________． 【答案】 【难度】0.4 【分析】根据给定条件，等价变形恒成立的不等式，再构造函数，利用导数求出最小值即可. 【详解】，不等式恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使得，即， 当时，，即；当时，，即， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，则， 所以实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(13分）已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【难度】0.64 【分析】（1）由已知可得，，结合等比数列通项公式求，再求关系求，利用等比数列通项公式求结论； （2）结合（1）求出的通项公式，当为偶数时，利用分组求和法结合等差数列求和公式和等比数列求和公式求，再结合所得结果及与关系求为奇数的结果即可. 【详解】（1） 设正项等比数列的公比为，则， 由已知，故， 两式相除得，结合， 解得， 又，故 ，代入可得， 所以，又，得，所以； （2）由（1）得， 为偶数时，， 为奇数时，， 综上，． 16．（15分）某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出（单位：万元）和销售量（单位：万台）的数据如下： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 广告费支出 1 2 4 6 11 13 19 销售量 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 (1)若用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的线性回归方程； (2)若用模型拟合与的关系，可得回归方程，经计算线性回归模型和该模型的分别约为0.75和0.88，请根据的值，判断选择哪个回归模型更好． 参考数据：，.附：，． 【答案】(1) (2)更好 【难度】0.66 【分析】（1）根据线性回归方程相关基本量直接计算即可； （2）根据反映的残差平方和与拟合效果关系进行判断. 【详解】（1）由题意得，， ， ，， 所以， 所以，所以y关于x的线性回归方程为 （2）因为，且越接近于1，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好， 所以选用更好. 17．（15分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线为，求 、的值； (2)若函数有两个极值点，求实数 的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【详解】（1）因为，所以， 则，， 曲线在点处的切线为，即， 因为曲线在点处的切线为，所以，解得. （2）由函数有两个极值点，得方程有两个不同的实数根， 即方程有两个不同的实数根， 则直线与函数的图象有两个不同的交点， ， 令，得 ；令，得 ；令，得 ， 所以函数 在上单调递增，在上单调递减，. 如图所示，当时，， 当时，直线与函数的图象有两个不同的交点， 所以实数 的取值范围为 .    18．（17分）某商场为了解顾客购买手机的意愿，随机调查了位顾客购买手机的情况，得到数据如下表． 购买手机 购买无技术的手机 总计 男性顾客 女性顾客 总计 (1)根据表中数据，判断是否有的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由； (2)从这位男性顾客中随机挑选位，求其中至少有位购买手机的概率（精确到）； (3)为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励元、元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望． 参考公式及数据：①，其中． ②，，，． 【答案】(1)有的把握认为购买手机与顾客的性别有关，理由见解析 (2) (3) 【难度】0.69 【分析】（1）根据题设中的数据计算，结合临界值表可判断的把握认为购买手机与顾客的性别有关； （2）利用对立事件可求至少有位购买手机的概率； （3）先求出的分布列，再根据期望公式可求，或者利用独立事件的期望公式求出. 【详解】（1）作原假设：购买手机与顾客的性别无关，取， 根据题意，代入数据，得 ， 因为，所以否定原假设，即有的把握认为购买手机与顾客的性别有关． （2）由题意得. （3）解法一：由题意得，随机变量的可能取值为 ， 而，， ，， ，， 故的分布列为 期望． 解法二：设第次抽中奖金为（），则， 由题设可得（）的分布列为 从而，而，相互独立， 故． 19．（17分）已知函数（），． (1)若，求的单调区间； (2)若恒成立，求的值； (3)已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值． 【答案】(1)在上单调递增，上单调递减 (2) (3)3 【难度】0.41 【分析】（1）对函数求导，利用导函数的正负求得函数的单调区间. （2）构造新函数，对分类讨论，结合即可得解 （3）利用（2）的结论，通过放缩法得到的上界，再结合时的值，确定的最小值. 【详解】（1）由题意函数，，求导可得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，上单调递减， （2）因为，所以，其中， 令 ，则恒成立，，且， 当时，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，则在上单调递增，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，满足题意； 综上所述． （3）因为，所以， 由（2）可知当时 ，即， 所以当且仅当时取等号，所以，． ， 所以 ，即：对于任意正整数，恒成立， 且因为为整数，且对于任意正整数， 成立， 当时， ，所以不能恒成立， 所以m的最小值为3． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知随机变量服从正态分布，若，则等于（   ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 2．下列说法错误的是（      ）． A．若随机变量，则 B．若随机变量，，则 C．样本相关系数的绝对值越接近1，则成对数据的线性相关程度越强 D．样本相关系数的绝对值越接近0，则成对数据的线性相关程度越弱 3．在各项均为正数的等比数列中，，，则（    ） A．12 B． C．24 D． 4．德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为若（ ，），则的最小值是（   ） A． B． C． D． 5．设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．某班一天8节课，上、下午各4节．现安排上午两节语文课连上，下午两节数学课连上，英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，不同的排法种数是（    ） A．72 B．108 C．216 D．288 7．若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 8．若不等式恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数 下列说法正确的是（   ） A．若，则方程有3个不相等的实数根 B．若方程的3个不相等的实数根，则 C．存在实数，使得直线与函数的图像有3个不同交点 D．对任意实数，函数都是奇函数 10．下列说法正确的是（     ） A．随机变量，则方差 B．2，4，5，7，8，11，15，18的上四分位数是13 C．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是 D．对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，对于样本点对应的残差为 11．已知编号为、、的三个盒子，每个盒子内都装有个球（这个球的编号分别为、、）.若第一次先从号盒子内随机抽取个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，观察之后继续放入与球同编号的盒子中，以此类推，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到号球的条件下，第二次也抽到号球的概率为 B．第二次抽到号球的概率为 C．如果第二次抽到的是号球，则它来自号盒子的概率最小 D．按题中规则，经过有限次操作，可以使得每个盒子内都只有与盒子编号相同的球 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 13．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________． 14．已知函数（）．对，恒成立，实数的取值范围____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(13分）已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 16．（15分）某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出（单位：万元）和销售量（单位：万台）的数据如下： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 广告费支出 1 2 4 6 11 13 19 销售量 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 (1)若用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的线性回归方程； (2)若用模型拟合与的关系，可得回归方程，经计算线性回归模型和该模型的分别约为0.75和0.88，请根据的值，判断选择哪个回归模型更好． 参考数据：，.附：，． 17．（15分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线为，求 、的值； (2)若函数有两个极值点，求实数 的取值范围. 18．（17分）某商场为了解顾客购买手机的意愿，随机调查了位顾客购买手机的情况，得到数据如下表． 购买手机 购买无技术的手机 总计 男性顾客 女性顾客 总计 (1)根据表中数据，判断是否有的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由； (2)从这位男性顾客中随机挑选位，求其中至少有位购买手机的概率（精确到）； (3)为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励元、元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望． 参考公式及数据：①，其中． ②，，，． 19．（17分）已知函数（），． (1)若，求的单调区间； (2)若恒成立，求的值； (3)已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $