大连市2025-2026学年高二下学期数学期末考试模拟（九）

**基本信息** 2025-2026学年大连市高二下学期数学期末模拟卷，以UnitreeG1机器人、新能源汽车等现实情境为载体，覆盖函数、数列、概率统计、导数等核心知识，注重数学建模与逻辑推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、函数性质、数列、概率|结合偶函数单调性（第3题）、机器人销量回归分析（第9题）| |填空题|3题15分|等比数列、函数值域、排列组合|完美归位问题（第14题）考查排列组合应用| |解答题|5题77分|导数应用、统计案例、数列综合、概率分布|新能源汽车调查（第16题）融合独立性检验与回归分析，导数恒成立（第19题）考查逻辑推理|

2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟（九） 高二数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求. 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知命题，则命题p的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．为公差不为0的等差数列的前项和，若，则等于（    ） A．16 B．17 C．15 D．14 5．已知，函数，为奇函数，则（     ） A．13 B．24 C．80 D．240 6．已知函数，若正数a，b，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为（     ） A． B． C． D． 8．若是函数的极大值点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2、 多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在2026年央视春节联欢晚会上，宇树科技旗下UnitreeG1机器人带来的表演节目《武Bot》凭借精彩表现赢得全国观众广泛赞誉.宇树科技是一家专注于高性能四足机器人研发与生产的中国科技企业，UnitreeG1机器人具备轻量化､高敏捷性与高爆发力等特性.现对该机器人在某地区2025年2月至6月期间的销售量统计数据整理如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 销量 42 53 66 109 用最小二乘法得到UnitreeG1的销售量（单位：台）关于月份的经验回归方程为，则（    ） A． B．经验回归方程经过点 C．预测机器人UnitreeG1产品9月份的销量约为151台 D．5月销售量的残差6.1 10．已知函数的导函数为，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的极大值为1 C． D．若存在唯一的整数，使得，则实数 的取值范围为 11．已知定义域为的函数满足，且，则（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为周期函数 D． 第Ⅱ卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，则______． 13．若函数的减区间为，则函数的值域为______． 14．将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，若一个球的号码与放入该球的盒子的号码恰好相同，我们称之为一个“完美归位”，设“完美归位”的个数为X，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知函数 在处取得极值 (1)求的解析式. (2)求在上的最值. 16．随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇. (1)为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了如下列联表： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 30 100 40岁及以上 40 60 100 总计 110 90 200 （i）记选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率为，求的估计值； （ii）依据小概率值的独立性检验，分析选择新能源汽车是否与年龄有关. (2)为了了解该地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为.求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱. 附：（i）在线性回归方程中，，； （ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性很强； （iii），其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17．设数列的前项和为，已知． (1)求的通项公式． (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项（其中成公差不为零的等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 18．为响应年青少年拔尖创新人才培养计划，某高校面向全市中学选拔优秀学生，开设数学、物理、化学、信息技术四门学科科研夏令营活动． (1)若数学组的名学员中恰有人来自同一中学，从这名学员中选取人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望； (2)在学营开幕式的晚会上，数学组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每人答题，答对不少于题则获胜，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率都为，如果甲、乙两位同学想在此次竞答活动中取得轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 19．已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若对恒成立，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟（九）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D A D B C C AC ABD 题号 11 答案 ACD 1．A 【详解】由，可得，解得，故集合; 由，解得，故集合， 故． 2．B 【详解】由全称命题的否定知，命题p的否定为：，. 3．D 【分析】根据给定条件，将不等式转化为不等式组，再结合偶函数及函数单调性求解. 【详解】由上的偶函数满足，得， 不等式，化为或， 而函数在区间上单调递减，则或， 解得或，所以原不等式的解集为. 4．A 【分析】利用等差数列前n项和公式、等差数列项的性质化简已知等式，进而求解k的值. 【详解】设数列公差为，由题设可得. 即，结合,可得 5．D 【分析】根据奇函数的性质求出的值，进而求解即可． 【详解】由， 则， 又函数为上的奇函数，则， 即对任意成立， 整理得 所以，即，结合，解得， 所以，即． 6．B 【分析】由题可知，进而得到，则，再由基本不等式求解即可． 【详解】， 关于点对称，又， 在和单调递减，且时，时，， 又，， ， 又（当且仅当时取等）， 则. 7．C 【分析】先计算教师不站在两端的总排列数，再计算该条件下甲乙相邻的符合条件排列数，两者作商得到所求概率. 【详解】设“甲、乙相邻”为事件A，“教师不站在两端”为事件B，则“教师不站在两端且甲乙相邻”为事件， 因为两端不能站教师，教师只能从中间3个位置选1个，剩余4名学生全排列， 所以； 将甲乙看作1个整体，内部排列有种，此时共4个“元素”（甲乙整体、丙、丁、教师）， 要求教师不站在两端，教师只能从4个元素排列的中间2个位置选1个，剩余3个元素全排列： ， 根据条件概率公式： . 8．C 【分析】根据题意由推得，代入函数解析式消元后，求出导数，根据的取值分类讨论验证，即得参数的范围. 【详解】由求导得， 因是函数的极大值点，则，即， 所以， 若，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故在处取极大值，符合题意； 若，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则在处取极小值，不符合题意； 若，则，在上单调递增，无极值，不符合题意； 则的取值范围是. 9．AC 【分析】根据经验回归方程经过样本中心点可判断AB；把代入经验回归方程可判断C；根据残差的定义可判断D. 【详解】对于A，， 由回归直线方程，且，则，解得，故A正确； 对于B，由数据可知：， 经验回归方程经过点，即经验回归方程过点，故B错误； 对于C，当时，， 故预测机器人UnitreeG1产品9月份的销量约为151台，故C正确； 对于D，对于回归直线方程，令，可得，所以5月销售量的残差，故D错误. 10．ABD 【分析】求得，得到，可判定A正确；求得的单调性，得到的极大值，可判定B正确；由的单调性，结合，可判定C不正确；转化为 由唯一的整数解，结合和的图象，列出不等式组，可判定D正确. 【详解】对于A，由函数，可得， 可得，所以A正确； 对于B，由，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以函数的极大值为，所以B正确； 对于C，因为函数在为单调递减函数，且， 所以，可得，即，可得， 即，所以C不正确； 对于D，由A知，函数在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，；当时，， 画出函数的图象，如图所示， 因为存在唯一的整数，使得，即有唯一的整数解， 又因为表示过点的直线， 当时，此时不等式有无数个整数解，不符合题意，舍去； 当时，如图所示，要使得由唯一的整数解， 则满足，即，解得，所以D正确. 11．ACD 【分析】A选项，因为定义域为R，所以验证，可分别替换，联立方程求解； B选项，取特殊值验证即可； C选项，利用，则为周期函数进行求解； D选项，求得一个周期的和，然后乘以周期数，注意区分剩余的几项. 【详解】依题意：①，定义域为R； 令，①式变形为：， 令，则②； 令，①式变形为：，即：， 用替换，变形得：，则③； A选项，②③联立得：，所以是偶函数，所以A选项正确； B选项，将，代入①式得：， 因为，所以，令， 则时， ，当时， ， 因为，所以不是偶函数，所以B选项错误； C选项， ，用替换得：， 所以是周期为4的函数，所以C选项正确； D选项，由C选项解析可知：是周期为4的函数，所以， 将代入①式得：，即：，所以， 将，代入①式得： ，所以， 所以 ， 则，所以D选项正确. 【点睛】抽象函数的求解，需要反复赋值，再结合奇偶性和周期性进行判断. 12． 【详解】因为数列为等比数列，且各项均为正数，设公比为， 所以，， 由得，即， 解得或（舍）， 所以． 13． 【分析】先根据函数的单调性确定的值，再分析函数的单调性求函数值域. 【详解】因为，， 由题意，函数在上单调递减，在上单调递增，所以. 因为，由. 此时，. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增，故满足题意. 此时， 所以函数的值域为. 14．1 【分析】由题意得，的可能取值为，分别计算其概率，然后利用方差的公式计算即可. 【详解】的可能取值为， ， ， 所以， 则 15．(1) (2)最大值为2，最小值为. 【分析】（1）利用极值点即可得，即可求解； （2）求导，列表得单调性，进而比较极值点与端点处的函数值即可求解. 【详解】（1）． 在时取得极值，所以，， 即且，解得． 检验，时，， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 故在处取得极大值，在处取得极小值． ． （2）由（1）知， 令，解得或； 时，和变化如下： 0 单调递减 单调递增 由上表可知函数在区间上的最大值为2，最小值为. 16．(1)（i）（ii）可以认为选择新能源汽车与年龄有关系 (2)，与线性相关性很强 【分析】（1）（i）根据古典概型计算公式计算求解；（ii）计算根据临界值表判断即可； （2）根据最小二乘法结合题中参考公式计算求解即可判断. 【详解】（1）（i）由题可知，样本中选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的频率为， 由样本估计总体可得选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率. （ii）零假设为：选择新能源汽车与年龄无关， 由列联表中数据代入计算得：， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即可以认为选择新能源汽车与年龄有关系，此推断犯错误的概率不超过. （2）因为，， 所以， 故与线性相关性很强. 17．(1) (2)不存在，理由如下： 由题意可知，和插入个数后，共个数成等差数列，是第1项，是第项， 因此，代入，得，故， 假设存在三项满足条件：成公差不为的等差数列，且成等比数列， 则， 将代入等比条件：， 约去，由得，因此， 整理得：, 将代入上式得：， 即，与公差不为零矛盾，故不存在这样的三项. 【分析】（1）利用及与的递推关系，正确得出； （2）由插入个数后形成等差数列，正确求出公差，假设存在满足条件的三项，结合成等差数列（公差非零）及等比条件，推导得到即，与公差不为零矛盾. 【详解】（1）已知，当时，，解得； 当时，， 两式相减得：，整理得， 因此是首项为、公比为的等比数列，通项公式为：. （2）略 18．(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）根据超几何分布列出分布列，计算数学期望即可； （2）先求每轮答题中取得胜利的概率，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数. 【详解】（1）由题意可知的可能取值有， ，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 3 所以. （2）甲、乙两人在一轮竞赛中总共答对的题数为随机变量 Y ， 由题意可知，每人答 2 题，两人共答 4 题，每道题答对的概率均为,且各题答对与否相互独立， 因此 Y 服从二项分布，则他们在每轮答题中取得胜利的概率为： 设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则，， 由，即，解得， 而，则，所以理论上至少要进行轮答题． 19．(1) (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. (3) 【分析】（1）直接由导数的几何意义求切线方程可得； （2）先对函数求导，再对实数分两类讨论：和，并结合导数与函数单调性关系可得； （3）对不等式进行参数分离可得，再构造函数，利用导数求函数的最大值可得. 【详解】（1）当时，，函数定义域为， 所以， ，切线斜率， 则曲线在点处的切线方程为. （2）因为函数，函数定义域为， 所以， 因为，故，导数符号由决定，分情况讨论： 若时，恒成立，，在上单调递减； 若时，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由不等式化简得：，因，变形得：. 所以对，不等式恒成立. 令，求导得， 当时，，，故，在上单调递减， 因此的最大值为， 故， 即的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $