25.2.1 第1课时直接开平方法教学设计 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦直接开平方法解一元二次方程，通过运动场正方形舞台面积、正方体盒子刷油漆等实际问题导入，引导学生回忆平方根知识，搭建旧知到新知的学习支架，梳理降次转化思想的脉络。 特色在于以现实问题驱动探究，体现“用数学眼光观察现实世界”，通过类比x²=p与(x+n)²=p的解法培养推理意识和运算能力，典例与检测强化“数学语言”表达。实例如正方体盒子问题建立方程模型，归纳解的三种情况。帮助学生养成探究习惯，提升运算能力，为教师提供清晰教学流程和分层练习，提高教学效果。

25.2　降次——解一元二次方程 25.2.1　配方法 第1课时　直接开平方法 教学设计 课题 25．2.1　第1课时　直接开平方法 授课人 教学目标 1.理解解一元二次方程“降次”——转化的数学思想. 2.会用直接开平方法解形如 x²=p 或 (x+n)²=p 或 (mx+n)²=p 的一元二次方程. 3.通过探究用直接开平方法解一元二次方程，培养学生勇于探索的良好学习习惯，会用数学的思维思考现实． 教学重点 熟练而准确地运用直接开平方法解一元二次方程. 教学难点 通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 在运动场正中间搭建一个面积为144平方米的正方形舞台，那么这个正方形舞台的边长是多少米呢？ 【分析】 设这个正方形舞台的边长是x米．由题意列方程，得x2＝144. 【思考】 你会利用平方根的知识解这个方程吗？ 【解】 设这个正方形舞台的边长为x米． 由题意，得x2＝144. 根据平方根的意义，得x＝±＝±12， ∴原方程的解是x1＝12，x2＝－12. ∵边长不能为负数，∴x＝12. 即这个正方形舞台的边长是12米． 通过上面这道题，我相信很多同学已经知道怎样解一元二次方程了，这节课我们一起来系统探究下怎样解一元二次方程. 引入实际问题，帮助学生回忆平方根的定义，并由此引出本节课的学习探究. 探究新知 用直接开平方法解一元二次方程 1.一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体盒子的全部外表面，你能通过列方程算出正方体盒子的棱长吗？ 师生活动：教师适当引导学生寻找题中等量关系并求解： 分析：10个正方体盒子的表面积＝1 500 dm2.若设其中一个正方体盒子的棱长为x dm，则这个正方体盒子的表面积为6x2dm2，可列方程10×6x2＝1500，化简，得x2＝25，开平方，得x＝±5，原方程有两个解，但棱长为正数，所以x＝5．故正方体盒子的棱长为5dm. 结论：这种利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 师生活动：教师指导， 学生自主探究，然后讨论、交流，汇总思想，解答问题. 请你用直接开平方法解下列方程：①x2＝12；②x2－＝0；③2x2－8＝0；④9x2－5＝3. 思考：一元二次方程2x2＋1＝0与1－2x2＝0的解相同吗？为什么？你能总结出ax2＋c＝0型一元二次方程的求解方法吗？ 归纳：一般地，对于一元二次方程ax2＋c＝0，先将它变形为x2＝p的形式，再利用直接开平方法求解， 其中，（1）当p＞0时，方程有两个不等的实数根x1＝－，x2＝； （2） 当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0； （3） 当p＜0时，因为对任意实数x，都有x²≥0，所以方程无实数根． 2.思考：(1)类比方程x2＝25的求解方法，你能解方程(x＋3)2＝5吗？试一试． 由方程(x＋3)2＝5得，x＋3＝±. ∴x1＝－3+，x2＝－3—. (2) 对于(x＋n)2＝p型的方程，你能说说它的基本解法吗？ 师生活动：教师指导，学生通过独立思考，小组合作交流。 归纳：运用直接开平方法可以解形如x2＝p或(x＋n)2＝p的一元二次方程，其实质是利用开平方运算把一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”. 通过题目引发学生思考，检验学生列式与方程化简的能力. 进一步加强学生用直接开方法解方程的能力，让学生直观感受方程的解的三种情况并进行总结. 典例精析 【例】运用开平方法解下列方程： (1)4x2-3=0；(2)(x＋2)2－9＝0. 分析：(1)先把方程化为x2＝a(a≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x＋2)2＝9，则x＋2是9的平方根，从而可以运用开平方法求解． 【解】(1)移项，并将二次项系数化为1，得 x2＝， 由此可得x＝±， 即x1＝，x2＝－. (2)移项，得(x＋2)2＝9. 由此可得x＋2＝±3. ∴x＋2＝3或x＋2＝－3. 即x1＝1，x2＝－5. 【方法总结】用直接开平方法解一元二次方程时，要把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是一个常数p的形式.只有当p为非负数时，方程才有解.当p>0时，要注意开平方的结果取“正、负”两种情况. 【针对训练】解方程：x2+4x+4=1 分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1． 【解】由已知，得：（x+2）2=1 直接开平方，得：x+2=±1 即x+2=1，x+2=-1 所以，方程的两根x1=-1，x2=-3. 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答． 通过例题，加强学生对直接开平方法解一元二次方程的能力，发展学生计算能力. 随堂检测 1．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是（　　） A．x－6＝－4　　　　　　　B．x－6＝4 C．x＋6＝4　　　　　　　　D．x＋6＝－4 答案：D. 2．下列解方程的过程中，正确的是（　　） A．x2＝－2，解方程，得x＝± B．(x－2)2＝4，解方程，得x－2＝2，x＝4 C．4(x－1)2＝9，解方程，得4(x－1)＝±3，x1＝，x2＝. D．(2x＋3)2＝25，解方程，得2x＋3＝±5，x1＝1，x2＝－4 答案：D. 3．填空： （1）方程x2＝0.25的根是___________________． （2）方程2x2＝18的根是________________． （3）方程(2x－1)2＝9的根是_______________． 答案：（1）x1＝0.5，x2＝－0.5； （2）x1＝3，x2＝－3； （3）x1＝2，x2＝－1. 4．解下列方程： （1）x2－81＝0；　　　（2）2x2＝50；　　　 （3）(x＋1)2＝4． 答案：（1）x1＝9，x2＝－9． （2）x1＝5，x2＝－5． （3）x1＝1，x2＝－3． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 【课堂小结】 引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？ 1.方法层面：学习了直接开平方法，体会 “降次” 思想，将一元二次方程转化为一元一次方程求解，感受化归与转化的数学方法。 2.知识内容层面：掌握直接开平方法的适用条件与步骤，理解形如 x2=p，(x+m)2=p（p≥0）的方程解法，归纳可直接开平方的一元二次方程类型。 3.概念联系与区别：明确直接开平方法是解一元二次方程的基础方法，适用于缺少一次项或可整理为 “完全平方式等于常数” 的方程；强调 “p≥0” 是开平方有实数解的前提，与后续配方法、公式法的逻辑关联。 【知识网络】 教学说明：教师可引导学生提炼本节知识及方法，感受解一元二次方程的降次思想方法. 巩固所学知识，加深对一元二次方程相关概念的理解. 作业布置 《课时训练》p3—p4练习题 板书设计 直接开平方法 1.直接开平方法的概念 降次思想：二次方程→一次方程 2.解题步骤 形如 x2=p，(x+m)2=p（p≥0）的方程解法. 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $