精品解析：江苏南京励志高级中学2025-2026学年高二第二学期第四次调研考试数学试卷

励志高级中学2025--2026年度高二年级第二学期第四次调研考试 数学试卷 （时间：120 分钟 满分：150 分） 命题人：查澄贤 审核人：魏首亮 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据百分位数的定义计算对应位置，即可求得第40百分位数． 【详解】首先将该组数据从小到大排列为：，数据总个数， 因为， 因此该组数据的第40百分位数为排列后的第3个数据7． 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，，可得， 若，则，即，解得或， 无法推出一定是，故充分性不成立； 当时，，则，即成立，故必要性成立。 因此“”是“”的必要不充分条件. 3. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数除法化简复数，再求其模长. 【详解】因为，所以. 故选：B 4. 的展开式中，的系数为（ ） A. 60 B. C. 120 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，结合二项展开式的通项公式分析求解. 【详解】由题意可知：的通项为， 且的通项为， 令，解得， 所以的系数为． 故选：A 5. 已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，且与所成的角和与所成的角相等，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面的位置关系，结合空间想象即可得解. 【详解】若，，，则与有可能平行，故A错误； 若，，则可能在内，故B错误； 若，，则，又，则，故C正确； 若，且与所成的角和与所成的角相等，则与有可能相交，故D错误. 故选：C. 6. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 17 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列前项和的性质计算即可. 【详解】设，则， 因为为等比数列，所以仍成等比数列. 易知， 所以,故. 故选:A. 7. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先求出，，，判断A，由条件概率公式和全概率公式依次判断B、C、D选项即可. 【详解】根据题意，甲箱中有2个红球和2个黑球，则，，，故A不正确； 乙箱中有1个红球和3个黑球，则，，，故B不正确； 则有，故C不正确； 则，故D正确； 故选：D 8. 若直线与曲线相切，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算可得，借助导数得到函数的值域即可得解. 【详解】对于，有，令切点为，则切线方程为， 即，即有， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 又当趋向于正无穷大时，趋向于负无穷， 故，即. 故选：A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 将函数图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A. 为奇函数 B. 的最小正周期为 C. 与在上均单调递减 D. 函数在上有5个零点 【答案】CD 【解析】 【分析】诱导公式结合余弦函数性质可判断A；根据周期变换求，由周期公式可判断B；整体代入法求单调区间即可判断C；直接解方程求零点可判断D. 【详解】对A，，显然为偶函数，A错误； 对B，由题知，，则最小正周期，B错误； 对C，由得，在上单调递减， 所以在上单调递减， 由得，在上单调递减， 所以在上单调递减，C正确； 对D，由得， 所以或， 即或， 因为，所以， 所以函数在上有5个零点，D正确. 故选：CD 10. 等差数列中，，，若，，则（ ） A. 有最小值，无最小值 B. 有最小值，无最大值 C. 无最小值，有最小值 D. 无最大值，有最大值 【答案】AD 【解析】 【分析】先利用等差数列的通项公式求得基本量，从而得到，利用它们的表达式进行分析即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 依题意，得，解得， ， ， 当时，有最小值无最大值， 而， 易得，，且， 当时，， 当时，有最大值，无最小值. 故选：AD. 11. 已知定义域为的函数，对任意，都有，且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法计算可得，即A错误；令可得满足偶函数定义，即B正确；取可得，可得为奇函数，即C正确；利用奇函数性质可得，可得D正确. 【详解】令，得，又，所以，故A错误； 令得，，所以，故为偶函数，故B正确； 令，得，所以， 又，所以， 而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故C正确； 由C可得，也即，所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：在求解抽象函数问题时，经常利用赋值法求出函数值，再根据函数的奇偶性进行周期、对称性等性质的判断. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知随机变量服从正态分布，，则______. 【答案】0.1## 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求出概率. 【详解】随机变量服从正态分布，则， . 故答案为：0.1 13. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导并根据单调性得出不等式在恒成立，再构造函数并利用单调性即可求得实数的取值范围. 【详解】对于，则， 因为在区间上单调递增， 所以在恒成立， 显然，所以在恒成立， 令，， 则，所以在上单调递增， 所以，则或（舍去）， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14. 已知点P为内一点，若F为AC中点，G为BC中点，___________．的面积之比为_____________． 【答案】 ①. ②. 5：3：2 【解析】 【分析】整理原式可得，又，可得解第一空；易证GF为三角形ABC的中位线，且，结合第一空结论，可得解第二空 【详解】因为，所以， 因为F为AC中点，G为BC中点， 所以，所以， 所以F、P、G三点共线，且 易知GF为三角形ABC的中位线， 设中PC边上的高为，中PC边上的高为， 所以，而， 所以的面积之比为 故答案为：， 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，， （1）已知G为AF的中点，求证：平面DCF； （2）若直线BF与平面ABCD所成的角为，二面角的余弦值为，求点B到平面DCF的距离． 【答案】（1）证明：取DF的中点K，连接GK、KC，因为G为AF中点，所以，， 因为，，所以，，所以四边形KGBC为平行四边形， 所以，因为平面DCF，平面DCF，故平面DCF； （2） 【解析】 【分析】（1）取DF的中点K，可证明四边形KGBC为平行四边形，即可证明平面； （2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设，求出平面DCF的法向量为，应用公式即可求点B到平面DCF的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，所以FA，AD，AB两两垂直， 以A为坐标原点，AF，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 直线BF与平面ABCD所成的角为，有，设， ， 则，，，，所以，，， 设平面DCF的法向量为，所以，即， 令，则，，所以， 所以，所以，即， 因为，所以点B到平面DCF的距离 16. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边转角得到，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值，即可求解； （2）根据条件及（1）中结果，得到，再利用面积公式及正弦定理边角互换，得到，即可求解. 【小问1详解】 由题可得， 又，所以， 又，则，所以， 得到，又，所以，解得. 【小问2详解】 因为，则， 因为，所以， 所以， ， 所以， 又面积，其中为外接圆的半径， 解得，所以. 17. 某智能制造工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同款精密零件，其中甲生产线产能占总产量的，乙占，丙占；三条生产线的次品率分别为、、，所有零件外观无差异，随机混装入库． （1）随机抽取1件入库零件，求该零件为次品的概率； （2）若抽检发现该零件为次品，求该次品来自甲生产线的概率； （3）现从入库产品中随机独立抽取（，）件产品，记次品数量为，若，求正整数的最大值与最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式整合不同生产线的次品率，计算整体次品概率； （2）利用贝叶斯公式，结合全概率结果计算次品来自甲生产线的条件概率； （3）通过二项分布的相邻概率比值分析，确定使最大的的取值范围，进而得到最值. 【小问1详解】 设表示“零件来自第条生产线”（，对应甲、乙、丙），表示“零件为次品”. 由题意，，，，，，. 由全概率公式，. 【小问2详解】 由贝叶斯公式，. 【小问3详解】 由题意，，故（）. 要使最大，需满足且. 由，得， 化简得，解得，故. 由，得， 化简得，解得，故. 综上，正整数的最小值为，最大值为. 18. 已知抛物线的焦点为． （1）求点到抛物线准线的距离； （2）若过点的直线交抛物线于、两点，求的最小值； （3）设直线与抛物线交于、两点，若，求线段中点到轴的距离的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出角度坐标和准线方程，再求解距离即可. （2）对直线斜率是否存在进行讨论，再结合焦半径公式求解最值即可. （3）利用中点坐标公式并结合题意表示出距离，再利用平面向量数量积的坐标表示得到或，最后分类讨论得到最值即可. 【小问1详解】 由题意得，准线方程为， 则点到抛物线准线的距离为. 【小问2详解】 当斜率不存在时，直线方程为， 设，，联立方程组， 解得，可得， 当斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，由焦半径公式得， 综上可得，的最小值为. 【小问3详解】 如图，作出符合题意的图形， 设直线方程为，设，， 联立方程组，可得， 可得，由韦达定理得， 设线段中点为，由中点坐标公式得， 由题意得线段中点到轴的距离为 ， 而，而， 得到，而， 可得，解得或， 当时，满足，此时， 当时，此时， 解得，此时， 综上可得，线段中点到轴的距离的取值范围为. 19. 已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数为“JC函数”. （1）已知，判断是否是“JC函数”，并说明理由： （2）已知是定义在上的“JC函数”，且在上是严格增函数，判定并证明在上的单调性； （3）若是“JC函数”，且定义域为，已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解？请说明理由. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2）单调递增，证明见解析 （3）没有，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据“JC函数”的定义即可判断. （2）利用函数单调性的判断方法设，得到，即可判断. （3）当时，此时，当时，，即可得到再求的整数解即可. 【小问1详解】 因为不恒成立， 所以不是“JC函数”. 【小问2详解】 在上单调递增. 证明：任取，则， 则， 因为在上单调递增，且， 所以， 所以， 即. 所以在上单调递增. 【小问3详解】 当时，， 此时， 又当时，，所以， 所以 假设方程有正整数解， 则， 要使上式能成立，则必有， 所以， 明显为单调递增函数， 又当时，， 当时，， 故方程没有正整数解. 【点睛】关键点点睛：方法点睛：对于新定义问题，直接模仿定义中的条件来列式计算即可对(1)问求解，然后结合新定义及函数的单调性从而可对（2）问进行求解.对于第（3）问则求整数解需要明白要使有正整数解，必有，再代入数值验证即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 励志高级中学2025--2026年度高二年级第二学期第四次调研考试 数学试卷 （时间：120 分钟 满分：150 分） 命题人：查澄贤 审核人：魏首亮 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 12 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 4. 的展开式中，的系数为（ ） A. 60 B. C. 120 D. 5. 已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，且与所成的角和与所成的角相等，则 6. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 17 7. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ） A. B. C. D. 8. 若直线与曲线相切，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 将函数图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A. 为奇函数 B. 的最小正周期为 C. 与在上均单调递减 D. 函数在上有5个零点 10. 等差数列中，，，若，，则（ ） A. 有最小值，无最小值 B. 有最小值，无最大值 C. 无最小值，有最小值 D. 无最大值，有最大值 11. 已知定义域为的函数，对任意，都有，且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知随机变量服从正态分布，，则______. 13. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________. 14. 已知点P为内一点，若F为AC中点，G为BC中点，___________．的面积之比为_____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，， （1）已知G为AF的中点，求证：平面DCF； （2）若直线BF与平面ABCD所成的角为，二面角的余弦值为，求点B到平面DCF的距离． 16. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的值. 17. 某智能制造工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同款精密零件，其中甲生产线产能占总产量的，乙占，丙占；三条生产线的次品率分别为、、，所有零件外观无差异，随机混装入库． （1）随机抽取1件入库零件，求该零件为次品的概率； （2）若抽检发现该零件为次品，求该次品来自甲生产线的概率； （3）现从入库产品中随机独立抽取（，）件产品，记次品数量为，若，求正整数的最大值与最小值． 18. 已知抛物线的焦点为． （1）求点到抛物线准线的距离； （2）若过点的直线交抛物线于、两点，求的最小值； （3）设直线与抛物线交于、两点，若，求线段中点到轴的距离的取值范围． 19. 已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数为“JC函数”. （1）已知，判断是否是“JC函数”，并说明理由： （2）已知是定义在上的“JC函数”，且在上是严格增函数，判定并证明在上的单调性； （3）若是“JC函数”，且定义域为，已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $