2.2 一元一次不等式 暑期专项练习 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦一元一次不等式解法与应用，以分层训练构建"概念-解法-综合-应用"逻辑链，渗透抽象能力与模型意识 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|4题（4/5/6/12）|定义三要素（未知数次数/系数/整式）|从不等式定义到解集性质，构建概念体系| |解法应用|5题（1/2/11/16）|四步解法（去分母/括号→移项→合并→化1）|解法规则与数轴表示结合，强化运算能力| |函数综合|4题（3/8/13/19）|函数性质转化不等式（k值判断增减性）|一次函数与不等式互化，培养数形结合思维| |实际应用|7题（7/9/10/14/15/17/18）|建模五步法（设元→列不等关系→求解→验证）|从经济/工程问题抽象模型，发展应用意识|

2.2 一元一次不等式 暑期专项练习2025-2026学年北师大版 八年级数学下册 一、单选题 1．不等式的正整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知不等式的解集为，则这个解集在数轴上的表示正确的是（     ） A．   B．   C．   D．   3．已知一次函数中，函数值y随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．已知关于的不等式是一元一次不等式，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．下面是两位同学在讨论一个不等式．根据对话提供的信息，他们讨论的不等式可能是（   ） A． B． C． D． 6．下列式子：①；②；③；④其中一元一次不等式的个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 7．在“学法、知法、守法”活动中，学校组织学生参加法律知识竞赛，竞赛共40道单选题，答对一道得3分，答错或不答扣1分．规定成绩不低于98分为优秀，小明的竞赛成绩为优秀，则小明答对的题数至少为(    ) A．36道 B．35道 C．34道 D．33道 8．已知点在直线上，且，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 9．若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（     ）． A．4 B．3 C．2 D．1 10．有一口水井，井底存了一些水，并且还有泉水不断涌出，每分钟涌出的水量相等．如果用3台抽水机抽水，36分钟可将水抽完；如果用5台抽水机抽水，20分钟可将水抽完．现在要求12分钟内抽完井水，至少需要抽水机的台数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 11．2026年，大同文旅迎来爆发式增长．依托云冈石窟、大同古城等核心，叠加沉浸式演艺、文创“佛小伴”及春节民俗活动引爆市场，全市文旅营收规模持续走高，增速领跑全省．入境游热度以增速领跑全国，重点景区游客接待量与门票收入双增，既彰显了古都文化魅力，也为资源型城市转型注入强劲动能．某文创工作室定制了3000份周边徽章，每份成本为10元．包装运输过程中，有的徽章因磕碰损坏无法售卖．为保障工作室运营，需确保至少的利润．设徽章的销售单价为元/份，则可列不等式为：___________． 12．已知、为实数，若不等式解集为，不等式的解集为________． 13．已知一次函数的图象上有两点和，若，则k的值可以是______． 14．一年一度的校园春季运动会即将拉开帷幕，学校体育教研室准备购买一批体育用品，其中计划同时购买接力棒、标志桶、长绳三种器材计划共40件，已知接力棒每根9元，标志桶每个18元，长绳每根25元，在价格不变的前提下，实际购买接力棒是计划数量的，长绳购进10根，结果实际购进三种器材共30件．且比原计划少支付124元，则实际购进标志桶的数量为______个． 15．若实数，同时满足，，则的值为______． 三、解答题 16．解下列不等式 (1)； (2)． 17．某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回．经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表： 运力（箱/辆） 租金（元/辆） 大货车 45 400 小货车 35 320 (1)若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式； (2)在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用． 18．如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，小凡测量后得到图中给的数据信息，请你帮他解答下列问题： (1)像这样规格的饭碗整齐地叠放在桌面上时，求一摞饭碗的高度（）与饭碗数（个）之间的函数解析式； (2)如果把图中这两摞饭碗整齐地摆放成一摞，这摞饭碗的高度是多少？ (3)如果一摞饭碗的高度超过时容易发生侧翻，请问一摞最多能放多少个碗？ 19．如图，已知直线与直线交于点，直线在轴上的截距为．    (1)求的值； (2)过直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点． ①当时，求点的坐标； ②当时，请通过计算比较与的大小． 20．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别，（为正整数）． (1)写出与的大小关系：____．（填“”“”或“”）； (2)若，求满足这个不等式的的最大值； (3)设有4块长方形甲，3块长方形乙，以及两块面积分别为，的矩形恰好拼成一个矩形图案，如图所示．问：是否存在，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B C B B A C C 1．C 【分析】先按一元一次不等式的解法求解不等式，得到x的取值范围，再找出范围内的正整数，即可得到正整数解的个数． 【详解】解：∵， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∴不等式的正整数解为1，2，3，共3个． 2．D 【分析】在数轴上表示不等式的解集，掌握“大于向右，小于向左，有等号画实心，无等号画空心”的原则． 【详解】解：把，在数轴上表示如图所示．    3．B 【分析】若一次函数的函数值y随x增大而减小，则一次项系数，列不等式求解即可得到m的范围 【详解】解：∵一次函数中，函数值y随自变量x的增大而减小， ∴ ， 解得 4．B 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数次数为1，且未知数系数不为0，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵原不等式是关于的一元一次不等式， ∴满足两个条件： 未知数次数为1，即； 未知数系数不为0，即； 由得，解得或， 又∵，即， ∴． 5．C 【分析】根据两位同学的对话进行判断即可得到答案． 【详解】解：由左边同学的对话可知，讨论的不等式的未知数的系数是负数； 由右边同学的对话可知，讨论的不等式的解集为， 综上，不等式符合他们的讨论． 6．B 【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数次数是1，用不等号连接的整式不等式，逐一判断各式即可． 【详解】解：①，不含未知数，不是一元一次不等式； ②，含有一个未知数 ，未知数次数为1，是一元一次不等式； ③，含有一个未知数 ，未知数次数为1，是一元一次不等式； ④，是等式，不是不等式， 综上，一元一次不等式有②③，共2个． 7．B 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用．根据竞赛得分规则列出不等式，结合题数为正整数的实际意义即可得到答案． 【详解】解：设小明答对了道题，则答错或不答道题． 根据题意，得 去括号整理得 解得 ∵题数为正整数 ∴小明答对题数至少为35道． 8．A 【分析】将点代入直线中,得到m、n的关系式，分别表示代入不等式即可判断的最值； 【详解】解：将点代入直线中， 得，则 将代入中，解得： 将代入中，解得： ∴当，时，=有最大值 故选：A 【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式的综合应用，掌握相关知识点并灵活应用是解题的关键． 9．C 【分析】解题时无需分别解出，直接将方程组两个方程相加得到目标式，再代入不等式求出的取值范围，即可得到最小整数解． 【详解】解：， 由①+②得：， 方程组的解满足， ， 解得， 为整数， 的最小整数解为，故选C． 10．C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 可以设抽水前已涌出水为x，每分钟涌出水为a，每台抽水机每分钟抽水为b，根据题意可列出两个方程，可以得到x与b、a与b之间的关系，最后即可得时间为12分钟时需要的抽水机台数． 【详解】解：设抽水前已涌出水为x，每分钟涌出水的为a，每台抽水机每分钟抽水为b， 根据题意得：， 解得：，， 如果要在12分钟内抽完水，设至少需要抽水机n台，即，代入a、x的值解得：      故如果要在12分钟内抽完水，那么至少需要抽水机8台． 故选：C． 11． 【分析】先求出可正常售卖的徽章数量，再根据总销售额不低于总成本的的不等关系列出不等式． 【详解】解：设徽章的销售单价为元/份， 由题意可得可正常售卖的徽章数量为 份，总销售额为 元． ∵总成本为 元． ∴． 12．/ 【分析】先根据第一个不等式的解集确定一次项系数小于0，得到m和n的数量关系，判断出m的符号，再代入第二个不等式求解即可． 【详解】解：∵不等式解集为， ∴， ∴， ∵不等式解集为， ∴， 解得：， 经检验符合题意， 将代入得，解得：； 将代入不等式， 得：， 化简得， 移项得 ， ∵， ∴， 两边同时除以得：． 13．（答案不唯一） 【分析】根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，将两点坐标代入解析式得到 和 关于的表达式，结合得到的取值范围，任取一个符合条件的的值即可． 【详解】解：将点代入， 可得 ， 将点代入， 可得 ， ， ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为得， 取符合条件的值，例如． 14．6 【分析】设计划购进接力棒数量，根据实际购买比例得到实际接力棒数量，结合实际总件数得到实际标志桶数量的表达式，再根据总费用差列出方程，利用正整数的性质求解即可． 【详解】解：设计划购进接力棒根，实际购进标志桶个， 由题意，实际购买接力棒数量为 （根）， 实际购进长绳根，实际总件数为，因此可得： ， 整理得： ， 设原计划购进标志桶个，则原计划长绳数量为根， 原计划总费用减去实际总费用等于， 列方程得：， 整理得： ， 将 代入上式， 得：， 化简得， 变形得：， ∵是正整数， ∴为整数， 又∵和互质， ∴是的倍数， ∵，解得， ∴， 则，即实际购进标志桶的数量为个． 15． 【分析】根据绝对值的非负性确定的取值范围，去掉第一个绝对值，再分和两种情况讨论，解方程组得到，的值，再计算． 【详解】解：由移项得， 绝对值为非负数， ，即， ， ∴， 将代入，得， 整理得， ①当时，即，得， 此时，代入得， 把代入得，即，矛盾，方程组无解； ②当时，即，得，结合得， 此时，代入得：， 整理得， 把代入得， 解得，即，则，满足和， ∴． 16．(1) (2) 【分析】（1）不等式去括号，移项，合并同类项，将x系数化为1，即可求解； （2）不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，将x系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解：去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． （2）解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 17．(1)（，且为整数） (2)最节省费用的租车方案是租用大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元 【分析】（1）租用大货车x辆，则小货车辆，结合两种货车的租金，即可列出函数关系式； （2）根据“8辆货车可一次将购进的340箱水果全部运回”列出不等式，求出x的取值范围，再根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴y与x的函数关系式为（，且为整数）． （2）解：根据题意，得， 解得， ∵，且为整数， ∴， ∵对于函数，y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最小值，为， 此时， ∴最节省费用的租车方案是租用大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元． 18．(1) (2) (3)10个 【分析】（1）先通过两组数据算出每增加１个碗，高度增加，再求出碗的底座高度，个碗有个叠加高度，据此列出与的关系式； （2）计算时的函数值即可； （3）计算，建立不等式，求x的最大整数解即可； 【详解】（1）解：7只碗比4只碗多3只，高度增加， 每多叠1只碗，加高， 由于碗的只数为，把基数定为， ． （2）解：当时，． 答：摞饭碗的高度是． （3）解：根据题意，得，解得． 为整数， 最大整数解为10， 答：一摞最多能放10个碗． 19．(1)； (2)①或；②时；时，；时， 【分析】（1）根据直线在轴上的截距为，得出，将点代入，即可得出的值； （2）依题意，，根据，列出方程，解方程，即可求解． （3）设与交于点，则,分别求得的长，根据，分类讨论，利用作差法比较大小，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线在轴上的截距为． ∴， 将点代入， 即 解得：， ∴ （2）解：①依题意，， ∵ ∴或， 解得：或 ∴或， ②依题意，， ∵， ∴， 设与交于点，则，解得：，    ∴， 当时， ， 当时，解得：（不合题意） 当时，解得：， 则时； 当时，， ， 当时，即时，， 当时，即时，， 当时，即时，， 综上所述：时；时，；时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 20．(1)； (2)； (3)不存在． 【分析】把和分别用含的代数式表示出来，再求它们的差得到根据是正整数可得，所以可知； 根据、可得：，解不等式求出从而得到的最大值为； （3）根据得到关于的方程，求解得出，因为正整数，所以不存在这样的值． 【详解】（1）解：， ， ， 是正整数， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，， ， ， 解得：， 的最大值为； （3）解：不存在， 理由如下： 如下图所示， ， ， ， ， 整理得：， 解得： 为正整数， 不存在使得． 【点睛】本题主要考查了列代数式、解一元一次方程、整式的乘法、作差法比较两数的大小． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $