1.5 角平分线 暑期专项练习 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 以角平分线性质与判定为核心，通过概念辨析-性质应用-综合拓展的递进式设计，系统培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|4题|定义辨析/判定定理应用|从角平分线定义出发，构建性质与判定的双向逻辑| |性质应用|6题|距离转化/面积法/辅助线（作垂线）|结合三角形内心、直角三角形性质拓展应用场景| |综合证明|3题|全等证明/尺规作图|通过作图与证明强化逻辑推理，建立与全等三角形的联系| |动态拓展|1题|翻折变换/分类讨论|融入动态几何，提升空间观念与问题解决能力|

1.5角平分线暑期专项练习2025-2026学年北师大版 八年级数学下册 一、单选题 1.下列说法错误的是（) A.直角三角形的两个锐角的和是90° B.底角相等的两个等腰三角形全等 C.在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 D.在直角三角形中，如果一个锐角等于60°，那么另一个锐角所对的直角边等于斜边 的一半 2.上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园，要在 公园里修建一座凉亭H,使该凉亭到公路AB、AC、BC的距离都相等，则凉亭H是△ABC 的() A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三角形的内心 D.三角形的外心 3.如图，直线4bC表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离 相等，则可供选择的地址有() A.一处 B.两处 C.三处 D.四处 4.如图，两把相同的直尺的一边分别与射线OB、OA重合，另一边相交于点P,则OP平 分∠BOA的依据是() 试卷第1页，共3页 布p 012345678910 O 夕 A.在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C.线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D.以上均不正确 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交AB,AC 于点D'E,再分别以点D'E为圆心，大于2DE为半径画弧.两弧在∠BAC内相交于 点F,作射线AF交边BC于点G,若CG=4,下列结论正确的是() C E B A,∠CAG=∠B B.AC=BG C.点G到AB的距离为4 D.∠B=30° 6.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,DE=2,则DF 的长是() E B D A.2 B.2.5 C.3 D.4 7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,点E,G分别在边AB,AC上，连 试卷第2页，共3页 接DE,DG,过D作DF LAB于R,已知 DE=DG S.4DG =24 S.AED=16 则aDEF 的 面积为() A.4 B.6 C.8 D.10 8.在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，以小于BC的长为半径画图，分别交AB,BC于点E,F; ②分别以点E、F为圆心，以大于2EF的长为半径画弧，两弧相交于点G: @作甜线G,交4C边于点D若0D-,B-5 则△ABD的面积为() B 15 5 A.2 B.4 C.6 9-2 D 9.如图，三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，且 SAABO:SABCO SAC4O=6:7:8 则 AB:BC:CA 等于() A.1:1:1 B.1:2:3 C.6:7:8 D.3:7:4 试卷第3页，共3页 1O.如图，BD,CD分别是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACF的平分线，且ABIICD, CE平分∠ACB交BD于点E,连接AD.下列结论：①2LBDC=∠BAC;② ∠BEC=90°+∠ABD:③CB=CA;④∠ADB+∠ABC=90°.其中正确的为() D B A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 二、填空题 11,如图，AB‖CD,BE和CE分别平分∠ABC和LBCD,AD过点E,且与AB互相垂直， 点P为线段BC上一动点，连接PE,若AD=8,则PE的最小值为 B D 12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,根据尺规作图的痕迹，BD= 13.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AC上一点，∠ABD=∠CBD,AC=12Cm, 且9soS4=12 ,则点D到AB的距离为 cm 试卷第4页，共3页 14.如图，AB∥CD,∠ABM的角平分线BP交∠HCD的角平分线的反向延长线于点P, 直线PB交CD于点N,若∠HCD-2LBNC=24°，则∠P+∠H= 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AD平分∠BAC,E是AD上一动点 (不与A,D重合)，EF⊥AC于点F.设CE=a,EF=b,BC=c,则下列结论： C ①a-b>0,@cD=-(5-y,③c-b<-F:④2(a+b)2e. 其中正确的结论有 (填写所有结论正确的序号) 三、解答题 16.舞狮是我国优秀的民间艺术.阳光中学计划举办一场舞狮表演.如图是张老师设计的 舞台设计图，为了使舞台中心M到观众区的三条围栏的距离相等，请你帮忙确定舞台中心 M的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）， 围栏 观众区 试卷第5页，共3页 17.如图，DE⊥AB的延长线于E,DF⊥AC于F,若BD=CD,BE=CF,求证：AD 平分∠BAC E B 18.如图，在△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,连接 AD,EF.当AD与EF满足什么条件时，AD是△ABC的角平分线？为什么？ B 19.如图，在△ABC与△ADC中，AB=AD,AC平分∠BAD,AE,AF分别为△ABC, △ADC的高. (I)试说明：∠B=∠D; (2)已知AE=8,求AF的长. 20.己知△ABC为等边三角形，点D是边AC上一动点，连接BD,将△BCD沿BD翻折， 点C的对应点为B. 图1 图2 图3 (1)如图1，若BE⊥BC,CD=2,求线段BE的长； 试卷第6页，共3页 AE (②)如图2，连接4E,若DE所在直线与BC垂直，求CD的值： (3)如图3，过点A的直线I‖BC,射线DE与直线1交于点F.若AB=6,EF=1,求线段 CD的长. 试卷第7页，共3页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 9 10 答案 B D A A A B D 1.B 【分析】根据直角三角形的性质、全等三角形的判定及角平分线的判定定理进行排除选项 即可 【详解】解：A、直角三角形的两个锐角的和是90°，这是直角三角形的性质，故说法正确： B、底角相等的两个等腰三角形不一定全等，因为底边或者腰长不一定相等，故该说法错 误； C、在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，这是角平分线的判 定定理，故说法正确； D、在直角三角形中，如果一个锐角等于60°，则另一个锐角等于30°，所以30°所对的直 角边等于斜边的一半，故该说法正确. 2.C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键. 根据角平分线的性质求解即可. 【详解】解：：△ABC是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭H,使该凉 亭到公路AB、AC、BC的距离都相等，且角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴应建在三条角平分线的交点处，即三角形的内心 故选：C 3.D 【分析】根据角平分线的性质，即可求解， 【详解】解：如图1，作△ABC两内角的角平分线，交于点P,即所求中转站地址： bB/ D 图1 理由：△ABC两内角的角平分线，交于点P, .PE=PF,PD=PF, ∴，PE=PF=PD,即点P到三条公路的距离相等： 答案第1页，共2页 同理可得，如图2，图3，图4，作△ABC两外角的角平分线，交于点P,即所求中转站地 址。 b h. A B B a 图2 图3 图4 综上所述，可供选择的地址有四处 4.A 【详解】解：OP平分∠BOA的依据是：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角 的平分线上. 5.c 【详解】解：由作图得，AG平分∠BAC CG=4, 点G到AB的距离=CG=4,故C正确： 根据题意无法得到∠CAG=∠B,AC=BG,∠B=30°，故A,B,D错误. 6.A 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出DF=DE,从而求出DF的 长 【详解】解：：AD是△ABC的角平分线，且DE L AB,DF⊥AC, :DF=DE, .DE=2, .DF=2. 7.A 【分析】过点D作DH⊥AC,利用角平分线的性质，证得△ADF≌△ADH和 RtADEF≌RtADGH,根据等量代换进行求解. 【详解】解：如图所示，过点D作DH⊥AC交AC于点H, 答案第2页，共2页 B D :AD平分∠BAC,DF⊥AB,DH⊥AC, 、∠FAD=∠HAD,∠AFD=∠AHD=90°， [∠AFD=∠AHD ∠FAD=∠HAD 在和 中， △ADF△ADH AD=AD △ADF≌△ADH(AAS) S.ADF=S.ADH :AD平分∠BAC,DF⊥AB,DH⊥AC, .DF DH, DE=DG 在Rt△DEF和Rt△DHG中， DF DH, Rt△DEF≌Rt△DGH(HL) S.DEF=S.DMG S.AED =S.ADF -S.DEF=16,S.ADG =S.4DH +S.DGH=24 S.4DF-S.DEF =16,S.4DG=S.4DF+S.DEF=24 解得八0gs4 8.B 【分析】根据作图得到BD平分∠ABC,如图所示，过点D作DH⊥AB于点H,由角平分 答案第3页，共2页 3 线的性质定理得到DH=CD= 2,再根据面积的计算公式求解即可. 【详解】解：根据作图可知BD平分∠ABC,如图所示，过点D作DH⊥AB于点H, B :∠C=90°，即DC⊥BC, 2.Dl-CD-3 B-DH= 1 S.ABD= 2*5x315 24, 故选：B 9.c 【分析】本题考查了三角形角平分线的性质与三角形面积公式，掌握同高等底的三角形面 积之比等于底之比是解题的关键 点O是△ABC的内心，到三边的距离相等，三个小三角形的高相等，面积比等于对应底边 AB、BC、CA的长度比， 【详解】解：，O是∠ABC和∠ACB角平分线的交点 ∴点O到AB,BC,CA的距离相等 :三个小三角形△ABO,△BCO,△CAO的高相等 1 SA80= ABx,Sam方Cx,5.coC4xh 面积比S.am:SmSc0等于底边比B:BC:C4 ,已 S480:SBco:S.c4o=6:7:8 .AB:BC:CA=6:7:8 故选：C 10.D 答案第4页，共2页 【分折1由盟意易得∠ABD=∠CBD∠ABC,∠ACD=∠DCF-ACF, ∠ABC=∠BAC,然后可得2∠AG= 2∠ABC+∠B0C,∠BCE+∠DCF=90°，过点D作 DM⊥AB,DN⊥AC,DH⊥BC ∠MAD=∠CAD ,则有 设 ∠ABC=∠BAC=∠ACD=∠DCF=2x,进而根据角平分线的定义及角的和差关系可进行求 解. 【详解】解：：BD,CD分别是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACF的平分线， 1 ∠ABD=∠CBD=∠ABC,∠ACD=∠DCF=∠ACF 2 、ABIICD .∠ABC=∠DCF=∠ACD,∠BAC=∠ACD, .∠ABC=∠BAC, ,CB=CA,故③正确： :∠DCF=∠CBD+∠BDC,∠ACF=∠BAC+∠ABC, Ag-号AC+∠m. .2 ∠ACF-∠ABC=∠BDC,即 1 .2 ∠ABC=∠BDC, 2 ∴2∠BDC=∠BAC，,故①正确： ,CE平分∠ACB CE-LACE-LACB :∠ACB+∠ACF=180°， .2∠BCE+2∠DCF=180°， .∠BCE+∠DCF=90°， .∠BCE+2∠CBD=∠BCE+2∠ABD=90°， .∠BCE+∠CBD+∠BEC=180°， 、∠BEC=180°-（∠CBD+∠BCE)=180°-∠ABD-90°+2∠ABD=90°+∠ABD ,故②正确： 答案第5页，共2页 过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,DH⊥BC. HF ,BD,CD分别是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACF的平分线， .'DM DN DH, .AD平分∠MAC, .∠MAD=∠CAD」 设∠ABC=∠BAC=∠ACD=∠DCF=2x, .∠MAD=∠ADB+x, ∠DCF=∠BDC+x,即2x=∠BDC+x, ∴.∠BDC=x, .∠DAC+∠ACD+∠ADC=I80° .∠DAC=180°-2x-x-∠ADB. .∠ADB+x=180°-2x-x-∠ADB. .2∠ADB-180°-4x, .∠ADB=90°-2x, :.∠ADB+∠ABC=90°-2x+2x=90°，故④正确； 综上所述：正确的有①②③④. 11.4 【分析】过E作EH⊥BC于H,由平行线的性质推出AD⊥CD,由角平分线的性质推出 三EH,DE=EH,得到AE=DE=2AD=4,由垂线段最短得到PE之E,即可 到PE的最小值. 【详解】解过E作EH⊥BC于H, 答案第6页，共2页 B D :ABICD,AD⊥AB, .AD⊥CD, :BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD, .AE =EH DE=EH, G=D-号40=4， .EH=4, PE≥EH, .PE的最小值为4. 12.5 【分析】由勾股定理得到AB=10,DE垂直AB,AD平分∠BAC,得到 ∠BED=90°，DE=C ,继而推导出△1CD三△AED(AAS) 得到ME=6设CD=DE=x, 则BD=8C-CD=8-x,勾股定理得到8-=r+4 解方程即可得到答案。 【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8, 4B=AC2+BC7=10 由题意可知，DE垂直AB,AD平分∠BAC, 、∠AED=∠BED=90°，DE=CD,∠CAD=∠EAD, .∠C=∠AED=90°. :△1CD=△AED(AAS) AE=AC=6. 答案第7页，共2页 .'BE=AB-AE=4, 设CD=DE=x,则BD=BC-CD=8-x, 在RtABDE中，BD=DE2+BE2,得到 (8-x)}2=x2+42 解得x=3 .BD=8-3=5 13.4 【分折】由∠C=90°，5amSa12,可得CD:D=1:2,由CD+4D=12,可求 CD号×12=4，如图，作DE1AB于E:则点D到AB的距离为DE,由角平分线的性质 可得DE=CD=4. 【详解】解：∠C=90°，S.aCm:Sm4=1:2 ÷cD-c40Bc=1:2,可cD:AD-l:2 又：CD+AD=12, 1 CD=2×12=4 3 如图，作DE⊥AB于E,则点D到AB的距离为DE, E D B :∠ABD=∠CBD,DC⊥BC,DE⊥AB, .DE =CD=4. 14.36 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的外角定理，平行线的性质，解题的关键是 熟练掌握相关的性质定理， 答案第8页，共2页 根据角平分线的性质和∠HCD-2LBNC=24°可得∠DC0-∠BNC=12°，再根据三角形的 外角定理分别求出∠P,∠H,进而可求解 【详解】解：如图所示：PO交HM于点E, D 由题意可知： BP平分∠ABM,CO平分∠HCD, ÷∠ABP=∠MBP=∠ABM,∠HCQ=∠DCQ=∠HCD '∠HCD-2∠BNC=24°. .2∠DC0-2∠BNC=24° 即∠DCQ-∠BNC=12° :∠DCQ=∠BNC+∠P .∠P=12°， ABI CD .∴∠BNC=∠ABP=∠MBP ∠MBP是△BPE的一个外角， ∴.∠BEP=∠MBP-∠P=∠BNC-I29 .,∠HEC=∠BEP=∠BNC-I2° :∠HCQ_△HCE 是 的一个外角， ∴.∠H=∠HCQ-∠HEC=∠DCQ-(∠BNC-12)=∠DCQ-∠BWC+12°=12°+12°=24° .∠P+∠H=12°+24°=36° 故答案为：36 15.①②④ 答案第9页，共2页 【分析】直接利用斜边大于直角边对①进行判断；根据角平分线的性质以及等面积法得出 DB=cD,进而得出CD-(5-g,即可荆断@②：利用勾股定理得到CF=后-6，利 用AF>EF得到c-CF>b,从而可对③进行判断：过E点作EH⊥AB于H点，CM⊥AB于 M点，如图。根据角平分线的性质EH=EF,根据等膜直角三角形的性质得到C山=三。 2c, 然后利用CE+EH≥CM得到“ +b② 22‘,从而可对④进行判断。 【详解】解：EF⊥AC, .∠EFC=90°， :.CE>EF, ∴.a-b>0,所以①正确： 过点D作DG⊥AB于点G, C D G :AD平分LBAC,∠ACB=90°， ..DC=DG 二CD AC 二CDAC SACD= :.S。ABD 2ABxDG DBX AC 2 :在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC, .AB=AC CD AC 1 ·DBAB2 即DB=V2CD 又CD+DB=BC=C 答案第10页，共2页 :CD+CD=c 0万(5-水，放@重确： 在RtACEF中，CF=VCE2-EF2=Va2-b, AC=BC, 、AC=C, :AF>EF, ..c-CF>b ∴.c-b>Va2-b2 ,所以③错误： 过E点作EH⊥AB于H点，CM⊥AB于M点，如图， C 平分 B AD ∠BAC ∴EH=EF, :∠ACB=90° cM-48= 1 .CE+EH 2 CM, 0+b2 2, 2a+b)zc, 所以④正确， 16.见解析 【分析】作舞台两个角的角平分线，两条角平分线的交点即为舞台中心M的位置，根据角 平分线的性质可知舞台中心M到观众区的三条围栏的距离相等. 【详解】解：舞台中心M的位置如解图所示. 答案第11页，共2页 舞台中心 围栏 观众区 17.证明：DE⊥AB,DF⊥AC, .△BDE和△CDF都是直角三角形， BD=CD 在ABDE和ACDF中，BE=CF, △BDE≌aCDF(HL), .DE DF, ,AD平分∠BAC 【分析】利用HL证明△BDE≌aCDF,得出DE=DF,根据角平分线的判定定理即可得出 结论 【详解】略. 18.解：当AD垂直平分EF时，AD是△ABC的角平分线； 理由如下：，AD垂直平分EF, .DE DF, DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.AD是△ABC的角平分线 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DE=DF,再根据角平分线的判定定理即可证得 AD是△ABC的角平分线， 【详解】略 19.(1)证明：，AC平分∠BAD, .∠BAC=∠DAC 又，AB=AD,AC=AC, ,△ABC≌△ADC(SAS) ∴.∠B=∠D; 答案第12页，共2页 (2)AF=8 ABC≌△ADC(SAS) 【分析】(1)证明 即可得到结论； (2)根据全等三角形的性质可得∠ACB=∠ACD,，再根据角平分线的性质得到答案， 【详解】(1)略： (2)解：.△ABC≌△ADC, .∠ACB=∠ACD :AE,AF分别为△ABC,△ADC的高，即AE⊥BC,AF⊥CD, .AF=AE, AE=8, .AF=8 20.)3+1 √2+6 (2)2 3042 3)13或1 【分析】(I)过D作DH⊥BC于H,利用含30°的直角三角形的性质、勾股定理等求出 CH,DH,利用翻折的性质以及三角形内角和定理可求出LBDH=∠DBC=4S°，利用等 角对等边可求出BH,即可求解： (2)延长ED交BC于M,在AC上取点F,使AF=EF,利用翻折的性质可求出 ∠BDC=∠BDE=10S°，利用三角形内角和定理求出LEBD=∠CBD=15°，利用等腰三角 形三线合一性质得出BE⊥AC,利用等边对等角和三角形内角和定理求出 ∠BAE=∠AEB=75°，进而求出∠NAE=15°，利用等边对等角和三角形外角的性质求出 ∠EFN=30°，设NE=x,利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理求出AF=EF=2x, NP=5,利用勾股定理求出4柜=-(5+6)，利用含30的直角三角形的性质 DE=CD=2x,即可求解； (3)分点F在A的右侧和左侧两种情况讨论，利用角平分线的性质与判定可证BF平分 ∠AFE,然后利用AAS可证△ABF≌△EBF,得出AF=EF=1,在Rt△ADG、Rt△FDG中， 答案第13页，共2页 利用勾股定理可得出DG2=AD-AG2=FD2-FG,代入数据即可求解. 【详解】(I)解：过D作DH⊥BC于H, :△ABC是等边三角形， ∠C=∠ABC=∠BAC=60°，AB=BC=AC, .∠HDC=30°， DH=CD2-CH=3 ∵翻折， .BE=BC,∠EBD=∠CBD, :BE⊥BC .∠EBD=∠CBD=45°， .∠BDH=45°=∠DBC, BH=DH=3 、BE=BC=BH+CH=V3+I (2)解：如图，延长ED交BC于M,在AC上取点F,使AF=EF, B M .DE⊥BC, ∠CDM=90°-∠ACB=30°， 答案第14页，共2页 翻折， .∠BDC=∠BDE,∠EBD=∠CBD,BE=BC=AB,DE=CD .∠BDC-LCDM+∠BDE=180°. .∠BDC=∠BDE=105°. .∠EBD=∠CBD=180°-∠BDC-∠C=15°， A∠CBE=30°=)∠ABC=∠ABE、 2 AB=BC, .BE⊥AC,，即∠ANE=90°， ,AB=BC=BE,∠ABE=30°， :∠BE=∠ABB-080-∠ABE）=75、 .∠BAC=60°， .∠NAE=∠BAE-∠BAC=15°， AF EF, .∠FEA=∠FAE=15°， .∠EFN=30°， 设WE=x, .'AF EF =2NE =2x, .NF=3x, :AE=VaN2+NE2=2x+3x+2=(2+6)x, ∠NDE=∠CDM=30°，∠DNE=90°， .'CD=DE=2NE=2x, AE2+6 .CD2: (3)解：当F在A的右侧时，如图，过D作DG⊥I于G,过B作BH⊥I于H,BN⊥AD 于N,BM⊥ED延长线于M,连接BF, 答案第15页，共2页 ,翻折， .∠BDC=∠BDE,BC=BE=AB=6,∠C=∠BED=6O°，CD=DE, 又∠CDM=∠EDN, .∠BDM=∠BDN, .'BM=BN, .IBC, .∠HAB=∠ABC=60°=∠BAC,∠CAF=∠C=60°， 又BH⊥I,BN⊥AD, .BH=BN, ∴.BH=BM, ∴.BF平分∠AFE, .∠AFB=∠EFB, :∠CAF=60°，∠BAC=60°，∠BED=60°」 :.∠BAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠BEF=180°-∠BED=120° ∴.∠BAF=∠BEF, 又BF=BF, :△MBF≌aEBF(AAS) .AF EF=1, 设CD=x,则DE=x,AD=6-x, :DG⊥AG,∠CAF=60°」 .∠ADG=30° :AG=}4D=3-1 2 2 答案第16页，共2页 &G=4G-4=2- 在RIAADG中， DG=40-4G=6--3 在aFmG中.0G=Fm-G=k+-(2-」 6--3-j-+-2-j, 30 解得术= 13 .CD= 30 13: 当F在A的左侧时，如图，过D作DG⊥I于G,过B作BH⊥I于H,BN⊥AD于N, BM⊥DE于M,连接BF, E 同理可证BF平分∠HFM, ∴.∠HFB=∠MFB, 又∠EFH=∠AFM, ∴.∠BFE=∠BFA, 又∠BEF=∠BAF=60°，BF=BF, ,△ABF≌△EBF(AAS) .AF=EF=1, 设CD=x,则DE=x,AD=6-x, :DG⊥AG,∠CAG=60°， .∠ADG=30°， 答案第17页，共2页 2, FG-AG+AF=4-1 x, 在a4DG中.DG=A0-4G=6--3- 在RtAFDG中， DG=m-fG=--(4」 6--3-=--(4, 42 解得X= :CD=42 11: 3042 综上，CD的长为13或i. 答案第18页，共2页