1.5角平分线知识点+练习题 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

三角形的证明及其应用第5节角平分线 知识点 （1） 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 。 （2） 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上 。 （3） 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 。 练习题 第1 课时　角平分线的性质与判定 1.如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OB于D,PD=2,则点P到OA的距离是 ( ) A.4　　    B.3　　    C.2　　    D.1 2.把两个同样大小的含30°角的直角三角尺(记作△ABC,△BCD)按如图所示的方式进行摆放,其中M是AB与CD的交点,则可以得到结论:MA的长度等于点M到BC的距离.请用一个你学过的数学定理解释这个结论:______________________. 3.如图,BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于M,PN⊥CD于N,求证:PM=PN. 4.将两个完全一样的三角尺按如图所示的方式摆放,使三角尺的一条直角边分别落在△ABC的边AB,AC上,它们的一个顶点重合于点M,则点M一定在( ) A.∠A的平分线上 B.AC边的高上 C.BC边的垂直平分线上 D.AB边的中线上 5.如图,OC是∠AOB内部的一条射线,P是射线OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,有下列条件:①∠AOC=∠BOC,②PD=PE,③OD=OE,④∠DPO=∠EPO.其中,能判定OC是∠AOB的平分线的有 ( )   A.1个　　    B.2个　　    C.3个　　    D.4个 6.如图,在△ABC中,∠A=73°,∠C=47°,点D是AC上一点,连接BD,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,若DE=DF,则∠DBF的度数是___________. 7.如图,BE,CE分别为△ABC的外角的平分线,EP⊥AM于点P,EQ⊥AN于点Q,ED⊥BC于点D,求证:点E在∠NAM的平分线上. 8.如图,在△ABC中,AB=5,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E,△ABD的面积为5,则DE的长为 ( ) A.1　　    B.2　　    C.3　　    D.5 9.如图,△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线相交于点M,点M到BE的距离为4.若AB=7,BC=9,则四边形ABCM的面积为__________. 10.如图,△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=6 cm,动点P从点C出发,以每秒2 cm的速度向点A运动,设运动时间为t秒.当t=_________时,BP恰好平分∠ABC. 11.如图,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接EF交AD于点G. (1)求证:AD垂直平分EF. (2)若∠BAC=60°,猜想DG与AG有何数量关系,并说明理由. 12.我们定义:如图1,在四边形ABCD中,如果∠A=α,∠C=180°-α,对角线BD平分∠ABC,那么我们称这种四边形为“分角对补四边形”. (1)特例感知:如图1,在“分角对补四边形”ABCD中,当α=90°时,根据教材中一个重要知识直接可得DA=DC,这个知识是__________(填序号). ①垂线段最短;②垂直平分线的性质;③角平分线的性质;④三角形内角和定理. (2)猜想论证:如图2,当α为任意角时,猜想DA与DC的数量关系,并给出证明. (3)探究应用:如图3,在等腰△ABC中,∠A=100°,BD平分∠ABC,求证:BD+AD=BC. 第2 课时　三角形三条内角的平分线 1.如图,为了促进黄浦区的旅游发展,某村要在三条公路围成的一块三角形平地(记作△ABC)上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,则度假村应建在△ABC的 ( ) A.三条中线的交点处 B.三条角平分线的交点处 C.三条高线的交点处 D.以上都不对 2.如图,在△ABC中,∠A=100°,P是△ABC内一点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,若PD=PE=PF,则∠BPC的度数为 ( )   A.110°　　    B.120°　　    C.130°　　    D.140° 3.如图所示,点O是△ABC的角平分线AO和BO的交点,AB=15,BC=14,AC=13,OD⊥BC,OD=4,求△ABC的面积. 4.如图,O是△ABC的三条角平分线的交点,连接OA,OB,OC,若△OAB,△OAC,△OBC的面积分别为S1,S2,S3,则下列关系正确的是 ( ) A.S1+S2=S3　　　    B.S1+S2>S3 C.S1+S2<S3　　　    D.S1+S2=2S3 5.如图1,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC,分别交AB,AC于点E,F. (1)求证:△BEO是等腰三角形. (2)若AB=5,AC=4,求△AEF的周长. (3)如图2,过点O作OG⊥BC于点G,连接OA,当∠BAC=60°时,求∠OAB的度数. 6.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,过点D作DE⊥AB,垂足为E.求证:∠BAC=2∠BDE. 7.如图,△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,过A点的直线EF∥BC,且AE=AF,求证:DE=DF. 8.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,CE⊥AB于点E.求证:∠CAD=∠BCE. 9.如图,BD与CE相交于点A,且AB=AC,AD=AE,△ABC的中线AG的反向延长线交DE于点F,则AF与DE垂直吗?为什么? 10.如图,在△ABC中,AB=AC,E为AC上任意一点,延长BA到点D,使得AD=AE,连接DE,求证:DE⊥BC. 11.如图,等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,CD⊥BF,交BF的延长线于点D,求证:BF=2CD. 12.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B.求证:AC+CD=AB. 13.如图,点F,G是OA上的两点,点M,N是OB上的两点,且FG=MN,△PFG和△PMN的面积相等.试判断点P是否在∠AOB的平分线上,并说明理由. 14.如图,已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角尺的直角顶点P沿射线OM滑动,两直角边分别与OA,OB交于点C,D.求证:PC=PD. 15.如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,求△ABD与△ACD的面积之比. 16.如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D是AB上一点,连接CD,作AE⊥CD交CD的延长线于点E,且AE=CD,BD=8 cm.求点D到AC的距离. 17.如图,AD为△ABC的中线,DE,DF分别是△ADB和△ADC的角平分线.求证:BE+CF>EF. 答案 第1 课时　角平分线的性质与判定 1.C 2.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 3.证明　∵BD为∠ABC的平分线, ∴∠ABD=∠CBD,在△ABD和△CBD中,  ∴△ABD≌△CBD(SAS), ∴∠ADB=∠CDB, ∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD, ∴PM=PN. 4.A 5.D 6.30° 7.∵BE,CE分别为△ABC的两个外角∠CBM,∠BCN的平 分线,EP⊥AM,ED⊥BC,EQ⊥AN, ∴EP=ED,EQ=ED, ∴EP=EQ, 又∵EP⊥AM,EQ⊥AN, ∴点E在∠NAM的平分线上. 8.B 9.32 10.2.5 11.证明    (1)证明:∵AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90°, ∴∠DEF=∠DFE,点D在EF的垂直平分线上, ∴∠AEF=∠AFE, ∴AE=AF, ∴点A在EF的垂直平分线上, ∴AD垂直平分EF. (2)AG=3DG.理由:∵∠BAC=60°,AD平分∠BAC, ∴∠EAD=30°, ∴AD=2DE,∠EDA=60°, ∵AD⊥EF, ∴∠EGD=90°, ∴∠DEG=30°, ∴DE=2DG, ∴AD=4DG, ∴AG=3DG. 12.解析    (1)∵BD平分∠ABC,∠BAD=90°,∠BCD=180°-90°=90°, ∴DA=DC.运用的数学知识是角平分线的性质.故答案为③. （2）DA=DC.证明:如图1,过D作DE⊥BA交BA的延长线于点E,DF⊥BC于点F, ∵BD平分∠EBF,DE⊥BE,DF⊥BF, ∴DE=DF,∠E=∠DFC=90°, ∵∠BAD+∠C=180°,∠BAD+∠EAD=180°, ∴∠EAD=∠C, ∴△DEA≌△DFC(AAS), ∴DA=DC. (3)证明:如图2,在BC上截取BG=BD,连接DG,由题意知AB=AC,∠A=100°, ∴∠ABC=∠C=40°. ∵BD平分∠ABC, ∴∠DBG=∠ABC=20°. ∵BD=BG, ∴∠BGD=∠BDG=×(180°-20°)=80°, ∴∠A+∠BGD=180°, 由(2)的结论得AD=DG, ∵∠BGD=∠C+∠GDC, ∴∠GDC=40°=∠C, ∴DG=CG, ∴AD=DG=CG, ∴BD+AD=BG+CG=BC. 第2 课时　三角形三条内角的平分线 1.B 2.D 3.如图,连接OC,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F, ∵点O是△ABC的角平分线AO和BO的交点,OD⊥BC,OE⊥ AB,OF⊥AC, ∴OD=OE=OF, ∵OD=4, ∴OE=OF=4, ∵AB=15,BC=14,AC=13, ∴S△ABC=×15×4+×14×4+×13×4=84. 4.B 5. (1)证明:∵BO平分∠ABC, ∴∠OBC=∠OBE, ∵EF∥BC, ∴∠EOB=∠OBC, ∴∠EOB=∠OBE, ∴△BEO是等腰三角形. (2) ∵∠EOB=∠OBE, ∴BE=OE,同理,CF=OF, ∴△AEF的周长=AE+OE+AF+OF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=5+4=9. (3)如图,过O作OM⊥AB于M,ON⊥AC于N, ∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,OG⊥BC, ∴OM=OG,ON=OG, ∴OM=ON, ∵OM⊥AB,ON⊥AC, ∴AO平分∠BAC, ∴∠OAB=∠BAC=×60°=30°. 6.证明　如图,连接AD, ∵AB=AC,点D是BC的中点, ∴AD⊥BC,∠BAC=2∠BAD, ∴∠ADE+∠BDE=90°, ∵DE⊥AB, ∴∠BAD+∠ADE=90°, ∴∠BDE=∠BAD, ∵∠BAC=2∠BAD, ∴∠BAC=2∠BDE. 7.证明　如图,连接AD. ∵AB=AC,点D是BC的中点, ∴AD⊥BC, ∵EF∥BC, ∴AD⊥EF, ∴∠DAE=∠DAF=90°, 又AE=AF,AD=AD, ∴△ADE≌△ADF, ∴DE=DF. 8.证明　在△ABC中,AB=AC, ∴∠B=∠ACB, ∵AD是BC边上的中线, ∴AD⊥BC, ∴∠ADC=90°, ∴∠CAD+∠ACD=90°, ∵CE⊥AB, ∴∠BEC=90°, ∴∠ECB+∠B=90°, ∴∠CAD=∠BCE. 9.AF⊥DE. 理由:∵AB=AC,AG是中线, ∴AG平分∠BAC,即∠BAG=∠CAG, 又∵∠EAF=∠CAG,∠DAF=∠BAG, ∴∠EAF=∠DAF,即AF平分∠EAD, 又∵AE=AD, ∴AF⊥DE. 10.证明　如图,过点A作AM⊥BC于点M,   ∵AB=AC, ∴∠BAC=2∠BAM, ∵AD=AE, ∴∠D=∠AED, ∴∠BAC=∠D+∠AED=2∠D, ∴∠BAM=∠D, ∴DE∥AM, ∵AM⊥BC, ∴DE⊥BC. 11.如图,延长CD交BA的延长线于点T.   易知∠ABF+∠FBC+∠FCB=∠FBC+∠FCB+∠FCD=90°, ∴ ∠ABF=∠FCD, 在△BAF和△CAT中,∠ABF=∠ACT,BA=CA,∠BAF=∠CAT=90°, ∴△BAF≌△CAT(ASA), ∴BF=CT, ∵BD平分∠CBT, ∴∠CBD=∠TBD,易知∠CBD+∠BCD=90°,∠TBD+∠T=90°, ∴∠BCT=∠T, ∴BC=BT, ∴DC=DT, ∴BF=CT=2CD. 12.证明　如图,在AB边上截取AE,使AE=AC,连接DE. ∵AD平分∠BAC, ∴∠EAD=∠CAD. 在△ADE和△ADC中,  ∴△ADE≌△ADC(SAS), ∴ED=CD,∠AED=∠C. ∵∠AED=∠B+∠EDB, ∴∠C=∠B+∠EDB. 又∵∠C=2∠B, ∴∠B=∠EDB, ∴BE=DE, ∴BE=CD, ∴AB=AE+BE=AC+CD,即AC+CD=AB. 13.解析　点P在∠AOB的平分线上. 理由:如图,过点P作PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.   ∵S△PFG=FG·PD,S△PMN=MN·PE,S△PFG=S△PMN, ∴FG·PD=MN·PE. 又∵FG=MN,∴PD=PE, 14.证明　如图,过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F, ∴∠PEC=∠PFD=90°.  ∵OM是∠AOB的平分线, ∴PE=PF. ∵∠AOB=90°,∠CPD=90°, ∴∠PCE+∠PDO=360°-90°-90°=180°. ∵∠PDO+∠PDF=180°, ∴∠PCE=∠PDF. 在△PCE和△PDF中,  ∴△PCE≌△PDF(AAS), ∴PC=PD. 15.如图,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点F. ∵AD平分∠BAC, ∴DE=DF. ∵S△ABD=AB·DE=×4DE=2DE, S△ACD=AC·DF=×3DF=DF, ∴S△ABD∶S△ACD=2DE∶DF=4∶3, 即△ABD与△ACD的面积之比为4∶3. 16.在△ABF和△CBD中,  ∴△ABF≌△CBD(ASA), ∴AF=CD. ∵AE=CD, ∴AE=AF=EF. 在△ACE和△FCE中,  ∴△ACE≌△FCE(SAS), ∴∠ACE=∠FCE,即CD平分∠ACB. 又∵DM⊥AC,∠ABC=90°,BD=8 cm, ∴DM=DB=8 cm,即点D到AC的距离为8 cm. 17.证明　如图,在AD上截取DH,使DH=BD,连接EH,FH. ∵AD是BC边上的中线, ∴BD=CD,即BD=CD=DH. ∵DE平分∠ADB, ∴∠BDE=∠HDE. 又∵DE=DE, ∴△BDE≌△HDE(SAS), ∴BE=HE. 同理可得△CDF≌△HDF(SAS), ∴CF=HF. 在△HEF中,∵HE+HF>EF, ∴BE+CF>EF. 1 学科网（北京）股份有限公司 $