2.1 不等式及其基本性质 暑期专项练习 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 以“概念-性质-应用”为逻辑主线，通过分层题型系统训练不等式基础认知与综合迁移能力，渗透抽象思维与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-3、填空12|定义辨析法、解的验证法|从不等式定义生成解的概念，通过比较大小强化不等关系认知| |性质应用|单选4-8、填空13-15|性质迁移法、符号分析法|以不等式基本性质为核心，结合数轴、坐标系实现数形转化| |综合拓展|单选9-11、填空16、解答17-21|分类讨论法、建模转化法|通过新定义（正巧数）、最值问题、几何应用构建知识网络，发展创新意识与应用能力|

2.1 不等式及其基本性质 暑期专项练习2025-2026学年 北师大版八年级数学下册 一、单选题 1．下列各数中，是不等式的解的是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．若x的3倍不大于5，下列表示正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列选项中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 4．设“▲”“●”“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲，●，■这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（     ） A．■，●，▲ B．▲，■，● C．■，▲，● D．●，▲，■ 5．下列事件中，是随机事件的是（　　） A．任意画一个三角形，其内角和是 B．是不等式的解 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 D．从装满红球的袋子中取出白球 6．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若，则下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点所在象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．十五个整数，，，…，依次排列在数轴上．这些整数呈等距排列，并且具有以下特性，，． 问的各位数字之和是多少？ A．8 B．9 C．10 D．11 E．12 10．若满足关系式，则的值为（    ） A． B．6 C．2 D． 11．已知关于的整式，其中，，，为自然数，与为正整数．若，下列说法： ①满足条件的整式中有且只有1个二次三项式； ②当时，所有满足条件的整式的和为； ③当为三次二项式时，所有满足条件的整式共有9个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 12．比较大小，用“”或“”填空：若，且，则_______． 13．假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为，则的取值范围为__________． 14．已知，为有理数，，分别表示的整数部分和小数部分，且，则______． 15．若关于的一元一次不等式的解集为，则必须满足的条件是______． 16．当常数____时，式子的最小值是． 三、解答题 17．如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，，因此8，16，24都是“正巧数”． (1)写出一个30到50之间的“正巧数” (2)设两个连续正奇数为和（其中是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由，如果不能，请举例说明． 18．在证明“如果，那么”结论的正确性时，小明的证明方法如下： 证明：， ． ． ． ． 请将上面的证明过程补充完整． 19．八年级某同学在做一次函数作业时，不小心把题目抄写漏了一个条件，原题信息如下：已知一次函数的图象经过点，请你根据下面问题完成解答： (1)请你补充一个合适的条件， ①求一次函数的解析式； ②求出一次函数图象与坐标轴交点的坐标； (2)一次函数的图象不经过第四象限，设，求S的取值范围． 20．已知由（a﹣b）2≥0，可得a2+b2≥2ab，运用上述结论解决问题： (1)当a，b满足　 　时，a2+b2＝2ab成立； (2)若x为正数，　 　，当x＝　 　时，取得最小值； (3)若x为正数，的最小值为　 　； (4)若x＞3，则最小值为　 　． 21．某学习小组在综合实践课上，学习了“面积与代数恒等式”，知道很多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来解释． 例如，图1可以解释．于是小明拼出如图2所示的边长为的正方形，用不同方法表示正方形的面积，即可得到一个代数恒等式．     (1)这个代数恒等式是：_____； (2)小组成员发现可利用（1）的结论解答下列问题： ①已知，，，，且．求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长； ②在①的条件下，若，，且a，b，c为整数，求a，b，c的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C C C D D B A A 题号 11 答案 B 1．D 【详解】解：∵不等式的解是所有小于的数， ∴依次判断各选项： ，不满足条件，A错误； ，不满足条件，B错误； ，不满足条件，C错误； ，满足不等式条件，D正确． 2．D 【详解】解：的3倍不大于5，不大于5的含义是小于或等于5， ∴根据题意可得不等式． 3．C 【分析】根据“用不等号连接表示不等关系的式子是不等式”即可逐一判断选项． 【详解】解：是用等号连接的等式，不符合不等式定义，A不符合要求； 没有连接不等号表示不等关系，不符合不等式定义，B不符合要求； 是用不等号连接，表示不等关系的式子，符合不等式定义，C符合要求； 是用等号连接的等式，不符合不等式定义，D不符合要求． 4．C 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴▲，●，■这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为■，▲，●． 5．C 【分析】本题考查的是不等式的定义、三角形内角和定理、必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，不符合题意； B、是不等式的解是必然事件，不符合题意； C、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件，符合题意； D、从装满红球的袋子中取出白球是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 6．D 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴要使有意义，需满足， 解不等式得． 7．D 【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项，找出结论不一定成立的选项即可． 【详解】A. 不等式两边同时减1，不等号方向不变， ∵， ∴，结论一定成立，故此选项不符合题意； B. 不等式两边同时乘正数2，不等号方向不变，得，两边同时加3，不等号方向不变，得，结论一定成立，故此选项不符合题意； C. 不等式两边同时乘负数，不等号方向改变， ∵， ∴，结论一定成立，故此选项不符合题意； D. 举例：当，时，满足，但，，此时， 因此结论不一定成立，故此选项符合题意． 8．B 【分析】根据象限内点的坐标符号特征，先由点A的位置得到m和n的符号，再判断点B横纵坐标的符号，即可确定点B所在象限. 【详解】解：∵点在第二象限， ∴根据第二象限点的坐标特征可得 ，， ∵，∴与同号， 又∵，∴，， 对于点， ∵，，∴ ， ∵，∴； ∴点的横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限点的符号特征，因此点在第二象限. 9．A 【分析】本题考查了数轴上点的规律问题，不等式的性质，找到规律并确定d的值是关键；设相邻两个整数的距离为，则可用d及表示出各数及d的范围，根据求得d及，从而求得，即可求解． 【详解】解：设相邻两个整数的距离为，则，…，，； ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 由于d取整数，则， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∴， ∴各位数字和为， 故选：A． 10．A 【分析】本题考查算术平方根有意义的条件和相关计算，解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据算术平方根有意义的条件，得出 ，从而简化原方程，求出 ，进而得到 ． 【详解】解：∵ ， ∴ ，，． 由 得 ， 由 得 ，即 ， ∴ ． 代入原式：， ， ∴ ， 两边平方得 ，即 ， ∴ ． 故选：A． 11．B 【分析】本题考查了多项式的次数与项数定义，准确理解“二次三项式”、“三次二项式”的定义并按条件枚举系数是解题的关键． 先根据“二次三项式、三次二项式”的定义确定多项式的次数和非零系数的个数，再结合 “自然数、正整数”的取值要求与平方和不超过的条件，分情况列出所有符合要求的系数组合，最后用这些组合逐一验证三个说法是否正确即可． 【详解】解：整式的系数满足，且，，，为自然数，与为正整数， ①∵二次三项式要求（二次），且，，（三项），是正整数，，是自然数， ∴，，， ∵，又， ∴ 仅，，满足条件，即，是唯一的二次三项式， ∴ ①正确， ② ∵， ∴且是正整数，，是自然数， 当时，，满足条件的系数组为，，，，对应整式为，，，； 当时，，满足条件的系数组合为，对应整式为； 当时，，无满足条件的系数组； ∵常数项和为，一次项和为，二次项和为， ∴所有整式的和为，而非， ∴②错误； ③ 当为三次二项式时，（三次），且仅两项系数非零（二项），，另一非零系数， ∴（其余系数为0）， 若，则， ∵为自然数且非零， ∴（，故排除）； 若，则， ∵为自然数且非零， ∴（，故排除）； 若，则， ∴（此时整式为单项式，不符合要求，排除）； 若，则，无满足条件的系数组； ∵有个位置（），时每个位置对应种，共种，时每个位置对应种，共种， ∴总组合数为种，即当为三次二项式时，所有满足条件的整式共有个，而非个， ∴ ③错误； 综上，正确的有①，共个． 故选：B． 12． 【分析】本题考查了不等式的运算性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的性质分析出即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴ ∴ 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据题干信息找出不等关系是解题的关键； 根据交通标志上的限速信息确定车速的取值范围即可． 【详解】解：由题可知，车在中间车道， 根据图片中的车速范围可知： 故答案为： ． 14． 【分析】对估算出大小，可求出，，代入，化简得出，进而得出且，求出，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，分别表示的整数部分和小数部分， ∴，； 把，代入，得      化简得：，     ∴且， 解得：，．     ∴． 15． 【分析】根据解集的不等号方向变化，判断未知数系数的符号，进而求解的取值范围． 【详解】解：对于一元一次不等式，两边同时除以后，不等号方向改变，得到解集． 根据不等式的基本性质：不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变， 可得， 解得． 16．2或-8 【分析】分类讨论当时和当时，再具体分类，最后去绝对值并利用原式的最小值为5即可求出m． 【详解】分类讨论（1）当时， ①当时，原式．则； ②当时，原式； ③当时，原式，则． ∵原式的最小值为5， ∴， ∴． （2）当时， ①当时，原式．则； ②当时，原式； ③当时，原式，则． ∵原式的最小值为5， ∴， ∴． 综上，m为2或-8． 故答案为：2或-8． 【点睛】本题考查解不等式及去绝对值，利用分类讨论的思想是解答本题的关键． 17．(1)32（或40或48） (2)能被8整除 【分析】（1）根据范围列不等式求出符合要求的“正巧数”即可； （2）利用平方差公式化简后判断是否能被8整除即可． 【详解】（1）解：设两个连续正奇数为和，为正整数． 根据“正巧数”的定义，可得“正巧数”为 ， 由题意得， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴或5或6， ∴或40或48； （2）解：能被8整除，理由如下： ， 是正整数， 能被8整除， 即由和构成的“正巧数”能被8整除． 18．；；； 【分析】本题根据不等式的基本性质逐步推导补充证明，用到的性质为：不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变；不等式两边加同一个整式，不等号方向不变． 【详解】证明： 19．(1)补充条件：一次函数图象经过点．（补充条件不唯一，只要满足即可）①解析式为；②与x轴交点为，与y轴交点为 (2)的取值范围是 【分析】（1）补充条件：一次函数图象经过点． ①运用待定系数法求解即可； ②分别令，，即可求解； （2）先将已知点代入函数式得到k与b的关系，再根据一次函数不经过第四象限的性质，得到b的取值范围，将S用含b的式子表示后即可求出S的取值范围． 【详解】（1）解：补充条件：一次函数图象经过点． ①∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得， 所以这个一次函数解析式为． ②对于一次函数， 令，则，解得． 令，则， ∴这个一次函数与x轴交点为，与y轴交点为． （2）解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵的图象不经过第四象限， ∴，， 即，解得 ∵， 又， ∴． 20．(1)a＝b (2)2，1 (3) (4)2 【分析】先根据所给结论，把已知式子转化为类似的形式，再套用结论作答． 【详解】（1）解：由a2+b2＝2ab，得（a﹣b）2＝0， ∴a＝b． 故答案为：a＝b． （2），当且仅当x＝1时，取得最小值成立． 故答案为：2，1． （3）由a2+b2≥2ab，可知当x、y为正数时，x+y=． ∴若x为正数，则． 故答案为：． （4）原式＝（x﹣3）+． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查不等式的应用，根据所给结论，把已知式子转化为类似的形式，再套用结论作答是解题的关键． 21．(1) (2)①见解析，②a，b，c的值分别为10，3，2． 【分析】（1）利用3个小正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形的面积，列式即可； （2）①由，可得，结合（1）中结论、不等式的性质，变形为，再根据，可得，推出，根据三角形三边关系即可判断； ②由，，可得，结合可得，推出或或，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：； （2）①证明：由题意得，， 所以， 整理得：， 即， 所以， 所以 因为， 所以， 故，即， 所以a，b，c不能成为一个三角形的三条边长． ②解：由①得， 又， 所以， 又因为， 所以， 又为整数 即或或， 当时，， 则， 故， 所以； 当时，， 故， 又，且b，c为整数， 所以由得，， 此时， 所以； 当时，， 故， 又，且b，c为整数， 所以由得，，符合； 综上，a，b，c的值分别为10，3，2． 【点睛】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，三角形三边关系，不等式的性质等，正确识图，得到是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $