浙江绍兴市2025-2026学年高二下学期期末调测数学试题

绍兴市2025学年第二学期高中期末调测 高二数学 注意事项： 1．请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上．本卷答案必须答在答卷相应位置上． 2．全卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则 A． B．1 C． D．2 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．一组数据为1，2，4，4，6，7，9，10，记该组数据的平均数，中位数，众数分别为，，，则 A． B． C． D． 4．已知单位向量，，，满足，则，的夹角为 A． B． C． D． 5．已知函数，，若与的图象有唯一公共点，则的值为 A．-1 B．0 C． D．1 6．若函数在上无最小值，则的取值范围为 A． B． C． D． 7．已知，是两个随机事件，若，，，记，则 A． B． C． D． 8．如图，已知二面角的大小为，点在半平面内，且．现将射线在平面内绕点逆时针旋转形成射线，直至时停止旋转．记，，则在旋转过程中，随着的增大， A．，也随之增大 B．当为锐角时，先减小再增大 C．当为直角时，先减小再增大 D．当为钝角时，先减小再增大 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某生物公司研发的抗体的半衰期（单位：天）服从正态分布，则下列结论正确的是（参考数据：若，则，） A．的均值为45天 B．的方差为5 C． D． 10．设函数则 A． B．， C．的值域为 D．若方程至少有一个实数解，则 11．在锐角中，角，，的对边分别为，，，满足，且，则 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．曲线在点处的切线的斜率为 ▲ ． 13．如图，在三棱锥中，，分别为，上的点，满足，．记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，若，则 ▲ ． 14．某机器人公司研发新产品模拟学生军训动作，测试人员等可能地随机向机器人发出“向前一个单位”，“向右转”两种指令，则测试人员发出14次指令后，机器人在开始时的位置的概率为 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数． （1）求； （2）求不等式的解集． 16．（15分） 记的内角，，的对边分别为，，𝑐，已知，． （1）求； （2）当的面积取最大值时，点满足，，与交于点，的角平分线交于点，求． 17．（15分） 如图，在三棱台中，，，分别为棱与的中点，且平面． （1）求证：； （2）若直线与平面所成角为，求平面与平面的夹角的正弦值． 18．（17分） 甲、乙两名篮球爱好者投篮比赛，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．已知甲每次都投两分球，即命中得2分，不命中得0分，且每次命中的概率为；乙每次都投三分球，即命中得3分，不命中得0分，且每次命中的概率为．由抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为． （1）比赛第二次由甲投篮的概率； （2）记甲的第次投篮得分为随机变量，求； （3）比赛累计投篮次，记甲、乙的累计得分为随机变量，求． （注：若，是离散型随机变量，则） 19．（17分） 若函数满足：对任意的，，，都有，则称函数在区间上具有性质． （1）设函数，，分别判断，是否在上具有性质； （2）设函数，若在其定义域上具有性质，求实数的取值范围； （3）已知函数具有性质，且图象是一条连续曲线，若在上单调递增，求证：是奇函数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学参考答案标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．C 2．A 3．A 4．D 5．A 6．B 7．B 8．B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．ACD 10．BD 11．ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14．（或写成） 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．（本题满分13分） 解：（1）． 5分 （2）一方面，由，可知； 8分 另一方面，由，可知，解得， 11分 故不等式的解集为． 13分 16．（本题满分15分） 解：（1）由可知， 2分 整理得， 由于，则，因为，所以． 5分 （2）的面积， 6分 法一 因为，所以． 由基本不等式可知， 则，当且仅当时等号成立． 9分 此时， 因为，，， 所以，． 12分 因为的角平分线交于点， 所以，从而． 因为，所以，从而． 15分 法二 由正弦定理可知， 从而， 当且仅当时，的面积取最大值，此时，且． 9分 下同法一． 17．（本题满分15分） 解：（1）因为平面，平面，所以， 2分 因为，，分别为棱与的中点， 则，且，故平面． 4分 所以． 5分 （2）作于点，由平面，可知，， 故平面，所以为直线与平面所成角，且，由，可知． 从而，． 7分 以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 9分 设平面的法向量为， 则即可取， 11分 同理可得平面的法向量， 12分 设平面与平面的夹角为， 则． 14分 所以平面与平面的夹角的正弦值为． 15分 18．（本题满分17分） 解：（1）设比赛第二次由甲投篮的概率为，则． 3分 （2）设第次投篮由甲投篮的概率为， 则第次投篮由乙投篮的概率为， 从而， 故第次投篮由甲投篮的概率为． 5分 当第次投篮时，甲得分的随机变量或， 6分 ，， 8分 所以． 9分 综上：当时，；当时，． 10分 （3）第次投篮时，乙得分的随机变量或， 11分 ，， 12分 所以， 13分 当． 14分 所以；当，． 16分 故． 17分 19．（本题满分17分） 解：（1）函数在上不具有性质，在上具有性质． 一方面：对于函数，取，，则有， 故函数在上不具有性质． 另一方面：对任意的，，， ， 故函数在上具有性质． 5分 （2）函数的定义域为，由具有性质，可知 对任意的，，，都有， 因为，即函数为奇函数，所以， 从而在上单调递增，故， 即，从而． 10分 （3）法一 函数的定义域为， 要证是奇函数，只要证：对任意的实数，即可． 对任意实数，由函数具有性质，可知： 当时，．① 11分 设， 当，即时，由①得， 即当时，；② 13分 当，即时，由①得， 即当时，；③ 14分 由曲线的连续性，可知在上存在零点，即．④ 由于函数在上单调递增，故在上也单调递增， 由②得，由③得，故有． 代入④得，． 故为奇函数． 17分 （3）法二 由具有性质，可知：当时，；当时，．由零点存在性定理可知． 11分 下面用反证法证明为奇函数． 假设存在，使得， 13分 不妨设，由在上单调递增，可知． 一方面，若，构造函数， ； ； 根据零点存在性定理，存在，使得，即， 此时，这与具有性质矛盾． 另一方面，若，构造函数，同理可证． 故为奇函数． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $