浙江省绍兴市2024-2025学年高二下学期期末调测数学试卷

绍兴市 2024学年第二学期高中期末调测 高 二 数 学 注意事项： 1．请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上。本卷答案必须答在答卷相应 位置上。 2．全卷满分 150分，考试时间 120分钟。 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．已知集合 { | 1 2}A x x    ， { | 2 3}B x x= - < < ，则 A B I A． ( 1 2)， B． ( 1 3)， C． ( 2 2)， D． ( 2 3)， 2．已知 1 1 i 2 2 z   ，则 z  A． 1 2 B． 2 2 C． 3 2 D．1 3．若函数 2( ) 1xf x a   ( 0a  ，且 1)a  的图象恒过定点 A，则 A的坐标为 A． (0 1)， B． (2 1)， C． (1 2)， D． (2 2)， 4．设函数 1( )f x x x   ，则曲线 ( )y f x= 在 (1 (1))f， 处的切线方程为 A． 2y  B． 3 1 2 2 y x  C． 1 3 2 2 y x   D． 1 5 2 2 y x   5．已知某防御系统的导弹拦截目标的命中率为 70%，为提高拦截成功率，决定同时发射三 枚导弹拦截同一目标，若这三枚导弹彼此间互不干扰，则拦截成功的概率为 A．70% B．97.3% C．100% D．210% 6．已知函数 ( )f x 的定义域为R，则“ x y R， ， ( ) ( ) ( )f xy f x f y  ”是“ ( ) 0f x  ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．现有红黄蓝绿四种颜料，给四棱锥五个不同的面染色，要求每个面染一种颜色，且有公共 棱的面颜色不同，则不同的染色方案有 A．108种 B．96种 C．72种 D．54种 8．已知函数 π( ) 3tan( ) ( 0 0 ) 2 f x x       ， 在 [1 2]， 上单调递增，且其图象经过点 (1 1)， 和 (2 6)， ，则  A． π 6 B． π 4 C． π 3 D． 5π 4 二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6 分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9．设函数 π( ) sin(2 ) 3 f x x  ，则 A． π 12 x  是 ( )f x 的一个极大值点 B． ( )f x 的图象关于直线 π 6 x  对称 C． ( )f x 在区间 π(0 ) 2 ， 内有零点 D． ( )f x 在区间 π π( ) 4 2 ， 上单调递减 10．设函数 ( ) 1f x x  ， 2( ) ( 1)g x x  ，用 ( )M x 表示 ( )f x ， ( )g x 的最大者，记为 ( ) max{ ( ) ( )}M x f x g x，= ，则 A． (1) 2M = B． 2 2 ( 1) 1 ( ) 1 1 0 ( 1) 0 x x M x x x x x             ， ， ， ， ， C． ( )M x 的值域为 [0 ) ， D．不等式 ( ) ( 1)M x M x> + 的解集为 5 1( ) 2   ， 11．已知实数 x， y满足 cos sinx y= ，则下列命题正确的是 A．若 π 4 x  时，则 π 2 π 4 y k k  Z， B．若 [0 π]x ， ， ] 2 π π[ 2 y  ， ，则 y是 x的减函数 C．若 π 3π[ ] 2 2 x y R， ， ，则 y是 x的周期函数 D．若 2 π π[ ] 2 x  ， ， [0 π]y ， ，则 y是 x的偶函数 高二数学试卷 第 1页（共 4页） 高二数学试卷 第 2页（共 4页） 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．已知样本相关系数 1 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ( ) n i i i n n i i i i x x y y r x x y y            ，则成对样本数据 (0 0)， ， (1 1)， ， (2 3)， ， (3 5)， ， (4 3)， 的相关系数为 ▲ ． 13．已知向量 ，a b 满足 | | 2a ， 3 a b ，则向量 a b 在向量 a 上的投影向量的长度为 ▲ ． 14．在棱长为 4的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点M 为 1BC 的中点，点 P为正方体表面上 的一动点，且满足 PD PM= ，则 P的轨迹的长度为 ▲ ． 四、解答题：本大题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数 1( ) log 1a xf x x    的图象经过点 1( 1) 2 ， ． （1）求 a的值； （2）求 ( )f x 的定义域并判断其奇偶性． 16．（15分） 已知平面四边形 ABCD的对角线分别为 AC， BD，且 2AB  ． （1）若 1cos 4 ABC   ， 1sin 2 ACB  ，求 ABC△ 的面积； （2）若 2π 3 BAD  ， 2AD AB ， BAD 的平分线 AE交 BD于点 E，求 AE． 17．（15分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，AB CD∥ ， BAP BAD   ， 1CD  ， 2AB AP AD   ， 2DP  ． （1）求证： AB DP ； （2）若CD AD ，求直线 BP与平面CDP所成角的正弦值． 18．（17分） 某模拟投资游戏中，有一种项目投资成功的概率为 p．若成功，将获得投资额的 1b  倍 的回报，若失败，回报为零．其中 p b， 是给定的常数，且满足 0 1p  ， 0b  ， 1pb p  ．现 决定投入当前总资金额的 x倍 (0 1)x  ．定义投资对数收益为 ln W W    ，其中W W， 分别 为投资前后的总资金额． （1）求 的分布列； （2）当 的数学期望最大时，求 x的值； （3）设初始资金额为 1个单位，按照（2）的策略先后投资 n轮该种项目后，求最终总 资金额 的数学期望． 19．（17分） “地板函数” x   表示不超过 x 的最大整数，如 3.14 3   ， 1.5 2     ．设函数 ( ) 2 2 xf x x       ． （1）求 25( ) 3 f 的值及函数 ( )f x 的最小正周期； （2）已知函数 ( ) (2 )g x x x  ，方程 ( ( )) 0g f x x  恰有 30个非负实数解，它们构成一 组数据 1 2 30x x x，， ，   ． （i）求这组数据的中位数的取值范围； （ii）设这组数据的方差为 2xS ，求 210 xS   ． 参考公式： 2 1 ( 1)(2 1) 6 n i n n ni     （第 17题图） D C B A P 高二数学试卷 第 3页（共 4页） 高二数学试卷 第 4页（共 4页） 2024学年第二学期高中期末调测 高二数学参考答案 注：解答题评分标准供参考，结果正确可适当跳步给分，结果不正确注重思维过程（可参考 15题）， 具体由各县区题组长确定。 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D D B C C B 二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分。全部选对得 6分，部分选对的得部 分分，有选错的得 0分。 题号 9 10 11 答案 ACD BCD BC 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12． 15 5 13． 1 2 14． 6 5+2 2 四、解答题：本大题共 5小题，共 77分。 15．（本题满分 13分） 解：（1）由题意知 1( ) 1 2 f  ，即 11 2log log 3 1 11 2 a a     ，解得 3a  ． ………5分 （此步结果正确得 5分；不正确有代入过程得 3分） （2）因为 1 0 1 x x    ， ………7分 解得 1 1x   ，所以 ( )f x 的定义域为 ( 1 1)， ，关于原点对称， ………9分 又 3 3 1 1( ) log log ( ) 1 1 x xf x f x x x           ，所以 ( )f x 为奇函数． ………13分 （此步证明过程正确得 4分；不正确有 ( )f x 得 2分） 16．（本题满分 15分） 解：（1）法一 由题意知 3cos 2 ACB  ， 15sin 4 ABC  ． ………1分 在 ABC△ 中， sin sin AB AC ACB ABC    ，即 2 1 15 2 4 AC  ，解得 15AC  ．……3分 而 1 3 3 5 1sin sin( ) cos sin 2 2 8 BAC ACB ABC ABC ABC          ，…6分 则 1 15 3 15sin 2 8 S AB AC BAC      ． ………8分 法二 由题意知 3cos 2 ACB  ， 15sin 4 ABC  ． ………1分 在 ABC△ 中， sin sin AB AC ACB ABC    ，即 2 1 15 2 4 AC  ，解得 15AC  ．………3分 由余弦定理 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC ABC      ， 即 2 11 0BC BC   ，解得 3 5 1 2 BC  ． ………6分 则 1 15 3 15sin 2 8 S AC BC ACB     ． ………8分 （2）法一 由 ABD ABE ADES S S △ △ △ ， 得 1 π 1 π 1 2πsin sin sin 2 3 2 3 2 3 AB AE AE AD AB AD        ， ………12分 所以 2 4 8AE AE  ，解得 4 3 AE  . ………15分 法二 由余弦定理 2 2 2 2 cosBD AB AD AB AD ABD      ，解得 2 7BD  . 由 ABE ADE S AB BE S AD DE  V V ，可知 2 7 3 BE  ， ………12分 又 cos cosABE ABD   ，得 2284 4 28 169 8 7 8 7 3 AE     ，得 4 3 AE  . ……15分 17．（本题满分 15分） （1）证明： 由 AP AD BAP BAD   ， ，可知 BAP BAD△ △ ，所以 BP BD ．………2分 取 DP的中点 E，连结 AE BE， ，则 AE DP BE DP ， ，且 AE BE EI ， 所以 DP 平面 ABE， ………5分 又 AB 平面 ABE，所以 AB DP ． ………7分 高二数学参考答案 第 1页（共 6页） 高二数学参考答案 第 2页（共 6页） y z x D CB A P （2）解：法一 由（1）及 //AB CD可知CD DP ，又CD AD ， 所以CD 平面 PAD，（或者 AB 平面 PAD ) 可知CD AE ，又 AE PD ，因此 AE 平面 PCD， 所以点 A到平面 PCD的距离 14 2A PCD d AE   ． ………10分 由 //AB CD，可知 //AB 平面 PCD， 因此 A B， 两点到平面 PCD等距，即 B PCD A PCDd d  ． ………11分 又 2 2BP  ， ………13分 设直线 BP与平面 PCD所成角为 ，则 7sin 4 B PCDd PB    所以直线 BP与平面 PCD所成角的正弦值为 7 4 ． ………15分 法二 同法一，先证明 AB 平面 PAD， 以 A为原点， AB， AD分别为 x， y轴， 过 A作平面 ABCD的垂线为 z轴，建立如图 空间直角坐标系． 则 (0 0 0)A ，， ， (2 0 0)B ，， ， (1 2 0)C ，， ， (0 2 0)D ，， ． 设 0 0(0 )P y z， ， ， 2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 ( 2) 2 4 PD y z AP y z          ， ． 得 3 7(0 ) 2 2 P ，， ． ………10分 所以 (1 0 0)DC  uuur ，， ， 1 7(0 ) 2 2 DP   uuur ， ， ， 3 7( 2 ) 2 2 BP   uur ，， ． 设平面 PCD的法向量为 ( )x y z ，，n ， 则 0 0 DC DP       uuur uuur ， ． n n 即 0 1 7 0 2 2 x y z ． ，      可取 (0 7 1)， ，n ， ………12分 设直线 BP与平面 PCD所成角为 ，则 | | 7sin | cos | 4| | | | BPBP BP ，       nn n uuruur uuur ． 所以直线 BP与平面 PCD所成角的正弦值为 7 4 ． ………15分 18．（本题满分 17分） 解：（1）投资成功后， 1ln 1 bx  ，投资失败后， 1ln 1 x  ，因此 的分布列为  ln(1 )bx ln(1 )x P p 1 p （2）由（1）可知 ( ) ln(1 ) (1 ) ln(1 )E p bx p x      ． ………6分 令 ( ) ln(1 ) (1 ) ln(1 ) (0 1)f x p bx p x x     ， ， ， 所以 1( ) (1 )(1 ) pb p bxf x bx x       ， ………8分 令 ( ) 0f x  ，得 1 (01)pb px b     ，， ………9分 可知 ( )f x 在 1(0 )pb p b   ， 上单调递增，在 1( 1)pb p b   ， 上单调递减， 所以当 1pb px b    时，投资对数收益的数学期望 ( )E  最大． ………10分 （3）设 n次投资中成功的次数为 X ，则 ( )X B n p: ， ， 则 ( ) C (1 )k k n knP X k p p    ，其中 0 1 2k n   ，，， ，． ………12分 由（2）的策略可知，当成功 k次，失败 n k 次时， 1( ) (1 )k n kpb ppb p b      ， ………14分 因此， 0 1( ) ( )( ) (1 ) n k n k k pb pE P X k pb p b          2 2 2 0 1C ( ) [(1 ) (1 )] n k k n k n k p b p p b       2 2 1[ ( 1) (1 ) (1 )]np b p b      ………17分 ………4分 高二数学参考答案 第 3页（共 6页） 高二数学参考答案 第 4页（共 6页） 19．（本题满分 17分） 解：（1） 25 25 25 25 1( ) 2 2 4 3 3 6 3 3 f          ． ………2分 因为 ( 2) 2 2 1 2 ( ) 2 2 x xf x x x f x                 ． ………4分 当 0 2x  时， 0 2 x     ，则 ( )f x x ，说明 ( )f x 没有比 2小的正周期， 所以 2是  f x 的最小正周期． ………5分 （2）（i）设 ( ) ( ( ))h x g f x ， i  N ，当 [2 2 2 )x i i  ， 时， ( ) 2( 1) 2 2f x x i x i      ， 所以 ( ) ( 2 2) ( 2 2)(2 )h x g x i x i i x       ， ………7分 令 ( )h x x ，得 2 2( 4 2) 4 4 0 [2 2 2 )x i x i i x i i       ， ， ， 所以 2( 4 2) 16 ( 1)i i i i      ，由题可知 15 160 0   ， ， 解得 62 16 15 58 4 210    ． ………9分 不妨设 1 2 30x x x      ， 则 2 1 2i ix x， 是方程 2 2( 4 2) 4 4 0 [2 2 2 )x i x i i x i i       ， ， 的两个实根， 因此 22 1 2 2 1 24 2 4 4i i i ix x i x x i i       ， ， 所以这组数据的中位数为 15 16 15 2 2 x x x     % ， ………10分 所以其取值范围为 (2 210 14 8 15 16) ， ． ………11分 （ii）这 30个零点的平均值为 30 15 1 1 1 1 30(4 2 ) 30 30 2ii i x x i           ，……12分 则 2 2 2 2 22 1 2 2 1 2 2 1 2( ) 2 8 8(1 ) ( 2)i i i i i ix x x x x x i i            ， 所以 30 15 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 902( ) 30 30 30 2 3i i ii i x x x           ， ………13分 所以 30 2 2 1 2 21 227 115 30 3 4ii xS x x        ． ………14分 当 [30 32)x ， 时，直线 y x 与 ( ) ( 30)(32 )h x x x   图象没有交点， 因此这部分抛物线的顶点 (311)，应该在直线 y x 下方，得 1 31   ， 同理可知点 (27 1)，在直线 y x 上方，因此 1 1 31 27   ， ………15分 函数 21 227( ) 15 4 3 m      在 (01)，上单调递减，则 2 1 1( ) ( ) 27 31x m S m  ， 注意到 1 1 227 1( ) ( 15) 75 75.1 27 27 3 9 m        ， 2 1 1 17( ) 75 75.2 31 934 31 m      ， 所以 2751 10 752xS  ，所以 210 751xS    ． ………17分 高二数学参考答案 第 5页（共 6页） 高二数学参考答案 第 6页（共 6页）