数学：第十部分 解决问题-【专项训练】小学语数英考点秒记一本通

第十部分 解决问题 知识导图 整数和小数应用题 5年1051考 考情分析 分数和百分数应用题 常考题型为解答题。分值 般应 比和比例应用题 占5~10分。 用题 列方程解决问题 和差倍问题 年龄问题 植树问题 解决问题 5年1044考 浓度问题 典型应 ·工程问题 用题 考情分析 •鸽巢问题 行程问题 常考题型有填空题和解 盈亏问题 答题。分值占5~10分。 还原问题 数学 包含与排除问题 鸡兔同笼问题 •最优化问题 5年23考 解决问题 常见的解题方法 的策略 核心考点 5年1051考 第1节 一般应用题 考点88整数和小数应用题 5年379考 一般复合应用题的解题步骤 (1)认真审题：弄清题意，找出已知条件和所求问题； (2)理清思路：分析题中数量间的关系，确定先算什么，再算什么，最后算什么； (3)列式计算：列出算式，算出得数； (4)检验作答：进行检验，写出答案。 118 第十部分解决问题拿 考点89分数和百分数应用题 5年286考 1.求分率：求一个数是另一个数的几（百）分之几 比较量(a)÷单位“1”的量=分率 关键一确定谁是单位“1”的量，谁是比较量(a)。 2.求比较量（a):求一个数的几（百）分之几是多少 单位“1”的量×a的分率=a的数量 关键一确定谁是单位“1”的量，确定比较量（α）的分率与数量的对应关系。 3求单位“1”的量：已知一个数的几（百）分之几是多少，求这个数 a的数量÷a的分率=单位“1”的量 关键 确定单位“1”是谁，构建数量和分率的对应关系。 4.百分数在生活中的应用 常见 应用 基本公式 常见 应用 基本公式 及格率 及格率= 及格人数 ×100% 发芽率 发芽率= 发芽种子数 ×100% 参加考试人数 种子总数 出勤人数 出勤率 出勤率= ×100% 合格率 合格率= 合格产品数 ×100% 总人数 产品总数 学 溶液 溶液浓度= 溶质质量 ×100% 出油率 出油率= 油的质量 ×100% 浓度 溶液质量 油料的质量 增长率 增长率= 增长数 ×100% 利润率三售价一成本 ×100% 基数 利润率 成本 缺席率 缺席率= 缺席人数 ×100% 总人数 成活率成活率= 成活棵数 ×100% 总棵数 考点⑨0比和比例应用题 5年132考 1.按比分配解题步骤 (1)先求出每份的数量，再求出几份的数量。 (2)先求出每个部分占总数的几分之几，再用乘法解答。 2.运用正、反比例解决问题 口诀秒记 （1)分析数量关系，依据相关联的量之间的数量关系， 判断关系找比例， 判定它们成什么比例，根据条件列出等量关系式。 已知未知对号坐； 解出答案莫慌张， (2)设未知数，根据等量关系式列方程。 代入检验心不慌。 (3)解方程，检验并写出答案。 119 會小学语数英考点秒记一本通 考点91列方程解决问题 5年254考 1.解题步骤 回诀秒记 (1)弄清题意，找出未知数，并用字母x表示。设未 未知数，两种设， 知数通常有两种方法：一是直接法，就是直接设问题 直接间接要分别。 问题求谁就设谁， 中要求的量为未知数；二是间接法，就是设一个和问 这是直接好理解。 题有关系的量为未知数，先求出所设未知数，再求问 若遇复杂关系式， 题中要求的量； 另设桥梁更方便。 画图 (2)找数量间的 根据公式 等量关系 根据关键句 根据常见的数量关系 (3)根据题目中数量间的等量关系列方程； 数学 (4)解方程，求出未知数的值，检验并写出答案。 漫画秒记 列方程解应用题四步法 设未知 我等量关系。 解方程 数x。 并检验 列方程 作答。 法/何法 2.找数量间的等量关系的方法 关键词秒记 (1)根据数学术语找等量关系。 一 找术语， (2)按事情的发展关系找等量关系。 二找发展， (3)根据常用的数量关系找等量关系。 三找数量， (4)根据常用的计算公式找等量关系。 四找公式， (5)根据题中表示数量关系的句子找等量关系。 五找关系句。 120 第十部分解决问题拿 5年1044考 第2节 典型应用题 考点92和差倍问题 5年123考 类型 特征 常用公式 关键点 和差 已知两个量的和与差， (和+差)÷2=较大数 分清两个量对应 问题 求这两个量 (和-差)÷2=较小数 的数值关系 已知两个量的和及两 和倍 确定哪个量是1 个量的倍数关系，求 和÷（倍数+1)=1倍的量 问题 倍的量 这两个量 已知两个量的差及两 差倍 确定哪个量是1 个量的倍数关系，求 差÷（倍数-1)=1倍的量 问题 倍的量 这两个量 知识拓展 数学 Q 差 差 和倍问题线段图 差倍问题线段图 和差倍问题线段图 考点93年龄问题 5年47考 漫画秒记 我今年 1.定义：已知两个人或几个人年龄之间的某些数 10岁了 量关系，求他们的年龄；或已知他们各自的年龄， 我比你大 25岁。 求他们年龄之间的数量关系，这类问题一般被称 10 为年龄问题。 明 我今年 2.基本特征 11岁了！ （1)两人的年龄差是不变的量。 还是比 你大25岁 (2)两人年龄的倍数关系是变化的量。 (3)每个人的年龄随着时间的增加都增加相等的 岁数。 121✉ 會小学语数英考点秒记一本通 考点94植树问题 5年46考 1.定义：研究总距离、株距、段数、棵数这四个数量之间关系的问题一般被称 为植树问题。 2.基本题型及常用公式 基本题型 常用公式 两端都植树 间隔数=棵数-1 间隔距离=路长÷间隔数 棵数=路长÷间隔距离+1 在直线或不 两端都不植树 间隔数=棵数+1 封闭的曲线 间隔距离=路长÷间隔数 上植树 垫 棵数=路长÷间隔距离-1 只有一端植树 数学 绝 间隔数=棵数 在封闭曲线上植树 间隔距离=路长÷间隔数 棵数=路长÷间隔距离 考点95浓度问题 5年112考 图示秒记 1.定义 溶质：糖 （1)溶质：溶解在其他物质里的物质。 （2)溶剂：溶解其他物质的物质。 (3)溶液：溶质和溶剂混合成的液体。 溶剂：水 溶液：糖水 2.常用公式 浓度=溶质质量÷溶液质量×100% 溶液质量=溶质质量+溶剂质量 溶质质量=溶液质量-溶剂质量 溶质质量=溶液质量×浓度 溶液质量=溶质质量÷浓度 122 第十部分解决问题拿 考点96工程问题 5年185考 1.常用公式：工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作时间=工作效率 2.基本思路：假设工作总量为“1”（和总工作量无关)；假设一个方便的数 为工作总量（一般是完成工作总量所用时间的最小公倍数)，利用工作效率、 工作时间、工作总量的基本关系，可以简单地列出等量关系式。 考点97列鸽巢问题 5年32考 1.鸽巢原理一 把m个物体放入n个鸽巢里(m和n都是非0自然数，且m>n),则必 有一个鸽巢里至少放入2个物体。 2.鸽巢原理二 把m个物体放入n个鸽巢里(m和n 易错警示 都是非0自然数，且m>n),当m不能 在应用鸽巢原理解决问 被n整除时，即m÷n=k…h,必有一 题时，“鸽巢数”和“物体数” 个鸽巢里至少放入（k+1)个物体；当m 往往是不确定的，恰当地构 数 能被整除时，必有一个鸽巢里至少放入 造“鸽巢”和“物体”就成 k个物体。 为解决此类问题的关键。 3.常用公式 物体数÷鸽巢数=商…余数 至少数=商+1（当能整除时，至少数等于商） 5年179考 图示秒记 考点98行程问题 追及 1.追及问题常用公式 追及时间=追及路程÷速度差 追及路程=速度差×追及时间 相遇 2.相遇问题常用公式 相遇时间=总路程÷速度和 总路程=速度和×相遇时间 3.行船问题常用公式 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速一水速 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2 123 會小学语数英考点秒记一本通 4.火车问题常用公式 内容 常用公式 火车过桥 火车的路程=车长+桥长 过桥时间=（车长+桥长)÷车速 火车与 从车头与人相遇到车尾与人完全分开的时间= 人相遇 车长÷车与人的速度和 路程=车长 从车头追上人到车尾与人完全分开的时间=车 火车追人 长÷车与人的速度差 火车相遇 相遇路程=甲车长+乙车长 (错车) 相遇时间=（甲车长+乙车长)÷两车速度和 火车追及 追及路程=甲车长+乙车长 (超车) 追及时间=（甲车长+乙车长)÷两车速度差 数 5.时钟问题数量关系及解题方法 （1)数量关系：分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为5.5度/分。 (2)解题方法：通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。 考点99盈亏问题 5年97考 1.定义：把一定数量的物品平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分 完，有时有剩余，就叫盈（余)，有时不够分，就叫亏。通过盈、亏的数量， 求物品的总数量和参与分配的份数的问题就叫作盈亏问题。 2.基本题型及常用公式 基本题型 常用公式 两盈 (大盈-小盈)÷分配量之差=参与分配的份数 两亏 (大亏-小亏)÷分配量之差=参与分配的份数 一盈一亏 （盈+亏)÷分配量之差=参与分配的份数 一盈一正 盈÷分配量之差=参与分配的份数 一亏一正 亏÷分配量之差=参与分配的份数 124 第十部分解决问题拿 考点1001还原问题 5年64考 1.定义：已知某未知数经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应 用题，叫作还原问题。 2.解题关键：弄清每一步变化与未知数的关系。 3.解题规律 从最后结果出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出 原数；根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出 原数；解答还原问题时注意观察运算的顺序，若需要先算加、减法，后算乘、 除法时别忘记写括号。 考点101]包含与排除问题 5年47考 基本题型 被计数的事物有A,B两类 被计数的事物有A,B,C三类 数学 AB AB B 总数=两个圆内的-重合部分的 BC ABC 公式：M=A+B-AB 总数=三个圆内的一重合两次的+重合三次的 公式：M=A+B+C-(AB+BC+AC)+ABC 考点1021鸡兔同笼问题 5年85考 1.意义：鸡兔同笼问题是指已知鸡和兔的总头数及总脚数，求鸡和兔各有多少 只的一类应用题，也称为置换问题。 2.解题方法：解决鸡兔同笼问题的方法有列表法、假设法和拾脚法。 基本题型 常用公式 兔的只数=（总脚数-2×总头数)÷（4-2 假设全是鸡 鸡的只数=总头数一兔的只数 假设全是兔 鸡的只数=(4×总头数-总脚数)÷(4-2) 兔的只数=总头数一鸡的只数 125 會小学语数英考点秒记一本通 考点103】最优化问题 5年27考 基本题型 解题思路 合理分配问题 通过合理安排后，使得使用的时间或所付出的代价最少 物资调运问题 通过合理安排和调整，制定最优方案，使得总费用最少 使得各处到某场地距离最短或费用最少，原则上以“边往中 场地设置问题 靠，支往干靠，少往多靠”为主要依据 5年23考 第3节解决问题的策略 考点104常见的解题方法 5年23考 解题 方法 内容 数学 列表法 用表格将条件和问题整理出来，便于发现数量关系、寻找规律 画图法 画线段图或直观图表示题意，便于寻找相对应的数量和分率或百分率 将题目的条件所涉及的数量关系一一列举出来，从中获得正确的解 列举法 题思路或答案 替换法 用一个量替换另一个量，使多种关系变成单一关系，从而简化问题 从事件的结果倒回去想它开始时候的状态。该方法适用于解答复杂 倒推法 问题中的还原问题 将条件和问题进行假定和预设，然后根据数量之间的关系，对假定 假设法 和预设进行调整，从而得到问题的答案 转化法 把题中的条件或问题进行改造或重组，使复杂问题简单化 应用线段图或其他图形把题目中的已知条件和所求问题表示出来， 图解法 使问题具体、形象、易懂，数量关系更清楚，从而得到解题的线索 类比法 根据两类事物有一种属性相同，推测它们的另一些属性也相同 对于那些内容抽象不容易理解或数量关系不容易分析的应用题，可 演示法 以利用身边的物品进行操作演示，使应用题的内容形象化 126 第十部分解决问题拿 经典母题 考法1浓度问题 母题1【四川成都】甲、乙、丙三杯糖水的浓度分别为40%、48%、60%，将 三杯糖水混合后浓度变为50%。如果乙、丙两杯糖水质量一样，都比甲杯糖水 多30克，那么三杯糖水共有多少克？ 解析：根据糖水的浓度=糖的质量÷糖水的质量×100%，得糖的质量=糖水 的质量×糖水的浓度。数量关系式为甲杯糖水中糖的质量+乙杯糖水中糖的质 量+丙杯糖水中糖的质量=三杯糖水中糖的质量。根据数量关系列出方程。 答案：解：设甲杯糖水质量为x克，则乙、丙两杯糖水质量为（x+30)克。 40%x+48%(x+30)+60%(x+30)=50%(x+x+30+x+30) x=120 120+30=150(克) 120+150+150=420(克) 答：三杯糖水共有420克。 考法2鸡免同笼问题 数学 母题2【河南信阳】停车场里停放着4个轮子的汽车和3个轮子的摩托车共30 辆，这些车共有100个轮子，那么三轮摩托车有（ )辆。 解析：假设全是三轮摩托车，则应该有30×3=90（个）轮子，比实际少100- 90=10(个)轮子，因为每辆三轮摩托车比每辆汽车少4-3=1（个）轮子， 所以汽车有10÷1=10（辆），进而可以求出三轮摩托车的数量。 答案：20 考法3和差倍问题 母题3【福建福州】今年，父亲与两个儿子的年龄相加得88岁，10年后，父 亲的年龄正好等于两个儿子的年龄和，父亲今年有（）岁。 A.49 B.48 C.47 D.46 解析：10年后两个儿子和父亲的年龄各增加10岁，则岁数之和为88+10×3= 118（岁)，又因为父亲的年龄与两个儿子的年龄和相等，所以118÷2=59（岁） 是10年后父亲的年龄，那么10年前也就是现在年龄为59-10=49（岁)。 答案：A 127 會小学语数英考点秒记一本通 考法4植树问题 母题4【河南郑州】一根木料锯成3段需要12分钟，如果把这根木料锯成5 段需要( )分钟。 解析：锯成3段需要锯(3-1)次，锯成5段需要锯(5-1)次，先求出锯一次 需要的时间，再乘锯成5段需要的次数即可。即12÷（3-1)×(5-1)=24（分）。 答案：24 考试真题 一、填空题。 1.【福建泉州】单独完成同一件工作，甲要4天，乙要5天。乙的工作效率是 甲的工作效率的( )%。 数 2.【四川成都】一条公路从头到尾每隔4米植一棵树，共植树46棵；若每隔5 米植一棵树，至少需要移动()棵树。 二、选择题。 3.【广东深圳】小明一共有34元，买了笔和本子。笔1元一支，本子3元一本， 本子和笔总数为20，最后正好花完，买了本子（ )本。 A.10 B.9 C.8 D.7 4.【河南安阳】老王今年59岁，老李今年56岁，他们这一生中有( )年 老王的年龄恰好是老李年龄的整数倍。 A.2 B.4 c.5 D.9 三、解答题。 5.【河北邯郸】一瓶纯酒精倒出4后，用水加满，再倒出后，仍用水加满， 最后倒出石后，还用水加满，这时瓶中纯酒精比原来少几分之几？ 1283x-47.1=393 x=146.7 第五部分比和比例 考试真题∠ -、1.75272.2.751:4400000 3.正7：8 二、4.C5.A 三、6.略 四、7.解：设大约需要x个成年人伸开双臂 手牵手才能围住。 1.8x=1.35×40 x=30 第六部分 探索规律 考试真题∠ 一、1.(10n+5)2=n×(n+1)×100+52 2喝 0 二、3.C4.A 第七部分 图形的认识与测量 考试真题∠ 一、1.67等腰 2.25.123.14 二、3.B 第一部分字母和语音 考试真题∠ -、Cc Gg Mm Pp Uu Xx 二、1.p2.exit3.metro4.push 5.stop 三、1.B2.B3.A4.C5.A 四、1.the;brother's2.cheese;tea 3.cake;Kate 4.car;farm 参考答案⑨ 三、4.3×3.14×6×10=376.8(dm） 0.6×0.6×0.6=0.216(dm3) 第八部分图形的运动与位置 考试真题∠ -、1.402.2 128 二、3.B4.B 三、5.（1)略 (2)(4,3)3 (3)略（4)略 第九部分统计与概率 考试真题∠ -、1.82.28 二、3.C 4.D 第十部分解决问题 考试真题∠ -、1.802.36 二、3.D4.A 三、s4+1-4)×号+1-4)x (1)×6=2 语 5.how;flower 第二部分词法 考试真题∠ -、1.C2.A3.C4.B5.C 二、1.happy 2.swimming 3.was 4.her 5.has 6.read 7.best 8.cloudy 9.let's 10.countries 195