湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题

高一数学 时量：120分钟 满分:150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|x²+x-6≤0},B={0,1,2,3},则A∩B=（ ） A.{0,1} B.{1,2} C.{0,1,2} D.{0,1,2,3} 2.已知向量=(-2,1), =(λ,4),若⊥,则λ=（ ） A.2 B.8 C.-2 D.-8 3.已知x>-1,则 的最小值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 4.已知l、m、n为三条不同直线，α、β、γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ） A.若l⊥m,m⊥n,则l∥n B.若α⊥β,γ⊥β,则γ∥α C.若m⊥α,α⊥β,则m∥β D.若m⊥α,m∥β,则α⊥β 5.甲乙两人投球命中率分别为 , ，且甲乙互不影响，两人各投球一次，恰好有一人命中的概率为（ ） A. B. C. D. 6.记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=3,b=4,B=2A,则 （ ） （ ） A.1 B.-1 C. 8.已知直四棱柱 的底面是边长为6的正方形， 8,点M是棱AA₁的中点,E是棱AB上的一点,且AE=2EB,则过点D₁，M，E的平面截直四棱柱 所得截面的周长为（ ） 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数 则（ ） A. z的虚部为-2 B.|z|=5 C. z的共轭复数为-1+2i 10.连续抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有1，2，3，4，5，6的骰子两次，分别记录两次骰子正面朝上的点数，A表示事件“第一次正面朝上的点数为3”，B表示事件“第二次正面朝上的点数为奇数”，C表示事件“两次正面朝上的点数之和为7”，D表示事件“恰有一次正面朝上的点数不大于3”，则（ ） A. A 与B 相互独立 B. A与C 相互独立 C. A 与D 相互独立 D. C与D 相互独立 11.已知函数 则下列说法正确的是（ ） A.若ω=2,则f(x)在 上单调递增 B.若 则ω的最小值为1 C.若f(x)在( 内无零点，则ω的取值范围为 D.若f(x)在( 内单调递减，则ω的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=2x,则 f(0)+f(-2)= . 13.学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为3：2，统计数据得到男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为 14.已知平面向量, , 满足||=|- |=2,| - |=1,则·的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB 的中点，E为劣弧CB 的中点，且 (1)求证: (2)求直线 PC与平面 PAB 所成角的正切值. 16.(本小题满分15分) 某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛(满分100分)，共有100名教职工参加，其成绩均落在区间[50,100]内,将竞赛成绩数据分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值，并估计竞赛成绩的第75 百分位数； (2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在[80，90)，[90，100]内的两组教职工中抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞赛成绩在[90，100]内的概率. 17.(本小题满分15分) 在 中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 =b+c. (1)求A的值; (2)若 的面积为 求 的周长. 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中， 是正三角形，DA=DC,PA=PC,BD⊥PA. (1)求证:平面 PAC⊥平面ABCD; (2)设 求二面角A-PB-C的余弦值. (3)若P，A，B，C，D五个点均在球O的球面上，且O在平面ABCD内，若四棱锥P-ABCD的体积与球O 的体积分别为 求 的值. 19.(本小题满分17分) 已知O为坐标原点，对于函数 称向量 为函数的相伴向量，同时称函数为向量 的相伴函数. 已知 分别为函数f(x)，g(x)的相伴向量， (1)若 (i)求 (ii)若 且|g(x)|在x₀处取到最大值,求的值. (2)若f(x)g(x)的最大值为2026,求 的最大值. 高一数学参考答案 一、二、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A A D C C B D ACD ABC ABD 1．C 【解析】，故． 2．A 【解析】因为，所以，即，解得． 3．A 【解析】当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3． 4．D 【解析】对于A，若，，则、相交或异面，故A错误； 对于B，若，，则或相交；故B错误； 对于C，若，，则或，故C错误； 对于D，如图，因为，经过直线和平面内一点可作平面，设，则， 因为，故，又，故，故D正确． 5．C 【解析】甲命中的概率为，不命中的概率为；乙命中的概率为，不命中的概率为；设恰好有一人命中的概率为，则． 6．C 【解析】在中，由正弦定理得，即，解得， 而，故，， ，所以． 则． 7．B 【解析】原式． 8．D 【解析】连接交的延长线于点，连接，交于点，交的延长线于点，连接，交于点，连接，，，所以过点，，的平面截直四棱柱的截面为五边形． 由平行线分线段比例可知：，， 故点为中点，故，又， 故，． 故， ， ，， ，所以五边形的周长为． 9．ACD 【解析】． 对于A，的虚部为，正确； 对于B，，错误； 对于C，的共轭复数为，正确； 对于D，，正确． 10．ABC 【解析】根据题意得，，，，． 选项A．，，，A正确； 选项B．，，，B正确； 选项C．，，，C正确； 选项D．，，，D错误． 11．ABD 【解析】对于A选项，函数，当时，，符合题意，故A正确； 对于B选项，由于，，所以， 即或，所以或， 又，所以的最小值为1，故B正确； 对于C选项，由已知得整理得， 当时，，当时，，故的取值范围为，故C错误； 对于D选项，由于在内单调递减，由于函数在内单调递减，则满足解得，当时，．故D正确． 三、填空题 12． 【解析】由是定义在上的奇函数，得，又当时，，则-4，所以． 13．220 【解析】根据题意，由于男女生人数之比为，则样本中男女生人数之比为， 其中，男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169， 则样本的平均数， 样本的方差， 用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为220． 14．12 【解析】如图，设，，， 则，，由，， 得点在以为圆心，2为半径的圆上，点在以为圆心，1为半径的圆上， ，由图可知，当，，三点共线（，的位置分别如图中的，）时，取最大值4，取最大值3， 取最大值1，所以的最大值为12． 四、解答题 15．【解析】（1）连接交于，因为为劣弧的中点， 故是中点，又是中点，所以， 平面，平面，因此平面． （2）依题意，平面，故， 又为半圆弧的中点，因此，， 因此平面，故是直线与平面所成的角． 因为，所以， 因为，所以． 16．【解析】（1）由频率分布直方图可知，解得． 因为前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，所以第75百分位数在内． 设这次竞察成绩的第75百分位数为，则，解得． （2）采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8人， 竞赛成绩在内的有人，记为、、、、， 竞赛成绩在内的有3人，记为、、． 所有选法有、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共28种， 其中恰有1人的竞赛成绩在内的选法有、、、、、、、、、、、、、、， 共15种，故所求概率为． 17．【解析】（1）中，， 利用正弦定理：， 整理得， 故，整理得，由于，所以； （2）因为的面积为，则， 则，由正弦定理及， 则， 则． 由余弦定理，， 则， 则的周长为． 18． 【解析】（1）证明：由条件得，，，则是线段的中垂线，所以， 又，，，平面， 所以平面， 而平面，故平面平面； （2）如图所示，记与交于点，连接， 因为，为的中点，所以， 由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，取的中点，因为，故，同理，即为二面角的平面角， 由，，得，因此，因此， 因此，因此， 又，在.，由余弦定理，， 故二面角的余弦值为． （3）因为，，，，五点同在球上，且在平面内，故为四边形的外心，因此、、、四点共圆， 由对称性可知，为的中点， 设球的半径为， 则，，，又，故， 因此， ，因此． 19．【解析】（1）（ⅰ）依题意，， 所以的相伴向量，． （ⅱ）设，则，， 由． 于是，其中， 依题意，，即，，由在处取到最大值， 故，即， 因此． 注意到，从而． （2）设，，则，， ， 因此的最大值为． 注意到， 因此， 注意到，因此，即， 当，时，，且的最大值为2026，符合题意． 学科网（北京）股份有限公司 $