湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题

长沙市第一中学2024一2025学年爱高一第二学期期来考试 数 学 命题人：贲腾许笛 审题人：唐彬彬 时量：120分钟 满分：150分 得分 一、单选顾（木大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个 洗项中，只有一项是符合要求的) 斯 1.已知一组数据从小到大排列，10,20,30,40,50,60,70,80,90,100，则该 唰 组数据的40%分位数为 蜘 A.35 B.40 C.45 D.50 邮 bi 2.复数x2早，则到- 拟 长 A.1 B.5 C.2 D.5 区 3.四张卡片分别写有数字1,2,3,4，从这四张卡片中随机抽取2张，则取 出的2张卡片上数字之和为偶数的概率为 都 酃 A B c号 n 御 衡 4.已知a=log62,2=3,则1og215 Alatb c D号 5.如图，正八面体（所有面都是等边三角形）中异面直线AB与CF所成角 的正弦值为 A. 6 号 a D.1 数学试题（一中版）第1页（共8页） 6.已知a∈(-登，》，c(-受，》，且sima+cosa=sin月cos则 A.a-B- B.B-a-2 C.a+8-2 D.atB--> 7.已知x>0,y>0,xy十2x十y=6,则2x十y的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.5 8.设集合M=(a1,a2,…,an}(n≥3，n∈N"),若集合A,B,C满足AUBU C-M,A∩B=B∩C=A∩C=0,称(A,B,C)为集合M的一个“三分 划”（不考虑A,B,C的顺序，即将(A,B,C)与(B,A,C)视作同一种情 况).对于集合M={1,2,3,4,5,6,7,8},在M的所有“三分划”(A,B,C) 中，满足集合A,B,C中元素之和相等的“三分划”的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选 错的得0分) 9.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图(1)形成 对称形态，图(2)形成“右拖尾”形态，图(3)形成“左拖尾”形态，根据所给 图作出以下判断，正确的是 (1) 3 0.图(1)的平均数=中位数=众数 B.图(2)的众数<中位数<平均数 C.图(2)的众数<平均数<中位数 D.图(3)的平均数<中位数<众数 10.在等腰△ABC中，A=120°，AB=4,记AB=a,AC=b,点D,E分别是 线段AB,BC的中点，且点P是线段DE(包括端点)上的一个动点，A户 =a十b(A,μ∈R),则下列说法正确的是 数学试题（一中版）第2页（共8页） A点P运卖到E点处时，=一 B点P运动到线段DE中点处时，以一一月 CAP的最小值为3 D.A币·CP的最大值为8 11.如图，若正方体ABCD-A:BCD的棱长为2，点M是正方体 ABCD-A:BCD在侧面BCCB上的一个动点（含边界），点P是棱 AA:的中点，则下列结论正确的是 D A.平面PCD藏该正方体的营面面积为5 B若PM=2,2,则点M的赖迹长度为号 C.若M为B,C的中点，则三棱锥P-DCM的体积为1 DD,M与平面DPC所成角的正弦值的取值范围为[O,号】 选择题答题卡 题号 1 2 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.球员A罚球命中的概率是0.7，球员B罚球命中的概率是0.6，且两人 罚球是否命中相互独立，那么在一次两人罚球过程中，至少有一人罚球 命中的概率是 .(用小数表示) 13.设y=f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，+∞)上是增函数，又满 足f(2)=0,则不等式xfx)>0的解集是 数学试题（一中板）第3页（共8页） 14,甲，乙两支羽毛球队体检结果如下，甲队体重的平均数为阶爆：打差为 100,乙队体重的平均数为6%织，方差为20，又已阳甲，乙确队的队员人 数之比为13，那么甲，乙两队全部队员体重的方差等于 四、解答题（木大题共5小题，共77分，解答应写出文字税明，证明垃程或 演算步曦) 15.（13分)如图，在长方体ABCD-A,BCD,中，AB=AD=3,AA=6, E为AA,的中点 (1)求证：A,C∥平面BDE: (2)求二面角A-DE-B的正弦值. 数学试题（一中版）第4页（共8页） 16(15分)长沙是一座历史悠久、文化旅游资源丰富的城市.为更好地了 解游容对长沙旅游体验的感受，长沙市旅游部门随机选择100名游客 对长沙旅游体验进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的 评分，制成如图所示的颗率分布直方图 颜本/组距 0.040 0.015 889 0 50.60708090100芬数 (1)根据频率分布直方图，求x的值； (2)估计这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数（同一组数 据用该区间的中点值作代表)； (3)旅游部门的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在[50， 60),[60,70)的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进 行单独访问，求选取的2人中，恰有1人评分在[50,60)内，另1人 在[60,70)内的概率 数学试题（一中版）第5页（共8页） 17.(15分)如图，在△ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c,S为三角形的面 积，已知角A满足S=b+c2-a2-bcsin A. (1)求cosA; (2)若b=3,c0sB=号，E,F分别在边AB,BC上，将△BEF沿着线段 EF对折，顶点B恰好落在边AC上的D点，当AD=DC时，求 △DEF的面积. 数学试题（一中版）第6页（共8页） 18.(17分)已知函数f(x)=1+lnx,g(x)=e. ①设函数F()=》,求F()在区间O,1上的值域 （2)设函数Gr)=①求C02)的值： g(x)+√E =1 (3)设函数H(x)=[f(x)-1]2+(6一k)f(x)十k+3,且Hx1∈[e, e门，3x2∈R,H(x1)≥g(x2)成立，求实数k的取值范围. 数学试题（一中版）第7页（共8页） 19.(17分)球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形（特 别是三角形)的角、边、面积等问题，其在航海、航空、卫星定位等方面都 有广泛的应用. 定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点，过球心的平面与球面 的交线称为该球的大圆，易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径 点，如图1的A和A'球面上两个对径点和以这两点为端点的两个半 大圆所围成的球面图形称为球面二角形 对于球面上不在同一个大圆上的点A,B,C,过任意两点的大圆上的劣 弧AB,BC,CA所组成的图形称为球面三角形ABC,记其面积为 S球△.若球面上A,B,C,的对径点分别为A,B,C,则球面△AB'C 与球面△ABC全等. 图1 图2 (1)如图1，已知球O的半径为R,两个半大圆所成的锐二面角为9，用 0,R表示球面二角形的面积S; (2)如图2，已知球O的半径为R,圆弧AB和AC所在平面交成的锐二面 角B-AO-C的大小为a,圆弧BA和BC所在平面、圆弧CA和CB所 在平面交成的锐二面角的大小分别为B,Y (1)若平面OAB,平面OAC,平面OBC两两垂直，求球面△ABC 的面积S球面△ABC; (i)用a,B,y,R表示球面△ABC的面积. 数学试题（一中版）第8页（共8页）