1.1集合的概念导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“集合的概念”，涵盖集合定义、元素特性、分类、表示方法及元素与集合关系等核心知识点。通过具体实例导入，衔接初中对“整体”的认知，为函数等后续知识搭建结构化学习支架。 导学案系统梳理知识脉络，设考点与题目对应表强化针对性训练，分层设计单选至解答题。助力学生夯实基础，培养抽象能力（数学眼光）、逻辑推理（数学思维）和符号表达（数学语言），提升学习效率与学科素养。

1.1集合的概念导学案 ★ 提纲携领 夯实基础 【1】集合的概念 一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示． 说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等． 【答案】 研究的对象 一些元素 【2】集合中元素的三个特性：__________、_________、_________； 【答案】确定性 互异性 无序性 （1）确定性——对于一个给定的集合，它的元素必须是___.也就是说，如果给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了. 【答案】确定的 （2）互异性——对于一个给定的集合，它的元素一定是___的.也就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算为___元素. 【答案】 互不相同 一个 （3）无序性——对于一个给定的集合，它的元素并无___，即任何两个元素都是可以交换顺序的. 【答案】 先后顺序 【3】集合的分类：按集合中元素的个数划分，集合可以分为______、______. 【答案】 有限集 无限集 （1）无限集：元素________的集合叫无限集（或无穷集）. 【答案】无限多 （2）有限集：元素个数________的集合叫有限集（或有穷集）. 【答案】有限 （3）一般地，我们把不含任何元素的集合称为_______，记作______. 【答案】 空集 【4】集合的四种表示方法：______、______、______、______． 【答案】 列举法 描述法 韦恩图法 符号法 （1）把集合的元素____________________出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 提示：运用列举法表示集合，应注意：①元素间用“，”分隔，不能用其它符号代替；②元素不重复；③元素间无顺序；④“{　}”表示“所有”、“整体”的含义，不能省略 【答案】一一列举 （2）描述法： ①定义:一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有___P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法. ②写法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___. 【答案】 共同特征 共同特征 （3）Venn图的概念 我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn图． 说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显． 【答案】封闭曲线 （4）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 _____________ N*或（N＋） Z Q R C 注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R. 【5】元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a_______集合A，记作_______； 如果a不是集合A中的元素，就说a_______集合A，记作_______. 【答案】 属于 不属于 ★★ 心中有考点 学习有方向 考点 对应题目 练后感悟 判断元素能否构成集合 10 判断是否为同一集合 11 判断元素与集合的关系 1，2,3，13 利用元素的互异性求参数 5，12，17 利用元素与集合的关系求参数 4，5, 根据集合中元素的个数求参数 6，15，16,18,19 根据集合相等关系求参数 14 判断集合中元素的个数 7,8,9 ★★★ 脚踏实地 训练为本 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，，，. 2．给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】因为是实数，所以，①正确； 因为是整数，所以，②正确； 因为是正整数，所以，③错误； 因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B 3．已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据集合的定义，逐一分析集合中的元素是否满足条件. 【详解】集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，满足，所以， 集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，满足，所以， 所以. 故选：A. 4．已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合的属于、不属于关系，从的所有可能取值中排除不符合要求的取值，即可确定的值 【详解】由，可知a的可能取值为0,1,2,3； 再由，可排除取值0、1、3； 因此的取值只能为2. 5．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 6．已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系求解即可. 【详解】因为集合，且中只有一个元素，则必有，且不属于集合， 所以,则实数的取值范围是 7．集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【知识点】列举法求集合中元素的个数、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 8．定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】集合新定义、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】根据新定义运算求得，进而确定正确答案. 【详解】由，得时的值恒为1. 当时，；当时，. 所以，元素个数为2. 故选：B 9．定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】集合新定义、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】根据给定定义求出中的所有元素即可. 【详解】，当时，； 当时，；时，， 因此，所以中元素个数为5. 故选：C 二、多选题 10．下面能组成一个集合的是（    ） A．横峰中学高一年级聪明的学生 B．的近似值 C．直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点 D．所有奇数 【答案】CD 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】由集合元素的确定性逐个判断即可. 【详解】横峰中学高一年级聪明的学生, 的近似值所指元素都不具有确定性， 直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点，所有奇数所指元素明确. 故选:CD 11．下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】判断是否为同一集合 【分析】根据集合的定义判断． 【详解】对A，两个集合的元素不相同，不是同一集合； 对B，两个集合都是2和3两个元素，是同一集合， 对C，集合的元素是点（或有序实数对），集合的元素是实数，不是同一集合， 对D，两个集合都是由大于2的实数构成，是同一集合， 故选：BD． 12．（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD. 三、填空题 13．当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 【答案】 【知识点】集合新定义、判断元素与集合的关系 【详解】由“孤立元素”的定义知，对任意，要成为的孤立元素， 必须是集合中既没有，也没有． 因此只需逐一排查中的元素即可． 而0有1“相伴”，1，2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”， 从而集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为． 14．已知,若集合，则的值为_________. 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】利用集合的互异性、无序性，集合相等的含义解决即可. 【详解】 易知,因此. 因此有. 由集合的互异性可知，故 得 因此，. 故答案为：. 15．若集合中只有一个元素，则满足条件的实数构成的集合为______． 【答案】/ 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】根据方程根的情况分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，，符合题意； 当时，要使该集合只有一个元素， 必须且只需方程有两个相等的实根， 即，符合题意， 所以满足条件的实数构成的集合为， 故答案为： 16．已知是有两个元素的集合，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】由题意可知：有2个不同的实数根，利用判别式求解即可. 【详解】由题意可知：有2个不同的实数根， 则，解得且， 所以实数m的取值范围是． 故答案为：. 17．设为非零实数,m=+++，则的所有值组成的集合为____ 【答案】 【知识点】根据集合相等关系进行计算、列举法表示集合 【分析】分别根据的正负，分类讨论，即可求解的值，得到答案. 【详解】因为为非零实数， 所以时，+++； 当中有一个小于0时，不妨设， 此时+++； 当中有两个小于0时，不妨设， 此时+++； 当中有三个小于0时，此时+++， 所以的所有值组成的集合为 四、解答题 18．已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 19．已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1集合的概念导学案 ★ 提纲携领 夯实基础 【1】集合的概念 一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示． 说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等． 【2】集合中元素的三个特性：__________、_________、_________； （1）确定性——对于一个给定的集合，它的元素必须是___.也就是说，如果给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了. （2）互异性——对于一个给定的集合，它的元素一定是___的.也就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算为___元素. （3）无序性——对于一个给定的集合，它的元素并无___，即任何两个元素都是可以交换顺序的. 【3】集合的分类：按集合中元素的个数划分，集合可以分为______、______. （1）无限集：元素________的集合叫无限集（或无穷集）. （2）有限集：元素个数________的集合叫有限集（或有穷集）. （3）一般地，我们把不含任何元素的集合称为_______，记作______. 【4】集合的四种表示方法：______、______、______、______． （1）把集合的元素____________________出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 提示：运用列举法表示集合，应注意：①元素间用“，”分隔，不能用其它符号代替；②元素不重复；③元素间无顺序；④“{　}”表示“所有”、“整体”的含义，不能省略 （2）描述法： ①定义:一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有___P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法. ②写法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___. （3）Venn图的概念 我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn图． 说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显． （4）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 _____________ N*或（N＋） Z Q R C 注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R. 【5】元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a_______集合A，记作_______； 如果a不是集合A中的元素，就说a_______集合A，记作_______. 考点 对应题目 练后感悟 判断元素能否构成集合 10 判断是否为同一集合 11 判断元素与集合的关系 1，2,3，13 利用元素的互异性求参数 5，12，17 利用元素与集合的关系求参数 4，5, 根据集合中元素的个数求参数 6，15，16,18,19 根据集合相等关系求参数 14 判断集合中元素的个数 7,8,9 ★★★ 脚踏实地 训练为本 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 6．已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 8．定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 9．定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 10．下面能组成一个集合的是（    ） A．横峰中学高一年级聪明的学生 B．的近似值 C．直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点 D．所有奇数 11．下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 12．（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 三、填空题 13．当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 14．已知,若集合，则的值为_________. 15．若集合中只有一个元素，则满足条件的实数构成的集合为______． 16．已知是有两个元素的集合，则实数m的取值范围是______． 17．设为非零实数,m=+++，则的所有值组成的集合为____ 四、解答题 18．已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 19．已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $