1.2 集合间的基本关系-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

例2：(1){xeRI1<x<10}. (3)①因为P是偶数集，Q是4的倍数集，所以Q军P.②P= (2){(x,y)1x<0,且y>0} (3){xlx=3n+1,n∈N}. 1x-3>0=1x>3,0=x2-5≥0；={≥} 跟踪训练2：(1)奇数可表示为2k+1,k∈Z,又因为大于6，故k 所以P军Q.③P=xlx2-x=0}={0,1}.在Q中，当n为奇 ≥3，故可用描述法表示为{xIx=2k+1,k∈N,且k≥3}. 数时，x=1+)=0,当n为偶数时，x=1+)-)=1,所 (2)点可用实数对表示，故可表示为{(x,y)y=3x2-1}, 2 2 (3){xlx是三角形}. 以Q={0,1},所以P=Q 例3：(1)①当k=0时，方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0, 跟踪训练1：(1)C(2)A 解得x=2,满足题意；②当k≠0，要使集合A={xk2-8x+ 【解析】(1)B={yly=6m+5,meZ}=xlx=6m+5,me 16=0}中只有一个元素，则方程kx2-8x+16=0有两个相等 Z},任意x∈B,则存在m∈Z,使x=6m+5,而x=6m+5= 的实数根，所以△=64-64k=0,解得k=1,此时集合A= 3(2m+2)-1∈A,故BCA,又.2∈A,2B,∴.BA.故选C 4},满足题意.综上所述，k=0或k=1,故实数k的值组成的 (2)集合A,B,C,D,E之间的关系可 A 集合为0,1} 用Venn图表示，结合右图可知，应 (2)由题意可知，方程kx2-8x+16=0有两个不等实根，故k 选A )D ≠0，且△=64-64k>0,即k<1,且k≠0.所以实数k的值组 例2：(1)D (2)见解析 成的集合为{kIk<1,且k≠0}. 【解析】(1)满足题意的集合A可 跟踪训练3：(1)由A={2,3}知，方程x2-ax+b=0的两根为 以是{1,3,1,2,1,3,2,3 2,3, 共有5个. 由根与系数的关系得仔好么因此a=56=6 (2)因为A={(x,y)lx+y=2,x,yeN},所以A={(0,2),(1,1), (20)}. (2)当a=0时，方程化为-2x+2=0,解得x=1,此时M= 所以A的子集有：0，(0,2)}，(1,1)}，{(2,0)}，(0,2)， 1},满足条件. (1,1)},{(0,2),(2,0)},(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1), 当a≠0时，方程为一元二次方程，由题意得4=4-8a≤0，即 (2,0)}. ≥子，此时方程无实数根或有两个相等的实数根综合(1) 跟踪训练2：C由题意知，集合A可以为a,b},a,b,c},a,b, di,a,b,e,a,b,c,d,a,b,c,ej,a,b,d,ej. (2)可知，当a≥？或a=0时，集合M中至多有一个元素 例3：(1)当ACB时，如图所示，此时B≠O. r2m-1>m+1, rm>2. 随堂检测重反馈 {m+1≤-2，即{m≤-3， l2m-1≥5. m+1-2052m-1x 1.AD由题意可知，满足题设条件的有选项AD,故选AD 【m≥3， 2.B选项A是以方程为元素的集合，其中只有一个元素.B选 ∴.m不存在，即不存在实数m使ACB. 项中化简得{0,1}符合题意.C选项是个无限集，D选项也是 (2)①当B≠☑时，若B军A,如图所示 无限集. rm+1≥-2， rm+1>-2 3.DA=(x,y)lxy≤0，xeR,yeR}的元素满足xy<0或y 2m-1<5,或2m-1≤5， -2m+102m-1 =0,当y=0时，表示两个坐标轴上的点，当y<0时，表示 2m-1≥m+1,【2m-1≥m+1. 第二象限或者第四象限的点.故选D. 解这两个不等式组，得2≤m≤3， 4.-1,4}4eA,.16-12+a=0,.a=-4,.A={x ②当B=☑时，满足BA,由m+1>2m-1,得m<2. x-3x-4=0}={-1,4} 综上可得，m的取值范围是{mlm≤3}. 跟踪训练3：(1)D(2)见解析 1.2集合间的基本关系 【解析】(1)当B=☑，即a=0时满足条件.当B≠☑，即a 教材梳理 明要点 ≠0时，B={ =-日}因为Bc4,所以有-。eA,所以 新知初探 知识点 a=±1；综上可得实数a的所有可能取值的集合是-1,0， 1}.故选D. 1.封闭曲线 2.任意子集ACBA包含于B ACA ACC (2)当B=⑦时，只需2a>a+3,即a>3,此时满足B二A,适 3.A=B ACB BCA 合题意；当B≠⑦时，根据题意作出如图所示的数轴， 知识点二 x生AA军BA真包含于B 2aa+3-14x 142aa+3x 知识点三 不含任何元素⑦ 可符+92i6320解开。<-4成2<a≤3 la+3<-1, 预习自测 上可得，实数a的取值范围为{ala<-4或a>2. 1.D1e1,2,3},2年{1}，1}军{1,2,3}.故选D. 2.(1)∈(2)e(3)=(4)￥(5)￥(6)= 随堂检测重反馈 1.D 题型探究提技能 2.BCA应是{1}{0,1,2}；对于B,集合中的元素有无序性 例1：(1)BC(2)D(3)见解析 故B正确；对于C,任何集合都是本身的子集，故{0,1,2}C 【解析】(1)☑不含任何元素，0⑦，故A错误；空集是任何集 合的子集，故B正确；10,2}=2,0}，故C正确；D错误，应该是 {1,0,2},故C正确；D应是☑车{0}. 0{0,1,2}. 3.C 由数轴知B军A.A (2)在A中，M和N中的元素表示不同的，点；在B中，M是空 -2-101 集，N是单元素集；在C中，M是数集，N是点集；在D中，M= 4.{ala≥6}A={xI1<x<6},B={xlx<a},由ACB,结合 yly=x2+1,xeR={yly≥1}，N={tlt=(y-1)2+1,ye R}=t川t≥1}.因此，M=N.故选D. 数轴可知a≥6.6。 -310006 随堂检测重反馈 1.(多选)由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是 A.{-2,0,2,4,6,8,10} B.{0,2,4,6,8,10 C.{x|-3<x<11,x=2k D.xl-3<x<11,x=2k,kEZ 2.下列集合中恰有2个元素的集合是 A.{x2-x=0 B.yly2-y=0 C.xly=x2-x D.yly=x-x 3.集合A={(x,y)lxy≤0，x∈R,y∈R表示的是 A.第二象限的点 B.第四象限的点 C.第二和第四象限的点 D.不在第一象限也不在第三象限的点 4.设集合A={xx2-3x+a=0},若4∈A,用列举法表示集合A为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[2] 1.2集合间的基本关系 新课程标准解读 学科核心素养 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 数学抽象、逻辑推理 在具体情境中，了解空集的含义， 数学抽象 能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用. 数学抽象、直观想象 教材梳理 明要点 ●情境导入 我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5=5,5<7,5>3 等等，两个集合之间是否也有类似的关系呢？ P[提示] [提示] 两个集合之间有包含 旦新知初探 关系、真包含关系、 知识点一子集 相等关系和不包含 l.Venn图：在数学中，我们经常用平面上 的内部代表集合，这种图 关系. 称为Venn图. 2.子集 一个元 定义 般地，对于两个集合A,B,如果集合A中 素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的 记法与读法 记作 (或B2A),读作“ ”(或“B包含A”) 图示 或 A (B) (1)任何一个集合是它本身的子集，即 结论 (2)对于集合A,B,C,若A二B,且BCC,则 007 3.集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作 也就是说，若 ,且 ,则A=B 知识点二真子集 如果集合ACB,但存在元素x∈B,且 就称集合A 定义 是集合B的真子集 记作 记法与读法 (或B吴A),读作“ ”(或“B真包含 A”) 图示 A 知识点三 空集 定义 般地，我们把 的集合叫做空集 记法 规定 空集是任何集合的子集，即☑二A [知识点反思] 1.相等关系和真子集 (1)空集只有一个子集，即它本身，☑二☑； 特性 关系一定是子集关系。 (2)A≠⑦，则☑手A 子集关系可能是相等 关系，也可能是真子 [知识点反思] 集关系； 自预习自测 2.0是元素，☑是不 1.已知集合M={1},N={1,2,3},则有 含任何元素的集合； {0}是含有一个元 A.M<N B.M∈N 素的集合，☑军 C.N∈M D.MSN {0). 2.用适当的符号填空： (1)a a,b,cl; (2)0 {xx2=0}; (3)0 {x∈RIx2+1=0};(4){0,1} N: (5)0} xlx2=x: (6){2,1} {xlx2-3x+2=0}. 题型探究提技能 题型一 集合间关系的判断 例1.(1)（多选）下列写法中正确的是 ( A.0∈O B.0c{0} C.{0,2}≤{2,0 D.{0∈{0,1,2 (2)在下列选项中，使M=N的是 A.M={(1,-3)},N={(-3,1)} B.M=☑，N={0 C.M={yly=x2+1,x∈R,N={(x,y)ly=x2+1,x∈R D.M={yly=x2+1,x∈R,N={tlt=(y-1)2+1,y∈R 008 [方法总结1] (3)判断下列两个集合之间的关系： 判断集合间关系的三 ①P={xlx=2n,n∈Z},Q=xlx=4n,neZ}; 种常用方法 ②P={x|x-3>0},Q={xI2x-5≥0}； 列举观察法 1+(-1)" 当集合中元素较少 ③P={xlx2-x=0},Q=xx=22】 >[方法总结1] 时，可列出集合中的 全部元素，通过定义 得出集合之间的关系 集合元素特征法 首先确定集合的代表 )》跟踪训练1 元素是什么，弄清集 (1)若集合A={xlx=3k-1,k∈Z},B={yly=6m+5,m∈Z},则集合A与B 合元素的特征，再利 用集合元素的特征判 的关系是 ( 断关系 A.A=B B.ACB C.BSA D.不确定 数形结合法 (2)设A={四边形}，B={梯形}，C={平行四边形}，D={菱形}，E={正方 利用数轴或Venn图， 形}，则它们的关系是 () 不等式的解集之间的 A.E手D手C手A B.DE手C￥A 关系，适合用数轴法 C.D手B手A D.ED手C手B军A 题型二 确定集合的子集、真子集 [方法总结2] 求集合子集的要点 2.(1)已知集合A{1,2,3},且A中至少有一个奇数，则这样的集合有 1.要注意两个特殊的 ( 子集：⑦和自身； A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.按集合中含有元素 的个数由少到多，分 (2)已知集合A={(x,y)Ix+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集， 类一一写出，保证不 ●[方法总结2] 重不漏； 3.含n个元素的集 合，所有子集的个数 是2”，真子集的个数 )》跟踪训练2 是2n-1,非空真子 满足{a,b}二A{a,b,c,d,e的集合A的个数是 集的个数是2”-2. A.2 B.6 C.7 D.8 题型三由集合间的关系求参数范围问题 [方法总结3] 利用集合间的关系求 例3已知集合4=x2≤x≤5，B=x1m+1≤≤2m-1. 参数的方法 /,不连续数集的包含 ()若ACB,求实数m的取值范围：来合B分为空来和不为空来两 (2)若B手A,求实数m的取值范围. 关系，转化为元素与 种情况讨论 集合的关系，建立方 [方法总结3] 程求解； 2.连续数集的包含关 系，通常将各个集合 )跟踪训练3 在数轴上表示出来， 以形定数，建立不等 (1)己知集合A={-1,1},B={xax+1=0},若B二A,则实数a的所有可能 关系求解要注意区间 取值的集合为 () 端点是实点还是虚 A.{-1} B.{1} C.{-1,1} D.{-1,0,1} 点，以便确定不等式 (2)已知集合A={xlx<-1,或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若BCA,求实 是否带等号； 数a的取值范围. 3要注意“空集”的 情况，空集是任何集 合的子集 009 随堂检测 重反馈 1.集合A={0,2,4,6}的子集的个数是 A.8 B.12 C.15 D.16 2.（多选)以下四个选项中，正确的为 A.{1}∈{0,1,2 B.{1,-3}={-3,1 C.{0,1,2}{1,0,2 D.☑e{0 3.已知集合A={xlx<-2或x>0},B={x0<x<1},则 A.A>B B.A手B C.BA D.A<B 4.集合A={xI1<x<6},B={xlx<a},若A二B,则a的取值范围为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[3] 1.3集合的基本运算 第1课时并集与交集 新课程标准解读 学科核心素养 理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集 数学抽象、数学运算 能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 数学运算、直观想象 教材梳理明要点 ●情境导入 学校高一年级准备成立一个物理兴趣小组，要求成员同时满足： (1)物理成绩不低于80分； [提示] (2)数学成绩不低于120分. 集合的P元素既属于 问题： 集合M,又属于集合 如果满足条件(1)的同学组成的集合记为M,满足条件(2)的同学组成的N;集合Q的元素要 集合记为N,而能成为物理兴趣小组成员的同学组成的集合记为P,满足 么属于集合M,要么 条件(1)或(2)的同学组成的集合记为Q,那么集合M、N与集合P、Q有 属于集合N,也可能既 什么关系呢？ ●[提示] 属于集合M,又属于 集合N. e新知初探 知识点一并集 一般地，由所有属于集合A 属于集合B的元素组成的集 自然语言 合，称为集合A与B的 ,记作 (读作“ ”) 符号语言 AUB= 图形语言 A B A 性质 AUB=BUA,AUA=A,AU☑=A,AUB=A台BCA,AC(AUB), BC(AUB)