2.4 一元二次方程的应用 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，课堂导入通过复习勾股定理、行程关系及图形面积公式等旧知，为几何问题、传染问题、营销问题等新授内容搭建学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于情境丰富，涵盖海军巡航、《九章算术》名题、销售利润等实际与历史场景，培养数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（推理与验根）、数学语言（模型表达）。小结系统梳理列方程步骤及公式，助力学生形成结构化认知，提升解决问题能力，也便于教师高效开展教学。

2.4 一元二次方程的应用 4 一元二次方程的应用（1） 学习目标 1.掌握列一元二次方程解决数学问题的方法,并能根据具体问题的实际意义,检验结果的合理性。（重点、难点） 2.理解将实际问题抽象为方程模型的过程。（难点） 复习导入 1.勾股定理的内容： 2.行程问题中速度、时间、路程的关系： 3.直角三角形、梯形、长方形、正方形的面积： 在Rt△ABC中 ，∠C=90°，则a2+b2=c2. a A B C b c 路程=速度×时间 S直角三角形=底×高÷2 S梯形=（上底+下底）×高÷2 S长方形=长×宽 S正方形=边长×边长 知识讲解 知识点 一元二次方程的应用 如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200 n mile 处有一重要目标B,在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰. 已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1n mile) A B C D F E 北 东 例1 行程问题 解：连接DF.∵AD=CD , BF=CF,∴DF是△ABC的中位线.∴DF∥AB，且DF=AB.∵AB⊥BC, AB = BC =200 n mile,∴DF⊥BC, DF =100 n mile. 设相遇时补给船航行了x n mile,那么 DE = x n mile , AE + BE = 2x n mile, EF=AB +BF-(AB + BE) =(300-2x)n mile. 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程 x2 = 1002 + (300-2x)2. 整理得：3x2 -1200x+100000= 0 , 解方程得(舍去) 例2 面积问题 等腰梯形的面积为160 cm2,上底比高多4 cm,下底比上底多16 cm，求这个梯形的高. 例3 古代数学问题 《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙各行几何?”大意是说:已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙 一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走了多远? 解：设甲、乙相遇时所用时间为x，根据题意，得 （7x-10)2=(3x)2+102. 整理得2x2-7x=0.解得x1=3.5,x2=0（不合题意，舍去） 所以，3x=3×3.5=10.5,7x=7×3.5=24.5. 答：甲走了24.5步，乙走了10.5步. 乙：3x 10 7x-10 起点 相遇点 例4 传播问题 有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过288人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过多少人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染x人， 由题意得，2+2x+(2+2x)x=288, 解得:x1=11,x2=-13, 答:每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过11个人. 随 堂 小 测 1.如图，要把长为 4 m、宽为 3 m的长方形花坛四周扩展相同的宽度 x m,得到面积为 30 m2的新长方形花坛，则x的值为（ ） A.4.5 B.2 C.1.5 D.1 D x m 4 m 3 m 2.如图1,将一张长20 cm,宽10 cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖纸盒,纸盒底面积为48 cm2,则该有盖纸盒的高为（ ） A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm C 3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157,每个支干长出的小分支数目为（ ） A.12 B.11 C.8 D.7 A 4.《九章算术》中“勾股”章有一个问题:今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈( 1丈=10尺，1尺=10寸)，问户高、广各几何?意思是:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少?设门的宽为x尺，下列方程中正确的为（ ） A.x2+(x+6.8)2=102 B.x2+(x-6.8)2=12 C.x2+102=(x+6.8)2 D.x2÷(x÷6.8)2=12 A 5.如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16 cm, AD=8 cm.动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动, 一直到达B为止;点Q以2cm/s的速度向D移动.当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm. ( ) (若一点到达终点，另一点也随之停止运动. A.2s或4.6s B.1s或4.4s C.4.4s D.2s或4.4s D 小结 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： 在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，但一般情况下只有一个根符合实际问题的要求，所以解方程后一定要检验看哪个根是符合实际问题的解. 审清题意 设未知数 列方程 解方程 作 答 验根 4 一元二次方程的应用（2） 学习目标 1.会用一元二次方程解决营销问题及增长率等问题。（重点） 2.培养化实际问题为数学问题的能力及分析、解决问题的能力。（难点） 复习导入 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： 审清题意 设未知数 列方程 解方程 作答 验根 知识讲解 知识点 应用一元二次方程 例1 销售问题 新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元.调查发现:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元? 分析：本题的主要等量关系是： 每台的销售利润×平均每天销售的数量= 5000元. 解：设每台冰箱降价x元,根据题意,得 整理，得 解得， 所以 答：每台冰箱的定价应为2750元. 例2 增长率问题 新能源汽车节能、环保， 越来越受消费者喜爱.去年某款新能源汽车销售量为15万辆，销售量逐年增加，明年预估当年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率. 解：设年平均增长率为x, 根据题意可列方程:15(1+x)2=21.6. 解得:x1=0.2,x2=-2.2(不合题意,舍去) . 答:这款新能源汽车的年平均增长率是20%. 例3 循环问题 在一次会议上,每两个参加会议的人都握了一次手， 据统计一共握了55次手，则这次参加会议到会的人数是多少？ 例4 数字问题 有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数. 随 堂 小 测 1.某海鲜市场以每千克10元的进价进了一批螃蟹, 经市场调研发现:售价为每千克20元时，每天可销售40千克.售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克.如果该海鲜市场想平均每天获利408元,设这种螃蟹的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（ ） A.(x-10)[40-3(x-20)]=408 B.(20+x)(40-3x)一10×40=408 C.(20+x)(40-3x)=408 D.(20+x-10)(40-3x)=408 D 2.两个相邻自然数的积是132.则这两个数中，较大的数是（ ） A.11 B.12 C.13 D.14 B 3.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 4.前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 解：设甲种药品的年平均下降率为x. 根据题意，得5000(1－x)2 =3000， 解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％. 注意：下降率不可为负，且不大于1. 5.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a,b)进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b-3.例如把(2,-5)放入其中，就会得到22+2×（－5）－3=－9，现将实数（m,－3m)放入其中，得到实数4，则m的值是多少？ 解：根据题意得,m2+2×(-3m)-3=4, 解得m1=7,m2=-1, 所以m的值是7或-1. 小结 解决利润问题常用的关系有： (1)利润＝售价－进价． (2)利润率＝×100% ＝×100%. (3)售价＝进价(1＋利润率)． (4)总利润＝单个利润×销售量＝总收入－总支出． a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 平均变化率问题 $