2.2 一元二次方程的解法 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的解法，涵盖直接开平方法、配方法（含二次项系数为1与不为1）、公式法及因式分解法，通过梯子滑动、小球运动等实际问题导入，衔接平方根意义等旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题情境培养数学眼光，如用小球高度问题抽象方程；通过转化思想发展数学思维，如配方法将方程化为完全平方式；以规范步骤和多样例题强化数学语言表达。小结系统梳理方法，助力学生掌握解题逻辑，教师教学更具层次性与高效性。

2 一元二次方程的解法 2 一元二次方程的解法 第1课时 用配方法解简单的一元二次方程 学习目标 1.会用直接开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程.（重点） 2.理解配方法的基本思路.（难点） 3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.（重点） 课时导入 在上一课的问题中，梯子底端滑动的距离x（单位：m）满足方程x2 +12 x －15 = 0. 我们已经求出了x的近似值，你能设法求出它的精确值吗？ 知识讲解 知识点1 直接开平方法 思考·交流 x2+2x+1=5 x2=5 2x2+3=5 （x+6）2+72=102 解：开平方，得 解：2x2 + 3 = 5 化简，得 x2 = 1 x1 = 1 x2 = -1 （1）你能解哪些特殊的一元二次方程？ （2）你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ x2+2x+1=5 x2=5 2x2+3=5 （x+6）2+72=102 解： x2 + 2x + 1 = 5 ( x + 1)2 = 5 解： (x+6)2 + 72 = 102 (x+6)2 = 51 1.定义 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程解的方法叫作直接开平方法. 直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点： ①不要只取正的平方根而遗漏负的平方根； ②只有非负数才有平方根，所以直接开平方法的前提是x2=p中p ≥ 0. 2. 方程x2=p 的解(根)的情况 (1)当p>0 时，方程有两个不等的实数根 x1=－ ，x2= ； (2)当p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1=x2=0； (3)当p<0 时，方程没有实数根. 1. 用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数根的方程为( ) A. x2－1=0 B. x2=0 C. x2+4=0 D. －x2+3=0 C 随 堂 小 测 2. 若关于x 的代数式2x2+2 与2x2－10 互为相反数， 则x 的值为( ) A. －2 B. ±2 C. D. ± C 3. 在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a﹡b=a2-b2，根据这个规则，求方程（x-2）﹡1=0的解为_______________． 知识讲解 知识点2 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 你能解方程 x2 + 12x-15 = 0 吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程转化成上面的形式吗？与同伴进行交流. x2 + 12x -15 = 0 移项，得 x2 + 12x = 15 两边都加 62，得 x2 + 12x +62 = 15+62 即 ( x + 6 )2 = 51 两边开平方，得 解得 这里，解一元二次方程的思路是将方程转化为（x+m）2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数.当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出原一元二次方程的根. 一元二次方程 (代数式)2=常数 一元一次方程 转化 开平方 降次 操作·思考 （1）填上合适的数，使下列等式成立： x2+12x+ =（x+6）2 x2－4x+ =（x－ ）2 x2+8x+ =（x+ ）2 36 4 2 16 4 （2）观察（1）中三个等式的左右两边，你觉得常数项和一次项系数有什么关系呢？ 常数项等于一次项系数一半的平方 例1 解方程：x2 + 8x–9 = 0. 解: 可以把常数项移到方程的右边，得 x2 + 8x = 9， 两边都加上一次项系数 8 的一半的平方，得 即 (x+4)2 = 25. 两边开平方，得 x + 4 = ±5， 即 x+4 = 5，或 x+4 = -5， 所以 x1 = 1，x2 = -9. 配成完全平方式. 1. 定义 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，称为配方法. 2. 用配方法解一元二次方程的一般步骤 （1）移项. （2）二次项系数化为1. （3）配方. （4）开方. 随 堂 小 测 4. 一元二次方程 x2－6x－6=0 配方后化为( ) A. (x－3)2=15 B. (x－3)2=3 C. (x+3)2=15 D. (x+3)2=3 D 5.一名同学将方程x2－4x－3=0化成了(x+m)2=n 的形式， 则m，n 的值应为( ) A. m=－2，n=7 B. m=2，n=7 C. m=－2，n=1 D. m=2，n=－7 B 小结 用配方法 解一元二 次方程 直接开平方法： 基本思路： 解二次项系数为1的一元二次方程步骤 形如（x + m）2 = n (n≥0) 降次，将方程转化为(x + m)2 = n (n≥0)的形式， 在用直接开平方法，直接求根. 1.移项 3.直接开平方求解 2.配方 2 一元二次方程的解法 第2课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 学习目标 1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.（重点） 2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.（难点） 回顾复习 解下列方程： x2－36=0 （x+4）2=7 x2+4x－5=0 x2－6x+2=0 解：移项，得 x2=36 x=±6 x1=6 x2=－6 解：开平方，得 解： 解： 知识讲解 知识点 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 观察下面两个一元二次方程,想一想它们的联系和区别： ① x2 + 6x + 8 = 0; ② 3x2 +8x－3 = 0. 想一想怎么来解3x2 +8x－3 = 0. 例 解方程 3x2 + 8x–3 = 0. 解：方程两边都除以 3，得 配方，得 两边开平方，得 所以 即 移项，得 即 思考·交流 一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系：h=15t-5t2. 小球何时能到达10 m高？ （1）你是怎么解决这个问题的？ 解：（1）当h=10时，有10=15t-5t2， 所以，t2-3t=-2， ， ， 所以当t=1或t=2时，小球能到达10 m高. （2）你认为用配方法解一元二次方程时，要注意哪些方面？与同伴进行交流. 使用配方法解一元二次方程时， ①二次项系数化为1时，常数项也要除以二次项系数； ②移项要变号； ③配方时加的数是一次项系数一半的平方； ④开平方时，不要遗漏负号. 用配方法解下列方程： （1）－3x2＋4x＋1＝0. 随 堂 小 测 解：方程两边都除以- 3，得 移项、配方，得 两边开平方，得 所以 即 （2）3x2－6x＋2＝0. 解：方程两边都除以3，得 移项、配方，得 两边开平方，得 所以 即 （3）(3x－1)(x－2)＝12. 解：原方程整理，得 两边开平方，得 所以 即 方程两边同时除以3，得 配方，得 类别 配方法的应用 1.求最值或 证明代数式 的值为恒正 （或负） 对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2 ＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值. 2.完全平方式中的配方 如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4. 3.利用配方构成非负数和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，则a2＋(b－2)2=0，即a=0，b=2. 小结 配方法 方法 步骤 一移常数项； 二配方[配上 ]； 三写成（x+n)2=p (p ≥0); 四直接开平方法解方程. 特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式. 应用 求代数式的最值或证明 在方程两边都配上 2 一元二次方程的解法 第3课时 用公式法解一元二次方程 学习目标 1.经历求根公式的推导过程.（难点） 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点） 3.理解并会计算一元二次方程根的判别式. 4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况. 课时导入 回顾配方法 用配方法解方程：2x2 - 4x - 6 = 0. 解：方程两边都除以 2，得x2 - 2x - 3 = 0 移项，得 x2 - 2x = 3 配方，得 x2 - 2x + 1 = 3 + 1 (x - 1)2 = 4 两边开平方，得 x - 1= ±2 x1= 3，x2= -1 化：二次项系数化为 1 ； 移：将常数项移到等号右边； 配：配方，使等号左边成为完全平方式； 开：等号两边开平方； 解：求出方程的解. 用配方法可以解所有一元二次方程吗？ 每次求解都要配方，很麻烦，有简单方法吗？ 用配方法解方程的步骤 用配方法解方程：ax2+bx+c = 0（a，b，c为常数，a ≠ 0） 方程两边都除以 a，得 配方，得 移项，得 因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 当b2 - 4ac ≥ 0 时， 是一个非负数，此时两边开平方，得 知识讲解 知识点1 用公式法解一元二次方程 1.求根公式 对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a ≠ 0)，当b2－4ac≥ 0时，它的根是，这个式子称为一元二次方程的求根公式 . 2.公式法 (1)定义：用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法. (2)用求根公式解一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化成一般形式； ②确定a，b，c的值； ③求出b2－4ac的值； ④若b2－4ac ≥ 0，则把a，b及b2－4ac的值代入求根公式求解，若b2－4ac＜0，则方程无实数解. 特别提醒： 1.公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法. 2.只有当方程ax2+bx+c=0中的a≠0，b2－4ac≥0时，才能使用求根公式. 例1 解方程： （1）x2 –7x–18= 0. （2）4x2 +1= 4x. 解: （1）这里a=1，b=-7，c=-18. 因为b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0， 所以 ，即x1=9，x2=-2. （2）将原方程化为一般形式，得4x2 –4x+1=0 . 这里a=4，b=-4，c=1. 因为b2-4ac=（-4）2-4×4×1=0， 所以 ，即 . 随 堂 小 测 用公式法解下列方程： （1）y2－2y－2=0. （2）3x2－2x=4. （3）x2+6=2(x+1). 解：原方程可化为x2－2x＋4＝0. a＝1，b＝－2，c＝4， b2－4ac＝－12<0， 方程无实数根． （4）5 x2－2 x+1=0. 知识点2 一元二次方程根的判别式 操作·思考 （1）你能解一元二次方程x2-2x+3=0吗？你是怎么想的？ （1）这里a=1，b=-2，c=3. 因为b2-4ac=（-2）2-4×1×3=-8<0， 所以原方程没有实数根. （2）对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac<0时，它的根的情况是怎样的？ 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)， ①b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； ②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； ③b2-4ac<0时，方程没有实数根. 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a ≠ 0) 的根的情况可由 b2－4ac 来判定. 我们把 b2－4ac 叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a ≠ 0) 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示，即Δ=b2－4ac. 特别提醒： 确定根的判别式时，需先将方程化为一般形式，确定a，b，c后再计算；使用一元二次方程根的判别式的前提是二次项系数不为0. 随 堂 小 测 1.对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k+1)x－k2+2k－1=0的根的情况为( ) A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不等的实数根 D. 无法判断 C 2. 一元二次方程(x+1)(x－1)=2x+3的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 A 3.关于x 的一元二次方程(m－2)x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是( ) A. m ≤ 3 B. m ＜ 3 C. m ＜ 3 且m ≠ 2 D. m ≤ 3 且m ≠ 2 D 小结 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）. 根的判别式b2-4ac 务必将方程化为一般形式 2 一元二次方程的解法 第4课时 用因式分解法解一元二次方程 学习目标 1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点） 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点） 课时导入 一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系，h=15t-5t2.小球从弹出到落回地面，经过了几秒？ 设小球经过t s落回地面，此时h=0，于是可得方程15t-5t2=0. 小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同. 由方程15t-5t2=0， 得5t2-15t=0. 因此 ， 所以 . 小颖 由方程15t-5t2=0， 得5t2=15t. 两边都约去5t，得 t=3 . 小明 由方程15t-5t2=0， 得5t2-15t=0，即5t（t-3）=0， 于是t=0，或t-3=0， 所以 . 小亮 由方程15t-5t2=0， 得5t2-15t=0. 因此 ， 所以 . 小颖 由方程15t-5t2=0， 得5t2=15t. 两边都约去5t，得 t=3 . 小明 由方程15t-5t2=0， 得5t2-15t=0，即5t（t-3）=0， 于是t=0，或t-3=0， 所以 . 小亮 分析上面的求解过程，他们分别运用了怎样的方法？他们的结果正确吗？与同伴进行交流. 知识讲解 知识点 用因式分解法解一元二次方程 1. 定义 当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解. 这种解一元二次方程的方法称为因式分解法. 知识储备 常用的因式分解的方法： 1. 提公因式法； 2. 公式法； 3. x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 2. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)整理方程，使其右边为0； (2)将方程左边分解为两个一次式的乘积； (3)令两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； (4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 例1：解下列方程： （1）5x2＝4x； （2）x(x－2)＝x－2. 解：（1）原方程可变形为 5x2－4x＝0， x(5x－4)＝0. x＝0，或5x－4＝0. 所以x1＝0，x2＝ （2）原方程可变形为 x(x－2)－(x－2)＝0， (x－2)(x－1)＝0. x－2＝0，或x－1＝0. ∴x1＝2，x2＝1. 1.采用因式分解法解一元二次方程的技巧为： 右化零，左分解，两因式，各求解. 2.用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或”写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了. 操作·思考 （1）解下列方程： x2-4=0 （x+1）2-25=0 x2+2x-3=0 x2+6x-8=0 解: 原方程可变形为 （x+2）（x-2）=0， x+2=0，或x-2=0. 所以x1=-2，x2=2. 解: 原方程可变形为 （x+1+5）（x+1-5）=0， x+6=0，或x-4=0. 所以x1=-6，x2=4. 解: 移项、配方，得 x2+2x+1=3+1 （x+1）2=4， x+1=±2. 所以x1=1，x2=-3. 解: 移项、配方，得 x2+6x+9=8+9 （x+3）2=17， （2）你用哪些方法求解（1）中的方程？ 操作·思考 回顾一元二次方程的各种解法，你对它们的共性及各自的特点有什么理解？ 它们的共性：都是围绕“降次”核心，通过恒等变形将二次方程转化为一次方程进行求解。 直接开平方法：只适用于形如（mx-n）2=p（p≥0）的方程，最快但受限制. 配方法：最基础的方法，但求解一次项系数不是偶数的方程，比较复杂. 因式分解法：最巧妙、高效，但只适用于能够因式分解的方程. 公式法：最万能、程序化，可以求解所有方程. 随 堂 小 测 1.我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式 分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到一元一次方程3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是(　　) A．转化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．公理化思想 A 2.用因式分解法解方程，下列过程正确的是(　　) A．(2x－3)(3x－4)＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0 B．(x＋3)(x－1)＝1化为x＋3＝1或x－1＝1 C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3 D．x(x＋2)＝0化为x＋2＝0 A 3.方程(x－2)(x+1)=x－2 的解是( ) A. x=0 B. x=2 C. x=2 或x=－1 D. x=2 或x=0 D 4.已知等腰三角形的两边的长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为(　　) A．2 B．4 C．8 D．2或4 A 5.若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2－10x＋24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为(　　) A．16 B．24 C．16或24 D．48 B 小结 因式分解法 概念 步骤 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 如果a ·b=0，那么a=0或b=0. 原理 将方程左边因式分解，右边=0. 因式分解的方法有 ma+mb+mc=m(a+b+c); a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b). 解：a＝1，b＝－2，c＝－2.b2－4ac＝12>0， 方程有两个不等的实数根y＝＝1±. 即y1＝1＋，y2＝1－. 解：原方程可化为3x2－2x－4＝0. a＝3，b＝－2，c＝－4.b2－4ac＝52>0. 方程有两个不等的实数根x＝＝. 即x1＝，x2＝. 解：a＝5，b＝－2，c＝1. b2－4ac＝0， 方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－＝. $