2.1 认识一元二次方程 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及解的估算，通过幼儿园地毯铺设、梯子滑动等实际问题导入，引导学生从情境中抽象数量关系建立方程，经化简得到一般形式，再用“两边夹”思想估算解，构建从实际到抽象再到应用的学习支架。 其亮点在于以问题驱动教学，借助实际情境培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力，通过方程化简和表格估算发展数学思维的运算与推理意识，用“两边夹”方法和数据表格体现数学语言的精确表达。如梯子问题中通过表格确定解的范围，小结系统梳理知识。学生能提升问题解决能力，教师可获得结构化教学资源。

1 认识一元二次方程 1 认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程 学习目标 1．了解一元二次方程的概念.(重点) 2．掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0），能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式.(重点) 3．能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型.(难点) 课时导入 已知量： 未知量： 矩形地面的长、宽 地毯的面积 地毯的长、宽 条形区域的宽 幼儿园活动教室矩形地面的长为8，宽为5，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同. 8 m 5 m 已知量： 未知量： 矩形地面的长、宽 地毯的面积 地毯的长、宽 条形区域的宽 你能找出地毯问题中的相等关系吗？ 地毯的长×宽 = 18m2 地毯的长+2倍条形区域的宽 = 8m 地毯的宽+2倍条形区域的宽 = 5m 8 m 5 m 你能求出这个宽度吗？ 如果设所求的宽为 x m ， 那么地毯的长为 m， 宽为　 m， 根据题意，可得方程： （ 8 - 2x ） （ 5 - 2x ） 幼儿园活动教室矩形地面的长为8，宽为5，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同. (8 - 2x )(5 - 2x ) = 18 8 m 5 m 你能求出这个宽度吗？ 幼儿园活动教室矩形地面的长为8，宽为5，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同. (8 - 2x )(5 - 2x ) = 18 40 - 16x - 10x + 4x2 = 18 2x2 - 13x + 11 = 0 （去括号） 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 如果设五个连续整数中的第一个数为，那么后面四个数依次可表示为：_______，_______，_______，_______. 观察下面等式： 102+112+122 =132+142 根据题意，可得方程： x2 + (x+1)2 + (x+ 2)2 = (x+3)2 + (x+4)2 x+1 x+2 x+3 x+4 观察·思考 知识讲解 知识点 一元二次方程的定义与一般形式 x2 + (x+1)2 + (x+ 2)2 = (x+3)2 + (x+4)2 去括号、移项、合并同类项 x2 - 8x -20 = 0 10 m 8 m 如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8．如果梯子的顶端下滑1，那么梯子的底端滑动多少米？ 解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　　m. 6 7 m 1 m 10 m 6 m 解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　　m. 6 如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙_______m. （x+6） 根据题意，可得方程： 72+(x+6)2 = 102 如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8．如果梯子的顶端下滑1，那么梯子的底端滑动多少米？ 72+(x+6)2 = 102 去括号、移项、合并同类项 x2 +12 x -15 = 0 只含有一个未知数x的整式方程，并且可以化成ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫作一元二次方程. 我们把ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0） 称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数，一次项系数. 误区警示: 最高次数是2的项的系数的取值范围不明确的方程不一定是一元二次方程，如：（m-2）x2+3x-8=0不一定是一元二次方程。 一元二次方程的“三要素” 一是整式方程， 二是只含一个未知数， 三是整理后未知数的最高次数是2. 随 堂 小 测 1. 如果方程是关于x的一元二次方程，那么的值为( ) A. ±3 B. 3 C. －3 D. 以上都不对 C 2.下列方程：① x2+y－6=0；② x2+=2；③ x2－x－2=0；④ 2x2－3x=2(x2－2)，其中是一元二次方程的_______.(填序号). ③ 3.方程的一般形式是 ( ) A. B. C. D. B 通过这节课的学习活动，你有什么收获？ 小结 只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程. 我们把 ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，a≠0） 称为一元二次方程的一般形式. 小结 ax2 bx c 二次项 一次项 常数项 a b 二次项系数 一次项系数 1 认识一元二次方程 第2课时 一元二次方程的解的估算 学习目标 1. 理解方程的解的概念. 2. 经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.(重点) 3. 会估算一元二次方程的解.（难点） 课时导入 对于上一课第一个问题，你能设法估计四周未铺地毯的条形区域的宽度x（单位：m）吗？ (8－2x )(5－2x ) = 18 8 m 5 m （1）x 有可能小于 0 吗？说说你的理由. x 不可能小于 0 ，因为宽度不能为负. x 有可能大于4吗？ x 不可能大于 4 ，(8-2x)表示地毯的长，所以有 8-2x > 0，即x<4. 课时导入 对于上一课第一个问题，你能设法估计四周未铺地毯的条形区域的宽度x（单位：m）吗？ (8－2x )(5－2x ) = 18 8 m 5 m x 有可能大于2.5吗？ x 不可能大于 2.5 ，(5-2x)表示地毯的宽，所以有 5-2x > 0，即x<2.5. （2）你能确定x的大致范围吗？ 0 < x < 2.5 (8－2x )(5－2x ) = 18 （3）填写下表： x 0.5 1 1.5 2 (8-2x)(5-2x) 28 18 10 4 （4）你知道地毯花边的宽 x(单位：m) 是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流. 所求宽度为 x = 1 m. 在上一课的问题中，梯子底端滑动的距离x（单位：m）满足方程(x+6)2 ＋72= 102也就是x2 +12 x －15 = 0. （1）小明认为底端也滑动了 1 m，他的说法正确吗？为什么？ 不正确，因为 x = 1时，方程左边不等于 0. 尝试·思考 知识讲解 知识点1 一元二次方程的根 x2 ＋12 x －15 ＝ 0 （2）底端滑动的距离可能是 2 m 吗？可能是 3 m 吗？为什么？ 不可能是 2 ，因为 x = 2 时，方程左边不等于 0. 不可能是 3 ，因为 x = 3 时，方程左边不等于 0. （3）你能猜出滑动距离 x(单位：m) 的大致范围吗？ （4）x 的整数部分是几？十分位是几？ 填写下表你能发现 x 的大致范围吗？ x 0 0.5 1 1.5 2 x2 + 12x -15 -15 -8.75 -2 5.25 13 通过观察发现，若想使代数式的值为 0，那么 x 的取值应在 1 和 1.5 之间。 所以 1 < x < 1.5. 思考·交流 进一步计算： x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2 + 12x -15 -0.59 0.84 2.29 3.76 所以 1.1＜x＜1.2，因此 x 的整数部分是 1，十分位是 1。 （1）你明白这种估算一元二次方程的解的想法吗？与同伴进行交流. （2）如果要把x的小数部分精确到百分位，应该怎么做呢？说说你的想法. （2）应该再分别取x的值为1.11、1.12……进一步计算出x的取值范围. 用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤： ①在未知数x的取值范围内排除一部分取值; ②根据题意所列的具体情况再次进行排除; ③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选; ④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据. 上述求解是利用了“两边夹”的思想. 随 堂 小 测 1. 已知关于x 的一元二次方程x2－x+k=0 的一个根是2， 则k 的值是( ) A．－2 B．2 C．1 D．－1 C 2.若a 是方程2x2－x－3=0 的一个解， 则6a2－3a 的 值为（ ） A．3 B．－3 C．9 D．－9 C 3.下列各数是一元二次方程x2－4x＝－3的根的是 (　　) A．0 B．－2 C．－1 D．1 D 4.根据下表中的对应值，判断一元二次方程x2－4x＋2＝0的解的取值范围是(　　)  A．0＜x＜0.5或3.5＜x＜4 B．0.5＜x＜1或2＜x＜2.5 C．0.5＜x＜1或3＜x＜3.5 D．1＜x＜1.5或3.5＜x＜4 B 小结 解一元二次方程 （“两边夹”方法） 确定其解的大致范围 列表、计算 进行两边“夹” …… 求得近似解 $