第03讲 幂的运算（暑假预习讲义，6题型突破+过关检测）新七年级数学新教材沪教版五四制

第03讲 幂的运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1同底数幂相乘 题型2同底数幂乘法的逆用 题型3幂的乘方运算 题型4幂的乘方的逆用 题型5积的乘方运算 题型6积的乘方的逆用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 幂、底数、指数、同底数幂、幂的乘方、积的乘方、逆用公式、化简求值、混合运算 1. 理解幂、底数、指数的概念，能正确读写幂的形式，区分幂与整式的基础区别。 2. 熟练掌握三条幂的基本运算法则，明确各法则适用条件，能够正向计算、逆向灵活运用公式。 3. 规范掌握幂的四则混合运算顺序，规避符号、指数运算常见错误，提升计算准确率。 4. 学会利用幂的运算公式进行整体代换、幂的大小比较，能解决简单的代数式求值问题与基础应用题型。 重点 四大基础幂运算法则的理解与直接应用，是本章核心考点： 同底数幂相乘： 幂的乘方： 积的乘方： 难点 1. 区分易混淆运算法则：明确幂的乘方（指数相乘）与同底数幂相乘（指数相加）的本质区别，避免公式混用。 2. 复杂底数的符号处理：含负数、系数、多项式底数的积的乘方运算，易出现漏项、符号错误。 3. 公式逆向运用：根据已知幂的值，拆分、合并指数，完成简便计算与代数式求值。 4. 幂的混合运算：严格遵循运算顺序，结合乘方、乘除、加减、括号进行综合化简。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝am+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数） 注意： ①底数必须相同，如23与25，（x﹣y）2与（x﹣y）3等； ②a可以是单项式，也可以是多项式； ③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． 知识点02 幂的乘方 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意： ①幂的乘方的底数指的是幂的底数； ②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 【方法总结】无括号幂相乘，指数相加；有括号幂的乘方，指数相乘。 知识点03 积的乘方 积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意： ①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用； ②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 【方法总结】进行积的乘方运算时，只给字母乘方，忽略数字系数，是高频低级错误。 题型1 同底数幂相乘 【例1】．（25-26七年级上·上海虹口·期末）计算：_____． 【例2】．（24-25七年级上·上海·阶段检测）已知，则（         ） A．24 B．27 C．54 D．81 【例3】．（24-25七年级上·上海闵行·阶段检测）计算：． 【易错警示】判断负数底数的奇偶次幂，确定最终正负； 【变式1-1】．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）若a、b均为正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】．（25-26七年级上·上海青浦·期中）计算：__________．（结果用幂的形式表示） 【变式1-3】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）计算：．（为正整数） 题型2 同底数幂乘法的逆用 【例4】．（2024七年级上·上海·专题练习）已知，，那么的值是（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 【例5】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：___________．（结果用幂的形式表示） 【例6】．（24-25七年级上·上海闵行·阶段检测）已知，求． 【易错警示】正向套用公式简单，逆用公式是重难点，核心是拆分指数、凑已知条件。 【变式2-1】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）计算：____________． 【变式2-2】．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算：，，则 __________． 【变式2-3】．（2024七年级上·上海·专题练习）计算：________； 【变式2-4】．（24-25七年级上·上海·阶段检测）已知，，且，求的值． 题型3 幂的乘方运算 【例7】．（25-26七年级上·上海宝山·期末）计算：___． 【例8】．（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知，，，那么的等量关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【例9】．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【解题思路】：统一底数或统一指数，转化为可直接比较的幂形式。 【变式3-1】．（24-25七年级上·上海虹口·期中）若、均为正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】．（25-26七年级上·上海·期末）计算：，其中，第一步运算的依据是______法则．（选填“积的乘方”、“幂的乘方”、“同底数幂的乘法”或“同底数幂的除法”） 【变式3-3】．（25-26七年级上·上海·期中）已知：，，求的值． 题型4 幂的乘方的逆用 【例10】．（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【例11】．（25-26七年级上·上海闵行·期末）设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． 【例12】．（23-24七年级上·上海·期中）已知：，，则的值为________． 【解题核心】：同底数幂相等时，指数对应相等，据此列一元一次方程求参数。 【变式4-1】．（25-26七年级上·上海·期中）如果成立，则（    ） A．m是偶数，n是奇数 B．m、n都是奇数 C．m是奇数，n是偶数 D．n是偶数 【变式4-2】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）以下三个数：，，最大的数为___________． 【变式4-3】．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）规定：如果两数a、b满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即．如果，那么（3，______）． 【变式4-4】．（24-25七年级上·上海·期中）已知，求的值． 【变式4-5】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知：，， (1)求代数式的值； (2)试求a、b、c所满足的数量关系式． 题型5积的乘方运算 【例13】．（23-24七年级上·上海·期中）计算：________． 【易错警示】括号内所有因式（数字、字母、常数）都要单独乘方，不能遗漏。 【变式5-1】．（24-25七年级上·上海·期中）、为正整数，如果成立，那么（   ） A．必为奇数 B．必为奇数 C．、必同为奇数 D．、必同为偶数 【变式5-2】．（25-26七年级上·上海·期中）计算：________________． 【变式5-3】．（24-25七年级上·上海·期中）计算：（结果用幂的形式表示）． 题型6 积的乘方的逆用 【例14】．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【例15】．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【例16】．（23-24七年级上·上海·期中）计算：________． 【变式6-1】．（24-25七年级上·上海静安·阶段检测）已知，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）计算：___________． 【变式6-3】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）用简便方法进行计算： 【变式6-4】．（2024七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 一、单选题 1．的计算结果是（   ） A． B．2 C． D．4 2．计算结果是（    ） A． B． C． D． 3．若，，则的值（    ） A． B． C． D． 4．计算：等于（   ） A． B． C． D． 5．已知，那么的值是（   ） A．48 B．24 C．72 D．36 6．已知，则等于（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．计算：________． 8．计算：________． 9．计算：______． 10．若，，则的值为_____． 11．若， ，则 ________． 12．计算：_____．（结果用幂的形式表示） 13．计算：______． 14．计算：_____． 15．已知，，那么__________（用含和的式子表示） 16．已知与是同类项，则__________． 三、解答题 17．用简便方法计算： 18．已知（都是正整数），用含的式子表示． 19．化简： 20．已知，，求的值． 21．计算：． 22．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．比较与的大小 解：因为，， 因为， 所以 请根据上述解答过程接解答 (1)比较的大小； (2)，比较的大小． 24．若且，m，n是正整数，则 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)已知x满足，求x的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 幂的运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1同底数幂相乘 题型2同底数幂乘法的逆用 题型3幂的乘方运算 题型4幂的乘方的逆用 题型5积的乘方运算 题型6积的乘方的逆用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 幂、底数、指数、同底数幂、幂的乘方、积的乘方、逆用公式、化简求值、混合运算 1. 理解幂、底数、指数的概念，能正确读写幂的形式，区分幂与整式的基础区别。 2. 熟练掌握三条幂的基本运算法则，明确各法则适用条件，能够正向计算、逆向灵活运用公式。 3. 规范掌握幂的四则混合运算顺序，规避符号、指数运算常见错误，提升计算准确率。 4. 学会利用幂的运算公式进行整体代换、幂的大小比较，能解决简单的代数式求值问题与基础应用题型。 重点 四大基础幂运算法则的理解与直接应用，是本章核心考点： 同底数幂相乘： 幂的乘方： 积的乘方： 难点 1. 区分易混淆运算法则：明确幂的乘方（指数相乘）与同底数幂相乘（指数相加）的本质区别，避免公式混用。 2. 复杂底数的符号处理：含负数、系数、多项式底数的积的乘方运算，易出现漏项、符号错误。 3. 公式逆向运用：根据已知幂的值，拆分、合并指数，完成简便计算与代数式求值。 4. 幂的混合运算：严格遵循运算顺序，结合乘方、乘除、加减、括号进行综合化简。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝am+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数） 注意： ①底数必须相同，如23与25，（x﹣y）2与（x﹣y）3等； ②a可以是单项式，也可以是多项式； ③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． 知识点02 幂的乘方 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意： ①幂的乘方的底数指的是幂的底数； ②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 【方法总结】无括号幂相乘，指数相加；有括号幂的乘方，指数相乘。 知识点03 积的乘方 积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意： ①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用； ②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 【方法总结】进行积的乘方运算时，只给字母乘方，忽略数字系数，是高频低级错误。 题型1 同底数幂相乘 【例1】．（25-26七年级上·上海虹口·期末）计算：_____． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法计算，根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【例2】．（24-25七年级上·上海·阶段检测）已知，则（         ） A．24 B．27 C．54 D．81 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法．先求得，进而根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可求得答案． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 【例3】．（24-25七年级上·上海闵行·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 根据同底数幂的乘法的运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 【易错警示】判断负数底数的奇偶次幂，确定最终正负； 【变式1-1】．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）若a、b均为正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，将等式左边化简为，右边化简为，据此即可得到． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ， 故选 ：D． 【变式1-2】．（25-26七年级上·上海青浦·期中）计算：__________．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】根据同底数幂相乘底数不变，指数相加，进行求解即可． 【详解】解：． 【变式1-3】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）计算：．（为正整数） 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】先将不同底数的幂化为同底数幂，再利用同底数幂的乘法法则计算，用到的性质是：互为相反数的两个数，奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】解：，为正整数，是奇数， ， ∴ ． 题型2 同底数幂乘法的逆用 【例4】．（2024七年级上·上海·专题练习）已知，，那么的值是（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】根据同底数幂乘法的逆运用可知，，结合条件即可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是同底数幂乘法的逆运算，看到指数相加，就写成同底数幂相乘的形式． 【例5】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：___________．（结果用幂的形式表示） 【答案】299 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，根据同底数幂的乘法的逆运算求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【例6】．（24-25七年级上·上海闵行·阶段检测）已知，求． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】根据，代入计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 又， 原式． 【易错警示】正向套用公式简单，逆用公式是重难点，核心是拆分指数、凑已知条件。 【变式2-1】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）计算：____________． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法运算的逆用，熟练掌握相关运算法则是解题关键．将原式整理为，然后求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2-2】．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算：，，则 __________． 【答案】128 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【详解】本题考查同底数幂乘法的逆用，根据同底数幂乘法的逆用法则解答即可，也是解题关键． 【分析】解：∵，， ∴ ． 故答案为：128． 【变式2-3】．（2024七年级上·上海·专题练习）计算：________； 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【详解】将拆分成和，再利用乘法分配律进行求解．本题考查同底数幂的乘法，熟记相关法则：底数不变，指数相加，是解题关键． 【分析】解： 故答案为： 【变式2-4】．（24-25七年级上·上海·阶段检测）已知，，且，求的值． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查同底数幂的乘方，解题的关键是熟练运用整式乘法公式，根据解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 题型3 幂的乘方运算 【例7】．（25-26七年级上·上海宝山·期末）计算：___． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方的计算；利用幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【例8】．（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知，，，那么的等量关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，通过观察已知条件中的数字关系：与相等，推导出的关系． 【详解】解：∵，， ∴ ． 又 ∵ ， ∴ ， ∴ ， 由于底数x相同，当时， ∴ ． 故选：A． 【例9】．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法计算，幂的乘方计算，先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 【解题思路】：统一底数或统一指数，转化为可直接比较的幂形式。 【变式3-1】．（24-25七年级上·上海虹口·期中）若、均为正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】该题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法解题的关键是掌握以上运算法则． 根据，，列出等式即可解答． 【详解】解：， ， ∵，、均为正整数， ∴， 故选：D． 【变式3-2】．（25-26七年级上·上海·期末）计算：，其中，第一步运算的依据是______法则．（选填“积的乘方”、“幂的乘方”、“同底数幂的乘法”或“同底数幂的除法”） 【答案】幂的乘方 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题主要考查幂的乘方运算，关键是熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．根据题意可知，第一步运算的依据是幂的乘方运算法则即底数不变，指数相乘，公式为． 【详解】解：计算，其中第一步运算的依据是幂的乘方， 故答案为：幂的乘方． 【变式3-3】．（25-26七年级上·上海·期中）已知：，，求的值． 【答案】5 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方． 通过将方程两边化为同底数幂，比较指数求出m和n的值，进而计算的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，且 ， ∴， ∴， ∴； ∴． 题型4 幂的乘方的逆用 【例10】．（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，根据幂的乘方的逆运算法则把A、B、D三个选项中的数化为指数为10的数即可得到答案． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：B． 【例11】．（25-26七年级上·上海闵行·期末）设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，完全平方公式的应用． 由得，根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得，再进一步分析即可． 【详解】解：∵，∴ ∵ ∴，即，A正确 对于B∶，但，故，所以B错误 对于C∶，不是常数，且不等于2，故C错误 对于D∶，而，所以，故D错误 故选A． 【例12】．（23-24七年级上·上海·期中）已知：，，则的值为________． 【答案】288 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，逆用同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则是解题的关键． 逆用同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：288． 【解题核心】：同底数幂相等时，指数对应相等，据此列一元一次方程求参数。 【变式4-1】．（25-26七年级上·上海·期中）如果成立，则（    ） A．m是偶数，n是奇数 B．m、n都是奇数 C．m是奇数，n是偶数 D．n是偶数 【答案】D 【知识点】幂的乘方运算、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方与符号的性质，解题关键是根据幂的运算规则分析的符号与的符号关系，从而确定n的奇偶性． 根据指数运算法则，将左边化简后，等式成立的条件仅与n的奇偶性有关，需n为偶数． 【详解】∵ = = ， 又∵ = ， ∴ = ． 假设 ，则两边除以 ，得 ， ∴ n 是偶数． 因此，n是偶数． 故选D． 【变式4-2】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）以下三个数：，，最大的数为___________． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，解决此题的关键是熟练的掌握幂的乘方运算；把这三个数化成指数相同的形式，比较底数的大小，从而确定数的大小即可； 【详解】解： ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）规定：如果两数a、b满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即．如果，那么（3，______）． 【答案】128 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方，同底数幂的乘法的运算法则，弄懂定义是解题的关键． 由题意可得，解得，再由，结合规定即可求解． 【详解】∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：128． 【变式4-4】．（24-25七年级上·上海·期中）已知，求的值． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】将方程两边化为同底数的指数形式，利用对数或指数运算性质简化方程，最终解出 的值．本题主要考查了指数运算性质和同底数幂相等的条件，熟练掌握指数运算法则和方程变形是解题的关键． 【详解】解： ∴ 解得． 【变式4-5】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知：，， (1)求代数式的值； (2)试求a、b、c所满足的数量关系式． 【答案】(1)675 (2) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方法则，整体代数法求值即可； （2）根据同底数幂的乘法法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴． 题型5积的乘方运算 【例13】．（23-24七年级上·上海·期中）计算：________． 【答案】 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键． 根据积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【易错警示】括号内所有因式（数字、字母、常数）都要单独乘方，不能遗漏。 【变式5-1】．（24-25七年级上·上海·期中）、为正整数，如果成立，那么（   ） A．必为奇数 B．必为奇数 C．、必同为奇数 D．、必同为偶数 【答案】B 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，根据积的乘方计算法则得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴必为奇数， 故选：B． 【变式5-2】．（25-26七年级上·上海·期中）计算：________________． 【答案】 【知识点】积的乘方运算 【详解】解：． 【变式5-3】．（24-25七年级上·上海·期中）计算：（结果用幂的形式表示）． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算 【分析】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知积的乘方与幂的乘方公式； 根据积的乘方与幂的乘方公式即可求解； 【详解】解： 题型6 积的乘方的逆用 【例14】．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，把原式先变形为，进一步变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【例15】．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算、积的乘方的逆用 【分析】本题考查同底数幂乘法及积的乘方的逆运算，将原式进行正确的变形是解题的关键． 利用同底数幂乘法及积的乘方得逆运算法则将原式变形后进行计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 原式 ， 故选：C． 【例16】．（23-24七年级上·上海·期中）计算：________． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用 【详解】解：． 【变式6-1】．（24-25七年级上·上海静安·阶段检测）已知，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方等知识点，掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解答本题的关键． 先根据幂的乘方和积的乘方的运算法则变形，然后将的值代入计算即可． 【详解】解： ． 故选C． 【变式6-2】．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）计算：___________． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查积的乘方，利用积的乘方进行拆分化简是解题的关键． 首先将原式中的指数进行拆分，利用同指数幂的乘法法则进行化简计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 【变式6-3】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）用简便方法进行计算： 【答案】2 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握积的乘方的逆运算是解题的关键．把拆分为，再利用积的乘方的逆运算，将与结合起来进行简便计算． 【详解】解：原式 ． 【变式6-4】．（2024七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用． 先将式子拆分成同次数的形式，再利用进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 一、单选题 1．的计算结果是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘法逆应用，逆用积的乘方计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法逆应用，逆用积的乘方，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选：A． 2．计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，掌握积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．先根据积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算，再根据同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 3．若，，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆运算，解题的关键是能够正确运用这些运算法则．根据同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆运算进行变形求解即可． 【详解】解：，， ． 故选：D ． 4．计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，把看作一个整体，先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 5．已知，那么的值是（   ） A．48 B．24 C．72 D．36 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方计算. 先根据幂的乘方计算法则求出，再由同底数幂乘法的逆运算法则得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴ ． 故选：C. 6．已知，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同底数幂乘法和幂的乘方法则，将所求式子变形后代入已知条件即可得到结果． 【详解】 ， 根据幂的运算法则变形得：， 又，， ． 二、填空题 7．计算：________． 【答案】 【详解】解：． 8．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和积的乘方的逆用，首先逆用同底数幂的乘法法则，再逆用积的乘方的法则，再根据乘方的定义和有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为 9．计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，掌握这两个运算法则是关键；先计算积的乘方，再计算幂的乘方即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．若，，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的运用，关键是将等式两边的底数化为相同的数，再根据“同底数幂相等则指数相等”建立方程组求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴，即； ∵， ∴，即， ∴； 解，得， 则； 故答案为：． 11．若， ，则 ________． 【答案】45 【分析】根据幂的乘方的逆运算法则求出的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 12．计算：_____．（结果用幂的形式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查的就是同底数幂的乘法计算法则，属于基础题型．互为相反数的两个数的偶数次幂相等是解决这个问题的关键． 本题首先转化为同底数，然后根据同底数幂的乘法计算法则即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 13．计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查的是积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，通过指数运算性质，先计算并前两项为，再与第三项结合，利用指数法则化简． 【详解】解： 故答案为 ． 14．计算：_____． 【答案】1 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方以及负数的偶次幂是正数， 利用负数的偶次幂是正数和指数运算法则，可得，再逆用积的乘方运算得出，由此即可计算． 【详解】解：， 故答案为1． 15．已知，，那么__________（用含和的式子表示） 【答案】 【分析】利用指数运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，将 分解为 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，则由和得，，代入原式即可求解；本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 16．已知与是同类项，则__________． 【答案】 【分析】根据同类项的定义，得到相同字母指数相等的方程，求解得到和的值，再利用幂的乘方法则计算最终结果． 【详解】解：根据同类项所含字母相同，且相同字母的指数也相同，可得：，， 解得，， 根据幂的乘方法则，可得． 三、解答题 17．用简便方法计算： 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用．先将式子拆分成同次数的形式，再利用进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 18．已知（都是正整数），用含的式子表示． 【答案】 【分析】运用逆用幂的乘方、积的乘方进行解答即可． 【详解】解：． 【点睛】本题主要考查了逆用幂的乘方、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键． 19．化简： 【答案】 【分析】本题主要考查了同底幂乘法和幂的乘方，解决此题的关键是正确的计算；先算幂的乘方，根据次数先判断符号，再根据同底幂乘法公式运算，进而得到答案即可； 【详解】解： ， ， ． 20．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，解题关键是将所求式子转化为以3为底的幂的形式，再利用已知条件代入计算． 先将和转化为以为底的幂，即再根据幂的乘方性质变形为；最后代入，计算，求和得到结果． 【详解】 ， ， ， ， ， ， ． 21．计算：． 【答案】 【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法计算求解即可． 【详解】解： 22．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查积的乘方和幂的乘方． （1）直接利用积的乘方运算法则进行运算即可； （2）直接利用积的乘方和幂的乘方运算法则进行运算即可； （3）直接利用积的乘方和幂的乘方运算法则进行运算即可； （4）直接利用积的乘方和幂的乘方运算法则进行运算即可 【详解】（1） ； （2） ； （3） （4） 23．比较与的大小 解：因为，， 因为， 所以 请根据上述解答过程接解答 (1)比较的大小； (2)，比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了幂的乘方运算． （1）由题意可得，由即可得到答案； （2）幂的乘方法则得到，比较指数大小即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∵ ∴ （2） ∵ ∴ 24．若且，m，n是正整数，则 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)已知x满足，求x的值． 【答案】(1)3 (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和解一元一次方程． （1）先把已知等式中的等式写成底数是3的幂，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （2）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后根据幂的乘方和同底数幂相乘法则进行计算，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （3）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后逆用乘法分配律进行计算，从而列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $