专题06：乘法公式（5大知识点+8大题型+真题检验） 2025年新七年级暑假班预修提升课程（沪教版2024）

2025年新七年级上（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题06 乘法公式 知识点一、平方差公式 1、平方差公式：两数和与这两数差相乘，等于这两个数的平方差．． （1）．可以表示数，也可以表示式子（单项式和多项式） （2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式： 如： 2、平方差公式的特征： （1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． （2）右边是乘式中两项的平方差． 3.常见几种变形: （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 知识点二、平方差公式的几何验证 （1） 平方差公式的几何意义：边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，则阴影部分的面积是；将阴影部分剪拼成一个长方形，这个长方形的长为，宽为，面积为，因为两个长方形的阴影部分面积相等，所以. 常见验证平方差公式的几何图形： 知识点三、完全平方公式 1、完全平方公式定义：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．、 2、完全平方公式的特征： （1）左边是两个相同的二项式相乘； （2）右边是三项式，是左边两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍； （3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式． 3.常见几种变形: 知识点四、完全平方公式的几何验证 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 题型01：平方差公式直接运用 【名师点拨】平方差公式的运用要注意括号中相同的数（式子）的平分减去相反数（式子）的平方，符号顺序不能弄错. 【例1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 原式利用平方差公式化简，即可得到结果． 【详解】解：， 故选：B． 【例2】下列算式中，可以利用平方差公式计算的有（   ） ①；②；③ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式：，解题的关键是掌握平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；②右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；③公式中的和可以是单项式，也可以是多项式．据此分析即可作出判断． 【详解】解：①，可以利用平方差公式计算，符合题意； ②，不可以利用平方差公式计算，不符合题意； ③，不可以利用平方差公式计算，不符合题意； ∴可以利用平方差公式计算的有个． 故选：B． 【跟踪训练】 1.下列能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式：，其特点是：①两个二项式相乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式．根据公式逐项分析即可． 【详解】解：A．无相同的项，故不能用平方差公式计算； B．故能用平方差公式计算； C．无相反的项，故不能用平方差公式计算；     D．无相同的项，故不能用平方差公式计算； 故选B． 2．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．若，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了平方差公式：，根据平方根公式计算即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， 故答案为∶12． 4．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，把原式化为，再利用平方差公式计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 5．下列各式可以利用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式的特征，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A.,该选项不符合题意； B. ,该选项不符合题意； C. ,该选项不符合题意； D. ,该选项符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查平方差公式，熟练掌握（a+b）（a-b）=a2-b2，是解题的关键． 5．下列各式不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方差公式：，根据平方差公式逐项分析即可． 【详解】A. ，故能够用平方差公式计算； B. 不符合平方差公式的结构，故不能够用平方差公式计算； C.，故能够用平方差公式计算； D. ，故能够用平方差公式计算； 故选B． 题型02：变形后运用平方差公式 【名师点拨】复杂多项式运用平方差主要体现整体思想，抓住不变的项作为前项，相反的项作为后项，代入平方差公式即可. 【例3】如果用平方差公式计算，则可将原式变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式解答． 【详解】， 故选：． 【点睛】此题考查平方差公式，熟记公式并熟练应用解题是关键． 【例4】计算： 【跟踪训练】 1．下列算式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选D． 2.计算： 题型03：利用平方差公式进行简便计算 【名师点拨】简便计算要学会拆数字，往往将大数拆成中间数加，小数拆成中间数减来解题. 【例5】利用乘法公式计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了运用平方差公式进行简便计算．根据算式中数字的特点把写成的形式，然后运用平方差公式展开，去括号合并同类项可得结果． 【详解】解： ． 【例6】用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式，是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【跟踪训练】 1．用平方差公式计算： ． 【答案】 【分析】将原式化为（800-1）（800+1）-8002，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式=（800-1）（800+1）-8002 =8002-1-8002 =-1， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 2．用平方差公式进行计算：． 【答案】 【分析】将原式转换为，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了运用平方差公式进行运算，熟练掌握平方差公式是解题关键． 3.阅读材料后解决问题．小明遇到下面一个问题：求（的值． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． （1）在本式前乘，再利用平方差公式进行逐步计算即可； （2）在本式前乘，在本式后乘，再利用平方差公式进行逐步计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 题型04：整式的化简求值 【名师点拨】整式的化简问题，先利用平方差公式把代数式写成乘积形式，再将已知条件整体代入求解. 【例7】已知，，则 ． 【答案】4 【分析】根据，再把，，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【跟踪训练】 1．已知，同时满足与，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式．先整理，再把与整体代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵与， ∴． 故答案为：． 2．已知x2-y2=6，x-y=1，则x+y等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】已知第一个等式左边利用平方差公式分解后，将x－y＝1代入计算即可求出x＋y的值． 【详解】∵x2﹣y2＝(x＋y)(x−y)＝6，x−y＝1， ∴x＋y＝6. 故选D. 【点睛】本题考查的是平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键. 3．已知，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，利用平方差公式运算即可求解，掌握平方差公式的应用是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 题型05：平方差公式与几何图形 【名师点拨】平方差公式左边涉及到的是字母的平方作差，右边涉及到的是字母相加减再相乘，这与几何中正方形的面积关系很大，故分析几何图形的时候要善于找到正方形和边长存在和差的图形，这是推导平方差的突破口. 【例8】如图，我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，根据长方形的面积和正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：由图知，第一个长方形的面积为， 第二个图形的面积为， ∴， 故选：C． 【跟踪训练】 1.从边长为的大正方形纸板正中央挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，根据图形求相应的面积，进而得解． 【详解】解：由题意可知：图1阴影部分的面积为， 结合图1可知，等腰梯形的底角为，高为，可得图2平行四边形的高为，面积为， 所以． 故选：D． 2．如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积为，新的图形面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】解：图中剩余部分的面积等于两个正方形的面积之差，即， 剩余部分通过割补拼成的长方形的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴， 故选：D． 3．如图，大正方形与小正方形的面积差为72，则阴影部分的面积为（   ） A．18 B．24 C．36 D．72 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式、平方差公式在几何图形中的应用，正确运用算式表示出阴影部分面积是解题的关键．设大正方形边长为，小正方形边长为，由题意得，，利用三角形的面积公式表示出阴影部分面积，再利用整式的运算法则化简，代入数据即可得出答案． 【详解】解：如图， 设大正方形边长为，小正方形边长为，则， 大正方形与小正方形的面积差为72， ， 阴影部分面积 ． 故选：C． 题型06：运用完全平方公式进行运算 【名师点拨】用完全平方公式计算时，首先要确定是用“和的完全平方公式”还是用“差的完全平方公式”，然后根据选择的“和”或“差”确定公式中的“a”和“b”,最后选择对应的公式计算即可. 【例9】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平方差公式、完全平方公式，根据平方差公式、完全平方公式计算求解判断即可． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D.，故此选项不符合题意； 故选：B． 【例10】利用完全平方公式进行计算： （1） （2） （3） （4） 解：(1) (2) 教师重点讲解前两题，指出公式中的字母和题中每一项的对应关系． 学生活动：分两组讨论，互交流后(3)(4)题公式中字母的对应关系，然后单独求解． (3) 另解 另解 【跟踪训练】 1．用完全平方公式计算 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．利用完全平方公式直接求解即可． 【详解】解：， 故答案为： 2.利用完全平方公式进行计算： (1) (2) 教学设计，建议分两组来完成，确保对公式的理解并能够准确应用公式进行计算。 题型07：通过对完全平方公式变形求值 【名师点拨】运用公式巧配方，整体代入更简便解决此类求值问题的常用方法是将待求值的式子利用乘法公式灵活变形，将已知条件整体代入求值. 【例11】已知，，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了完全平方公式．解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式把式子变形为．根据，，利用完全平方公式把式子变形，可以求得所求式子的值． 【详解】解：，， ， 故答案为：16． 【跟踪训练】 1.计算：已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值； （1）把，代入，再计算即可； （2）把，代入，再计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； 2．已知，则的值是（      ） A． B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了换元法，完全平方公式．令，则，整理得出，即可作答． 【详解】解：令， ∴， 整理得， 则， 故选：B． 【变式训练3】 1.已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式进行变形求值即可，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， 得：， ∴， 故选：． 2．已知，则的值是（  ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式及换元法的应用，解题关键是通过巧妙换元，将复杂方程转化为简单形式求解． 通过设进行换元，将转化为关于y的方程，展开化简求出的值，再还原得到的值． 【详解】解：设， ∴，， ∴原方程变形为 ， 即． 故选：B． 3．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以，即，所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，，则______； (2)若，，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)31 (2)15 (3)119 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，正确掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形即可求解； （2）由题意得到，根据完全平方公式得出，化简即可求解． （3）两边平方得，化简求出，然后两边平方即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， ，即， ， 故答案为：31． （2），， ， ， ， ； （3）， ∴， ， ， ∴， ， ∴． 题型08：求完全平方式中的字母系数 【名师点拨】完全平方公式分为和的完全平方公式与差的完全平方公式，因此，一次项字母系数一定要注意有两个，不要漏解.而常数项本身是平方项，结果为一种.解题时要看清参数在一次项系数位置还是常数项位置. 【例12】如果关于x的多项式是一个完全平方式，那么m的值是 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式：即可得出结论． 【详解】解：因为关于x的多项式是一个完全平方式， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方式；熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 【例13】已知是完全平方式，则实数m的值为（    ） A．3 B．3或 C．8 D．8或 【答案】D 【分析】本题考查的是求解完全平方式中的字母系数，由积的2倍项的特点可得或，再解方程即可． 【详解】解：∵关于x的二次三项式是一个完全平方式， ∴或 ∴或． 故选：D． 【跟踪训练】 1.如果（k是常数）是完全平方式，那么k的值为（    ） A．6 B． C． D．9 【答案】D 【分析】根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵（k是常数）是完全平方式， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 2.若是完全平方式，则 ． 【答案】或/或8 【分析】根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：或 故答案为：或 【点睛】本题考查求完全平方公式中的字母系数．掌握公式特点是解题关键． 3.若多项式是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 这里首末两项是和8这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和8积的2倍，依此求出m的值． 【详解】多项式是一个完全平方式 这两个数是和8 故答案为：． 题型09：整式的混合运算 【名师点拨】解答化简求值类问题时，先认真观察式子的结构特征，灵活选用乘法公式进行化简，再代入求值可以起到事半功倍的作用. 【例14】计算： 【答案】 【分析】先分别利用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是整式的混合运算，掌握“利用平方差公式与完全平方公式进行简便运算”是解本题的关键． 【例15】先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先根据完全平方公式、平方差公式、多项式与多项式的乘法法则进行化简计算，然后合并同类项，再把和的值代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，涉及到的知识有平方差公式、完全平方公式、多项式乘以多项式、合并同类项等知识，解题关键是熟练掌握相关运算法则及乘法公式． 【跟踪训练】 1．计算：. 【答案】5x2+5y2-12xy. 【分析】分别运用完全平方公式和平方差公式展开即可. 【详解】解：原式=4x2+9y2-12xy+x2-(2y)2 =5x2+9y2-4y2-12xy =5x2+5y2-12xy. 【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式的运用，牢记公式的形式是解题关键. 2．计算： 【答案】 【分析】此题考查了整式乘法公式的混合运算，首先根据完全平方公式和平方差公式化简，然后合并同类项即可．解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 【详解】 ． 3．已知，求的值 【答案】 【分析】原式利用平方差公式、完全平方公式化简，去括号合并后得到最简结果，然后将整体代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，将化简结果适当变形，利用整体代入的方法解答是解题的关键． 题型10：完全平方公式在几何图形中的应用 【名师点拨】几何图形是将平方差公式几何化，平方对应面积，加减法对应长度或面积的和差。 【例16】有两个正方形、，将、并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图1与正方形图2．若图1、图2中阴影的面积分别为11与32，则正方形的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． 设正方形的边长为，正方形的边长为，用代数式表示图1，图2中阴影部分的面积，整体代入即可得出，即正方形的面积． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由图1得：， 由图2得：，即， ∴， 故选：C． 【例17】如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（    ）    A． B．8 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式在图形面积中的应用．设正方形的边长为，正方形的边长为，可得，，利用完全平方公式即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则：，， 由得：， 解得：， 图中阴影部分面积为：， 故选：C． 【例18】如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接、、． (1)用含、的代数式表示________________； (2)若两个正方形的面积之和为60，且，求图中线段的长； (3)记的面积为，则______________（用字母表示）． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，解题的关键是完全平方公式展开与合并． （1）可由图形直观的得出结论； （2）利用完全平方公式通过展开推导，再将数值代入计算可得； （3）通过割补法计算可得，的面积为． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：∵两个正方形的面积之和为60， ∴， ， ， ； （3）解： ． 故答案为：． 【例19】如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法一：_______    方法二：_______； (2)观察图2，直接写出代数式，，mn之间的关系：_______． (3)利用（2）的结论，尝试解决以下问题： 已知，，则的值为，_______； (4)两个正方形，如图3摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分面积和． 【答案】(1)； (2) (3)25 (4)8 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）方法一：直接求小正方形面积即可；方法二：利用大正方形的面积减4个长方形的面积计算即可； （2）根据大正方形的面积减4个长方形的面积等于阴影部分的面积解答即可； （3）根据（2）所求关系解答即可； （4）由题意可知，，，即可求出．结合，可求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：方法一：直接计算阴影部分的面积为； 方法二：利用大正方形的面积减4个长方形的面积计算为； （2）解：由图2可知； （3）解：∵，， ∴由（2）可得，； （4）解：∵， ∴． 由图可知的底为x，高为2， ∴． 的底为2，高为， ∴， ∴． ∵，即， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴阴影部分面积和为8． 一、选择题 1.（2024上海闵行区期中）计算（a﹣3）2的结果是（　　） A．a2﹣6a+9 B．a2+6a+9 C．a2﹣6a+3 D．a2﹣6a+6 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式计算即可得到结果． 【详解】（a﹣3）2＝a2﹣6a＋9， 故选：A． 2.（2022秋·上海黄浦·七年级统考期中）下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式的特点要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方，只有具备以上特点才能进行运算，即可求解． 【详解】解：A．，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B．，能用平方差公式计算，故本选项符合题意； C．，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D．不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，能熟记平方差公式是解此题的关键． 3．（2024七年级上徐汇区期中）已知，则括号里应填（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式：， 即可确定答案； 【详解】， 故选：B 【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌据平方差公式是解题的关键 4.（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）下列等式中，能成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可作出判断． 【详解】解：A、 ，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项正确； D、，故选项错误． 故选：C 【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式，熟记公式是解题的关键． 5.（2022秋·上海静安·七年级上海田家炳中学校考期中）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（　　）    A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab 【答案】A 【分析】根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可． 【详解】根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积为(a+b)(a﹣b)， 即a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，利用图形面积得出是解题关键． 6．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，下列计算中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算多项式乘多项式、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查的是完全平方公式及多项式乘以多项式计算，牢记法则和公式是解题关键，根据法则和公式依次计算即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此选项不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此选项符合题意； D、， ∵， ∴，故此选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题 7.（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： ． 【答案】/ 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 利用平方差公式计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 8.（23-24七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查利用平方差公式进行计算．平方差公式为，解题的关键是把看作公式里的“a”，把看作公式里的“b”，再运用平方差公式进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海·期中）简便运算： ． 【答案】39996 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，牢记平方差公式的结构特点是解题的关键．利用平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10.（2024七年级上普陀汇区期中）给出下列式子： ①（x﹣y）（x+y）；②（x+y）（y﹣x）；③（y﹣x）（﹣y﹣x）；④（﹣x+y）（x﹣y）；⑤（﹣x﹣y）（x+y）；⑥（﹣x﹣y）（x﹣y），其中，符合平方差特征的有 　 　（填序号）． 【答案】①②③⑥ 【解析】 【分析】根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：由平方差公式的结构特征可得， ①（x﹣y）（x+y）符合平方差公式的结构特征，能利用平方差公式进行计算； ②（x+y）（y﹣x）＝（y+x）（y﹣x）符合平方差公式的结构特征，能利用平方差公式进行计算； ③（y﹣x）（﹣y﹣x）＝﹣（y+x）（y﹣x）符合平方差公式的结构特征，能利用平方差公式进行计算； ④（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y）不符合平方差公式的结构特征，不能利用平方差公式进行计算； ⑤（﹣x﹣y）（x+y）＝﹣（x+y）（x+y）不符合平方差公式的结构特征，不能利用平方差公式进行计算； ⑥（﹣x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的结构特征，能利用平方差公式进行计算； 故答案为：①②③⑥． 11.（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】利用完全平方公式进行计算即可． 本题考查的是完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 12.（22-23七年级上·上海普陀·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】先将（a-b）作为一个整体，利用完全平方公式进行展开，再利用完全平方公式和单项式乘多项式将（a-b）去括号，即可得出． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式，能熟练理解和灵活运用完全平方公式是解题的关键． 13．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）如果，那么 ． 【答案】/ 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，根据题意得到，利用完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 14.（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）已知，，那么 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键． 15 （2024七年级上青浦区期中）如果（k是常数）是完全平方式，那么k的值为（    ） A．6 B． C． D．9 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵（k是常数）是完全平方式， ∴， ∴， 故选D． 16.（24-25七年级上·上海·阶段练习）若是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方式，掌握完全平方式的结构特点是解题关键．利用完全平方式的结构特征求解即可． 【详解】解：因为是一个完全平方式， 所以， 所以 故答案为：． 17．（2024七年级上杨浦区期中）如果，则 ． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，灵活对完全平方公式进行变形是解题的关键． 由可得，，然后整体代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即，解得：， ∴． 故答案为9． 18.（2024七年级上宝山区期中）如图，已知正方形与正方形的边长分别为、，如果，，则阴影部分的面积为 ．    【答案】 【解析】 【分析】用两个正方形的面积之和减去两个空白部分三角形的面积即可． 【详解】由题意得，阴影部分的面积为： ， 当，时，该阴影部分的面积为： ， 故答案为：． 3、 解答题 19．（2023上海课时作业）运用完全平方公式计算： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式直接进行计算； （2）根据完全平方公式直接进行计算； （3）根据完全平方公式直接进行计算； （4）根据完全平方公式直接进行计算． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 20.（23-24七年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，运用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得；掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 22.（23-24七年级上·上海崇明·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】利用平方差公式逐步计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是根据算式的形式逐步运用公式计算． 23.（24-25七年级上·上海静安·期末）计算：． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了完全平方公式和多项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算完全平方公式和多项式乘以多项式，然后合并即可． 【详解】 ． 24．（24-25七年级上·上海·期中）利用乘法公式计算： 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了乘法公式，先把原式变形为，再利用乘法公式求解即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 25.（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，，求与的值． 【答案】25，57 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式乘法的完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．根据完全平方公式的变形整体求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26.（23-24七年级上·上海浦东新·期中）如图，已知正方形的边长为a，正方形的边长为b，且，点G在边上，连接，交于点H，连接． (1)求阴影部分的面积（用含a、b的代数式表示）； (2)连接，当，三角形的面积时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，完全平方公式的变形求值； （1）根据割补法，结合图形列式，进行计算即可求解； （2）先求出，，根据，将式子的值代入，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴， 由（1）可得 ． 27.（24-25七年级上·上海·期末）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形． (1)观察图2填空：正方形的边长为________，阴影部分的小正方形的边长为________； (2)观察图2，试猜想式子之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：设，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景进行求解是解决本题的关键． （1）根据图形，正方形的边长为等于小长方形两边的和，阴影部分的正方形的边长等于小长方形两边的差； （2）正方形可以直接用边长的平方求解，也可用阴影正方形的面积加上四个小长方形的面积，由此解答即可； （3）先求得，再利用（2）中的结论求出的值，然后求解即可． 【详解】（1）由图可知 正方形的边长为，阴影部分的正方形的边长为； 故答案为：； （2），理由如下： 由图可知： 正方形的面积为，也等于4个长为m，宽为n的长方形与边长为的阴影部分正方形面积的和，即为， 故得到 （3） ， 又 由（2）得： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新七年级上（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题06 乘法公式 知识点一、平方差公式 1、平方差公式：两数和与这两数差相乘，等于这两个数的平方差．． （1）．可以表示数，也可以表示式子（单项式和多项式） （2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式： 如： 2、平方差公式的特征： （1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． （2）右边是乘式中两项的平方差． 3.常见几种变形: （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 知识点二、平方差公式的几何验证 （1） 平方差公式的几何意义：边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，则阴影部分的面积是；将阴影部分剪拼成一个长方形，这个长方形的长为，宽为，面积为，因为两个长方形的阴影部分面积相等，所以. 常见验证平方差公式的几何图形： 知识点三、完全平方公式 1、完全平方公式定义：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．、 2、完全平方公式的特征： （1）左边是两个相同的二项式相乘； （2）右边是三项式，是左边两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍； （3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式． 3.常见几种变形: 知识点四、完全平方公式的几何验证 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 题型01：平方差公式直接运用 【名师点拨】平方差公式的运用要注意括号中相同的数（式子）的平分减去相反数（式子）的平方，符号顺序不能弄错. 【例1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】下列算式中，可以利用平方差公式计算的有（   ） ①；②；③ A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪训练】 1.下列能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．若，，则 ． 4．计算 ． 5．下列各式可以利用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 5．下列各式不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 题型02：变形后运用平方差公式 【名师点拨】复杂多项式运用平方差主要体现整体思想，抓住不变的项作为前项，相反的项作为后项，代入平方差公式即可. 【例3】如果用平方差公式计算，则可将原式变形为（   ） A． B． C． D． 【例4】计算： 【跟踪训练】 1．下列算式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2.计算： 题型03：利用平方差公式进行简便计算 【名师点拨】简便计算要学会拆数字，往往将大数拆成中间数加，小数拆成中间数减来解题. 【例5】利用乘法公式计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了运用平方差公式进行简便计算．根据算式中数字的特点把写成的形式，然后运用平方差公式展开，去括号合并同类项可得结果． 【详解】解： ． 【例6】用简便方法计算： (1) (2) 【跟踪训练】 1．用平方差公式计算： ． 2．用平方差公式进行计算：． 3.阅读材料后解决问题．小明遇到下面一个问题：求（的值． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： (1)； (2)． 题型04：整式的化简求值 【名师点拨】整式的化简问题，先利用平方差公式把代数式写成乘积形式，再将已知条件整体代入求解. 【例7】已知，，则 ． 【跟踪训练】 1．已知，同时满足与，则的值是 ． 2．已知x2-y2=6，x-y=1，则x+y等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 3．已知，，则（    ）． A． B． C． D． 题型05：平方差公式与几何图形 【名师点拨】平方差公式左边涉及到的是字母的平方作差，右边涉及到的是字母相加减再相乘，这与几何中正方形的面积关系很大，故分析几何图形的时候要善于找到正方形和边长存在和差的图形，这是推导平方差的突破口. 【例8】如图，我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.从边长为的大正方形纸板正中央挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（    ） A． B． C． D． 2．如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 3．如图，大正方形与小正方形的面积差为72，则阴影部分的面积为（   ） A．18 B．24 C．36 D．72 题型06：运用完全平方公式进行运算 【名师点拨】用完全平方公式计算时，首先要确定是用“和的完全平方公式”还是用“差的完全平方公式”，然后根据选择的“和”或“差”确定公式中的“a”和“b”,最后选择对应的公式计算即可. 【例9】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【例10】利用完全平方公式进行计算： （1） （2） （3） （4） 【跟踪训练】 1．用完全平方公式计算 2.利用完全平方公式进行计算： (1) (2) 题型07：通过对完全平方公式变形求值 【名师点拨】运用公式巧配方，整体代入更简便解决此类求值问题的常用方法是将待求值的式子利用乘法公式灵活变形，将已知条件整体代入求值. 【例11】已知，，则的值为 ． 【跟踪训练】 1.计算：已知，， (1)求的值； (2)求的值． 2．已知，则的值是（      ） A． B．8 C． D． 3．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以，即，所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，，则______； (2)若，，求的值； (3)已知，求的值． 题型08：求完全平方式中的字母系数 【名师点拨】完全平方公式分为和的完全平方公式与差的完全平方公式，因此，一次项字母系数一定要注意有两个，不要漏解.而常数项本身是平方项，结果为一种.解题时要看清参数在一次项系数位置还是常数项位置. 【例12】如果关于x的多项式是一个完全平方式，那么m的值是 ． 【例13】已知是完全平方式，则实数m的值为（    ） A．3 B．3或 C．8 D．8或 【跟踪训练】 1.如果（k是常数）是完全平方式，那么k的值为（    ） A．6 B． C． D．9 2.若是完全平方式，则 ． 3.若多项式是一个完全平方式，则 ． 题型09：整式的混合运算 【名师点拨】解答化简求值类问题时，先认真观察式子的结构特征，灵活选用乘法公式进行化简，再代入求值可以起到事半功倍的作用. 【例14】计算： 【例15】先化简再求值：，其中，． 【跟踪训练】 1．计算：. 2．计算： 3．已知，求的值 题型10：完全平方公式在几何图形中的应用 【名师点拨】几何图形是将平方差公式几何化，平方对应面积，加减法对应长度或面积的和差。 【例16】有两个正方形、，将、并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图1与正方形图2．若图1、图2中阴影的面积分别为11与32，则正方形的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例17】如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（    ）    A． B．8 C．6 D．12 【例18】如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接、、． (1)用含、的代数式表示________________； (2)若两个正方形的面积之和为60，且，求图中线段的长； (3)记的面积为，则______________（用字母表示）． 【例19】如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法一：_______    方法二：_______； (2)观察图2，直接写出代数式，，mn之间的关系：_______． (3)利用（2）的结论，尝试解决以下问题： 已知，，则的值为，_______； (4)两个正方形，如图3摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分面积和． 一、选择题 1.（2024上海闵行区期中）计算（a﹣3）2的结果是（　　） A．a2﹣6a+9 B．a2+6a+9 C．a2﹣6a+3 D．a2﹣6a+6 2.（2022秋·上海黄浦·七年级统考期中）下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024七年级上徐汇区期中）已知，则括号里应填（    ） A． B． C． D． 4.（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）下列等式中，能成立的是（　　） A． B． C． D． 5.（2022秋·上海静安·七年级上海田家炳中学校考期中）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（　　）    A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab 6．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，下列计算中错误的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7.（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： ． 8.（23-24七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 9．（24-25七年级上·上海·期中）简便运算： ． 10.（2024七年级上普陀汇区期中）给出下列式子： ①（x﹣y）（x+y）；②（x+y）（y﹣x）；③（y﹣x）（﹣y﹣x）；④（﹣x+y）（x﹣y）；⑤（﹣x﹣y）（x+y）；⑥（﹣x﹣y）（x﹣y），其中，符合平方差特征的有 　 　（填序号）． 11.（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 12.（22-23七年级上·上海普陀·期中）计算： ． 13．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）如果，那么 ． 14.（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）已知，，那么 ． 15 （2024七年级上青浦区期中）如果（k是常数）是完全平方式，那么k的值为_______ 16.（24-25七年级上·上海·阶段练习）若是一个完全平方式，则 ． 17．（2024七年级上杨浦区期中）如果，则 ． 18.（2024七年级上宝山区期中）如图，已知正方形与正方形的边长分别为、，如果，，则阴影部分的面积为 ．    3、 解答题 19．（2023上海课时作业）运用完全平方公式计算： （1）；（2）；（3）；（4）． 20.（23-24七年级上·上海·阶段练习）计算： 22.（23-24七年级上·上海崇明·阶段练习）计算： 23.（24-25七年级上·上海静安·期末）计算：． 24．（24-25七年级上·上海·期中）利用乘法公式计算： 25.（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，，求与的值． 26.（23-24七年级上·上海浦东新·期中）如图，已知正方形的边长为a，正方形的边长为b，且，点G在边上，连接，交于点H，连接． (1)求阴影部分的面积（用含a、b的代数式表示）； (2)连接，当，三角形的面积时，求阴影部分的面积． 27.（24-25七年级上·上海·期末）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形． (1)观察图2填空：正方形的边长为________，阴影部分的小正方形的边长为________； (2)观察图2，试猜想式子之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：设，若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$