第02讲 整式的加法和减法（暑假预习讲义，7题型突破+过关检测）新七年级数学新教材沪教版五四制

第02讲 整式的加法和减法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 去括号 题型2 添括号 题型3 整式的加减运算 题型4 整式加减的应用 题型5 整式的加减中的化简求值 题型6 整式加减中的无关型问题 题型7 带有字母的绝对值化简问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 去括号、添括号、整式加减、合并同类项、多重括号、整式求和、整式求差、化简求值、不含某字母项、与字母取值无关、几何列式、实际应用 1. 知识目标 1. 熟记去括号、添括号法则，理解法则本质是乘法分配律； 2. 掌握整式加减运算核心流程：去括号→合并同类项； 3. 会求两个及多个整式的和、差，规范书写加减算式； 4. 能化简含多重括号的整式，会按字母降幂、升幂整理结果； 5. 熟练掌握先化简后代入求值的标准解题步骤。 2. 能力目标 1. 精准处理括号前负号、数字系数带来的变号易错点； 2. 独立解决 “不含某项”“代数式与字母取值无关” 参数求解题型； 3. 能用整式加减表示图形周长、面积，解决生活实际应用题； 4. 建立数式通性思维，类比有理数运算律完成整式化简。 3. 素养目标 培养严谨规范的运算习惯、代数符号意识、数学建模思想，为后续整式乘除、因式分解学习打好基础。 重点：去括号法则、多重括号去括号运算顺序； 1. 整式加减标准运算流程： 去括号→找同类项→合并同类项； 2. 整式化简求值基础题型； 已知两个整式，求它们的和、差。 难点：括号前带负系数时，去括号需要全部变号，极易漏变符号；多重括号逐层去括号，多层符号连续混淆出错；“不含 x 项、代数式与 x 取值无关” 类参数计算；几何图形、实际应用题中，根据题意列整式再化简。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01去括号 1. 去括号法则 (1)如果括号前面是“ +”号，去括号时把括号连同它前面的“ +” 号去掉，括号内的各项都不改变符号. (2)如果括号前面是“－”号，去括号时把括号连同它前面的“－”号去掉，括号内的各项都改变符号. 2.去多层括号的方法 先观察式子的特点，再考虑去括号的顺序，一般由内向外，即先去小括号，再去中括号，最后去大括号 . 有时也可以由外向内，即先去大括号，再去中括号，最后去小括号 . 特别解读 1. 去括号时必须保证式子的值不变，即“形变而值不变” . 2. 当括号前是一个非 “±1”的因数时，去括号时可以先用括号前面的数字因数与括号内的每一项相乘，然后再把所得的积相加. 4.添括号法则 (1) 所 添 括 号 前 面 是“ +”号，括 到 括 号 内 的 各 项 都 不 改变符号； (2) 所添括号前面是“－”号，括到括号内的各项都改变符号 . 5.特别提醒 添括号是否正确，可以用去括号法则检验. 知识点02 整式加减 1. 整式加减的运算法则  一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项 . 2. 整式的化简求值的步骤 一化： 利用整式加减的运算法则将整式化简. 二代： 把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子. 三计算： 依据有理数的运算法则进行计算 . 特别解读 1. 整式加减的结果要最简： (1)不能有同类项； (2)含字母项的系数不能出现带分数，带分数要化成假分数； (3)一般不含括号. 2. 整式加减的结果如果是多项式，一般按照某一字母的升幂或降幂排列. 题型1去括号 【例1】（24-25七年级上·上海·期中）代数式去括号后应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】去括号 【分析】本题考查了去括号．括号前是正号，去掉括号和它前面的正号括号里各项符号不变；括号前是负号，去掉括号和它前面的负号括号里各项符号改变．解决本题的关键是先根据去括号的法则去掉小括号得到，再根据去括号法则去掉中括号得到． 【详解】解： ， 故选：C． 【例2】．（24-25七年级上·上海黄浦·阶段检测）去括号：________． 【答案】 【知识点】去括号 【分析】本题考查去括号，括号前是负号，去括号时括号内各项要变号，进而求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【例3】．（2024七年级上·上海·专题练习）去括号：． 【答案】 【知识点】去括号 【分析】本题考查的知识点是去括号法则，解题关键是正确去括号． 直接利用去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，进而判断得出答案． 【详解】解：原式， ． 【技巧归纳】优先选择由内向外去括号（先小括号、再中括号），层级清晰，大幅降低符号出错概率。 【变式1-1】．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）把代数式去括号，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】去括号 【分析】本题考查了整式去括号，计算时注意符号，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键． 根据整式的去括号法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式1-2】．（2024七年级上·上海·专题练习）去括号：________． 【答案】 【知识点】去括号 【分析】本题考查了去括号的法则，掌握去括号法则是解题的关键． 去括号时，括号前面是负号，去掉括号后，括号内各项符号改变；括号前面是正号时，去掉括号后，括号内各项符号不变，据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1-3】．（24-25七年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【知识点】合并同类项、去括号 【分析】本题考查了去括号、合并同类项，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是解题的关键．根据去括号、合并同类项的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 题型2 添括号 【例4】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）在等式的括号内依次填入的代数式是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】添括号 【分析】根据添括号法则对原式两个因式分别变形，即可得到括号内的代数式，添括号时括号前是正号，括入项符号不变；括号前是负号，括入项符号都改变． 【详解】解：对第一个因式变形：， 第一个括号内应填； 对第二个因式变形：， 第二个括号内应填； 综上所述，括号内依次填入和． 【例5】．（2024七年级上·上海静安·课后作业）_______； 【答案】 【知识点】添括号 【分析】根据y-x=-（x-y），y+x=x+y即可代入求解． 【详解】∵y-x=-（x-y），y+x=x+y ∴（y+x）（y-x）=-（x+y）（x-y）． 故答案是：x-y． 【点睛】本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“-”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 【例6】．（2024七年级上·上海·专题练习）去括号或添括号． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】去括号、添括号 【分析】本题考查的知识点是去括号和添括号，解题关键是熟练掌握去括号和添括号法则． 根据去括号和添括号法则分别进行解答即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． （3）解：． 故答案为：． （4）解：． 故答案为：． 【易错警示】•求多项式差式时，未给整式整体加括号，直接相减导致符号错误。 【变式2-1】．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）下列各式中，去括号或添括号错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】去括号、添括号 【详解】本题考查了整式的去括号、添括号，熟练掌握整式的去括号、添括号法则是解题关键． 根据整式的去括号、添括号法则逐项判断即可得． 【分析】解：A、，正确，故本选项不符合题意； B、，错误，故本选项符合题意； C、，正确，故本选项不符合题意； D、，正确，故本选项不符合题意； 故选：B 【变式2-2】．添括号：( )；[b+( )][b-( )]； 【答案】 c-a c-a 【知识点】添括号 【分析】根据添括号的法则解答即可． 【详解】解：， ． 故答案为：；、． 【点睛】本题考查了添括号的法则，添括号时，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都变号． 【变式2-3】．将式子，分别反过来，你得到两个怎样的等式？ 【探究】观察你得到的等式，你能总结出添括号的法则吗？ 【应用】根据上面你总结出的添括号法则，不改变多项式的值，把它的后两项放在： ①前面带有“”号的括号里； ②前面带有“”号的括号里． 【拓展】若，则的值为______． 【答案】探究：见解析；应用：①，②；拓展： 【知识点】添括号 【分析】先将两式分别反过来，找到添括号的法则，再应用到中，对其进行变形，并利用此法则对拓展中的式子进行化简计算． 【详解】解：，． 探究：添括号时，若括号前是“”号，则括号内各项均不变符号；若括号前是“”号，则括号内各项均改变符号． 应用：①； ②． 拓展：， ． 【点睛】本题考查了添括号法则，根据题意找出规律是解题的关键． 题型3整式的加减运算 【例7】．（25-26七年级上·上海闵行·期末）如果A和B都是三次整式，那么是（    ）． A．三次整式 B．六次整式 C．次数不高于三的整式 D．以上答案都不对 【答案】C 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加法，两个三次整式相加，最高次项可能抵消，因此和式的次数不高于三，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵ A和B都是三次整式， ∴中，三次项系数可能相互抵消，例如， 则此时的结果次数低于三； 若未抵消，例如 则此时的结果次数为三， 那么是次数不高于三的整式， 故选：C． 【例8】．（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知某个整式与的和是，则这个整式是_______． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】根据题意列出算式，然后去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：∵某个整式与的和是， ∴ ∴这个整式是． 【易错警示】求A与B的和：(A)+(B)；求A与B的差：(A)−(B)，多项式必须整体加括号。 【变式3-1】．（25-26七年级上·上海·期末）若，那么____． 【答案】/ 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，根据题意可得，据此根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【变式3-2】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）一个多项式加上得到 ，则这个多项式是_____________． 【答案】 【知识点】整式加减的应用 【分析】根据加法的含义列式，再计算即可． 【详解】解：由题意可得： ， ∴这个多项式是． 【变式3-3】．（25-26七年级上·上海·期末）已知，，，求． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算，掌握好整式加减运算的法则是关键． 根据整式的加减运算的法则进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 题型4整式加减的应用 【例9】．（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）为了增强学生体质，加强体育锻炼，学校组织了春季运动会（4）班有47名同学分成三组进行列队表演，第一组有人，第二组比第一组的一半多6人，求第三组的人数（用含m，n的式子表示）． 【答案】人 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题主要考查整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．先求得第二组的人数，进而求得第三组的人数即可． 【详解】解：第二组的人数为： 第三组的人数为： 答：第三组的人数为人． 【变式4-1】．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）如果一个三角形的周长为4a，其中两条边长的和为a+b，那么它的第三边长是 ___． 【答案】 【知识点】整式加减的应用 【分析】根据整式的加减运算，求解即可． 【详解】解：由题意可得第三边长为 故答案为 【点睛】此题考查了整式的加减运算，解题的关键是理解题意并掌握整式加减运算法则． 【变式4-2】．（25-26七年级上·上海·期中）现有A、B、C三种不同型号的卡片若干张（如下图所示），其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，且． (1)用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡片不重叠无缝隙地拼成一个大正方形，求此时这个大正方形的边长： (2)从这三种型号的卡片中选取一些卡片，也可以不重叠无缝隙地拼成不同形状的长方形（长不等于宽）．现有1张A型卡片，16张C型卡片，那么，要能拼成一个长与宽不相等的长方形，需要多少张B型长方形卡片？请说明你的理由． 【答案】(1) (2)张或张 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）根据根据已知条件做出图形求解即可； （2）根据题目要求作图求解即可； 【详解】（1）根据用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡片可以不重叠无缝隙地拼成一个大正方形，可得图形如下： 由图可知，正方形的边长为； （2）需要型长方形卡片：张或张；理由如下： 16张C型卡片可排列成的长方形，或的长方形，或的正方形 所以拼出如下三种情况： 情况一：如图所示： 需型卡片张； 情况二：如图所示： 需型卡片张； 情况三：如图所示： 此时为边长为的正方形，不符合题意； 符合条件的型卡片的张数为张或张． 【变式4-3】．阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a和b比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小，像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若， ，则______0，P______Q（填>，=或<）； (2)如图，图1长方形Ⅰ的周长______，图2长方形Ⅱ的周长______，请用求差法比较M、N的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用2块A型钢板，用6块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，用5块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【答案】(1)； (2)，，当时，；当时，；当时， (3)方案一 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查比差法及应用，涉及整式的加减，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． （1）用减即可得到答案； （2）由长方形的周长公式得，，再作差讨论比较即可； （3）方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：，再作差比较即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴； ∴； 故答案为：； （2）解：图1长方形的周长，图2长方形的周长， ， 当时，， 当时，； 当时，， 故答案为：，； （3）解：根据题意，方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：， ，且， ， 从省料角度考虑，应选方案一． 题型5整式的加减中的化简求值 【例10】．若，，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． 根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 原式=， 故选：B． 【例11】．（22-23七年级上·上海闵行·周测）若，则多项式的值是______． 【答案】2 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】根据整式加减混合运算法则进行化简，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 【点睛】本题主要考查了整式加减的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算． 【解题模板】：化简整式→代入数值（负数、分数必加括号）→计算结果 解题思路：化简后，所有含该字母的项系数全部为0，联立方程求解参数。 【变式5-1】．（22-23七年级上·上海宝山·期中）如果，那么的值为____________． 【答案】/ 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】先把条件变形得到，再把需要求值的代数式化为，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是代数式的求值，整式的加减运算，掌握“利用整体法求解代数式的值”是解本题的关键． 【变式5-2】．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，， (1)求： (2)当，求（1）中结果的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式加减运算顺序和运算法则． （1）先根据去括号，合并同类项进行化简可得， （2）再将��的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时， ． 【变式5-3】．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）化简并求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)，65 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减运算以及代数求值，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先去括号，再合并同类项，然后代数计算即可； （2）先去括号，再合并同类项，然后代数计算即可． 【详解】（1）解： ； ∵， ∴原式； （2）解： ， ∵， ∴原式． 题型6 整式加减中的无关型问题 【例12】．（2024七年级上·上海·专题练习）多项式的值（ ） A．与的大小都无关 B．与的大小有关，与z的大小无关 C．与x的大小有关，与的大小无关 D．与的大小都有关 【答案】A 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则进行解题． 根据去括号、合并同类项进行化简，再进行判断即可． 【详解】解： ， 所以与的大小都无关． 故选：A． 【例13】．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）如果多项式与的差中不含项，则a的值为______． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，计算出两个多项式的差，令所得结果中项的系数为零，解方程得到的值即可得到答案． 【详解】解： ． ∵多项式与的差中不含项， ∴， 解得． 故答案为：． 【例14】．（24-25七年级上·上海·期中）若关于的整式不含一次项，则该式的常数项为_____． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查多项式的相关概念，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键． 根据题意可得，求出的值，进而可求出常数项． 【详解】解：关于的整式不含一次项， 该式的常数项为 故答案为：． 【变式6-1】．（24-25七年级上·上海·期中）若为整数，且不论取何值，关于的整式和的值都相等，则的值为 _______． 【答案】或 【知识点】运用完全平方公式进行运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的无关型问题，由可得，进而可得，即得，再根据为整数解答即可求解，根据题意得到和是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵不论取何值，关于的整式和的值都相等， ∴，， ∴， ∵为整数， ∴， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴的值为或， 故答案为：或． 【变式6-2】．（23-24七年级上·上海·期中）已知，． (1)求； (2)若的值与x无关，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】（1）根据整式的加减计算法则求解即可； （2）根据的值与x无关可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵的值与x无关，且， ∴， ∴． 【变式6-3】．已知：代数式，代数式，代数式． (1)化简所表示的代数式； (2)若代数式的值与的取值无关，求出的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减、整式的无关问题，关键是灵活运用知识点解决问题； （1）将整式代入计算即可； （2）将整式代入计算化简，然后令项和项的系数分别为零即可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴       ； （2）解：∵，， ∴ ， ∵上式与的取值无关， ∴， 即：， ∴． 题型7带有字母的绝对值化简问题 【例15】．（23-24七年级上·上海浦东新·阶段检测）若，，且，则值为（  ） A． B． C．7或 D．或 【答案】D 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的减法运算 【分析】直接利用绝对值的性质以及有理数的加法分类讨论得出答案． 【详解】解：，，且， ，或，， 则或． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的加减法以及绝对值，正确掌握运算法则是解题关键． 【易错警示】/【技巧归纳】 【变式7-1】．在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是，且A、B两点的距离为8，则______． 【答案】4 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、数轴上两点之间的距离 【分析】根据数轴上两点间的距离与绝对值的关系，列出式子，再化简绝对值，求解即可． 【详解】解：∵点A表示的数是，点表示的数是，两点的距离为8， ∴ ∴ ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了数轴两点间的距离，掌握绝对值的几何意义是本题的解题关键． 【变式7-2】．（25-26七年级上·上海·期中）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，且表示数的点、表示数的点与原点的距离相等． (1)用“”“”或“”填空：_______，_______，_______； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】去括号、合并同类项、带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查由数轴上点的位置确定式子符号、化简绝对值等知识，熟记数轴比较大小的方法、绝对值意义及整式加减运算是解决问题的关键． （1）由有理数在数轴上的对应点的位置得到，从而确定，，； （2）由（1）中，，，，结合绝对值的代数意义去绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： ， 则，，， 故答案为：； （2）解：由（1）知，，，， ． 【变式7-3】．（2024七年级下·上海普陀·期中）—个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，根据以上条件完成下列各题： (1)_______________． (2)计算：_______________． (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】（1）原式利用绝对值的性质解答即可； （2）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （3）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值． 【详解】（1）； 故答案为：； （2）原式； 故答案为：； （3）原式． 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数减法，相反数，以及绝对值，正确脱去绝对值符号是解本题的关键． 一、单选题 1．“*”是一种新运算，其定义为：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先看清这种运算的规则，将式子整理，再求解． 【详解】根据题意的运算可得， ===2a+b. 故选D. 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，读懂题目中定义的运算法则是解题的关键. 2．设，，若x取任意有理数，则的值（    ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键；计算并化简得到，由x取任意有理数可知，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ； ∵x取任意有理数， ∴， ∴， ∴； 故选A． 3．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式化简，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．根据去括号，合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 4．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则+－=（    ） A．－2b B．0 C．2 D．2c－2b 【答案】B 【分析】先由数轴确定a、b、c的符号，进而确定每个绝对值里面的代数式的符号，然后根据绝对值的性质化简绝对值，再进行整式的加减运算即得答案． 【详解】解：由图示得：a<0，b<0，c>0，，则a+c<0，c-b>0，b+a<0， 所以 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的化简和整式的加减运算，解题的关键是根据加减法则确定代数式的符号并正确的进行绝对值的化简． 5．如图，小明将长方形纸片①剪去两个部分，得到数字“6”（图②），小明将剪去的部分拼成长方形③，图②中数字“6”按图④分割的6个全等的长方形拼成长方形⑤，经过测量和计算，小明发现长方形③与长方形⑤的周长相等，则长方形⑤中长与宽的比值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小长方形纸片的长为b,宽为a,根据已知条件长方形③与长方形⑤的周长相等，求出比值即可. 【详解】解：设小长方形纸片的长为b，宽为a， ∴⑤的周长为， ③的长为，宽为， ∴③的周长为， 又∵长方形③与长方形⑤的周长相等， ∴，即， ∴长方形⑤的长与宽的比值是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了长方形周长的问题，题目较为新颖． 二、填空题 6．整式与的和是，那么___________． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的加减运算，已知和与一个加数，求另一个加数，用和减去已知加数即可． 【详解】解：由题意， ． 故答案为： 7．若（     ）的化简结果是一个二次三项式，则括号内的单项式是________． 【答案】 【分析】此题考查了合并同类项，整式的加减运算不含某项的问题，为了使化简结果为二次三项式，必须消除原表达式中的三次项，因此括号内应添加单项式． 【详解】解：∵（     ）的化简结果是一个二次三项式， ∴化简后的最高次为2次， ∴要消掉， ∴括号内的单项式是． 故答案为：． 8．化简：__________． 【答案】/ 【分析】先去括号，然后合并同类项即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则与合并同类项是解题的关键． 9．已知代数式，，则无论x取何值，它们的大小关系是_________． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型． 用作差法比较大小即可判断． 【详解】∵，， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 10．一个两位数，个位数字为b，十位数字为a，把这个两位数的个位数字与十位数字交换，得到新的两位数，则新数比原数大_____________． 【答案】 【分析】根据题意得出原两位数和新两位数，作差即可求解 【详解】∵个位数字为b，十位数字为a， ∴原两位数为，新两位数为， ∴新数比原数大：； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了整式的加减，准确计算是解题的关键 11．已知a、b、c的大致位置如图所示：化简的结果是________． 【答案】 【分析】此题考查绝对值，关键是根据数轴和绝对值化简解答．先根据各点在数轴上的位置，确定它们所表示的数的和的大小关系，再根据有理数的加减法法则，判断、、的正负，利用绝对值的意义化去绝对值符号，加减得结论． 【详解】解：由数轴知：，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 12．三个连续整数中，n是最大的一个，这三个数的和为__________．（用n的代数式表示） 【答案】 【分析】先利用连续整数的关系用表示出最小的数和中间的整数，然后把三个数相加即可． 【详解】解：∵三个连续整数中，是最大的一个， ∴三个数分别为，，， ∴这三个数的和为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．本题的关键是表示出最小整数． 13．若减去一个整式的差是，则这个整式是_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式的减法，根据减法规则，减数等于被减数减去差，因此所求整式为，再通过整式加减运算求解即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：这个整式 ， 故答案为：． 14．某同学在做计算A+B时，误将“A+B”看成了“A﹣B”，求得的结果是9x2﹣2x+7，已知B=x2+3x+2，则A+B的正确答案为_______________． 【答案】 【分析】根据题意可得A﹣B=9x2﹣2x+7，将B=x2+3x+2代入其中求出A的代数式，然后再根据A+B计算即可. 【详解】∵A﹣B=9x2﹣2x+7，且B=x2+3x+2， ∴A=9x2﹣2x+7+ x2+3x+2=10x2+x+9， ∴A+B=10x2+x+9+ x2+3x+2= 11x2+4x+11. 所以答案为：11x2+4x+11. 【点睛】本题主要考查了整式加减运算的实际运用，熟练掌握运算法则是解题关键. 15．如图，数轴上点A、B表示的数分别是a、b，则化简|a|+|a+b|的结果是_________． 【答案】b 【分析】根据数轴上的位置确定a和a+b的正负，再根据绝对值的意义化简即可． 【详解】解：根据数轴所示可知，a<0，b>0，|a|<| b|， ∴a+b>0， |a|+|a+b|=-a+a+b=b， 故答案为：b． 【点睛】本题考查了数轴上表示的数，绝对值的意义，有理数加法和合并同类项，解题关键是根据数轴上点的位置，确定这些点表示数的正负和绝对值大小，再结合绝对值的意义进行化简． 16．定义：若，则称与是关于1的平衡数． （1）与______是关于1的平衡数．（用含的代数式表示）； （2）若关于1的平衡数是，则的值为______． 【答案】 4或 【分析】(1)4-x+x-2=2即可得出4-x的平衡数； (2)根据平衡数的定义列出方程求解即可． 【详解】解：(1)∵4-x+x-2=2， ∴4-x与x-2是关于1的平衡数； (2)由题意知：， 解得x=4或-2． 故答案为：(1)x-2；(2)4或-2 【点睛】本题主要考查的是整式的加减，正确去括号合并同类项是解题的关键． 17．对于关于的整式，我们定义一种新运算《》，若整式的最高次项的系数为正，其结果等于本身，若整式的最高次项的系数为负，其结果就是在整式前添加一个负号． 例如：，， ，． 现有，，规定：，，… （，为整数） 下列说法正确的是______（填序号） ①； ②若，则； ③当，满足的整数有674个． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了新定义运算、代数式的化简与周期性规律，熟练掌握新运算规则并推导的周期性是解题的关键． 对于说法①，直接求和验证等式成立；对于说法②，通过索引模3的规律确定，进而求解；对于说法③，分析等式成立的条件，即为3的倍数且，计算满足条件的的个数． 【详解】计算前8项： ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ，说法①正确． ∵当时， ，，，余， ∴． ∵， ∴，解得，说法②正确． 等式成立当且仅当的最高次项系数为正，即未取负号． 分析序列，当且为3的倍数时成立． 从3到2025，满足条件的为6，9，12，．．．，2025． 第一项是6，最后一项是2025，相邻两项的差都是3，项数： ，解得． 故说法③正确． 综上，①②③均正确．故答案为①②③． 三、解答题 18．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 19．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 20．先化简，后求值：，其中a，b满足． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的加减、完全平方及绝对值的非负性，先去括号，然后合并同类项得出最简整式，再由完全平方及绝对值的非负性可得出a和b的值，代入即可得出答案，得出a和b的值是解答本题的关键． 【详解】∵ ，，， ∴，， ∴， ， 当时， 原式． 21．先化简，再求值：若，求代数式的值． 【答案】；3 【分析】本题考查了整式加减运算中的化简求值，绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握去括号法则以及合并同类项法则． 先根据去括号法则以及合并同类项法则化简代数式，再根据绝对值以及完全平方式的非负性求解，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ． ∵， ∴， ∴ ∴原式． 22．做大、小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm） 长 宽 高 小纸盒 a 1.5b c 大纸盒 1.5a 2b 2c （1）求小纸盒的体积V1，及大纸盒的体积V2； （2）做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？ 【答案】（1）；；（2） 【分析】（1）根据长方体的体积公式：体积=长×宽×高，代入即可得出答案； （2）把大纸盒6个面的面积减去小纸盒6个面的面积，即可得出答案． 【详解】（1）由题可得：， ； （2）有题可知，小纸盒的表面积为：， 大纸盒的表面积为： ， 做大纸盒比做小纸盒多用料为: ． 答：做大纸盒比做小纸盒多用料平方厘米． 【点睛】本题考查整式的加减，熟练掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． 23．如图，某校有一块边长为米的正方形公园，公园内部设计了6个面积都为平方米的平行四边形花坛和1个面积为平方米的圆形花坛，其他的场地进行道路硬化. (1)用代数式表示6个平行四边形和1个圆形花坛的面积总和，并进行化简； (2)当，时，该公园内道路硬化的总面积是多少平方米? 【答案】(1)平方米 (2)260平方米 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，以及已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为公园内部设计了6个面积都为平方米的平行四边形花坛和1个面积为平方米的圆形花坛，所以，即可作答． （2）依题意，把，分别代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，平方米， （2）解：依题意，， 该公园内道路硬化的总面积是平方米， ∵，， ∴（平方米）． 24．阅读材料：在学习了课本页“探究”内容后，小亮知道了若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为，把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的和能被整除．（无需证明） 小亮接着研究，又发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为，把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的9倍． 回答问题： (1)请证明小亮新的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于297，请直接写出_____． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了整式加减的应用，列代数式，数字问题(一元一次方程的应用)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据题意列出原数与新数之差进行计算； （2）设十位上的数，根据题意列出原数与新数之差进行计算． 【详解】（1）证明：由题意可得：原数为：，新数为， ∵， ∴， ∴原数与新数的差为， 而a与b的差为， 即原数与所得新数的差等于a与b的差的9倍； （2）设十位上的数字是a， 根据题意可得；原数，新数， 两数之差为：． ， 则． 故答案为：3． 25．如图，是一长为米，宽为米的长方形空地，在内部留出两个直径为米的圆形区域建水池，再修建两块为长米，宽为米的长方形休息区，阴影部分为绿地． (1)用代数式表示绿地（阴影部分）的面积；（结果保留） (2)当，时，绿地（阴影部分）的面积是多少？（取3） 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，代数式求值： （1）用大长方形面积减去两个空白长方形面积，再减去两个空白圆的面积即可得到答案； （2）根据（1）所求代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， 平方米 （2）解：当，时，， ∴当，时，绿地（阴影部分）的面积是平方米. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 整式的加法和减法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 去括号 题型2 添括号 题型3 整式的加减运算 题型4 整式加减的应用 题型5 整式的加减中的化简求值 题型6 整式加减中的无关型问题 题型7 带有字母的绝对值化简问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 去括号、添括号、整式加减、合并同类项、多重括号、整式求和、整式求差、化简求值、不含某字母项、与字母取值无关、几何列式、实际应用 1. 知识目标 1. 熟记去括号、添括号法则，理解法则本质是乘法分配律； 2. 掌握整式加减运算核心流程：去括号→合并同类项； 3. 会求两个及多个整式的和、差，规范书写加减算式； 4. 能化简含多重括号的整式，会按字母降幂、升幂整理结果； 5. 熟练掌握先化简后代入求值的标准解题步骤。 2. 能力目标 1. 精准处理括号前负号、数字系数带来的变号易错点； 2. 独立解决 “不含某项”“代数式与字母取值无关” 参数求解题型； 3. 能用整式加减表示图形周长、面积，解决生活实际应用题； 4. 建立数式通性思维，类比有理数运算律完成整式化简。 3. 素养目标 培养严谨规范的运算习惯、代数符号意识、数学建模思想，为后续整式乘除、因式分解学习打好基础。 重点：去括号法则、多重括号去括号运算顺序； 1. 整式加减标准运算流程： 去括号→找同类项→合并同类项； 2. 整式化简求值基础题型； 已知两个整式，求它们的和、差。 难点：括号前带负系数时，去括号需要全部变号，极易漏变符号；多重括号逐层去括号，多层符号连续混淆出错；“不含 x 项、代数式与 x 取值无关” 类参数计算；几何图形、实际应用题中，根据题意列整式再化简。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01去括号 1. 去括号法则 (1)如果括号前面是“ +”号，去括号时把括号连同它前面的“ +” 号去掉，括号内的各项都不改变符号. (2)如果括号前面是“－”号，去括号时把括号连同它前面的“－”号去掉，括号内的各项都改变符号. 2.去多层括号的方法 先观察式子的特点，再考虑去括号的顺序，一般由内向外，即先去小括号，再去中括号，最后去大括号 . 有时也可以由外向内，即先去大括号，再去中括号，最后去小括号 . 特别解读 1. 去括号时必须保证式子的值不变，即“形变而值不变” . 2. 当括号前是一个非 “±1”的因数时，去括号时可以先用括号前面的数字因数与括号内的每一项相乘，然后再把所得的积相加. 4.添括号法则 (1) 所 添 括 号 前 面 是“ +”号，括 到 括 号 内 的 各 项 都 不 改变符号； (2) 所添括号前面是“－”号，括到括号内的各项都改变符号 . 5.特别提醒 添括号是否正确，可以用去括号法则检验. 知识点02 整式加减 1. 整式加减的运算法则  一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项 . 2. 整式的化简求值的步骤 一化： 利用整式加减的运算法则将整式化简. 二代： 把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子. 三计算： 依据有理数的运算法则进行计算 . 特别解读 1. 整式加减的结果要最简： (1)不能有同类项； (2)含字母项的系数不能出现带分数，带分数要化成假分数； (3)一般不含括号. 2. 整式加减的结果如果是多项式，一般按照某一字母的升幂或降幂排列. 题型1去括号 【例1】（24-25七年级上·上海·期中）代数式去括号后应是（   ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25七年级上·上海黄浦·阶段检测）去括号：________． 【例3】．（2024七年级上·上海·专题练习）去括号：． 【技巧归纳】优先选择由内向外去括号（先小括号、再中括号），层级清晰，大幅降低符号出错概率。 【变式1-1】．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）把代数式去括号，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．（2024七年级上·上海·专题练习）去括号：________． 【变式1-3】．（24-25七年级上·上海·期末）计算：． 题型2 添括号 【例4】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）在等式的括号内依次填入的代数式是（     ） A．， B．， C．， D．， 【例5】．（2024七年级上·上海静安·课后作业）_______； 【例6】．（2024七年级上·上海·专题练习）去括号或添括号． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【易错警示】•求多项式差式时，未给整式整体加括号，直接相减导致符号错误。 【变式2-1】．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）下列各式中，去括号或添括号错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．添括号：( )；[b+( )][b-( )]； 【变式2-3】．将式子，分别反过来，你得到两个怎样的等式？ 【探究】观察你得到的等式，你能总结出添括号的法则吗？ 【应用】根据上面你总结出的添括号法则，不改变多项式的值，把它的后两项放在： ①前面带有“”号的括号里； ②前面带有“”号的括号里． 【拓展】若，则的值为______． 题型3整式的加减运算 【例7】．（25-26七年级上·上海闵行·期末）如果A和B都是三次整式，那么是（    ）． A．三次整式 B．六次整式 C．次数不高于三的整式 D．以上答案都不对 【例8】．（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知某个整式与的和是，则这个整式是_______． 【易错警示】求A与B的和：(A)+(B)；求A与B的差：(A)−(B)，多项式必须整体加括号。 【变式3-1】．（25-26七年级上·上海·期末）若，那么____． 【变式3-2】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）一个多项式加上得到 ，则这个多项式是_____________． 【变式3-3】．（25-26七年级上·上海·期末）已知，，，求． 题型4整式加减的应用 【例9】．（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）为了增强学生体质，加强体育锻炼，学校组织了春季运动会（4）班有47名同学分成三组进行列队表演，第一组有人，第二组比第一组的一半多6人，求第三组的人数（用含m，n的式子表示）． 【变式4-1】．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）如果一个三角形的周长为4a，其中两条边长的和为a+b，那么它的第三边长是 ___． 【变式4-2】．（25-26七年级上·上海·期中）现有A、B、C三种不同型号的卡片若干张（如下图所示），其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，且． (1)用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡片不重叠无缝隙地拼成一个大正方形，求此时这个大正方形的边长： (2)从这三种型号的卡片中选取一些卡片，也可以不重叠无缝隙地拼成不同形状的长方形（长不等于宽）．现有1张A型卡片，16张C型卡片，那么，要能拼成一个长与宽不相等的长方形，需要多少张B型长方形卡片？请说明你的理由． 【变式4-3】．阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a和b比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小，像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若， ，则______0，P______Q（填>，=或<）； (2)如图，图1长方形Ⅰ的周长______，图2长方形Ⅱ的周长______，请用求差法比较M、N的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用2块A型钢板，用6块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，用5块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y从省料角度考虑，应选哪种方案？ 题型5整式的加减中的化简求值 【例10】．若，，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【例11】．（22-23七年级上·上海闵行·周测）若，则多项式的值是______． 【解题模板】：化简整式→代入数值（负数、分数必加括号）→计算结果 解题思路：化简后，所有含该字母的项系数全部为0，联立方程求解参数。 【变式5-1】．（22-23七年级上·上海宝山·期中）如果，那么的值为____________． 【变式5-2】．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，， (1)求： (2)当，求（1）中结果的值． 【变式5-3】．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）化简并求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 题型6 整式加减中的无关型问题 【例12】．（2024七年级上·上海·专题练习）多项式的值（ ） A．与的大小都无关 B．与的大小有关，与z的大小无关 C．与x的大小有关，与的大小无关 D．与的大小都有关 【例13】．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）如果多项式与的差中不含项，则a的值为______． 【例14】．（24-25七年级上·上海·期中）若关于的整式不含一次项，则该式的常数项为_____． 【变式6-1】．（24-25七年级上·上海·期中）若为整数，且不论取何值，关于的整式和的值都相等，则的值为 _______． 【变式6-2】．（23-24七年级上·上海·期中）已知，． (1)求； (2)若的值与x无关，求m的值． 【变式6-3】．已知：代数式，代数式，代数式． (1)化简所表示的代数式； (2)若代数式的值与的取值无关，求出的值． 题型7带有字母的绝对值化简问题 【例15】．（23-24七年级上·上海浦东新·阶段检测）若，，且，则值为（  ） A． B． C．7或 D．或 【变式7-1】．在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是，且A、B两点的距离为8，则______． 【变式7-2】．（25-26七年级上·上海·期中）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，且表示数的点、表示数的点与原点的距离相等． (1)用“”“”或“”填空：_______，_______，_______； (2)化简：． 【变式7-3】．（2024七年级下·上海普陀·期中）—个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，根据以上条件完成下列各题： (1)_______________． (2)计算：_______________． (3)计算： 一、单选题 1．“*”是一种新运算，其定义为：，则（    ） A． B． C． D． 2．设，，若x取任意有理数，则的值（    ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定 3．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 4．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则+－=（    ） A．－2b B．0 C．2 D．2c－2b 5．如图，小明将长方形纸片①剪去两个部分，得到数字“6”（图②），小明将剪去的部分拼成长方形③，图②中数字“6”按图④分割的6个全等的长方形拼成长方形⑤，经过测量和计算，小明发现长方形③与长方形⑤的周长相等，则长方形⑤中长与宽的比值是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 6．整式与的和是，那么___________． 7．若（     ）的化简结果是一个二次三项式，则括号内的单项式是________． 8．化简：__________． 9．已知代数式，，则无论x取何值，它们的大小关系是_________． 10．一个两位数，个位数字为b，十位数字为a，把这个两位数的个位数字与十位数字交换，得到新的两位数，则新数比原数大_____________． 11．已知a、b、c的大致位置如图所示：化简的结果是________． 12．三个连续整数中，n是最大的一个，这三个数的和为__________．（用n的代数式表示） 13．若减去一个整式的差是，则这个整式是_____． 14．某同学在做计算A+B时，误将“A+B”看成了“A﹣B”，求得的结果是9x2﹣2x+7，已知B=x2+3x+2，则A+B的正确答案为_______________． 15．如图，数轴上点A、B表示的数分别是a、b，则化简|a|+|a+b|的结果是_________． 16．定义：若，则称与是关于1的平衡数． （1）与______是关于1的平衡数．（用含的代数式表示）； （2）若关于1的平衡数是，则的值为______． 17．对于关于的整式，我们定义一种新运算《》，若整式的最高次项的系数为正，其结果等于本身，若整式的最高次项的系数为负，其结果就是在整式前添加一个负号． 例如：，， ，． 现有，，规定：，，… （，为整数） 下列说法正确的是______（填序号） ①； ②若，则； ③当，满足的整数有674个． 三、解答题 18．计算：． 19．计算： 20．先化简，后求值：，其中a，b满足． 21．先化简，再求值：若，求代数式的值． 22．做大、小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm） 长 宽 高 小纸盒 a 1.5b c 大纸盒 1.5a 2b 2c （1）求小纸盒的体积V1，及大纸盒的体积V2； （2）做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？ 23．如图，某校有一块边长为米的正方形公园，公园内部设计了6个面积都为平方米的平行四边形花坛和1个面积为平方米的圆形花坛，其他的场地进行道路硬化. (1)用代数式表示6个平行四边形和1个圆形花坛的面积总和，并进行化简； (2)当，时，该公园内道路硬化的总面积是多少平方米? 24．阅读材料：在学习了课本页“探究”内容后，小亮知道了若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为，把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的和能被整除．（无需证明） 小亮接着研究，又发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为，把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的9倍． 回答问题： (1)请证明小亮新的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于297，请直接写出_____． 25．如图，是一长为米，宽为米的长方形空地，在内部留出两个直径为米的圆形区域建水池，再修建两块为长米，宽为米的长方形休息区，阴影部分为绿地． (1)用代数式表示绿地（阴影部分）的面积；（结果保留） (2)当，时，绿地（阴影部分）的面积是多少？（取3） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $