1.4 正方形的性质与判定 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦正方形的性质、判定及中点四边形，通过回顾正方形定义、菱形与矩形判定，搭建与平行四边形、矩形、菱形的知识联系，形成学习支架帮助学生衔接旧知。 其亮点在于以推理意识和空间观念为核心，通过性质证明（如利用矩形菱形性质推导正方形四边相等、四角直角）、中点四边形分类表格（结合对角线关系总结形状）培养数学思维。采用思考交流、例题探究等方法，小结系统归纳，助力学生掌握知识，教师提升教学效率。

4 正方形的判定与性质 4 正方形的判定与性质 第1课时 正方形的性质 学习目标 1.探索并证明正方形的性质，了解平行四边形、矩形、菱形 之间的联系和区别。（重点、难点） 2.能够运用正方形的性质解决相关问题。（难点） 回顾复习 问题：还记得正方形的定义吗？ 正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 平行四边形 菱形 一组邻边相等，一个角是直角 知识讲解 知识点 正方形的性质 思考·交流 （1）正方形是菱形吗？正方形是矩形吗？ （2）你认为正方形有哪些特殊的性质？与同伴进行交流. 正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质. 定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理：正方形的对角线相等且互相垂直平分. 请你完成这两个定理的证明. 已知：如右图，四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD 四边相等，四个角都是直角. A B C D 证明：∵四边形ABCD 是正方形. ∴∠A=90°, AB=AC . （正方形的定义） 又∵正方形是平行四边形， ∴正方形是矩形, （矩形的定义） 正方形是菱形.(菱形的定义) ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC =CD =AD. 如图，四边形ABCD 是正方形.对角线AC，BD 相交于点O. 求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD. A B C D O 证明：∵正方形ABCD 是矩形, ∴AO =BO =CO =DO. ∵正方形ABCD 是菱形. ∴AC⊥BD. 例1 如图在正方形ABCD 中,E 为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下： （1）∵四边形ABCD是正方形.∴BC =DC,∠BCE =90°. （正方形的四条边都相等,四个角都是直角） ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF. A B D C F E (2)延长BE 交DE 于点M, ∵△BCE≌△DCF , ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF =90°, ∴∠CDF +∠F =90°. ∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF. A B D F E C M 尝试·交流 如图，四边形ABCD是正方形. （1）在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点A，C重合，则菱形的另外两个顶点需要满足怎样的条件？ （2）在图中画一个矩形EFGH，使矩形的四个顶点E，F，G，H依次在正方形ABCD的边AB，BC，CD，AD上，则矩形的四个顶点需要满足什么条件？ A B D C A B D C 第1个问题中，在正方形中画菱形，则只能以AC为菱形的对角线. （1）菱形的另外两个顶点都在正方形的对角线BD上，且两个顶点到BD的中点的距离相等. O 根据菱形和正方形的对称性可知，菱形的另外两个顶点到点O的距离相等. A B D C 距离相等 A B D C 相加等于正方形的边长 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 随 堂 小 测 A A D B C O E 22.5° 2.在正方形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，且AE =AB ，则∠EBC 的度数是 . 3.如图，在正方形ABCD 中，点F 为对角线 AC 上一点，连接BF, DF.你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明. 解：图中的全等三角形共有 3 对， 分别是 △ADC 与 △ABC, △FCD与 △FCB, △FAD 与 △FAB． 4.如图，正方形CEGF的顶点E，F在正方形ABCD 的边BC，CD上，且AB=5，CE=3，连接BG，DG， 则图中阴影部分的面积是_______. 8 5.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 上且BE＝1，F 为对角线AC 上一动点，则 △BFE 周长的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 B D C A E B F 6.如图，正方形ABCD 的边长为1cm，AC 为对角线，AE 平分 ∠BAC，EF⊥AC，求BE 的长． 解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm. ∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC. ∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE， ∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.∴FC＝BE. 在Rt△ABC 中， ∴FC＝AC－AF＝( －1)cm， ∴BE＝( －1)cm． 小结 1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分 正方形的性质 4 正方形的判定与性质 第2课时 正方形的判定 学习目标 1.探索并证明正方形的判定，并了解正方形与平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别 （重点、难点） 2.会利用正方形的判定进行相关计算。（难点） 菱形的判定方法 矩形的判定方法 定义法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 对角线相等的平行四边形是矩形 定理 四边相等的四边形是菱形 有三个角是直角的四边形是矩形 回顾复习 问题：菱形的判定方法有哪些？矩形呢？ 知识讲解 知识点1 正方形的判定 满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？ 定理：有一组邻边相等的矩形是正方形 定理：对角线互相垂直的矩形是正方形 定理：有一个角是直角的菱形是正方形 定理：对角线相等的菱形 例1 已知：如图，在矩形ABCD 中，BE平分∠ABC，CE 平分 ∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形. D A B C E F 证明：∵ BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°,∠DCB=90°. 又∵BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB. ∴∠EBC= ∠ABC=45°,∠ECB= ∠DCB=45°. ∴∠EBC=∠ECB， ∴EB=EC，∴四边形BECF是菱形（菱形的定义）. 在△EBC中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°， ∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=180°-2×45°=90°. ∴四边形BECF是正方形. 随 堂 小 测 1.如图,在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，增加下列条件仍不能推出四边形ABCD是正方形的是 （ 　 ） A．∠ABC=90° B．∠ABC=∠BCD C．AC=BD D．OA=OB B 2.下列说法不正确的是（ 　 ） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 B 3.已知:如图,在Rt△ABC中, ∠C =90°,∠BAC ,∠ABC 的平 分线于点D , DE⊥BC 于点E , DF⊥AC于点F. 求证：四边形CEDF是正方形. C E B A F D 证明: 如图所示，过点D 作DG⊥AB于点G. ∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠DFC=∠DEC=90°. 又∠C=90°，∴四边形CEDF是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）. ∴AD平分∠BAC，DF⊥AC ，DG⊥AB. ∴DF=DG. 同理可得DE=DG ， ∴DE=DF. ∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）. G 如图，四边形ABCD是正方形，连接它各边的中点，可以得到一个怎样的四边形？先猜一猜，再证明你的猜想。如果四边形ABCD是矩形呢？ 尝试·思考 知识点2 中点四边形 A B D C 连接正方形的对角线，可以构造三角形的中位线模型 新的四边形的四条边相等，四个角都是直角，所以新四边形是正方形. 顺次连接任意四边形上的中点所得四边形叫中点四边形 当四边形ABCD是矩形时 A B D C 矩形的中点四边形是菱形 其他特殊四边形的中点四边形是什么形状？ 菱形的中点四边形是矩形 平行四边形的中点四边形是平行四边形 等腰梯形的中点四边形是菱形 直角梯形的中点四边形是平行四边形 梯形的中点四边形是平行四边形 对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形 对角线既不相等又不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形 决定中点四边形形状的主要因素是原四边形的对角线的长度和位置关系. 原四边形 对角线关系 不相等、 不垂直 相等 垂直 相等且 垂直 中点四边形 形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 归纳总结 4.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到 四边形EFGH，要使四边形 EFGH为矩形， 应添加的条件是( ) A.AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB=DC 随 堂 小 测 C 5.如图，在矩形 ABCD中，M，N分别是边 AD，BC 的中点，E，F分别是BM，CM的中点，当AB∶AD= 时，四边形MENF是正方形. 1∶2 6.如图，在四边形 ABCD中，AC⊥BD，AC=BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证:四边形EFGH是正方形. 证明：∵E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA的中点， ∴EF = AC，GH = AC，EH = BD，FG = BD， EF ∥AC 且EH∥BD. ∵AC=BD，EF =FG =GH =HE，∴四边形EFGH 是菱形. 又∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD， ∴EH⊥EF，即∠HEF=90°， ∴四边形EFGH是正方形. 小结 三个角是直角 5种判定方法 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 $