1.3 矩形的性质与判定 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件围绕矩形的性质与判定展开，第1课时通过生活实例图片引导观察特殊平行四边形特征，第2课时类比菱形判定方法，建立与平行四边形知识的联系，搭建从性质到判定的学习支架。 其亮点在于以“尝试·思考”“观察·交流”引导探究，通过严谨证明（如矩形对角线相等、直角三角形斜边中线性质）培养数学思维，小结用表格梳理判定方法及几何语言，助力数学表达。例1多解法、例2综合应用，提升学生推理与应用能力，教师可借助结构化内容高效教学。

3 矩形的性质与判定 3 矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 学习目标 1.探索并证明矩形的性质定理.（重点） 2.应用矩形的性质定理解决相关问题.（难点） 课时导入 问题1:下面图片中都含有一些特殊的平行四边形.观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 问题2:你还能举出一些生活中的例子吗？ 知识讲解 知识点1 矩形的性质 尝试·思考 你认为矩形有哪些特殊的性质？你是怎样发现的？能证明这些性质吗？ 可以发现：矩形的四个角都是直角，对角线相等. 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形. ∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等)， AB∥DC(矩形的对边平行). ∴∠ABC+∠BCD=180°. 又∵∠ABC = 90°，∴∠BCD = 90°. ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°. 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O. 求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°； （2）AC=DB. A B C D O A B C D O （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC(矩形的对边相等). 在△ABC和△DCB中， ∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC= CB， ∴△ABC≌△DCB. ∴AC=DB. 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O. 求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°； （2）AC=DB. 定理：矩形的四个角都是直角. 定理：矩形的对角线相等. 总结 矩形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的所有性质外,还有平行四边形所没有的特殊性质. 对称性：是轴对称图形. 角：四个角都是90°. 对角线：相等. 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相交并相互平分. 矩形的特殊性质 平行四边形的性质 随 堂 小 测 1.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是(　　) A．2.2 cm B．2.3 cm C．2.4 cm D．2.5 cm D 2.如图,在矩形ABCD中，对角线AC ， BD交于点O，已知∠AOB=60°， AC=16,则图中长度为8的线段有（ ） A.2条 B.4条 C.5条 D.6条 A B C D O D 3．已知：如图，矩形ABCD中，AB长8 cm，对角线比AD长4 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°. 设AD=x cm，则对角线长(x+4)cm， 在Rt△ABD中，由勾股定理得x2+82=(x+4)2， 解得x=6，则AD=6 cm. 利用面积公式，可得AE·DB=AD·AB， ∴AE=4.8 cm. 知识点2 直角三角形斜边上的中线上的性质 如图1，在矩形纸片ABCD中，对角线AC与BD交于点E，将矩形纸片沿AC剪开，得到图2所示的图形，BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？ 观察·思考 C D E A B 图1 C E A B 图2 BE是Rt△ABC中斜边AC的中线. BE是AC的一半. 知识点2 直角三角形斜边上的中线上的性质 如图1，在矩形纸片ABCD中，对角线AC与BD交于点E，将矩形纸片沿AC剪开，得到图2所示的图形，BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？ 观察·思考 定理：直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半. C D E A B 图1 C E A B 图2 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 请你完成这个定理的证明. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E. 求证：BE= AC. C D E A B 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC = BD(矩形的对角线相等)， BE= DE= BD，AE=CE= AC (矩形对角线相互平分)， ∴BE= AC. 例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5 ，求这个矩形对角线的长. A B C D O 解：∵四边形ABCD是矩形. ∴∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角）， AC = BD(矩形的对角线相等)， OA= OC= AC，OB = OD = BD(矩形对角线互相平分). ∴OA = OD. ∵∠AOD=120°，∴∠ODA=∠OAD= (180°- 120°)=30°. ∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5. 你还有其他解法吗？ 例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5 ，求这个矩形对角线的长. A B C D O 另解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC = BD(矩形的对角线相等)， OA= OC= AC，OB =OD = BD(矩形对角线互相平分)， ∴OA = OB. 又∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形. ∴OA=AB=2.5， ∴AC=BD=2OA=5. 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝3cm，则EF＝____cm. 3 随 堂 小 测 证明：如图，连接EG，DG. ∵BD，CE是△ABC 的高， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点G是BC的中点， ∴EG＝ BC，DG＝ BC.∴EG＝DG. 又∵点F是DE的中点，∴GF⊥DE. 5．如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，证明：GF⊥DE. 小结 1.矩形的四个角都是直角. 2.矩形的对角线相等. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3 矩形的性质与判定 第2课时 矩形的判定 学习目标 1.经历矩形判定定理的探索过程，理解并掌握矩形的判定方 法.（重点） 2.能应用矩形判定解决简单的证明题和计算题.(难点） 课时导入 还记得我们是怎样得到菱形的判定条件的吗？你能用类似的方法发现矩形的判定条件吗？ 通过性质定理的逆定理发现的. 思考·交流 你能写出矩形性质定理的逆定理吗？它们都是真命题吗？为什么？与同伴进行交流. 可以发现：有三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形. 知识讲解 知识点1 对角线相等的平行四边形是矩形 已知：如图，在□ABCD中，AC ， DB是它的两条对角线， AC=DB. 求证：□ABCD是矩形. A B D C 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB = DC,AB ∥ DC， 又∵BC = CB，AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB . ∴∠ABC = ∠DCB . ∵AB∥DC，∴∠ABC + ∠DCB = 180°. ∴∠ABC=∠DCB= ×180°=90°. ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. 定理：对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言： 如图，在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. A B D C 1.要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（ 　 ） A．测量两对角线是否相等 B．度量两个角是否是90° C．测量两对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D．测量两组对边是否分别相等 随 堂 小 测 C 2.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ 　 ） A．AB=BE B．CE⊥DE C．∠ADB=90° D．BE⊥AB D 知识点2 有三个角是直角的四边形是矩形 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°. ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. A B C D 定理：有三个角是直角的四边形是矩形. A B C D 几何语言： 如图，在四边形ABCD中， ∵ ∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 例2 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ， △ABO是等边三角形， AB=4，求□ABCD的面积. A B D C O 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA= OC，OB = OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA= OB=AB= 4，∴OA= OB=OC = OD= 4. ∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8. ∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）. 例2 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ， △ABO是等边三角形， AB=4，求□ABCD的面积. A B D C O ∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） . 在Rt△ABC中,由勾股定理,得 AB 2 + BC 2 =AC 2 , ∴BC= . ∴S□ABCD=AB·BC=4× = . 随 堂 小 测 3.一个木匠要制作矩形的踏板.他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板.理由是 . 有三个角是直角的平行四边形是矩形 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E. 求证：四边形ADCE为矩形． 证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC. 又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM, ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝ (∠BAC＋∠CAM)＝90°. 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90°, ∴四边形ADCE为矩形（有三个角是直角 的四边形是矩形）． 小结 矩形的判定方法 几何语言 图形 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°， ∴ 四边形ABCD是矩形. 定理 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中，∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形 定理 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形 A B C D A B D C A B D C $