精品解析：2026年河北省承德市兴隆县三道河中学二模数学试题

2026年河北省承德市兴隆县三道河中学二模数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 计算（-16）÷的结果等于 A. 32 B. -32 C. 8 D. -8 2. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 3. 如图所示的沙发凳是一个底面为正六边形的直六棱柱，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 4. 这段时间，一个叫“学习强国”的理论学习平台了，很多人主动下载，积极打卡，兴起了一股全民学习的热潮，据不完全统计， 截至4月2号，华为官方应用市场“学习强国APP”下载量已达到8830万次，请将数字8830万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 的值等于（ ） A. B. C. D. 6. 解分式方程的结果是（ ） A. x=2 B. x=3 C. x=4 D. 无解 7. 如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流与电阻之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（　　） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， 8. 我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒斛，1个小桶盛酒斛，下列方程组正确的是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，E两点，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交于点F，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 2 10. 如图，等腰 的顶角，若将其绕点顺时针旋转，得到，点在边上，交于，连接则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 平分 D. 11. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．有下列结论：①降价8元时，数量为36件．②若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价10元．③商场平均每天盈利最多为1250元．正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12. 题目：“如图，点在同一个反比例函数的图象上，线段和线段关于直线对称，点，分别是点，的对应点．若线段与坐标轴有交点，求整数的值．”甲答：，乙答：或6，则正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 两人答案合在一起才完整 D. 两人答案合在一起也不完整 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：___________． 14. 如图，是的切线，为切点，直线交于两点，点为弧上一点，连接，若，则______度． 15. 新考法结合网格考查如图，在由小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均为格点（即小正方形的顶点），经过点B，D．若，则的长为________． 16. 如图，在和中，，，点E在线段上，点A在线段上，且．连接． （1）若，则的大小为________；（用含的代数式表示） （2）当时，连接交于点P，则的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，数学课上，老师用A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并依据这四个圆设计了数学游戏．例如：若按的顺序运算，则可列算式． （1）直接写出算式的结果； （2）若嘉嘉同学选择了的顺序，请列出算式并计算该算式的结果． 18. 已知多项式． （1）当时，求的值； （2）若为整数，试说明多项式能被5整除． 19. 某校为了解八年级学生参加社会实践活动情况，随机调查了本校部分八年级学生在第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题： （Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为________，图①中的m的值为_________； （Ⅱ）求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数； （Ⅲ）若该校八年级学生有240人，估计参加社会实践活动时间大于7天的学生人数． 20. 如图，已知是的外接圆，于，且点是的中点． （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，若过点作的切线，与的延长线交于点，且，，求的半径． 21. 如图，为了测量小河对岸大树BC的高度，小明在点A处测得大树顶端B的仰角为37°，再从点A出发沿倾斜角为30°的斜坡AF走4m到达斜坡上点D，在此处测得树顶端B的仰角为26.7°．求大树BC的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan37°≈0.75，tan26.7°≈0.5，≈1.73.） 22. 领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： （1） ______米/秒， ______秒； （2）求线段所在直线的函数解析式； （3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？(直接写出答案即可) 23. 在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点A、D分别在坐标轴上，轴，点，，是直角三角形，，，将沿x轴向右平移，得到，点P、O、Q的对应点分别为． （1）填空：如图①，点B的坐标为______，当经过点B时，与的交点E的坐标为______； （2）设，与菱形重叠部分的面积为S． ①如图②，当边与相交于点F， 分别与相交于点G、H，且 与菱形重叠部分为六边形时，试用含有t的式子表示线段，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围直接写出结果即可 24. 抛物线（，为常数，）的顶点为，与轴相交于，两点(点在点的左侧)，与轴交于，点． （1）若， ①求抛物线的解析式和点的坐标； ②点为第二象限的抛物线上一点，过点作轴，交于点，作轴于点，当时，求点的坐标； （2）若抛物线的对称轴交轴于点，点为线段上一点，过点作直线于点，当的面积的最大值为时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省承德市兴隆县三道河中学二模数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 计算（-16）÷的结果等于 A. 32 B. -32 C. 8 D. -8 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，把除法转化为乘法计算. 详解：（﹣16）÷=（-16）×2=-32. 故选B. 点睛：本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握有理数的除法法则是解答本题的关键. 2. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【详解】【分析】先利用分配律进行计算，然后再进行化简，根据化简的结果即可确定出值的范围. 【详解】 =， =， 而， 4<<5， 所以2<<3， 所以估计的值应在2和3之间， 故选B. 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，熟练掌握运算法则以及“夹逼法”是解题的关键. 3. 如图所示的沙发凳是一个底面为正六边形的直六棱柱，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱柱的三视图的画法即可得出答案． 【详解】解：从正面看“底面为正六边形的直六棱柱”， “正对的面”看到的是长方形的，而左右两个侧面，由于与“正面”有一定的角度， 因此看到的是比“正面”稍“窄”的长方形，所以选项C中的图形符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，理解三视图的画图原则，是正确判断的前提． 4. 这段时间，一个叫“学习强国”的理论学习平台了，很多人主动下载，积极打卡，兴起了一股全民学习的热潮，据不完全统计， 截至4月2号，华为官方应用市场“学习强国APP”下载量已达到8830万次，请将数字8830万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：8830万=8.83×107． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键． 5. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后计算加法，求出算式的值即可． 【详解】解： ； 故选：D． 6. 解分式方程的结果是（ ） A. x=2 B. x=3 C. x=4 D. 无解 【答案】D 【解析】 【详解】解：去分母得：1﹣x+2x﹣4=﹣1， 解得：x=2， 经检验x=2是增根，分式方程无解． 故选D． 考点：解分式方程． 7. 如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流与电阻之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（　　） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与应用，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数的性质． 设电流与电阻之间的函数关系为，求出电流与电阻之间的函数关系为，进而逐项求解判断即可． 【详解】解：由图象可知，电流与电阻之间满足反比例函数关系， 设电流与电阻之间的函数关系为， ∵点在函数的图象上， ∴， 解得：， ∴电流与电阻之间的函数关系为，故A选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴， 由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小， ∴当时，，故B选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴，故C选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴， 由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小， ∴当时，，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 8. 我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒斛，1个小桶盛酒斛，下列方程组正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可. 【详解】∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛， ∴5x+y=3， ∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛， ∴x+5y=2， ∴得到方程组， 故选：A. 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键. 9. 如图，在中，，，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，E两点，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交于点F，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，勾股定理和角平分线的性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．过F点作于H点，如图，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，再利用勾股定理计算出，接着证明，得到，所以，设，则，利用勾股定理得，然后解方程即可． 【详解】解：过F点作于H点，如图， 由作图痕迹得平分， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得， 即的长为， 故选：A． 10. 如图，等腰 的顶角，若将其绕点顺时针旋转，得到，点在边上，交于，连接则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质可知，，，，又等腰 的顶角，可得，，，从而得到，，，而． 【详解】解：∵等腰的顶角， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到，点在边上， ∴，，， ∴，， ∵， ∴平分， 又∵， ∴， ∴． 11. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．有下列结论：①降价8元时，数量为36件．②若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价10元．③商场平均每天盈利最多为1250元．正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件列出算式计算即可判断①；设每件衬衫应降价元，则每天多销售件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可判断②；设商场每天的盈利为元，根据题意得出，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件， 降价8元时，每天售出的件数为：（件），故①正确，符合题意； 设每件衬衫应降价元，则每天多销售件， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽快减少库存， ， 若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元，故②错误，不符合题意； 设商场每天的盈利为元， 由题意得：， ， 当时，最大为元，故③正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③，共2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出算式、一元二次方程以及二次函数是解此题的关键． 12. 题目：“如图，点在同一个反比例函数的图象上，线段和线段关于直线对称，点，分别是点，的对应点．若线段与坐标轴有交点，求整数的值．”甲答：，乙答：或6，则正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 两人答案合在一起才完整 D. 两人答案合在一起也不完整 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两点都在同一反比例函数图象上得到关于的方程：，解方程求出的值，通过作直线和求出线段和的中点坐标，再根据线段与轴有交点时，，或线段与轴有交点时，，即可确定的取值范围． 【详解】解：根据题意作出点和点关于直线的对称点：点和点．直线交轴于点，交轴于点，如图： 点和点在同一个反比例函数图象上， ，即：， 解得：， 点坐标为，点坐标为， 过点作直线交于点，过点作交于点， 根据点的坐标可得，点在直线上；根据点的坐标可知点在直线上， 由求解出点的坐标为， 由求解出点的坐标为， 根据轴对称的性质，点是线段的中点，点是线段的中点， ，， 则，， 同理可得：，， 当线段与轴有交点时，，即：，解得：， 当线段与轴有交点时，，即：，解得：， ，整数的值为2，3，4，5，6． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，轴对称图形的性质，一元一次不等式组，求出两点关于直线的对称点坐标是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：___________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据零次幂及负指数幂可直接进行求解． 【详解】解：原式=； 故答案为5． 【点睛】本题主要考查零次幂及负指数幂的运算，熟练掌握零次幂及负指数幂的运算是解题的关键． 14. 如图，是的切线，为切点，直线交于两点，点为弧上一点，连接，若，则______度． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，切线的性质， 先根据圆内接四边形的性质求出，进而求出，再根据切线的性质得，然后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴． 故答案为：40． 15. 新考法结合网格考查如图，在由小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均为格点（即小正方形的顶点），经过点B，D．若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先找到圆心O，得到、，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，作线段、的垂直平分线，交点即为圆心O，连接， 则，， ． 16. 如图，在和中，，，点E在线段上，点A在线段上，且．连接． （1）若，则的大小为________；（用含的代数式表示） （2）当时，连接交于点P，则的长为________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】（1）由得，证，得，结合等腰的，进而即可求解； （2）由推得，求得、，故；由证，可得，进而即可求解． 【详解】解：如图（1）， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ， 由题意得，是等腰三角形， ∴， ； （2）如图（2），设，交于点G， ∵， ，即， ∴， 又由（1）知， ， ∴， ∴． ∴， 又∵， ∴． 设，则． 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题以双直角三角形为载体，综合运用全等、相似三角形的判定与性质，结合三角函数推导角度与线段长度，体现了转化化归与数形结合的核心数学思想． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，数学课上，老师用A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并依据这四个圆设计了数学游戏．例如：若按的顺序运算，则可列算式． （1）直接写出算式的结果； （2）若嘉嘉同学选择了的顺序，请列出算式并计算该算式的结果． 【答案】（1）102 （2） 【解析】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，理解题意，熟练掌握含乘方的有理数的混合运算是解题的关键． （1）先计算括号，然后进行乘方运算即可； （2）根据题意列式，计算求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：由题意列出算式为， 原式， ∴所列算式的计算结果为． 18. 已知多项式． （1）当时，求的值； （2）若为整数，试说明多项式能被5整除． 【答案】（1） （2）多项式能被5整除 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）把代入多项式计算即可； （2）先计算出，然后判断即可． 【小问1详解】 解：当时，； 【小问2详解】 解：， 为整数， 多项式能被5整除． 19. 某校为了解八年级学生参加社会实践活动情况，随机调查了本校部分八年级学生在第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题： （Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为________，图①中的m的值为_________； （Ⅱ）求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数； （Ⅲ）若该校八年级学生有240人，估计参加社会实践活动时间大于7天的学生人数． 【答案】（Ⅰ）40，20；（Ⅱ）众数为5；中位数为6；平均数是6.4；（Ⅲ）48人． 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用参加社会实践活动9天的人数除以它所占百分比可得调查总人数；利用100%减去各部分所占百分比即可求出m的值； （Ⅱ）根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可得这组样本数据的众数为5；把数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，位置处于中间的是两个数都是6，从而可得中位数为6；求出数据的总和再除以40即可得到平均数； （Ⅲ）利用样本估计总体的方法可得该区八年级学生中参加社会实践活动的时间大于7天的人数比例约为20%，由此即可求解． 【详解】（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为：4÷10%=40， m%=100%-25%-35%-10%-10%=20%， 则m=20， 故答案为：40，20． （Ⅱ）∵在这组样本数据中，5出现了14次，出现的次数最多， ∴这组样本数据的众数为5． ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6，有， ∴这组样本数据的中位数为6． 观察条形统计图，， ∴这组数据的平均数是6.4． （Ⅲ）∵在40名学生中，参加社会实践活动的时间大于7天的人数比例为20%， ∴由样本数据，估计该校240名八年级学生中参加社会实践活动的时间大于7天的人数比例约为20%，于是，有． ∴该校240名八年级学生中参加社会实践活动的时间大于7天的人数约为48人． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，以及众数、中位数、加权平均数的计算，关键是正确从统计图中获取正确信息． 20. 如图，已知是的外接圆，于，且点是的中点． （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，若过点作的切线，与的延长线交于点，且，，求的半径． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，平行四边形的判断和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； （1）根据题意，可得，结合垂直平分线的性质得到，进而判定是的中位线，进而求解即可； （2）连接，根据是的切线得到，判定，四边形是平行四边形，结合勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径是． 21. 如图，为了测量小河对岸大树BC的高度，小明在点A处测得大树顶端B的仰角为37°，再从点A出发沿倾斜角为30°的斜坡AF走4m到达斜坡上点D，在此处测得树顶端B的仰角为26.7°．求大树BC的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan37°≈0.75，tan26.7°≈0.5，≈1.73.） 【答案】11.2m 【解析】 【分析】过点D分别作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分别为G，H．根据三角函数求出DG＝AD·sin30°＝2． AG＝AD·cos30°＝2．在Rt△ABC中，利用锐角正切三角函数求出BC＝tan37°·AC．，然后列方程BC－2＝tan26.7°(AC＋2)．代入数据计算即可． 【详解】解：如图，过点D分别作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分别为G，H． ∴∠DGC=∠DHC=∠HCG=90°， ∴四边形DGCH为矩形， ∴DG=CH，DH=CG， 在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，AD=4m， ∵sin30°＝，cos30°＝， ∴DG＝AD·sin30°＝2． AG＝AD·cos30°＝2． 在Rt△ABC中，∵tan37°＝， ∴BC＝tan37°·AC． 在Rt△BDH中，∵tan26.7°＝， ∴ ∴BC－2＝tan26.7°(AC＋2)． ∴tan37°·AC－2＝tan26.7°(AC＋2)．即0.75AC－2≈0.5(AC＋2)． ∴AC＝4＋8． ∴BC＝0.75×(4＋8)＝3＋6≈11.2m． 答：大树BC的高度为11.2m． 【点睛】本题考查解直角三角形，矩形判定与性质，熟练掌握锐角三角函数定义，以及矩形的判定方法与性质是解题关键． 22. 领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： （1） ______米/秒， ______秒； （2）求线段所在直线的函数解析式； （3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？(直接写出答案即可) 【答案】（1）8，20 （2）； （3）2秒或10秒或16秒． 【解析】 【分析】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据图形计算即可求解； （2）先求得甲无人机单独表演所用时间为秒，得到，利用待定系数法即可求解； （3）利用待定系数法分别求得线段、线段、线段所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解 【小问1详解】 解：由题意得甲无人机的速度为米/秒， ， 故答案为：8，20； 【小问2详解】 解：由图象知，， ∵甲无人机的速度为8米/秒， 甲无人机匀速从0米到96米所用时间为秒， 甲无人机单独表演所用时间为秒， ∴秒， ∴， 设线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得， 解得， ∴线段所在直线的函数解析式为； 【小问3详解】 解：由题意，， 同理线段所在直线的函数解析式为， 线段所在直线的函数解析式为， 线段所在直线的函数解析式为， 当时，由题意得， 解得或（舍去）， 当时，由题意得， 解得或（舍去）， 当时，由题意得， 解得或（舍去）， 综上，两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米． 23. 在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点A、D分别在坐标轴上，轴，点，，是直角三角形，，，将沿x轴向右平移，得到，点P、O、Q的对应点分别为． （1）填空：如图①，点B的坐标为______，当经过点B时，与的交点E的坐标为______； （2）设，与菱形重叠部分的面积为S． ①如图②，当边与相交于点F， 分别与相交于点G、H，且 与菱形重叠部分为六边形时，试用含有t的式子表示线段，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围直接写出结果即可 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接交于点，利用菱形的性质得到，，，结合轴，推出四边形是矩形，则有，，在中利用正切的定义求出，得到，得出点B、A的坐标；利用待定系数法求出直线和的解析式，联立解析式即可求出交点E的坐标； （2）①连接交于点，交于点，结合（1）中的结论，通过证明四边形是矩形得到，，则有，在中利用余弦的定义表示出的长，再结合与菱形重叠部分为六边形，即可得出t的取值范围；②根据重叠部分图形的变化，分以下情况讨论：、、、、，分别画出示意图，利用图形面积公式表示出，利用二次函数的性质求出的取值范围，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，连接交于点， ∵， ∴， ∵菱形，， ∴，，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴，， ∴点B的坐标为，点A的坐标为， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵当经过点B时，与重合， ∴沿x轴向右平移3个单位长度， ∴，， 设直线的解析式为， 代入和得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为， 联立，解得， ∴； ∴综上所述，点B的坐标为，点E的坐标为 故答案为：；． 【小问2详解】 解：①如图，连接交于点，交于点， 由题意得，沿x轴向右平移个单位长度得到， ∴，，， 由（1）得，，，四边形是矩形，， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵在中，， ∴， 当点与点重合时，； 当经过点B时， ∵，， ∴同理（1）的方法可得，直线的解析式为， 代入得，，解得； 由图象得，当时，与菱形重叠部分为六边形， ∴综上所述，； ②当时，与菱形重叠部分为，连接交于点， 由①得，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，与菱形重叠部分为四边形，设与轴交于点， 由①得，直线的解析式为， 令，则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴； 当时，与菱形重叠部分为六边形， 同理可得，， ∵， ∴ ， 当时，有最大值， ∵， ∴； 当时，与菱形重叠部分为五边形，设与延长线交于点， 同理可得，，， ∵，， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴； 当时，与菱形重叠部分为，设与交于点， 直线的解析式为， 令，则，解得， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴综上所述，S的取值范围为． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质与判定、解直角三角形、二次函数的最值、待定系数法求函数解析式、割补法求图形面积、勾股定理，运用分类讨论和数形结合的思想是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，综合要求较高，适合有能力解决压轴题的学生． 24. 抛物线（，为常数，）的顶点为，与轴相交于，两点(点在点的左侧)，与轴交于，点． （1）若， ①求抛物线的解析式和点的坐标； ②点为第二象限的抛物线上一点，过点作轴，交于点，作轴于点，当时，求点的坐标； （2）若抛物线的对称轴交轴于点，点为线段上一点，过点作直线于点，当的面积的最大值为时，求点的坐标． 【答案】（1）①， ② （2） 【解析】 【分析】（1）①利用已知点坐标带入抛物线方程求参数，再通过顶点公式直接计算顶点坐标． ②通过设定点坐标，结合几何图形条件（平行、垂直、角度），绘出相关图像，然后建立方程，利用坐标关系求解． （2）通过几何图形分析确定一次函数关系式，通过图像将三角形面积表示为变量的函数，利用二次函数的性质解决最值问题． 【小问1详解】 ①解：将带入中，得到， 将点带入解析式，得到方程，解得， 所以抛物线解析式为， 根据公式求得二次函数顶点坐标． ②根据题意画出图像： 由图可知：轴，轴， ， ， ， ， 点为第二象限的抛物线上一点， 设坐标为， 令，解得， 设所在直线的函数表达式为 将，带入表达式得 ，解得 所在直线的函数表达式为 设 解得：， 【小问2详解】 已知经过点，代入得： 设，即的另一个解为 则 即 该二次函数的对称轴为 顶点的坐标为 则直线的斜率为 又 直线的函数表达式为 因此垂直于的直线斜率为1， 设， 直线的函数表达式为 联立，解得 这是关于的二次函数，开口向下，最大值在顶点： 最大面积为： 当时： 解得： 当时，的最大值位置为 【点睛】本题综合考察了二次函数的图像和性质，用图像明确几何图形中的角度与坐标的关系，通过二次函数模型解决三角形面积最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $