精品解析：湖北省沙市中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题

2025—2026学年度下学期2024级 3月月考数学试卷 命题人：肖小权 审题人：吴家欣 考试时间：2026年3月19日 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列，，，，，…，则该数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将数列的前五项进行改写，可归纳得出数列的一个通项公式. 【详解】，，，，， 由此归纳得出该数列的一个通项公式为， 故选：B. 2. 若函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，再赋值计算即得. 【详解】函数，求导得， 当时，， 所以. 故选：A 3. 已知椭圆：的离心率为，双曲线：的离心率为，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用离心率和双曲线渐近线的公式求解即可. 【详解】依题意，，， 又，所以，整理得， 所以， 所以双曲线E的渐近线方程为， 故选：B. 4. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数极值点的定义，结合二次函数的性质、数形结合思想、转化法进行求解即可. 【详解】由， 当时，函数单调递增，在时，该函数单调递减， 所以当时，函数有最大值，且， 所以当时，有两个不同的极值点，等价于直线与函数有两个不同的交点，如图， 所以，即. 故选：B 5. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，已知数列满足：，，则 （    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，依次计算出数列的前几项，找出数列的循环规律，确定数列的周期，再根据数列的周期性即可求出. 【详解】根据题意，为奇数，所以， 又为偶数，所以， 又为偶数，所以， 又为奇数，所以， 又为偶数，所以， 又为偶数，所以， 所以，可以发现，数列是以，这个数为循环的周期数列， 又，所以，即. 6. 现有函数，设数列满足，若存在使不等式：成立，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出的图像关于点成中心对称，利用倒序相加求出，从而得到，结合对勾函数的单调性得到，求出的取值范围. 【详解】因为 ，所以的图像关于点成中心对称． 因为， 所以， 两式相加得，所以． 由，得， 所以． 令， 则当时，在上单调递减； 当时，在单调递增． 又，所以，所以， 即的取值范围是． 7. 若，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，，利用导数求函数最小值，得到和，令即可比较大小. 【详解】令，则， 当时，，所以，所以在上单调递增； 当时，，所以，所以在上单调递增， 所以当时，， 所以，即，所以，所以， 令，则， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以，当时，， 所以，即，所以，所以， 所以. 故选：A. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一个动点，记△的内切圆圆心为，则点与点的横坐标之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，结合圆的切线长定理进行求解即可. 【详解】由椭圆， 则， 设，与圆分别切于点， 所以， 因为， 又因为，所以， 所以， 由切线性质可知， 所以， 所以， 又点与点的横坐标相同，所以点与点的横坐标之比为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知数列为等差数列，为其前n项和，，，则（ ） A. B. 为单调递增数列 C. 使的n的最小值为18 D. 当且仅当时，最小 【答案】BC 【解析】 【分析】根据数列为等差数列，由，求得首项和公差，然后再逐项判断. 【详解】对于A：在等差数列中，，， 所以，解得 ， 则 ，故A错误； 对于B：，则 ， 所以为单调递增数列，故B正确； 对于C：，由 ，即 ， 解得，所以 的n的最小值为18，故C正确； 对于D：的对称轴为，开口方向向上， 因为为正整数，所以当或9时，取得最小值，故D错误. 故选：BC 10. 已知函数，则下列四个结论正确的是（    ） A. 的极大值点为2 B. 若关于的方程恰有两实根，则 C. 有4个实根 D. 关于的不等式的整数解至少有两个 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过求导分析极值点，结合方程根的个数、复合函数零点即可验证ABC选项，对于D，在的情况下就存在两个整数解，所以关于的不等式的整数解至少有两个，故D正确. 【详解】对于A，由题意得，令，或， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以是极大值点，故A正确； 对于B，当时取极小值， 当时取极大值， 当时，，如图， 则当时，恰有两实根，故B错误； 对于C，令，解得， 设，则， 易得，且，， 当时，由的图象可得有两个解， 当时，因为，由的图象可得有两个解， 故有4个实根，故C正确； 对于D，当时，，存在整数解使满足题意， 存在整数解使满足题意， 故关于的不等式的整数解至少有两个，D正确. 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图，曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一，下列结论中正确的是（　　） A. 曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3 B. 曲线C关于y轴对称 C. 曲线C恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点） D. 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 【答案】ABD 【解析】 【详解】根据曲线C:x2+y2=1+|x|y，可得曲线与x轴，y轴的交点M(1,0),N(-1,0),P(0,-1),Q(0,1). 选项A，曲线C所围成的“心形”区域的面积大于图中两个小正方形与一个三角形的面积之和.两个正方形的面积均为1，△MNP的面积为1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，所以选项A正确. 选项B:将方程中的x换成-x方程不变，所以图形关于轴对称，故B正确； 选项C: C与x轴，y轴的交点M(1,0),N(-1,0),P(0,-1),Q(0,1),结合曲线的图象可知，H(-1,1),K(1,1).故曲线一共经过6个整点，所以选项C错误； 具体证明如下：由图可知，x轴下方只有一个整点，即点P，当y>0时，根据曲线的图象的对称性，可先设图象上第一象限的任意一点T(x,y),则x>0.由得，即.把方程看作关x于的一元二次方程，则有,解得：.所以y只能取1. 同理，把上述方程看作关于y的一元二次方程，可得0<.所以x只能取1. 因此，点T只有一种情况,即第一象限只有一个整点，同理第二象限也只有一个整点.因此共有6个整点. 选项D: 设图象上任意一点T(x,y) ，x>0,则.因为x>0,由,得,当且仅当时，等号成立.所以即 ，当且仅当时，取得最大值，即当时，图象上的点到原点的距离都不超过,根据曲线的图象的对称性可得，当时，图象上的点到原点的距离都不超过;当时，.所以选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的最大值为__________. 【答案】54 【解析】 【详解】对求导得， 令，得，都在区间内. 因为，， ，， 这四个值中最大值为，所以的最大值为. 13. 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据条件可证明，，，故三棱锥放入正方体中，正方体的外接球即是三棱锥的外接球，从而即可求出球的半径，过点的平面截球所得截面面积的最小时，截面与垂直，求得截面圆半径即可． 【详解】设在底面上的射影为，如图， 因为，由全等得为的中心， 由题可知，，由，解得 在正中，可得. 从而直角三角形中解得. 同理，又是边长为的正三角形， 所以，则，同理，， 因此正三棱锥可看作正方体的一角， 正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心. 记外接球半径为，则， 过点的平面截球所得截面面积的最小时，截面与垂直，此时截面圆半径满足， 由得，所以，所以截面面积的最小值为. 故答案为： 14. 已知，若与的图象有两个交点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用互为反函数的性质，把问题转化为函数的图象与直线有两个交点求解，再构造函数并利用导数求出范围. 【详解】由，得与互为反函数，其图象关于直线对称， 函数与的图象有两个交点，等价于函数的图象与直线有两个交点， 因此方程有两个正实根，即有两个正实根，令函数， 则直线与函数的图象有两个交点， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 而，当趋近于正无穷大时，趋近于0， 则当且仅当，即时，直线与函数的图象有两个交点， 所以的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由递推关系可得为等比数列，利用等比数列的通项公式求解； （2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由题意得，可变形为：， 设，则，即是公比为的等比数列， 又，故， 因此，数列的通项公式为：， 【小问2详解】 数列的前项和， 则， 所以 因此：， 故． 16. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【详解】（1）的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. （2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点. 17. 已知半径为的球的截面所在圆面面积为，为截面圆的直径，为球的直径， （1）求证：平面平面. （2）若球的半径为，劣弧和劣弧长度之比为，试求、所成的角的余弦值. （3）若和长度之比为，求二面角的平面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据几何体特征，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，结合空间线线角求解的向量法即可求解； （3）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，结合空间二面角求解的向量法即可求解. 【小问1详解】 因为为截面所在圆的直径，所以， 又为球的直径，所以， 又平面，平面，且、相交于点， 所以平面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 由题意，球的半径为，即， 设截面所在圆的半径为，面积为，则，所以， 所以，， 又为球的直径，所以，所以， 又劣弧与劣弧长度之比为，所以， 又，所以，， 又，所以，， 又，，，所以， 又，，，所以，所以， 以为原点，以为轴，以为轴，过点平行于作轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 所以； 【小问3详解】 设截面所在圆的半径为，面积为， 则，解得，即， 因为与长度之比为，， 则，所以，所以，， 又，所以， 又，所以，所以， 以为原点，以为轴，以为轴，过点平行于作轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则，解得， 平面的法向量为，则，解得， 令二面角为， 则， 所以. 即二面角的平面角的正弦值为. 18. 过抛物线：的焦点的直线交抛物线于点、两点（点在轴上方）. （1）若，求点的坐标； （2）当时，求的值； （3）对于轴上给定的点，若过点和两点的直线交抛物线的准线于点，问直线是否经过一定点，如果存在，求出此定点. 【答案】（1）；（2）1；（3）过定点，.. 【解析】 【分析】（1）设，则由抛物线的定义可得，从而可求得点会标； （2）设，，则，，而，然后代入中化简，结合抛物线的定义化简即可； （3）设，，由题意知直线与轴不垂直，所以，所以：，从而可得点，进而可求出直线的方程：，令，可求得的值 【详解】解：（1）设，则，得，故. （2）由，设直线为，设，， 由，得，则， 显然，，， 所以 （3）设，，由题意知直线与轴不垂直，所以，所以：. 设：，代入，得，所以， 又抛物线的准线方程为，，所以，所以，所以：，令，所以，所以直线与轴交于一定点. 【点睛】此题考查抛物线的几何性质的应用，考查直线与抛物线的位置关系，考查计算能力，属于中档题 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求a的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）增区间为，无减区间； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数研究的单调区间； （2）对函数求导，讨论、、，结合恒成立求参数范围； （3）根据（2）的结论有得，令，则，即可证结论. 【小问1详解】 当时，，所以， 设，则， 当时，有，所以在区间上单调递减， 当时，有，所以在区间上单调递增， 所以，即， 所以的增区间为，无减区间． 【小问2详解】 ， （i）当时，有，与矛盾； （ii）当时，有，所以， 所以在单调递增，故，满足题意； （iii）当时，设，则， 当时，由得，所以在上单调递减，则， 即，所以在单调递增，故，满足题意； 当时，若，则，所以在上单调递， 所以，即，所以在单调递减，故，与矛盾； 综上所述：a的取值范围为． 【小问3详解】 由（2）知当时，，其中a的取值范围为， 令得，，即 令，则， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期2024级 3月月考数学试卷 命题人：肖小权 审题人：吴家欣 考试时间：2026年3月19日 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列，，，，，…，则该数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 若函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知椭圆：的离心率为，双曲线：的离心率为，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，已知数列满足：，，则 （    ） A. B. C. D. 6. 现有函数，设数列满足，若存在使不等式：成立，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 7. 若，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一个动点，记△的内切圆圆心为，则点与点的横坐标之比为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知数列为等差数列，为其前n项和，，，则（ ） A. B. 为单调递增数列 C. 使的n的最小值为18 D. 当且仅当时，最小 10. 已知函数，则下列四个结论正确的是（    ） A. 的极大值点为2 B. 若关于的方程恰有两实根，则 C. 有4个实根 D. 关于的不等式的整数解至少有两个 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图，曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一，下列结论中正确的是（　　） A. 曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3 B. 曲线C关于y轴对称 C. 曲线C恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点） D. 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的最大值为__________. 13. 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值是______. 14. 已知，若与的图象有两个交点，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 17. 已知半径为的球的截面所在圆面面积为，为截面圆的直径，为球的直径， （1）求证：平面平面. （2）若球的半径为，劣弧和劣弧长度之比为，试求、所成的角的余弦值. （3）若和长度之比为，求二面角的平面角的正弦值. 18. 过抛物线：的焦点的直线交抛物线于点、两点（点在轴上方）. （1）若，求点的坐标； （2）当时，求的值； （3）对于轴上给定的点，若过点和两点的直线交抛物线的准线于点，问直线是否经过一定点，如果存在，求出此定点. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求a的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $