29.1 圆的有关概念 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦圆的有关概念及过三点的圆，从情境引入图片中的圆形出发，通过动态与静态定义揭示圆的本质，进而学习点与圆的位置关系、弦、弧等概念，最后过渡到过三点的圆及反证法，形成连贯知识支架。 其亮点在于以几何直观培养数学眼光，通过定义辨析和例题推理发展数学思维，借助符号表达和模型构建强化数学语言。如证明矩形顶点共圆、辨析等弧概念，小结系统梳理知识，助力学生构建体系，也为教师提供清晰教学路径。

第二十九章 圆 29.1 圆的有关概念 29.1.1 圆的有关概念 学习目标 1.了解圆的概念. 2.了解弧、弦、半圆、等圆、等弧等与圆有关的概念. 学习重难点 了解圆及与圆有关的相关概念. 了解圆及与圆有关的相关概念. 难点 重点 导入新知 情境引入 这些图片中都有哪种图形？ 知识点1 圆 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？ 思考 · r O A 怎样来定义这种图形？ 5 在一个平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O 旋转一周, 另一个端点P 所形成的图形叫作圆．其固定的端点O 叫作圆心，线段OP叫作半径.以点O为圆心的圆，记作⊙ O，读作“圆O”. 定义 圆的动态定义. O P 决定圆的位置. 决定圆的大小. 确定一个圆的二要素：圆心和半径. 6 从画图过程中可以看出： （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 （半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个 上. 因此，可得到圆的静态定义： 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 定长 思考 圆 7 例1 下列说法中, 错误的有（ ） ①经过点P 的圆有无数个； ②以点P 为圆心的圆有无数个； ③半径为3 cm 且经过点P 的圆有无数个； ④以点P 为圆心，3 cm 长为半径的圆有无数个. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解析：确定一个圆必须有两个条件，即圆心和半径，只满足一个条件或不满足任何一个条件的圆都有无数个.故①②③都正确，④错误.故选A. A 8 平面上的圆把平面分成了哪几部分？ 圆内 圆外 圆上 思考 知识点2 点与圆的位置关系 ② 观察点和圆的位置关系，能否对这六个点进行分类？ B C A D E F 点C，F在圆外 点A，D在圆内 点B，E在圆上 思考 点P在圆内 点P在圆外 点P在圆上 P O P O P O d＞r dr d＜r 位置关系 数量关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OPd； 符号“ ⇔ ”读作“等价于”，它表示从符号左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.求证：A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一圆上. 例2 A B C D O 证明：∵四边形ABCD 是矩形，对角线AC，BD相交于点O ， ∴OA=OC= AC，OB=OD = ,AC=BD. ∴OA =OC =OB =OD. ∴A，B，C，D 四个点在以点O为圆心、OA为半径的圆上. 12 归纳 1.圆指的是圆周，而不是圆面. 2.确定一个圆要紧扣圆的“两要素”，即圆心和半径，两者缺一不可． 3.“圆上的点”指圆周上的点. 4.圆上各点到圆心的距离都等于半径. 13 弦和直径 连接 圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径， 直径长是半径长的2倍.如图，AB，AC是弦，AB是直径. C A B · O 直径和弦有什么关系？ 知识点3 与圆有关的概念 ③ 14 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦，是圆内最长的弦.但弦不一定是直径． 注意 15 弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧．以 A，B 为端点的弧记作AB，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆． C A B O 半圆是弧，但弧不一定是半圆. 16 优弧与劣弧 大于半圆的弧（用三个点表示，如图中的弧ABC）叫作优弧． 小于半圆的弧（如图中的 弧AC ）叫作劣弧． C O A B 17 能够重合的两个圆叫作等圆. 容易看出：等圆是两个半径相等的圆. 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧. 等圆与等弧 长度相等的弧是等弧吗？ 18 例3 下列语句中：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，弧不一定是半圆. 正确的有_________ . 解：直径是弦，故①正确；直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径，故②错误；半径相等的两个半圆能互相重合，所以是等弧，故③正确；在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，故④错误；半圆是弧，弧不一定是半圆，故⑤正确.答案为：①③⑤. 19 1.弦与直径的关系：直径是过圆心最长的弦，但弦不一定是直径. 2.弧与半圆的关系：半圆是弧，但弧不一定是半圆. 3. 弦与弧的关系：①弦是圆上两点间的线段，有无数条；弧是圆上两点间的部分，是曲线，也有无数条. ②每条弧对一条弦；而每条弦对的弧有两条:一条优弧、一条劣弧或两个半圆. 4.等弧不等同于长度相等的弧，等弧仅仅存在于同圆或等圆中. 归纳 20 随堂演练 D 1.下列说法正确的是（ ） A.直径是弦，弦是直径 B.半圆是弧，弧是半圆 C.弦是圆上两点之间的部分 D.半径不是弦，直径是最长的弦 21 2.如图，图中有 条直径， 条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条． A B C D O F E 1 2 4 4 22 7cm或3cm 3.一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm, 则这个圆的半径是 . 23 4.如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E，F，G，H 分别为边AB，BC，CD，DA 的中点，那么点E，F，G，H 是否在同一个圆上？请说明理由. 24 解：点E，F，G，H 在同一个圆上.理由如下： 如图，连接OE，OF，OG，OH. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴ AB=BC=CD=DA，AC ⊥ BD. 又∵ E 为AB 边的中点，∴OE = AB. 同理可得，OF = BC，OG = CD，OH = DA. ∴ OE =OF =OG =OH. ∴点E，F，G，H 在以点O 为圆心，OE 为半径的圆上. 25 课堂小结 圆的有关概念 定义 动态定义 静态定义 有关概念 圆心与半径 弦与直径 弧与半圆 等圆与等弧 位置关系 点在圆外 点在圆内 d＞r 点圆上 d=r d＜r 26 29.1.2 过三点的圆 学习目标 1.了解三角形的外接圆和三角形的外心的概念. 2.了解反证法. 学习重难点 了解三角形的外接圆和三角形的外心的概念. 三角形的外接圆和三角形的外心的概念. 难点 重点 过已知点作圆 条件：过一点A作圆 作法：以点A 以外的任意一点圆心，以该点与点A 的距离为半径作圆 可作无数个圆 知识点1 确定圆的条件 ① 29 条件：过两点A，B 作圆 作法：连接AB，作线段AB 的垂直平分线l，以其垂直平分线上任意一点为圆心，以该点与点A(或点B)的距离为半径作圆 可作无数个圆 30 条件：过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆 作法：连接AB，BC，分别作线段AB，BC 的垂直平分线DE 和FG，DE和FG 相交于点O，以点O 为圆心，OA(或OB，OC)为半径作圆，⊙ O 就是所求作的圆 这样作出的圆只有一个 31 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 有且仅有 32 由图可以看出，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形. 33 例1 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块如图所示，为配到与 原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ B 34 1.三角形外接圆的作法 （1）作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点； （2）以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可. 2.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径. 归纳 35 如图，假设过同一条直线l上三点A，B，C 三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P 既在线段AB 的垂直平分线l1上，又在线段BC 的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l ，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以,经过同一条直线上的三点不能作圆． l1 l2 A B C P 知识点2 反证法 ② 经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？ 思考 36 先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫作反证法． 37 用反证法证明：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 已知：如图，AB//CD，直线EF交AB于点O， 求证：∠1=∠2. 　证明：假设1≠2，过点O作直线A′B′，使EOB′2. 根据“同位角相等，两直线平行”，可得A′B′//CD，这样， 过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于CD，这与平行公理 “过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾. 这说明1≠2不正确，所以12. B′ F E A A′ O B C D 1 2 反设 归谬 存真 例2 用反证法证明的步骤： （1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立. （2）从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾. （3）由矛盾断定假设不正确，从而肯定原命题的结论成立. 归纳 39 随堂演练 1.若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 B 40 2.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ） A．点P B．点Q C．点R D．点M M R Q A B C P B 41 随堂练习 不在同一条直线上的 3.判断正误： (1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆. ( ) (2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形 . ( ) (3) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等. ( ) (4) 经过三点一定可以确定一个圆. ( ) 一个三角形只有一个外接圆，但一个圆有无数个内接三角形. 4.完成下面的证明过程： 已知：如图，直线l1，l2， l在同一平面内，且l1l，l2l. 求证：l1//l2. 证明：假设 ，则l1与l2相交，设l1与l2交于点P. 由已知条件 ， 得知， 过点P有两条直线与直线l垂直， 这与“ ”相矛盾，所以，“假设 ”不成立，故 . l1不平行l2 l1l l2l 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 l1//l2 l1不平行l2 课堂小结 过三点的圆 确定圆的条件 三角形的外接圆 三角形的外心 反证法 44 $