30.1 直线与圆 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件围绕“直线与圆的位置关系”展开，涵盖相离、相切、相交三种位置关系及切线的性质、判定和切线长定理。通过复习点与圆的位置关系，结合太阳与地平线、移动硬币等生活实例导入，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以生活实例和动手操作培养数学眼光中的几何直观，用表格归纳位置关系特征、定理推理发展数学思维中的推理意识，通过直角三角形位置判断、切线证明等例题强化数学语言的应用。助力学生理解数量关系与空间形式，为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

第三十章 直线与圆的位置关系 30.1 直线与圆 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1 直线与圆 30.1 .1 直线与圆相离、相切、相交 学习目标 1.了解直线和圆的三种位置关系. 2.理解圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系. 3.会运用直线和圆的三种位置关系的性质与判定进行有关计算. 学习重难点 理解圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系. 会运用直线和圆的三种位置关系的性质与判定进行有关计算. 难点 重点 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d > r d = r d< r ● ● ● O ● 导入新知 复习引入 点和圆的位置关系有哪几种？如何判断？ 4 知识点1 直线和圆的位置关系 ① 1.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？ 思考 5 2.在纸上画一条直线l，把一枚硬币看作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现在移动钥匙环的过程中，它与直线l的公共点个数的变化情况吗？ 思考 l 6 可以发现，直线与圆有三种位置关系 1.直线与圆没有公共点，这时称这条直线与圆相离. 2.直线与圆只有一个公共点，这时称这条直线与圆相切，这条 直线叫作圆的切线，这个点叫作切点. 3.直线与圆有两个公共点，这时称这条直线与圆相交，这条直线叫作圆的割线. 7 设⊙O半径为 r , 圆心O到直线l的距离为d，根据直线和圆相交、相切、相离的定义，容易得到： 直线l和圆相交 直线l和圆相切 直线l和圆相离 d < r d = r d > r 8 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 图示 公共点个数 0 1 2 公共点名称 切点 交点 直线名称 切线 割线 d 与r 的关系 d＞r d=r d ＜ r 归纳 9 例1 判断下列各图中直线与圆的位置关系. .O l O . .O l 相离 相交 相切 10 例2 如图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.则d与⊙O的半径r的大小有什么关系? 相离 相切 相交 .O r d .O r d .O r d 11 例3 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，以边AB的中点D为圆心，以r为半径作⊙D.若r=2.5，分别判断AC，BC与⊙D的位置关系. C B A 12 解：如图，过圆心D分别作AC，BC的垂线，垂足分别为E， F，则DE，DF的长分别为圆心D到AC，BC的距离. 连接CD，由D为AB的重点，得CD=AD=BD， 因而E，F分别为AC，BC的重点. 所以DE=BC，DF=AC. 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∵BC=12，AC=5，r=2.5， ∴DE＞r，DE=r， ∴AC与⊙D相离，BC与⊙D相切. C B A E F D 13 归纳 判定直线与圆的位置关系的方法有两种： 1.根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断； 2.由圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断. 14 随堂演练 1.已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙ O 半径为2 cm，线段OA=3 cm，OB=2 cm，则直线AB 与⊙ O 的位置关系为( ) A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切 D 15 2.直线l与半径为r的⊙O相离，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是( ) A.r＜6 B.r=6 C.r＞6 D.r≥6 A 16 3.已知⊙O 的半径为 ，直线l与点O的距离为d，若直线l与⊙O有公共点，则( ) A.d﹥ B.d= C.d﹤ D.d≤ D 17 4.如图，在平面直角坐标系中有一矩形OABC，点B的坐标为(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心D 的坐标为 . 解析：若与OA,AB,BC 三条边相切，D 的坐 标为（3,1）；若与OA,BC,CO 三条边相切, D 的坐标为（1,1）；若与OA,AB,CO 三条边 相切,D 的坐标为（2,2）；若与AB,BC,CO 三 条边相切,D 的坐标为（2,0）. (1，1)或(3，1)或(2，2)或(2，0) 18 课堂小结 直线与圆相离、相切、相交 位置关系 相离 相交 d＞r 相切 d=r d＜r 判断位置关系的方法 19 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1.2 圆的切线 第1课时 切线的性质与判定 学习目标 1.理解并掌握切线的性质定理与判定定理. 2.运用切线的性质定理与判定定理解决简单的几何问题. 学习重难点 掌握切线的性质定理与判定定理. 运用切线的性质定理与判定定理解决简单的几何问题. 难点 重点 导入新知 复习引入 1. 和圆有且只有一个公共点的直线与圆相切. 2. 圆心到直线的距离等于半径的直线与圆相切. 判断直线与圆相切有哪两种方法？ 生活中，有许多直线和圆相切的实例.例如，当你在下雨天快速转动雨伞时飞出的水珠，在砂轮上打磨工件时飞出的火星，都是沿着圆的切线方向飞出的. 知识点1 切线的性质 ① 23 思考：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？ A l O 24 圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的性质定理 切线的性质 （1）切线和圆只有一个公共点. （2）圆心到切线的距离等于半径. （3）圆的切线垂直于过切点的半径. （4）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点. （5）经过切点且垂直于切线的直线必过圆心. 25 几何语言 ∵直线l切⊙O于点Ａ， ∴OA⊥l . l .O . A 26 例1 如图，AB 为⊙ O 的直径，PD 切⊙ O 于点C， 交AB 的延长线于点D，且∠ D=2 ∠ CAD. (1)求∠ D 的度数. (2)若CD=2，求BD 的长. 27 解：（1）如图，连接OC. ∵ AO=CO，∴∠ OAC= ∠ ACO. ∴∠ COD=2 ∠ CAD. 又∠ D=2 ∠ CAD，∴∠ D= ∠ COD. ∵ PD 切⊙ O 于点C， ∴ OC ⊥ PD，即∠ OCD=90° ，∴∠ D=45° . （2）由(1)可知△ OCD 是等腰直角三角形. ∴ OC=CD=2. 由勾股定理，得OD= ∴ BD=OD－OB= 28 1.有切线时常用辅助线添加方法 见切点，连半径，得垂直. 2.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 归纳 29 如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线 l ⊥OA ，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l与⊙O有什么位置关系？ 显然，圆心到直线的距离d =半径 r 直线l与⊙O相切，直线l是⊙O的切线 思考 .O A l 知识点2 切线的判定 ② 30 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定定理 两个必备条件： 1.直线过半径的外端; 2.直线垂直于这条半径. 31 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D. 求证：AC是⊙O的切线. 证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E， 连接OD，OA. ∵AB与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AB 又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点. ∴AO是∠BAC的平分线， ∴OE=OD，即OE是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线. ¬ E 例2 归纳 1.判定直线与圆相切的方法 (1)定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线； (2)数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线； (3)判定定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.证切线时辅助线的添加方法 有交点，连半径,证垂直; 无交点，作垂直,证半径. 33 随堂演练 1.下列说法正确的是 （ ） A.与圆有公共点的直线是圆的切线 B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线 B 34 2.如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为31°，过C点的切线PC 与 AB 的延长线交于点P，则∠P 等于( ) A.24° B.25° C.28° D.30° C 35 3.如图，在△ ABC 中，AB=6，以点A 为圆心，3 为半径的圆与边BC 相切于点D， 与AC，AB 分别交于点E 和点G，点F 是优弧GE 上一点，∠CDE=18°，则∠ GFE 的度数是( ) A.50° B.48° C.45° D.36° B 36 4.如图，AB是⊙O的直径,∠B=∠CAD.求证：AC是⊙O 的切线. 证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠BDA =90°. ∴∠B +∠BAD = 90°. 又∠B =∠CAD. ∴∠CAD +∠BAD =∠BAC =90°. ∵AC 过点A, ∴AC 是⊙O 的切线. 37 5.如图， 已知AB 是⊙ O 的直径，AB=4，点C 在线段AB 的延长线上，点D 在⊙ O 上，连接CD，且CD=OA，OC=2 ，求证：CD 是⊙ O 的切线. 证明：如图，连接OD. 由题意可知CD=OD=OA= AB=2. ∵ OC=2 ，∴ OD2+CD2=OC2. ∴∠ ODC=90°，即OD ⊥ CD. 又点D 在⊙ O 上，∴ CD 是⊙ O 的切线. 38 课堂小结 切线的性质与判定 判定方法 定义法 判定定理 常作辅助线 性质定理 数量关系法 切线的性质 39 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1.2 圆的切线 第2课时 切线长定理 学习目标 1.了解圆的切线长，能叙述并证明切线长定理. 2.理解三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质. 3.运用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题. 学习重难点 掌握切线长的定义及切线长定理. 运用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题. 难点 重点 导入新知 复习引入 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ P O B A O. P A B 知识点1 切线长定理 ① 如图，P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线.因为两点确定一条直线，并且所求作的直线过点P且与 ⊙O相切，所以需在⊙O上确定一点A，满足OA⊥AP， 即∠OAP=90°由此可知，点O，P，A可以确定一个圆，OP是这个圆的直径，因此以OP为直径作圆，该圆与⊙O的交点即所要确定的点。 O. P 43 根据上面的想法，可以用直尺和圆规作出过圆外一点的圆的切线. 如图: (1)连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP交于点C; (2)以点C为圆心，CO为半径作圆，与⊙O相交于A，B两点; (3)作直线PA，PB，即所求作的切线。 可以看到，过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切，我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长（如图中的线段PA，PB的长)，叫作这点到圆的切线长. 44 如图，PA，PB是⊙O 的两条切线， 切点分别为A，B，过点O，P作直线OP.线段 PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？ 思考 O. P B A 证明：如图，连接OA，OB ∵PA和PB是⊙O 的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又OA=OB，OP=OP， ∴Rt△POA≌ Rt△POB. ∴PA=PB, ∠APO=∠BPO. O. P B A ∟ ∟ 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 切线长定理 可用来证明线段相等、角相等 几何语言 ∵PA，PB分别切⊙O于点A，B， ∴PA = PB，∠OPA=∠OPB 47 例1 如图，PA，PB是OO的两条切线，A，B是切点，连接AB，若∠APO=30°，OP=2，求△PAB的周长. 解：如图，连接 OA. ∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点， ∴ PA=PB，∠APO=∠BPO，OA⊥PA. 又∠APO=30°，∴ ∠APB=60°， ∴ △PAB是等边三角形.∴ AB=PA=PB. 又在Rt△POA中，∠APO=30°，OP=2, ∴ OA=1，PA==。 ∴ △PAB的周长为3. 48 归纳 1.切线是直线，不可度量；切线长是切线上切点与切点外另一点之间的线段的长，可以度量. 2.经过圆外一点作圆的切线，有两条，这点和两个切点所连的两条线段相等. 49 归纳 3.如图 是切线长定理的一个基本图形, 可以直接得到结论： (1)PO ⊥ AB； (2)AO ⊥ AP，BO ⊥ BP； (3)AP=BP； (4)∠ 1= ∠ 2= ∠ 3= ∠ 4； (5)AD=BD； (6)弧AC =弧 BC. 50 随堂演练 1.如图，直线AB，AD 分别与⊙ O 相切于点B，D，C 为⊙ O 上一点，且∠ BCD=130°，则∠ A的度数是( ) A.70° B.85° C.80° D.100° C 51 2.如图，AB，BC，CD 分别与⊙ O 相切于点E，F，G， 若∠ BOC=90°，求证：AB ∥ CD． 证明：∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＋∠OCB＝90°. 又BE与BF为⊙O的切线，∴BO为∠EBF的平分线． ∴∠OBE＝∠OBC.同理可得∠OCB＝∠OCG. ∴∠OBE＋∠OCG＝∠OBC＋∠OCB＝90°. ∴∠OBC＋∠OCB＋∠OBE＋∠OCG＝180°， 即∠ABF＋∠DCF＝180°.∴AB∥CD. 52 3.已知：如图，四边形ABCD 的边AB、BC、CD、DA与⊙O 分 别相切于点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC. 证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H， ∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH. ∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH. ∴AB+CD=AD+BC. · A B C D H G F E 53 课堂小结 切线长定理 切线长的定义 切线长定理 54 $