第三十章 直线与圆的位置关系 习题课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“直线与圆的位置关系”核心知识点，涵盖相离、相切、相交的判定与应用，通过基础概念导入，结合半径与距离关系的例题，衔接点与圆位置关系的旧知，构建从概念到应用的递进式学习支架。 其亮点在于分层设计（基础过关、能力提升、思维拓展），融入几何直观（如等腰三角形中距离计算）、推理能力（三角函数求距离）和模型意识（函数与直线相切问题），帮助学生用数学眼光观察、思维推理，教师可通过变式题和实例提升教学效率，学生能逐步掌握判定方法与实际应用。

第三十章　直线与圆的位置关系 专题强化9　与切线有关的证明及计算 类型1　证切线：有切点，连半径，证垂直 1.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作DE∥AB，交CB的延长线于点E.求证：直线DE是⊙O的切线. 1 2 3 4 5 6 7 证明：连接OD，如图所示. ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠ACD＝∠BCD. ∴∠AOD＝∠BOD. 返回首页 ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AOD＝∠BOD＝×180°＝90°. ∴OD⊥AB. ∵DE∥AB， ∴OD⊥DE. ∵OD为⊙O的半径， ∴直线DE是⊙O的切线. 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 2.如图，在△ABC中，CA＝CB，O为AB上一点.以O为圆心，OB长为半径的⊙O过点C，交AB于另一点D，若D是OA的中点，求证：AC是⊙O的切线. 证明：如图，连接OC，CD. ∵CA＝CB，∴∠A＝∠B. ∵BD是直径，∴∠BCD＝90°. ∵D是OA的中点，∴AD＝OD. 又OB＝OD，∴AO＝BD. 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 ∴△AOC≌△BDC(SAS). ∴∠ACO＝∠BCD＝90°. ∴OC⊥AC. ∵OC为⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线. 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 3.(教材P156T11改编)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为AC的中点.以AB为直径作⊙O交BC于点E，连接DE.求证：DE与⊙O相切. 证明：如图，连接OE，AE. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°. ∵D为AC的中点， ∴ED＝AD＝CD. ∴∠DEA＝∠EAD. 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 ∵OE＝OA， ∴∠OEA＋∠DEA＝∠OAE＋∠EAD， 即∠OED＝∠OAD. ∵∠BAC＝90°， ∴∠OEA＝∠OAE. ∴∠OED＝90°. ∵OE为⊙O的半径， ∴DE与⊙O相切. 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 类型2　证切线：无切点，作垂直，证半径 4.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点. (1)求证：AB与半圆O相切； 解：证明：如图，连接OA，OD，作ON⊥AB于点N. ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC. ∵AC与半圆O相切于点D，∴OD⊥AC. ∵ON⊥AB，∴ON＝OD. ∴AB与半圆O相切. 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 (2)若CD＝4，CF＝2，求⊙O的半径. 解：在Rt△ODC中， CD＝4，OC＝OF＋FC＝OD＋2. ∵OC2＝CD2＋OD2， ∴(OD＋2)2＝42＋OD2. 解得OD＝3. ∴⊙O的半径为3. 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 类型3　切线的性质 5.如图，已知AB为⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是的中点，过点D作⊙O的切线，分别交AC，AB的延长线于点E和点F，连接CD，BD. (1)求证：∠A＝2∠BDF； 解：证明：如图，连接AD. ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 ∵EF为切线， ∴OD⊥DF. ∴∠BDF＋∠ODB＝90°，∠ODA＋∠ODB＝90°. ∴∠BDF＝∠ODA. ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA. ∴∠OAD＝∠BDF. ∵D是的中点， ∴∠CAD＝∠OAD. ∴∠CAB＝2∠OAD＝2∠BDF. 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 (2)若AC＝3，AB＝5，求CE的长. 解：如图，连接BC交OD于点H. ∵D是的中点， ∴OD⊥BC. ∴CH＝BH. ∴OH为△ABC的中位线. ∴OH＝AC＝×3＝1.5. 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 ∴DH＝2.5－1.5＝1. ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∴∠ODE＝∠ECH＝∠CHD＝90°. ∴四边形DHCE为矩形. ∴CE＝DH＝1. 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 类型4　切线长定理 6.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5. (1)尺规作图：作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切(保留作图痕迹，不写作法)； 解：如图，⊙P即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 (2)若在(1)的条件下，设⊙P与BC的切点为D，求⊙P的半径. 解：如图，连接PD. ∵⊙P与BC的切点为D， ∴PD⊥BC. ∵∠ABP＝∠PBD，PD⊥BC，PA⊥AB， ∴PA＝PD，∠APB＝∠DPB. 又PB＝PB， ∴△APB≌△DPB.∴AB＝BD. 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝5， ∴AC＝4，BD＝3. ∴CD＝2. 设PD＝x. 在Rt△PDC中， x2＋22＝(4－x)2. 解得x＝. ∴⊙P的半径为. 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 7.(2025济南)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP＝90°，连接PC. (1)求证：PC与⊙O相切； 解：证明：如图，连接OC. ∵OC＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA. ∵OP∥AC， ∴∠OAC＝∠BOP，∠OCA＝∠COP. ∴∠COP＝∠BOP. 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 在△COP和△BOP中， ∴△COP≌△BOP(SAS). ∴∠OCP＝∠OBP＝90°. ∴OC⊥PC. ∵OC为⊙O的半径， ∴PC与⊙O相切. 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 (2)若AO＝3，OP＝5，求AC的长. 解：如图，连接BC，交OP于点D. ∵△COP≌△BOP， ∴PC＝PB，OB＝OC. ∴OP垂直平分BC. ∵AO＝BO＝3，OP＝5，∠OBP＝90°， ∴BP＝＝＝4. 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 ∵S△OBP＝OB•BP＝OP•BD， ∴BD＝＝＝. ∴BC＝2BD＝. ∵AB是⊙O的直径， ∴AB＝2OA＝6， ∠ACB＝90°. ∴AC＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 $第三十章　直线与圆的位置关系 30.1　直线与圆 30.1.2　圆的切线 第2课时　切线长定理及过圆外一点作圆的切线 知识点1　切线长定理 1.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点.若PA＝3，则PB＝(　　) A.2 B.3 C.4 D.5　　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (第1题) B 返回首页 2.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点.若∠APB＝60°，则∠OPB＝________. (第2题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 30° 返回首页 3.如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C是⊙O上一点.若∠P＝36°，则∠ACB＝________. (第3题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 72° 返回首页 变式　如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，C是上一点.若∠APB＝40°，则∠ACB的度数是_________. (第3题变式) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 110° 返回首页 4.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°. (1)求∠BAC的度数； 解：∵PA，PB是⊙O的切线， ∴AP＝BP. ∵∠P＝60°， ∴∠PAB＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 ∵AC是⊙O的直径， ∴∠PAC＝90°. ∴∠BAC＝90°－60°＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (2)当OA＝2时，求AB的长. 解：如图，连接OP. ∵在Rt△AOP中，OA＝2，∠APO＝30°， ∴OP＝4. 由勾股定理，得AP＝2. ∵AP＝BP，∠APB＝60°， ∴△APB是等边三角形. ∴AB＝AP＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 知识点2　过圆外一点作圆的切线 5.古希腊数学家欧几里得，被称为“几何学之 父”.在其所著的《几何原本》第三卷中有一个 命题：“过已知点作直线切于已知圆”.如图， 设点P是已知点，⊙O是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：①连接OP，分别以点O，P为圆心，大于OP长为半径作弧，在OP上方交于点M，在OP下方交于点N，连接MN，交OP于点A；②以点A为圆心，AO长为半径作⊙A，与⊙O交于两点Q和R；③连接PQ，PR，则PQ，PR是⊙O的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图中补全图形，保留作图痕迹； 解：如图，直线PR，PQ即为所求. (2)上述作图中用到了圆中一个很重要的定理，具体内容是________ __________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 直径所 对的圆周角是直角 返回首页 6.如图，PA，PB与⊙O相切于点A，B，AB与OP交于点H.若AP＝2，∠APB＝60°，则OH的长为(　　) A.0.5 B.1 C. D.2　　　 (第6题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 7.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C为上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于M，N两点.若△PMN的周长为10，则切线长PA等于_____. (第7题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 返回首页 8.(教材P155T8变式)如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝3 cm，OC＝4 cm.求： (1)BE＋CG的长； 解：如图，连接OF. 根据切线长定理，得BE＝BF，CF＝CG， ∠OBF＝∠OBE， ∠OCF＝∠OCG. ∵AB∥CD， ∴∠ABC＋∠BCD＝180°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 ∴∠OBF＋∠OCF＝90°. ∴∠BOC＝90°. ∵OB＝3 cm，OC＝4 cm， ∴BC＝＝5 cm. ∴BE＋CG＝BC＝5 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (2)⊙O的半径. 解：∵BC与⊙O相切于点F， ∴OF⊥BC. ∴S△OBC＝OF•BC＝OB•OC， 即OF×5＝×3×4. ∴⊙O的半径OF＝ cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 9.如图，AB是⊙O的弦，P是AB的延长线上一点. (1)过点P作⊙O的切线PC，切点C在直线AB的下方(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； 解：如图，直线PC即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (2)在(1)的条件下，连接AC，BC.求证：∠PCB＝∠BAC. 解：证明：连接OB，OC，如图所示. 设∠PCB＝α. ∵PC是⊙O的切线， ∴∠OCP＝90°. ∴∠OCB＝90°－α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 ∵OB＝OC， ∴∠BOC＝180°－2∠OCB＝2α. ∴∠BAC＝∠BOC＝α. ∴∠PCB＝∠BAC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 $第三十章　直线与圆的位置关系 30.2　三角形的内切圆 知识点　三角形的内切圆 1.三角形的内心是(　　) A.三角形的三条高所在直线的交点 B.三角形的三条中线的交点 C.三角形的三条角平分线的交点 D.三角形三条边的垂直平分线的交点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 返回首页 2.如图，在△ABC中，∠ABC＝46°，∠ACB＝84°.⊙O是△ABC的内切圆，连接OB，OC，则∠BOC的度数为(　　) A.105° B.110° C.115° D.125°　　　　　　 (第2题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 变式　(教材P159练习T2变式)如图，在△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为(　　) A.60° B.80° C.120° D.130° (第2题变式) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 3.如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点.若AD＝1，BC＝5，则△ABC的周长为______. (第3题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 返回首页 4.(教材P158例题变式)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝6，BC＝10，CA＝12.求AF的长. 解：设AF＝a. ∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F， ∴AF＝AE，CE＝CD，BF＝BD. ∵AB＝6，BC＝10，CA＝12， ∴BD＝BF＝6－a，CD＝CE＝12－a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 ∵BD＋CD＝BC＝10， 解得a＝4. ∴AF的长为4. ∴(6－a)＋(12－a)＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 5.(教材P159练习T3变式)如图，已知△ABC. (1)利用直尺和圆规作出△ABC的内切圆(不写作法，保留作图痕迹)； 解：如图，⊙O即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (2)若△ABC的周长为24，面积为24，求它的内切圆的半径. 解：如图，设△ABC的内切圆⊙O分别与AB，AC，BC相切于点E，F，D，连接OE，OF，OA. ∵△ABC的周长为24，∴AB＋BC＋AC＝24. ∵△ABC的面积为24，OE＝OF＝OD， ∴S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB•OE＋BC•OD＋AC•OF＝(AB＋BC＋AC)•OD＝×24•OD＝24.∴OD＝2. ∴它的内切圆的半径为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 6.(教材P160T3变式)如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，∠BOC＝160°，则∠BIC的度数为(　　) A.115° B.120° C.125° D.130° (第6题) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 变式　如图，点O，I分别是△ABC的外心和内心，连接OB，IA.若∠OBC＝20°，则∠IAB＝(　　) A.20° B.25° C.30° D.35° (第6题变式) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 7.如图，△ABC是一张三角形纸片，AB＝5 cm，⊙O是它的内切圆，小陈准备用剪刀在⊙O的左侧沿着与⊙O相切的任意一条直线DE剪下△CDE，若剪下的△CDE的周长为11 cm，则△ABC的周长为______cm. (第7题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 返回首页 8.(2026福州师大附中期中改编)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的内切圆的半径为2，三个切点分别为D，E，F，若AB＝10，求△ABC的面积. 解：如图，连接DO，EO. ∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴OE⊥BC，OD⊥AC，CD＝CE，BE＝BF，AF＝AD. 又∠C＝90°， ∴四边形OECD是正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 ∴CE＝CD＝OD＝2. ∴BC＝8，AC＝6或BC＝6，AC＝8. 设BE＝BF＝x，则AF＝AD＝10－x，BC＝x＋2，AC＝2＋10－x＝12－x. 在Rt△ABC中，BC2＋AC2＝AB2， 即(x＋2)2＋(12－x)2＝102. 解得x1＝6，x2＝4. ∴S△ABC＝×6×8＝24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 9.(教材P171T7改编)如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D. (1)求证：ID＝BD； 证明：如图，连接BI. ∵点I是△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC. ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 又∠CBD＝∠CAD， ∵∠BID＝∠ABI＋∠BAD，∠DBI＝∠CBI＋∠CBD， ∴∠BID＝∠DBI. ∴ID＝BD. ∴∠CBD＝∠BAD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (2)连接BI，CI，求证：点D是△BIC的外心. 证明：如图，连接DC. ∵∠BAD＝∠CAD， ∴BD＝CD. ∵ID＝BD， ∴BD＝CD＝ID. ∴点D是△BIC的外心. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 $第三十章　直线与圆的位置关系 30.1　直线与圆 30.1.2　圆的切线 第1课时　切线的性质与判定 知识点1　切线的性质 1.如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD.若∠AOD＝80°，则∠C的度数为(　　) A.30° B.40° C.45° D.50°　　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (第1题) D 返回首页 2.(2024福建)如图，已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为的中点，则∠ACM等于(　　) A.18° B.30° C.36° D.72° (第2题) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD.求证：∠B＝2∠ACD. 证明：如图，连接OD. ∵AB为⊙O的一条切线， ∴OD⊥AB. ∴∠ODA＝90°. ∴∠A＋∠AOD＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 ∵∠ACB＝90°， ∴∠B＋∠A＝90°. ∴∠AOD＝∠B. ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC. 又∠AOD＝∠OCD＋∠ODC， ∴∠AOD＝2∠ACD. ∴∠B＝2∠ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 知识点2　切线的判定 4.如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB＝______°时，AC为⊙O的切线. (第4题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 60 返回首页 5.如图，若A，B是⊙O上的点，且PA＝12，PB＝8，当OB＝_____时，PA与⊙O相切. (第5题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 返回首页 6.如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，使∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E.求证：CD是⊙O的切线. 证明：如图，连接OC. ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 又∠DCB＝∠CAD，∠CAD＝∠OCA， ∴∠OCA＝∠DCB. ∴∠DCB＋∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°. ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 7.如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E.若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为. (第7题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 8.(教材P155T10改编)如图，⊙O的直径AB与弦CD相交，∠BAC＝38°，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，则∠ACD的度数为________. (第8题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 64° 返回首页 9.(2026厦门九中期中)如图，在△ABC中，∠A＝22.5°，∠B＝45°. (1)求作⊙O，使得圆心O落在AB边上，且⊙O经过A，C两点(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； 解：如图，⊙O即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (2)在(1)的条件下，判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由. 解：直线BC与⊙O相切.理由如下： 如图，连接OC. ∵OA＝OC，∠A＝22.5°， ∴∠BOC＝45°. 又∠B＝45°， ∴∠BOC＋∠B＝90°. ∴∠OCB＝90°. ∴OC⊥BC，且点C在⊙O上. ∴直线BC与⊙O相切. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 10.(2025资阳)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作BC的平行线交AC的延长线于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线； 解：证明：如图，连接OD. 由题，知∠ACB＝90°，OA＝OD. ∴∠OAD＝∠ODA. ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ACB＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 ∵∠BAC的平分线交⊙O于点D， ∴∠EAD＝∠BAD. ∴∠EAD＝∠ODA. ∴OD∥AE. ∴∠ODE＝180°－∠AED＝90°. ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (2)若∠BAC＝60°，CE＝，求⊙O的半径. 解：如图，设OD交BC于点F. ∵∠BAC＝60°，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝30°. ∵CE∥DF，DE∥CF，∠E＝90°， ∴四边形CEDF为矩形. ∴∠DFC＝90°，DF＝CE＝. ∴∠OFB＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r， OF＝OD－DF＝r－. ∵∠OFB＝90°，∠ABC＝30°， ∴OB＝2OF. ∴r＝2(r－). ∴r＝2. ∴⊙O的半径为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 $第三十章　直线与圆的位置关系 综合与实践　材料的疏水性 (2025扬州)材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡.“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性.疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 返回首页 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点(点M或点N)所作的气－液界线的切线与固－液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角. 返回首页 (1)请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角(保留作图痕迹，写出必要的文字说明). 解：如图2. ③连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为⊙O的切线，故∠PMN即为所求的接触角. ①在圆弧上取一点C，记三相接触点为M，N，连接MC，NC； ②分别作MC，NC的垂直平分线，两者交于点O，则点O为圆弧的 圆心； 返回首页 (2)材料的疏水性随着接触角的变大而________(选填“变强”“不变”“变弱”). 变强 返回首页 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和 底面圆的半径AC(BC⊥AC)，求出∠BAC的度数， 进而求出接触角∠CAD的度数(如图3). (3)请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系(用等式表示)，并说明理由. 解：∠CAD＝2∠BAC.理由如下： 如图3，连接OA. 返回首页 可得OA＝OB. ∴∠ABC＝∠OAB. ∵AD为切线， ∴OA⊥AD. ∴∠OAB＋∠BAD＝90°. ∵BC⊥AC， ∴∠ABC＋∠BAC＝90°. ∵∠ABC＝∠OAB， ∴∠BAD＝∠BAC. ∴∠CAD＝∠BAD＋∠BAC＝2∠BAC. 返回首页 【创新思考】 (4)材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述？请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化. 解：∵水滴弧的长度为l＝， ∴＝n. ∴可以根据的大小进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性 越强.(答案不唯一) 返回首页 $第三十章　直线与圆的位置关系 30.3　正多边形与圆 第2课时　与正多边形有关的作图 知识点　与正多边形有关的作图 1.如图所示的向日葵图案是通过等分圆周画出的，则⊙O与半圆P的半径的比为(　　) A.5∶3 B.4∶1 C.3∶1 D.2∶1 1 2 3 4 D (第1题) 返回首页 2.作图并填空： (1)如图，利用尺规作出已知⊙O的内接正六边形(不写作法，保留作图痕迹)； 解：如图，正六边形即为所求. (2)若已知⊙O的半径为2，则这个内接正六边形的面积为_____. 1 2 3 4 6 返回首页 3.如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF， 圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤 如下： ①作出半径OF的中点H； ②以点H为圆心，HA的长为半径作圆弧，交直径MF于点G. ③AG的长即为正五边形的边长，依次作出各等分点B，C，D，E，顺次连接得到圆内接正五边形ABCDE. 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝_________(结果保留根号). (第3题) 1 2 3 4 10－2 返回首页 4.如图，已知⊙O. (1)请用尺规作⊙O的内接正方形ABCD(不写作法，保留作图痕迹)； 解：如图，正方形ABCD即为所求. 1 2 3 4 返回首页 (2)请用尺规作⊙O的内接正八边形(不写作法，保留作图痕迹). 解：如备用图，正八边形ABCDEFGH即为所求. 1 2 3 4 返回首页 $第三十章　直线与圆的位置关系 数学活动　等分圆周与割圆术 1.用等分圆周的方法，画一个圆的内接正十边形，则相邻等分点之间的弧所对的圆心角度数为(　　) A.10° B.18° C.36° D.72° 1 2 3 4 5 6 C 返回首页 2.如图，将⊙O的圆周十二等分，A，B，C是等分点，则∠ADC的度数为(　　) A.95° B.105° C.210° D.150° (第2题) B 1 2 3 4 5 6 返回首页 3.如图，将⊙O的圆周六等分，则圆内接六边形ABCDEF的面积与 圆内接四边形ABDE的面积比为. (第3题) 1 2 3 4 5 6 返回首页 4.如图，以点O为圆心，作半径为r的圆，将圆周六等分，六等分点依次为A1，A2，A3，A4，A5，A6.再分别以A1，A3，A5为圆心，r为半径作弧，，，这三段弧所围成的图形称为“玫瑰三叶形”.若“玫瑰三叶形”的周长为4π，则它的面积为_________. (第4题) 1 2 3 4 5 6 4π－6　 返回首页 5.我国古代数学家刘徽发现，圆内接正多边形边数不断增加时，多边形的周长就逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起完善的算法.如图，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接AG，CF，AG交CF于点P.若AP＝3，则半径的长为_____. (第5题) 1 2 3 4 5 6 2 返回首页 6.图1中的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图2，已知⊙O和圆上一点M.作法如下：①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交⊙O于A，B两点；②延长MO交⊙O于点C.则点A，B，C将⊙O的圆周三等分. 1 2 3 4 5 6 返回首页 (1)请依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将⊙O的圆周三等分(保留作图痕迹)； 解：如图2，点A，B，C将⊙O的圆周三等分. 1 2 3 4 5 6 返回首页 (2)根据(1)画出的图形，连接AB，AC，BC，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长为_____. 1 2 3 4 5 6 6 返回首页 $第三十章　直线与圆的位置关系 30.3　正多边形与圆 第1课时　与正多边形有关的概念与计算 知识点　与正多边形有关的概念与计算 1.若正多边形的中心角为45°，则正多边形的边数是(　　) A.4 B.6 C.8 D.12 1 2 3 4 5 6 7 8 C 返回首页 2.如图，若正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM为(　　) A.4 B.3 C.2 D. (第2题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 3.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在上.若∠FCD＝70°，则∠FDC的度数为(　　) A.64° B.72° C.74° D.80° (第3题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 4.(教材P165T2变式)如图，若正方形ABCD的边长为6，则其外接圆的半径为_____. (第4题) 1 2 3 4 5 6 7 8 3 返回首页 5.(教材P165T5改编)如图，要拧开一个边长a＝12 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为______mm. (第5题) 1 2 3 4 5 6 7 8 12 返回首页 6.(教材P165T9改编)如图，把圆分成六等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形.若⊙O的半径是6，则它的外切正六边形的边长为(　　) A.4 B.6 C.12 D.36 (第6题) A 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 7.刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元.某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形.若⊙O的半径为2，则这个圆内接正八边形的面积为(　　) A.4 B.8 C.4π D.8π (第7题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 8.如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形.设正六边形 ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则＝_____. (第8题) 1 2 3 4 5 6 7 8 2 返回首页 $第三十章　直线与圆的位置关系 综合与实践　生活中的优化设计 1.寻找最大射门角度 如图1，已知A，B是∠MON的边ON上的两个定点，C是边OM上的动点，则当且仅当△ABC的外接圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大.因此OC是圆的切线，OA是圆的割线. 1 2 返回首页 分析：为什么当△ABC的外接圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大？如图2，在边OM上另取一点C′，连接AC′，BC′，因为∠ACB是圆周角，∠AC′B是圆外角，根据圆内角＞圆周角＞圆外角，得∠ACB＞∠AC′B. 1 2 返回首页 【应用1】　如图3，点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(5，0)，在坐标平面内有一动点P. (1)连接AP，BP，若∠APB＝30°，这样的点P有多少个？ 解：因为线段AB固定，∠APB＝30°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可知点P在过点A，B的圆上，且所对的圆周角是30°，显然这样的点P有无数个. 1 2 返回首页 (2)如果P是y轴上的动点，∠APB＝30°，那么这样的点P有几个？它们的坐标分别是什么？ 解：根据(1)中的分析，(1)中所得圆与y轴的交点就是符合条件的点P，如图所示. 此时△ACB是等边三角形，由点A(1，0)，点B(5，0)，可得AB＝4. ∴OG＝3，CG＝2，则CD＝3，OD＝2. ∵⊙C与y轴交于点P1，P2，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得∠AP1B＝∠AP2B＝30°. 1 2 返回首页 ∴P1D＝P2D＝. 同理，可以求得当点P在y轴的负半轴上时，点P3，P4的坐标分别为(0，－2－)，(0，－2＋). 故符合条件的点P有4个，坐标分别是(0，2＋)，(0，2－)，(0，－2－)，(0，－2＋). 此时点P1，P2的坐标分别为(0，2＋)，(0，2－). 1 2 返回首页 (3)当点P在y轴上运动时，∠APB是否存在最大值？如果有最大值，求出∠APB取得最大值时点P的坐标. 解：∠APB存在最大值.由题意可知，当过点A，B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大，如图所示. ∵∠POH＝∠OPE＝∠OHE＝90°， ∴四边形OPEH是矩形. ∴OP＝EH，PE＝OH＝3. ∴AE＝3. 1 2 返回首页 在Rt△AEH中，由勾股定理，得EH＝. ∴PO＝. ∴点P的坐标为(0，). 同理可以求得在y轴负半轴上符合题意的点P的坐标为(0，－). 故符合条件的点P有2个，坐标分别是(0，)，(0，－). 1 2 返回首页 【应用2】　如图4，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走.已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40 m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是多少米？ 解：如图4，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于点E，以MN为直径作⊙F. 根据题意，得当⊙F与OB相切于点P时，观景视角∠MPN最大. ∵MN＝2OM＝40 m，F是MN的中点， ∴MF＝FN＝OM＝20 m. 1 2 返回首页 ∴OF＝40 m. ∵∠AOB＝30°，EF⊥OB， ∴EF＝20 m，由勾股定理，得OE＝ ＝20 m. ∴EF＝MF. 又EF⊥OB， ∴OB是⊙F的切线，切点为E. ∴当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，此时游客P行走的距离OP＝OE＝20 m. 1 2 返回首页 2.在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草坪.某公司准备在一块边长为20 m的正方形草坪(图1)中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案. 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r m的圆面，喷洒覆盖率ρ＝，s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积. 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题. 1 2 返回首页 (1)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为10 m的自动喷洒装置，该方案的实际喷洒面积k＝_______，喷洒覆盖率ρ＝. 1 2 100π 返回首页 (2)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为5 m的 自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为 m 的自动喷洒装置；……以此类推，如图5，设计安装n2个 喷洒半径均为 m的自动喷洒装置.与(1)中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由. 1 2 返回首页 解：不能提高喷洒覆盖率.理由：对于任意的n，喷洒面积kn＝n2π2＝100π m2，而草坪面积始终为400 m2. 因此，无论n取何值，喷洒覆盖率始终为. 这说明增加装置个数且减小喷洒半径的方案，不能提高喷洒覆 盖率. 1 2 返回首页 (3)如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1.已知在正方形ABCD各边上依次取点F，G，H，E，使得AE＝BF＝CG＝DH，设AE＝x m，⊙O1的面积为y m2，求y关于x的函数解析式，并求当y取得最小值时r的值. 解：如图6，连接EF. 要使喷洒覆盖率ρ＝1，即要求＝1，其中s为草坪面积，k为喷洒面积. ∴⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4都经过正方形对角线的交点. 1 2 返回首页 在Rt△AEF中，EF＝2r，AE＝x. ∵AE＝BF＝CG＝DH， ∴AF＝20－x. 在Rt△AEF中，AE2＋AF2＝EF2， ∴x2＋(20－x)2＝4r2. ∴y＝πr2＝π ＝(x－10)2＋50π. ∴当x＝10时，y取得最小值，此时4r2＝102＋102. 解得r＝5. 1 2 返回首页 $第三十章　直线与圆的位置关系 30.1　直线与圆 30.1.1　直线与圆相离、相切、相交 知识点1　直线与圆的位置关系的判定 1.已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 返回首页 2.(2026厦门一中期中)已知⊙O的半径为7，直线l上有一点P满足PO＝5，则直线l与⊙O的位置关系是(　　) A.相切 B.相离 C.相离或相切 D.相交 变式　若⊙O的直径为12，直线l上有一点P满足OP＝6，则直线l与⊙O的位置关系是(　　) A.相切 B.相离 C.相离或相切 D.相切或相交 D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝16 cm，判断以点A为圆心，下列r为半径的⊙A与直线BC的位置关系： (1)r＝5 cm；　 解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D. ∵AB＝AC，BC＝16 cm， ∴BD＝BC＝8 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 在Rt△ABC中， AD＝＝＝6(cm). 即圆心A到直线BC的距离d为6 cm. 当r＝5 cm时，d＞r， ∴⊙A与直线BC相离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (2)r＝6 cm；　 解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D. ∵AB＝AC，BC＝16 cm， ∴BD＝BC＝8 cm. 在Rt△ABC中， AD＝＝＝6(cm). 即圆心A到直线BC的距离d为6 cm. 当r＝6 cm时，d＝r， ∴⊙A与直线BC相切. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (3)r＝7 cm. 解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D. ∵AB＝AC，BC＝16 cm， ∴BD＝BC＝8 cm. 在Rt△ABC中， AD＝＝＝6(cm). 即圆心A到直线BC的距离d为6 cm. 当r＝7 cm时，d＜r， ∴⊙A与直线BC相交. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 知识点2　直线与圆的位置关系的应用 4.已知⊙O和直线l相交，圆心到直线l的距离为10 cm，则⊙O的半径可能为(　　) A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.11 cm D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 5.已知⊙O的半径为8 cm，圆心O到直线l的距离为9 cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.无法确定 变式　已知⊙O的半径为3，记圆心O到直线l的距离为d.若直线l与⊙O没有公共点，则d的取值范围是(　　) A.d＞3 B.d＜3 C.d≤3 D.d≥3 A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 6.如图，∠AOB＝30°，P为OA上一点，且OP＝4 cm，若以点P为圆心的圆与OB相离，求该圆的半径r的取值范围. 解：如图，过点P作PD⊥OB于点D. ∵∠AOB＝30°，P为OA上一点，且OP＝4 cm， ∴PD＝OP＝2 cm. ∴当⊙P与OB相离时，⊙P的半径r的取值范围为0＜r＜2 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 7.三个半径均为6的圆与直线l的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上，且点P到直线l的距离为8，则这个圆只能是(　　) A.⊙O2 B.⊙O3 C.⊙O2或⊙O3 D.⊙O1或⊙O2 (第7题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 8.如图，⊙O的半径OC＝5 cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB＝8 cm.若l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是(　　) A.1 cm B.2 cm C.8 cm D.2 cm或8 cm (第8题) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 9.(教材P149例1变式)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3 cm，BC＝4 cm，那么以B为圆心，cm为半径的⊙B与AC相切. (第9题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 变式　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，AB的中点为M. (1)以点C为圆心，r为半径作⊙C，当r＝CM时，点A在⊙C______，点B在⊙C______(均填“内”“外”或“上”)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 内 外 返回首页 (2)以M为圆心，r为半径作⊙M，当r＝1时，分别判断AC，BC与⊙M的位置关系； 解：如图，过圆心M分别作AC，BC的垂线，垂足分别为E，F，则ME，MF的长分别为圆心M到AC，BC的距离. ∵∠ACB＝90°，M是AB的中点， ∴CM＝AM＝BM. ∵ME⊥AC，MF⊥BC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 ∴E，F分别是AC，BC的中点. ∴ME＝BC＝2，MF＝AC＝1. ∴ME＞r，MF＝r. ∴AC与⊙M相离，BC与⊙M相切. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (3)若⊙C与线段AB只有一个公共点，求r的取值范围. 在Rt△ABC中，＝， ∴r＝CD＝＝＝. ②当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，⊙C与线段AB只有一个公共点，此时，2＜r≤4. 综上，r的取值范围为r＝或2＜r≤4. 解：①当⊙C与直线AB相切时，⊙C与线段AB只有一个公共点，如图，过点C作CD⊥AB于点D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 10.如图，P为正比例函数y＝x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为(x，y). (1)求⊙P与直线x＝2相切时点P的坐标； 解：过点P作直线x＝2的垂线，垂足为A. 如答图1，当点P在直线x＝2右侧时，AP＝x－2 ＝3.解得x＝5.∴P； 答图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 如答图2，当点P在直线x＝2左侧时，PA＝2－x＝3.解得x＝－1. ∴P. ∴当⊙P与直线x＝2相切时，点P的坐标为或. 答图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (2)请直接写出⊙P与直线x＝2相交、相离时，x的取值范围. 解：由(1)可知当－1＜x＜5时，⊙P与直线x＝2相交， 当x＜－1或x＞5时，⊙P与直线x＝2相离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 $第三十章　直线与圆的位置关系 章末复习 考点1　直线与圆相离、相切、相交 1.已知⊙O的半径为2，点O到直线l的距离是4，则直线l与⊙O的位置关系是(　　) A.相离 B.相切 C.相交 D.以上情况都有可能 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 返回首页 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以3 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是( 　) A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交　　　 (第2题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回首页 3.如图，∠AOB＝90°，P为OA上一点，且OP＝2，以点P为圆心作半径为1的⊙P，将⊙P绕点O顺时针旋转60°，则旋转后的⊙P与OB的位置关系是________(填“相交”“相切”或“相离”). (第3题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 相切 返回首页 考点2　切线的性质及判定 4.(2025安徽)如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上.已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为______°. (第4题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 返回首页 5.(教材P170T3改编)如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线，交OA的延长线于点D.若⊙O的半径为2，则BD的长为_____. (第5题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 返回首页 6.(教材P171T8改编)如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD. (1)求证：DC是⊙O的切线； 解：证明：如图，连接OD. ∵BC是⊙O的切线， ∴OB⊥BC. ∵OC∥AD， ∴∠BOC＝∠OAD，∠DOC＝∠ODA. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回首页 ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD. ∴∠DOC＝∠BOC. 在△DOC和△BOC中， ∴△DOC≌△BOC(SAS). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回首页 ∴∠ODC＝∠OBC＝90°. ∵OD是⊙O的半径， ∴DC是⊙O的切线. ∴OD⊥CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回首页 (2)已知直线AB与CD交于点F，且DF＝6，AF＝3，求⊙O的半径. 解：设⊙O的半径为r. 在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2，即r2＋62＝(r＋3)2. 解得r＝. ∴⊙O的半径为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回首页 考点3　切线长定理 7.(2025龙东地区)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是直径.若∠BAC＝35°，则∠P＝______°. (第7题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 70 返回首页 8.(2026福州三牧中学期中)如图，PA，PB与⊙O相切于点A，B，直线FG与⊙O相切于点E，交PA于点F，交PB于点G，若PA＝6 cm，则△PFG的周长是______cm. (第8题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 返回首页 9.(2025西宁)如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为______. (第9题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 返回首页 考点4　三角形的内切圆 10.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心.若∠BOC＝130°，则∠A的度数为(　　) A.65° B.70° C.80° D.85° (第10题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回首页 11.(2026福州延安中学期中)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°. (1)尺规作图：求作⊙P，使它与三边AB，AC，BC都相切(不写作法，保留作图痕迹)； 解：如图，⊙P即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回首页 (2)若BC＝5，AB＝13，求⊙P的半径. ∵BC＝5，AB＝13，∠ACB＝90°， ∴AC＝＝12. ∵⊙P与三边AB，AC，BC都相切， ∴CD＝CE，BD＝BF，AE＝AF，∠PDC＝∠PEC＝∠ACB＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：如图，设⊙P与三边AB，AC，BC的切点分别为F，E，D，连接PD，设⊙P的半径为r. 返回首页 ∴四边形CDPE为正方形. ∴CD＝CE＝PD＝r. ∴BD＝BF＝5－r，AF＝AE＝12－r. ∴5－r＋12－r＝13. 解得r＝2，即⊙P的半径为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回首页 考点5　正多边形与圆 12.正八边形的中心角的度数是(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回首页 13.如图，正六边形ABCDEF的中心为原点O，顶点B，E在x轴上，半径为4，则顶点A的坐标为(　　) A.(－2，2) B.(2，－2) C.(－2，4) D.(－2，4) (第13题) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回首页 14.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，F是的中点，连接CF，则∠BCF的度数是______°. (第14题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 返回首页 15.如图，正方形剪去四个角后成为一个正八边形，若正八边形的边长为，则这个正八边形的面积为________. (第15题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4＋4 返回首页 $