30.2 三角形的内切圆 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦三角形内切圆核心知识，涵盖定义、内心性质、半径公式及与外心的对比。通过“三角形废料加工最大圆”问题导入，引导学生发现圆与三边相切关系，衔接角平分线性质，搭建从实际到概念的学习支架。 其亮点在于问题驱动探究，如尺规作内切圆步骤清晰，外心内心对比表格直观，融入《九章算术》勾股容圆题。培养抽象能力（概念辨析）、推理意识（性质推导）、模型意识（半径公式应用），助学生深化理解，教师可高效开展教学。

新人教版9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月15日 30.2 三角形的内切圆 第30章 直线与圆的位置关系 30.2 三角形的内切圆（含解析） 一、核心知识点梳理 1. 内切圆与内心的定义 三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆。 三角形的内心：内切圆的圆心叫做三角形的内心。 内心本质：三角形三条角平分线的交点。 2. 内心三大核心性质（必考） 1. 内心到三角形三边的距离相等，距离长度即为内切圆半径$$r$$； 2. 内心一定在三角形内部（任意三角形内心均在内部，无例外）； 3. 内心与顶点的连线平分对应内角。 3. 三角形内切圆半径公式（计算大题核心） （1）通用公式（任意三角形） $$\boldsymbol{r=\dfrac{2S}{C}}$$ $$S$$：三角形面积；$$C$$：三角形周长。 （2）直角三角形专属速算公式（超级高频） 在$$Rt\triangle ABC$$中，直角边为$$a、b$$，斜边为$$c$$： $$\boldsymbol{r=\dfrac{a+b-c}{2}}$$ 该公式无需算面积，直接口算求值，考试提速神器。 4. 三角形外心 vs 内心（必考辨析） 对比项目 外心（外接圆圆心） 内心（内切圆圆心） 交点来源 三边垂直平分线交点 三个内角平分线交点 距离性质 到三个顶点距离相等（等于外接圆半径） 到三条边距离相等（等于内切圆半径） 位置特点 锐角内、直角斜边中点、钝角外 始终在三角形内部 5. 特殊结论 1. 等边三角形：外心、内心、重心、垂心四心重合； 2. 一个三角形有且只有一个内切圆和一个外接圆。 二、基础必考题型练习 （一）选择题 1. 三角形的内心是三角形（）的交点 A. 三条高 B. 三条角平分线 C. 三条中线 D. 三边垂直平分线 2. 下列关于内心说法正确的是（） A. 内心可能在三角形外部 B. 内心到三顶点距离相等 C. 内心到三边距离相等 D. 直角三角形内心在斜边中点 3. Rt△ABC中，直角边3、4，斜边5，则内切圆半径为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （二）填空题 4. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的________，圆心叫做________。 5. 三角形内心是三条________的交点，到三角形________距离相等。 6. 直角三角形两直角边为6、8，斜边10，内切圆半径$$r=$$________。 （三）解答题 7. 已知△ABC的周长为24，面积为24，求△ABC内切圆的半径。 8. 在Rt△ABC中，$$\angle C=90^\circ$$，$$AC=5$$，$$BC=12$$，求该三角形内切圆半径。 三、参考答案与详细解析 1. 答案：B 解析：内心：三条角平分线交点；外心：垂直平分线交点；重心：中线交点；垂心：高的交点。 2. 答案：C 解析：内心永远在三角形内部，到三边距离相等；到顶点距离相等的是外心。 3. 答案：A 解析：直角三角形内切圆半径$$r=\dfrac{3+4-5}{2}=1$$。 4. 答案：内切圆；内心 5. 答案：角平分线；三边 6. 答案：2 解析：$$r=\dfrac{6+8-10}{2}=2$$。 7. 解析： 由三角形内切圆通用公式 $$r=\dfrac{2S}{C}$$， 代入 $$S=24，C=24$$， $$r=\dfrac{2\times24}{24}=2$$。 答：内切圆半径为2。 8. 解析： 先由勾股定理求斜边：$$AB=\sqrt{5^2+12^2}=13$$， 直角三角形内切圆半径公式： $$r=\dfrac{a+b-c}{2}=\dfrac{5+12-13}{2}=2$$。 答：内切圆半径为2。 四、高频易错总结 1. 四心混淆：最易混淆内心、外心，牢记内心对角平分线、对边；外心对垂直平分线、对顶点； 2. 公式乱用：普通三角形不能用直角三角形专属半径公式，考场严禁混用； 3. 位置记错：外心可在内外、边上，内心一定在三角形内部； 4. 概念混淆：外接圆对应顶点，内切圆对应边长，审题不清极易答反； 5. 公式遗忘：通用公式$$r=\dfrac{2S}{C}$$是压轴求半径核心，必须熟练背诵变形。 了解三角形内切圆和内心的概念. 能用直尺和圆规作三角形的内切圆. 能运用三角形内心的性质证明或解决问题. 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 探究新知 三角形的内切圆及作法 知识点1 问题1: 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？ O O O O 最大的圆与三角形三边都相切 探究新知 问题2: 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？ (1) 如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？ (2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？ 探究新知 圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r. 圆心I应是三角形的三条角平分线的交点. 为什么呢？ 三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等. 三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？ 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆. M N D 作法： 1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC，垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. ☉O就是所求的圆. 探究新知 做一做 A C B 6 1.与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫作这个三角形的内心. 3.这个三角形叫作这个圆的外切三角形. B A C I ☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形. 探究新知 7 例 已知:△ABC(如图), (1)求作△ABC的内切圆☉I(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,写出作法,不要求证明). (2)在题(1)已经作好的图中,若∠BAC=88°,求∠BIC的度数. 三角形的内切圆的作法 素养考点 探究新知 解：(1)①以A为圆心、任意长为半径画圆,分别交AC,AB于点H,G; ②分别以H,G为圆心,以大于 HG的长为半 径画圆,两圆相交于K点,连接AK,则AK即为 ∠BAC的平分线; ③同理作出∠ABC的平分线BF,交AK于点I,则I即为△ABC内切圆的圆心; ④过I作IM⊥BC于M,以I为圆心,IM为半径画圆,则☉I即为所求圆. 探究新知 (2)∵∠BAC=88°, ∴∠ABC+∠ACB=180°-88°=92°, ∴∠IBC+∠ICB= (∠ABC+∠ACB)= ×92°=46°, ∴∠BIC=180°-46°=134°. 探究新知 B A C I 问题1 如图，☉I是△ABC的内切圆，那么线段IA，IB ，IC有什么特点？ 线段IA，IB ，IC 分别是∠A，∠B，∠C的平分线. 探究新知 三角形的内心的定义和性质 知识点2 问题2 如图，分别过点作AB，AC，BC的垂线，垂足分别为E，F，G，那么线段IE，IF，IG之间有什么关系？ B A C I E F G IE=IF=IG 探究新知 三角形内心的性质 三角形的内心在三角形的角平分线上. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. B A C I E F G IA，IB，IC是△ABC的角平分线，IE=IF=IG. 探究新知 例 如图，△ABC中，∠ B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求∠ BIC的度数. 解：连接IB，IC. A B C I ∵点I是△ABC的内心， ∴IB，IC分别是∠ B，∠C的平分线， 在△IBC中， 利用三角形内心的性质求角度 素养考点 探究新知 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三边中垂线的交点 1.OA=OB=OC; 2.外心不一定在三角形的内部 三角形三条 角平分线的 交点 1.到三边的距离相等； 2.OA，OB，OC分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB; 3.内心在三角形内部 A B O A B C O 探究新知 知识点1 三角形的内切圆的作法 1. 根据尺规作图的痕迹，可以判定点为 的内心的是 ( ) C A. B. C. D. 中考考法 16 2. 如图，有一块三角形材料 ，请你画 出一个圆，使其与 的各边都相切. 【解】如图所示， 即为所 求作的圆. 中考考法 17 知识点2 三角形的内切圆的应用 （第3题） 3. 如图，是的内切圆， ， ，为三个切点.若 ，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 中考考法 18 【点拨】连接，是 的内 切圆，,为切点, ， .又 中， ， . 故选A. （第3题） 中考考法 4. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数 学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中 容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边） 长为8步，股（长直角边）长为15步，求该直角三角形能容 纳的圆（内切圆）的直径.”则该圆的直径为( ) A A. 6步 B. 5步 C. 4步 D. 3步 中考考法 20 【点拨】根据勾股定理得斜边长为 （步）， 则该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径 （步）， 该圆的直径为6步.故选A. 中考考法 21 知识归纳 有关三角形内切圆的两个重要结论 一般三角形 直角三角形 图示 中考考法 22 一般三角形 直角三角形 结论 内切圆半径 典型 方法 面积法：连接,, ,则 .方程法：设 ,, ,则 ,, . 续表 中考考法 23 （第5题） 5. 如图，点是 外接 圆的圆心，点是的内心，连接 ， ．若 ，则 的度数为 ( ) C A. B. C. D. 中考考法 24 （第5题） 【点拨】连接 点是 的内心， ， . . ， ． 中考考法 25 （第6题） 6.如图，已知是 的内切圆，切点分 别为，，.若的半径为3， 的 面积为45，且，则 ___. 6 中考考法 26 （第6题） 【点拨】如图，连接，，，， ， 是的内切圆，切点分别为 ， ，，，， ， ，， . 的面积为45，的半径为3， ， ， . 中考考法 27 7.如图，等腰三角形中，， ， ，点，分别是的内心和外心，则 __. （第7题） 中考考法 28 （第7题） 【点拨】连接，如图.设 的内切 圆的半径为 ，外接圆的半径为 ，， ， ， ， 平分 点，在 上， 点是 的外 心，，.在 中， 中考考法 29 ，解得 ， . 点是 的内 心， 点到 各边的距离都等于 又 ， （第7题） 中考考法 ，解得，即. . （第7题） 中考考法 三角形的内切圆 运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程 有关概念 内心及性质 应用 课堂小结 尺规作三角形内切圆 $