29.2.3 圆周角 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件围绕圆周角的概念、定理及推论，圆内接四边形的概念和性质展开，通过复习圆心角、实际问题导入，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点是通过分情况探究圆周角定理、引导自主推理，结合实例与演练培养应用意识，体现数学思维与应用能力。课堂小结清晰，学生能深化理解，教师可提升教学效率。

第二十九章 圆 29.2 圆的有关性质 29.2.3 圆周角 第二十九章 圆 29.2 圆的有关性质 29.2.3 圆周角 （第1课时） 学习目标 1.理解圆周角的概念. 2.探究并掌握圆周角定理及其推论. 3.利用圆周角定理解决简单的几何问题. 学习重难点 圆周角定理及推论 运用圆周角定理及推论解决几何问题. 难点 重点 复习引入 1. 什么叫圆心角？指出图中的圆心角. 顶点在圆心的角叫圆心角, 图中∠BOC 是圆心角. 2.如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点? ∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B，C两点. A 4 知识点1 圆周角的概念 ① 顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角. 圆周角必须满足两个条件： ①顶点在圆上； ②两边都和圆相交. 概念 两个条件同时具备，缺一不可 5 图中圆周角∠BAC 和圆心角∠BOC 有怎样的关系？ 先猜一猜，再用量角器量一量. O 探究 B C A ∠BAC= 6 （1）在圆上任取BC，画出圆心角∠BOC 和圆周角∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？ B C O A B C O A B C O A 7 （2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？ B C O A 第一种情况： 证明：如图， ∵　OA=OC， ∴　∠A=∠C． 又∠BOC=∠A+∠C， ∴∠BAC=∠BOC. 8 （2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？ 第二种情况： 证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D． ∵OA=OB， ∴∠BAD=∠B． 又∠BOD=∠BAD+∠B， ∴∠BAD=∠BOD. 同理，∠CAD=∠COD. ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠BOC. B C O A D 9 第三种情况请同学们自行证明 B C O A 10 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 圆周角定理 11 例1 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝50°，则∠A等于（ ） A.40° B.50° C.60° D.70° 解析：⊙O是△ABC的外接圆，OB=OC, 所以∠OBC=∠OCB=50°，∠BOC=80°， ∠A= ∠BOC= ×80°=40°. A 12 上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，即： 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等. 那么，圆周角与弧、弦有什么关系吗？ 13 知识点2 圆周角定理的推论 ② 如图,∠BAC与∠BDC 所对的弧都是弧BC，∠BAC与∠BDC 有什么关系？ 根据圆周角定理可知，∠BAC = ∠BOC ，∠BDC= ∠BOC ∴∠BAC = ∠BDC . 探究 A D B C O 同弧所对的圆周角相等． 等弧所对的圆周角相等吗？ 14 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等. 显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等. 15 思考 半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？ C1 A O B C2 C3 16 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等. 17 例2 ︵ ︵ 如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为6。 ACB 的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长. · O A C B D 18 解:如图，连接OD. · O A C B D AB是⊙O的直径， ACB= ADB=90° 在Rt△ABC中，AB=10, AC=6, =8, CD平分ACB， 在⊙O中,AOD=2ACD, BOD=2BCD, 又在Rt△ABD中，= AD=BD=AB=5. 解读 1.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 2.“同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”结论就不成立了. 因为一条弦所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角. 20 随堂演练 C 1.下列四个图中，∠x是圆周角的是( ) 21 D 2.如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点E，且∠A=40°，∠AED=75°，则∠B=( ) A.15° B.40° C.45° D.35° 22 3.已知经过原点的⊙ P 与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，点C 是弧AB 上一点，则∠ ACB 的度数是( ) A. 80° B. 90° C. 100° D. 无法确定 B 23 ︵ ︵ 4如图，以△ ABC 的一边AB 为直径的半圆与其他两边AC，BC 的交点分别为D，E，且DE = BE，试判断△ ABC 的形状，并说明理由. 24 ︵ ︵ 解：△ ABC 为等腰三角形. 理由如下： 如图，连接AE. ∵DE = BE ，∴∠ CAE= ∠ BAE. ∵ AB 为半圆O 的直径， ∴∠ AEB= ∠ AEC=90° . 又∵ AE=AE， ∴△ ABE ≌△ ACE(ASA). ∴ AB=AC. ∴△ ABC 为等腰三角形. 25 5.如图，BC为半圆O的直径，点F是BC上一动点(点F 不与B，C 重合)，A是弧BF上的中点，设∠FBC=α，∠ACB=β． (1)当α=50°时，求β的度数; (2)猜想α与β之间的关系，并给予证明. C 26 C 解：(1)如图，连接OA，交BF于点M. ∵A是弧BF上的中点，∴OA垂直平分BF. ∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°. ∴∠C= ∠AOB= ×40°=20°, 即β=20°. (2)β=45°- α. 证明：由(1)知∠BOM＝90°-α. 又∠C＝β＝ ∠AOB, ∴β＝ (90°-α)＝45°- α. M 27 课堂小结 圆周角 圆周角的概念 圆心角定理及推论 28 第二十九章 圆 29.2 圆的有关性质 29.2.3 圆周角 第2课时 圆内接四边形 学习目标 1.知道圆内接多边形和多边形的外接圆的定义. 2.能说出圆内接四边形的性质,并能灵活运用该性质解决问题. 学习重难点 圆内接四边形的性质及应用. 灵活应用圆内接四边形的性质解决问题. 难点 重点 复习引入 如图,这是一块四边形的闲置土地,张大爷想将其改造成一个圆形的池塘,使A、B、C、D四点都在圆上,怎样确定存不存在这样的圆呢? 如果存在的话,四边形和圆又有怎样的关系呢? 31 A和C有什么数量关系呢？ 四边形一组对角的数量关系. 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的内接多边形.这个圆叫作这个多边形的外接圆. 圆内接四边形一组对角的数量关系. 四边形ABCD是⊙O的内接四边形； ⊙O是四边形ABCD的外接圆. A O B D C A O B D C 知识点1 圆内接多边形 ① 归纳 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的数量关系是什么？ 解：如图，连接OB，OD. ∵ 弧BCD 和弧BAD 所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°. 33 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补. 还可得到一个推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角 . 34 例1 如图，四边形ABCD 是⊙ O 的内接四边形，若∠ BOD=100°，求∠ A 和∠B 的度数. 解：∵在⊙ O中，∠ A 与∠ BOD 所对的弧都是弧BD， ∴∠ A= ∠ BOD= ×100°=50°. 又四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形， ∴∠ C+ ∠ A ＝ 180°. ∴∠ C ＝ 130°. 35 解读 每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆. 36 随堂演练 1.若四边形ABCD为圆内接四边形，下列可能成立的是( ) A. A∶B∶C∶D  1∶2∶3∶4 B. A∶B∶C∶D  4∶3∶2∶1 C. A∶B∶C∶D  4∶1∶3∶2 D. A∶B∶C∶D  4∶3∶1∶2 D  比较AC 和BD所占的份数是否相等即可. A O B C D · 37 2.如图，A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，判断△ABC的形状并证明你的结论. 解：△ABC是等边三角形. 证明如下： ∵∠APC=∠ABC=60°， ∠CPB=∠BAC=60°， ∴∠ACB=180°- ∠ABC-∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形. 38 3. 已知：四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD//BC，AC与BD相交于点P，APB20°，求四边形各个角的度数. A P B C D · O 解：∵ BC是⊙O的直径，∴BDC90°. ∵AD//BC，∴ ， ∴ADBCAD. 又∵APBADBCAD20°， ∴ADBCAD10°. ∴ADCADBBDC10°90°100°， BCD180°100°80°. 同理可得：DAB100°，ABC80°. A P B C D · O 4. 证明：圆内接平行四边形是矩形. 已知：▱ABCD是⊙O的内接四边形. 求证：▱ABCD是矩形. 证明：∵▱ABCD是⊙O的内接四边形. ∴AC，AC180°. ∴AC90°. 即：▱ABCD是矩形. A B C D · O 课堂小结 圆内接多边形 圆内接多边形的概念 圆内接四边形的性质 42 $