25.3 实际问题与一元二次方程 第3课时（课件） 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的实际应用，核心知识点为球赛问题（单循环、双循环）和销售问题。课堂导入通过复习排球邀请赛单循环场次计算，回顾旧知并引出双循环问题，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其特色在于结合WTT赛事、抖音直播带货等真实情境，引导学生用数学眼光发现数量关系，通过列表分析、方程建模培养数学思维，以规范解题步骤和结果检验强化数学语言表达。学生能提升问题解决能力，教师可借助结构化案例和练习提高教学效率。

第二十五章 一元二次方程 25.3实际问题与一元二次方程课时3 九上数学人教 能从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，解决球赛问题和销售问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理. 学习目标 2 复习回顾 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛1场， 则此次邀请赛共需进行 x(x-1) 场， 所以可列得方程 x(x-1)=28. 整理并化简，得 x2-x-56=0. 解方程，得 x1​=8，x2​=−7（不合题意，舍去）. 因此，比赛组织者应邀请 8 支球队参赛. 下面再来看一种有关比赛球队数量与场数的问题. 课堂导入 探究 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗？为什么？ 分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛. 如果有  支球队参赛，那么比赛的总场数为 . 假设这个人算得对，即  支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300， 那么n(n-1)=300. 解方程，得. 由于1 201不是完全平方数，所以  不可能为整数. 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 由总场数为n(n-1)可知，其必为两个连续正整数的乘积，如2，6，12，20，，240，272，306，. 新知讲解 知识点1 球赛问题 球赛类问题的解决策略 类型 等量关系 单循环赛：每两支球队之间比赛一场. 类似的还有握手问题、多边形对角线条数等. m=， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量. 双循环赛：所有参赛球队彼此间进行两场比赛. 类似的还有互发微信、车票类型等. m=n(n−1)， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量. 新知讲解 知识点1 球赛问题 北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军. 趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计. (1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明； 例1 解：(1) 小诚的说法有道理. 理由如下： 设有x人报名参赛，由题意，得 解得 ∵  x1 与 x2 都不是整数，∴ 方程的解不符合实际，故小诚的说法有道理. 新知讲解 知识点1 球赛问题 北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军. 趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计. (2)赛后经查询，小米的统计正确.因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛. 例1 解：(2) 设原来有  人参加比赛，则 解得x1=9，x2=-6 (不符合题意，舍去). ∴ 原来有 9 人参加比赛. 新知讲解 知识点1 球赛问题 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 例2 单件利润 / 元 销售量 / 件 总利润 / 元 降价前 降价后 (方法一：设销售单价降低x元) 分析： 60−x−40 300+20x (60−x−40)(300+20x)=6 080 60-40 300 新知讲解 知识点2 销售问题 解：方法一（间接设未知数）设商品的销售单价应降低x元， 则商品的销售单价为(60-x)元，销售量为(300+20x)件， 列方程，得(60-x-40)(300+20x)=6 080. 整理，得x2-5x+4=0. 解方程，得x1=1，x2=4， 要使顾客得实惠，取x=4，所以销售单价定为56元， 答：应将销售单价定为56元. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 例2 新知讲解 知识点2 销售问题 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 例2 单件利润 / 元 销售量 / 件 总利润 / 元 降价前 60−40 300 降价后 (方法二：设销售单价为x元) 分析： x−40 300+20(60−x) (x−40)[300+20(60−x)]=6 080 新知讲解 知识点2 销售问题 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 例2 解：方法二（直接设未知数）设销售单价为x元. 列方程，得 (x-40)[300+20(60-x)]=6 080. 整理，得 x2-115x+3 304=0. 解方程，得 x1=56，x2=59. 要使顾客得实惠，取x=56. 答：应将销售单价定为56元. 新知讲解 知识点2 销售问题 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件．市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1 200元，则售价应降低多少元？ 解：设售价应降低a元. 列方程，得(100-a-60)(20+2a)=1 200， 整理，得a2-30a+200=0， 解得a1=10 ， a2=20. ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存，∴a=20. 答：售价应降低20元． 跟踪训练 新知讲解 知识点2 销售问题 1. n个人参加聚会，每两人都握 1 次手，所有人共握手 10 次，共有多少人？ 解：设共有  人. 根据题意，得 解得  （不合题意，舍去）. 答：共有5人. 随堂练习 2. 一个凸多边形共有 20 条对角线，它是几边形？是否存在有 18 条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由. 解：设这个多边形是  边形. 根据题意， 解得（不合题意，舍去）. 故该多边形是八边形. 不存在有18条对角线的多边形.理由如下： 若则 . ∵ n不是正整数，∴ 不存在这样的多边形. 随堂练习 3. (1) “中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛. 解：(1)设共有x支球队参加比赛. 根据题意得x(x-1)=240. 解得x1=16，x2=-15(不合题意，舍去). 答：共有16支球队参加比赛. 随堂练习 3. (2) 云南铁路从高原到大海，从中国铁路运输的末梢，逐渐变成面向南亚东南亚的铁路运输枢纽中心.某高铁交通路线从昆明南站出发，最终到达广州南站，若从昆明南站到广州南站共设计了42种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？ 解：(2) 设这条线路共有  个站点. 根据题意，得 解得 答：这条线路共有 8 个站点. 随堂练习 解：(1)由图象可知每月的销售量 y (件) 与每件的售价 x (元) 之间为一次函数关系， 设其函数关系式为y=kx+b (k≠0，x≥50). 将(60，600)，(80，400)分别代入，得 解得 ∴ 每月的销售量y (件) 与每件的售价x (元) 之间的函数 关系式为y=−10x+1 200. 4. 抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价.经过初期试销售调查发现：每月的销售量y（件）与每件的售价x （元）之间满足如图所示的函数关系. (1) 求每月的销售量y （件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式.（不必写出自变量的取值范围） 随堂练习 4. 抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价.经过初期试销售调查发现：每月的销售量y（件）与每件的售价x （元）之间满足如图所示的函数关系. (2) 物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的50%.该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10 000元，那么每件的售价应定为多少元？ 解：(2) 由题意得(-10x+1 200)(x-50)=10 000. 解得x1=70，x2=100. ∵该防护品每件的利润不允许高于进货价的 50%， ∴ x≤50×(1+50%)，解得x≤75，∴x=70. ∴ 每件的售价应定为 70 元. 随堂练习 实际问题与 一元二次方程 球赛问题 销售问题 单循环：m=， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量. 双循环：m=n(n−1)， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量. 课堂小结 $